正切函数的图像和性质

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正切函数图像与性质

正切函数图像与性质

1、周期性 T π π tan( x π ) tan x , x R, x kπ , k Z 2
y A tan(x )
T
2、奇偶性 π tan( x ) tan x , x R, x kπ , k Z 2 正切函数是奇函数
正切函数在整个定义域上单调递增?
例1、判断下列函数的奇偶性并求周期:
(1)
(2) y tan 2 x y tan 3x 奇函数,T . 非奇非偶函数,T . 3 2 x (4) y tan x (3) y tan 2 3 奇函数,T 2 . 奇函数,T 3
正切函数的性质:
定义域: x x k , k Z 2
k 对称中心是 ( , 0), k Z 2
值域: R 周期性:T 奇偶性:奇函数
在开区间 k , k k Z内递增 单调性: 2 2 在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说
1.4.3 正切函数的图象和性质
正切函数的性质与图象
利用正切线画出函数在
, 2 2
y
的图象 y P T
O M A x

3 4 6 2
O1
O 6
4 3 2
x
结合正切函数图像研究正切函数的性质:定义域、值域、周期性、 正切函数的性质: 奇偶性和单调性. ⑤单调性: 奇函数.正切曲线关于原点 O 对称. ②值域: R ④奇偶性: x x k,k Z ①定义域: 2 Z)且无限接近于 kkk Z ) 内都是增 k, ( 时, x tan . k 正切函数在每个开区间 当 x 小于 (k x 正切函数是周期函数,周期是k Z ) 2 2 ∵任意 x 2 k, k( 2 ,都有 tan x tan x , 2 2 tan 当 函数. x 大于 2 k(k Z)且无限接近于 2 k 时, x ∴正切函数是奇函数.

正切函数的图像和性质最新版

正切函数的图像和性质最新版

学习过程
1、画出正切函数在一个周期


2
, 2

内的图象
y

0

x
2
2
§1.4.3 正切函数的性质和图象
1.正切函数 y tanx的性质:
y ytanx
定义域: {x|xk,kZ}
2
值域: R
周期性: 正切函数是周期函数,
周期是

2
奇偶性: 奇函数 tan(-x)=-tanx
§1.4.3 正切函数的图象和性质 (一)
1、利用正切函数的定义,说出正切函数的定义域;
tan y x0 的 终 边 不 在 y 轴 上
kx kz
2
2、利用周期函数的定义及诱导公式,推导正切函数 的最小正周期;
tan(x)tanx 是 ytanx的 周 期 ;
单调性: 在 (k,k) kZ
22 内是增函数
对称性: 对称中心是(k ,0), k Z
2


2
o 2
对称轴呢?
x 2
典型例题
例题1
解:
比较 tan ( 1 3 ) 与 tan ( 1 7 ) 的大小.
4
5
tan134tan4 tan175tan25
典型例题
例题2
讨论函数
y

tan

x


4

的性质;
1、定义域
x x|xR且 xk4, kZ
2、值域
y R
3、单调性
4、奇偶性
在 x k3 4 ,k 4 上 是 增 函 数 ;
f(x)tan(x)tan(x)f(x)

正切函数的定义图像及性质

正切函数的定义图像及性质

3 2

O
函数 性质 定义域
y=tan x
{x | x R, x k, k Z} 2
值域
奇偶性 周期性 单调性
R
奇函数 周期kπ (k∈Z,k≠0), 最小正周期是π
在每一个区间 ( 2 k, 2 k)(k Z)
上是增加的
2 例1. 若 tanα = ,借助三角函数定义求角α 的正弦函 3
§7
正切函数的定义、图像及性质
正弦函数
y
1
P (u ,v )
1
-1

O
-1 M
三角函数
v=sin u=cos
v =tan u
x
y
1
P (u ,v )
1
-1

O
-1 M
三角函数
v=sin u=cos
v =tan u
余弦函数
x
y
1
P (u ,v )
1
-1

O
-1 M
三角函数
v=sin u=cos

3 2


2
O
-1

4
2

3 2
x
思考:为什么不用五点法?
提示:因为有渐近线,只需在对称中心两侧各取一点即可.
正切曲线是由通过点 ( k , 0)( k Z )且与 y 轴 2
相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.
渐 近 线 渐 近 线
3 2

O
【即时训练】
画出函数 y=tan|x|的图象.
【解析】 f(x)=tan|x|化为 π x≠kπ+ ,x≥0k∈Z tan x, 2 f(x)= π -tan x, x≠kπ+ ,x<0k∈Z 2 根据 y=tan x 的图象,作出 f(x)=tan|x|的图象, 如图所示:

正切函数的图像和性质

正切函数的图像和性质

定义域
值 周 奇 单调增区间 域 期偶

对 称 渐近线 中心 方程

x

x

k


2
,k

Z
R

奇 函 数
k



2
,k


2

kZ
k,0
k Z
x k
2 kZ
;石器时代私服 / 石器时代私服 ;
保… 本书来自 聘熟 当前 第柒玖壹章 怜花公子 灭魂の原理很简单! 但是必须是修魂者才可以修炼,因为灭魂攻击の方式是神识攻击! "这神识居然也能攻击练家子,这灭魂太诡异了!" 白重炙此刻还在暗暗吃惊,神识是一种很普遍の能力.白重炙是圣人境の时候,就已经能外放灵识 了,突破神级之后,灵识变成了神识.神识无声无息,无色无形,能辐散出去,闭着眼睛都能清楚感觉到远处の一举一动,甚至神识强の练家子比眼睛还要观察の仔细.神识最为敏感,能清楚感应到一只蚂蚁奔走の声音.神识强大の练家子,能悄然无息の探查到别人の谈话,神识可以传音… 神 识の功能太多了,但是…白重炙却是第一次听说神识可以攻击人! 神识无声无息,如果攻击人灵魂の话,の确是攻击の利 ...... 当前 第柒玖2章 放肆! 文章阅读 "那就来两杯了" 雨后淡淡の笑着,很是随意の就要了两杯价值数亿神石の天价茶水,而后似乎还想起什么,转头望向怜花 公子说道:"公子,你呀们要不也来几杯?俺听说这沥泉茶很好喝の,一直没有机会品尝,今日承公子盛情,终于得愿了!" "咳,咳,俺一向喜欢喝酒!两位女主喝好就行!" 怜花公子此刻想把这酒楼烧了の心都有,这是一家黑店啊! 不仅住宿费需要每日千万神石,现在居然没有顾忌主人の 意思,推荐了两杯数亿

正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像 (一) 新课讲解 1.正切函数x y tan =的定义:通过正切函数的定义,tan y x =的终边不能落在y 轴上,()z k k x ∈+≠2ππ,它的周期()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan ππ且的周期为π=T(最小正周期)。

2. 正切函数x y tan =(R ∈x 且2ππ+≠k x ,Z k ∈)的图像:(1)正切函数值的几何表示:在单位圆中,任意角的终边与单位圆交于点P ,过点A (1,0)作x 轴的垂线,与x 角的终边或终边的延长线相交于T 点,则称线段 为角x 的 。

(2)利用单位圆做出tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象:(3)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数R x xy ∈=tan ,且()z k k x ∈+≠ππ2的图象,称“正切曲线”。

(4)正切函数的性质函数tan y x = 定义域值域周期最小正周期奇偶性单调增区间对称中心(二)例题精讲例1求函数tan()3y x π=+的定义域.例2利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小:(1)tan138tan143o o 与(2)1317tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与 (3) tan )1196(π和tan )1135(π-例3求函数y =例4求函数3tan(2)4y x π=+的定义域、周期和单调区间.例5求函数2tan 2tan 3,,33y x x x ππ⎡⎫=-+∈-⎪⎢⎣⎭的值域.。

143正切函数的图像和性质

143正切函数的图像和性质

4
2
4
所以原函数的定义域是:
x
|
x
k
4
,
k
z
例题讲解
例2 求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间.
23
解:函数的自变量 x 应满足
即 x 2k 1 ,k Z.
x k , k Z,
23
2
3
所以,函数的定义域是
x
|
x
2k
1 3
,
k
Z
.
由于
f (x) tan( x ) tan( x
22 4 2
2
2
y 3 tan(1 x )的单调递增区间为:
24
(2k 3 , 2k ), k z
2
2
变题(2) y 3tan( x )
ห้องสมุดไป่ตู้24
解:因为原函数可化为: y 3tan( x );
24
令u
x 2
4
;由
k
y tanu的单调性知
u k ,k Z
:
2
2
由u 1 x 得 : 24
)
3tan(2x ) 4
4
3tan[2(x ) ]
f (x ) 2 4
(2)变题y 3 tan(1 x );
24
解 : f (x) 3tan(1 x )
3 tan(1
x
2
4
)
24
3tan[1 (x 2 ) ]
2
4
2 周期T
2
f (x 2 ) 周期T 2
k 1 x k 2k x 2k 3
22 4 2
2
2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:

高二数学正切函数的图像和性质

高二数学正切函数的图像和性质

4
5

tan

4


tan
2
5
,即
tan

13
4


tan

17 5


练习 不查表比较大小:
(1) tan167 与tan173 (2) tan 470 与 tan 822
例题2
x


4

的性质;
练习 讨论函数 y tan 2x 的性质;
§1.4.3 正切函数的图象和性质 (一)
1、利用正切函数的定义,说出正切函数的定义域;
tan y x 0 的终边不在y轴上


x
k


k

z

2
2、利用周期函数的定义及诱导公式,推导正切函数 的最小正周期;
tan( x) tan x 是y tan x的周期;
1、画出正切函数在一个周期



2

2

内的图象
y

0

x
2
2
§1.4.3 正切函数的性质和图象
1.正切函数
的性质:
y y tan x
定义域:
值域:
周期性: 正切函数是周期函数,
周期是
2
奇偶性: 奇函数 tan(-x)=-tanx


2
o 2
x 2
单调性: 在 内是增函数
对称性: 对称中心是
对称轴呢?
;宜宾装修公司/ 宜宾装修公司

全家人都知道这个说法,在姐姐的心灵深处,樟木箱子早已深深地扎下了根。 光阴似箭,姐姐真的到了谈婚论嫁的时候了

正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像
一、正切函数的性质:
1、定义域:{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}。

2、值域:实数集R。

3、奇偶性:奇函数。

二、正切函数的图像:
正切定理:
在平面三角形中,正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。

正切定理:(a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2)
证明——由下式开始:
由正弦定理得出
正切函数是直角三角形中,对边与邻边的比值。

放在直角坐标系中(如图《定义图》所示)即tanθ=y/x。

也有表示为tgθ=y/x,但一般常用tanθ=y/x。

曾简写为tg,现已停用,仅在20世纪90年代以前出版的书籍中使用。

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三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
正切函数和正切线
定义域
y = tan x
终边不能落在y轴上。 终边不能落在 轴上。 轴上 定义域: 定义域: { x | x ≠
π
2
+ k ⋅π ,k ∈ Z }
周期性
y = sin x
y = cos x T = 2π
T = 2π
T = 2π T π
y = tan x
2 2 x∈[π + 2kπ , 3π + 2kπ ] 减函数 2 2
奇函数
y ∈ [−1,1]
x∈R
y ∈ [−1,1]
x∈R
x = 2kπ 时, ymax =1 x = π + 2kπ
时,ymin
= −1
x∈[−π + 2kπ , 2kπ ] x∈[2kπ , π + 2kπ ]
偶函数
增函数 减函数
3
2
3
2
3
所以原函数的周期是2. 所以原函数的周期是
(3)单调区间 )
例6
2
π π y = tan x + 3 2
2 3 2
由 − π + kπ < π x + π < π + kπ , k ∈Z 解得
5 + 2k < x < 1 + 2k, k ∈Z − 3 3
(− 5 + 2k, 1 + 2k), k ∈Z 3 3
正切函数的性质
定义域 值 域 奇偶性 周期性 单调性 最值
{x x ≠
π
2
&函数
π
在( −
π
2
在R上没有单调性
+ kπ ,
π
2
+ kπ )上单调增
没有最值
例6
(1)定义域 )
π π y = tan x + 3 2
π x + π ≠ π + kπ, k ∈Z

π
2


3π 8
π
4

π
8
π π 3π
8 4 8
π
2

y

3π − 2

π
2
π
2
3π 2
x


其中x的取值集合, 其中x的取值集合,即定义域为
{x | x ∈ R且x ≠ kπ +
练习: 练习:P45 2
π
又由图像可知正切函数的值域是实数集R 又由图像可知正切函数的值域是实数集R 值域是实数集
单调性 奇偶性 周期 对称性
2π 关于原点对称 对称轴: 对称轴: x = π + kπ , k ∈ Z

对称中心: 对称中心:( π 对称轴: x = kπ 对称轴: 轴对称 , k ∈ Z 关于y轴对称 关于
2 对称中心: 对称中心: ( kπ , 0) k ∈ Z
2
+ kπ , 0) k ∈ Z
2
, k ∈ z}
观察图象, 值的范围: 例1.观察图象,写出满足下列条件的 值的范围: 观察图象 写出满足下列条件的x值的范围
(1)tan x > 0; (2)tan x = 0; (3)tan x < 0
解:
y
(1) x ∈ (kπ ,
(2) x = kπ
π
2
y = tan x
+ kπ )
k ∈Z
所以原函数的单调递增区间是
π π 思思: y = tan − x 的单调区间的? 3 2
P46 A9(1) ( )
解不等式 1 + tan x ≥ 0
π π 方法( ) 方法(1)在 − 2 , 2
内找到相应的范围
(2)在两边加上 kπ )
π
单调性
在每个分支里是单调递增的
π π +kπ +kπ , 增区间: 增区间: − 2 2
k∈Z
在某个区间内是增函数 是增函数, 注意: 注意:只能说 y = tan x 在某个区间内是增函数, 不能说 y = tan x 在定义域范围是增函数 在定义域范围是增函数 围是增函数.
sin ( x + π ) − sin x = = tan x ∵ tan ( x + π ) = cos ( x + π ) − cos x
奇偶性
f ( x ) = sin x , x ∈ R
f ( x ) = cos x , x ∈ R
f(x)=tanx的? 的
为奇函数 为偶函数
利用正切线作正切函数的图像
性质
所谓函数的性质包括 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 其它(最值,定点等) 其它(最值,定点等)
函数
y
1
y=sinx
y
1
y=cosx
−π
π
图形 定义域 值域 最值
−π 2
0
-1
π
2
π
3π 2

5π 2
x
0
-1
2
π
3π 2

5π 2
x
x = π + 2kπ时, ymax =1 2 x = − π + 2kπ时,ymin = −1 2 x∈[- π + 2kπ , π + 2kπ ] 增函数
2 3 2
1 3
解:原函数要有意义,自变量x应满足 原函数要有意义,自变量 应满足 即
所以, 所以,原函数的定义域是 {x | x ≠ + 2k, k ∈Z}.
x ≠ 1 + 2k , k ∈ Z 3
例6
(2)周期性 )
2
π π y = tan x + 3 2
由于 tan[ π ( x + 2) + π ] = tan( π x + π + π ) = tan( π x + π )
k ∈Z
(3) x ∈ (−
π
2
+ kπ , kπ )
k ∈Z
− 3π 2
−π
−π 2
o
π
2
π

2
x


1.有无穷多支曲线组成, 有无穷多支曲线组成, 有无穷多支曲线组成 由直线 x = + kπ , k ∈ Z 隔开 2 2.在每个分支里是单调递增的 在每个分支里是单调递增的 3 .关于原点对称(奇函数). 关于原点对称( 关于原点对称 奇函数)
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