正切函数的性质与图像 PPT
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(完整版)正切函数的性质与图像.ppt
2
2
正
渐
切
近 线
函
数
渐
图
近 线
像
性质 :
渐近线方程： x k , k Z 2
对称中心
( kπ,0) 2
正切函数有对称轴吗？ 无对称轴
问题5： (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会在某一区间内是减函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
5、周期性
最小正周期是
3
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
22 右呈上升趋势，向上与直线 x
k
,k
Z
无限接近但
永不相交；向下与直线
x
2
k , k
Z无限接近但永不
2
相交。
将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。
2
题型一 求与正切函数有关的函数的定义域
例1.求下列函数的定义域.
(1) y tan(x );
3 (2) y lg tan x 16 x2 .
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴： x
2
k
,
高中数学课件-正切函数的图像与性质
(1)如果α是第一象限的角，则由 tanα＝ 2 可知，角α终边上必有一点 3
P（3，2）.所以 x＝3，y＝2. 因为 r＝|OP|＝ 13 , 所以 sinα＝ y ＝ 2 13 ， r 13
cosα＝ x ＝ 3 13 . r 13
(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sinα＝ y ＝－ 2 13 ， cosα＝ x ＝－ 3 13 .
2.正切函数的图像.
3p 2
p 2
p
3p 2
3.正切函数的性质.
⑴ 定义域：{x | x p kp, k Z }. 2
⑵ 值域：R.
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图像关于原点对称.
⑸ 单调性：
白发无凭吾老矣！青春不再汝知乎？年将 弱冠非童子，学不成名岂丈夫？
——俞良弼
定义域
值域
y=tan x
{x | x R, x p kp, k Z} 2
R
奇偶性
奇函数
周期性 单调性
周期kπ(k∈Z,k≠0),
最小正周期是π
在每一个区间 增加的
(
p 2
kp,
p 2
kp)上(k 是Z)
例1． 若 tanα＝ 2 ，借助三角函数定义求角α的正弦函 3
数值和余弦函数值.
解：因为 tanα＝ 2 ＞0，所以α是第一象限或第三象限的角. 3
2.已知θ是三角形的一个内角，且有tanθ≥ -1,
则θ的取值范围是 ( C )
A.
3 4
p
,p
B.
0,p 2
C.
0,p
2
3 4
p
,p
D.以上都不对
3.求函数
的定义域.
解：要使函数有意义，需tan x+1≥0，
P（3，2）.所以 x＝3，y＝2. 因为 r＝|OP|＝ 13 , 所以 sinα＝ y ＝ 2 13 ， r 13
cosα＝ x ＝ 3 13 . r 13
(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sinα＝ y ＝－ 2 13 ， cosα＝ x ＝－ 3 13 .
2.正切函数的图像.
3p 2
p 2
p
3p 2
3.正切函数的性质.
⑴ 定义域：{x | x p kp, k Z }. 2
⑵ 值域：R.
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图像关于原点对称.
⑸ 单调性：
白发无凭吾老矣！青春不再汝知乎？年将 弱冠非童子，学不成名岂丈夫？
——俞良弼
定义域
值域
y=tan x
{x | x R, x p kp, k Z} 2
R
奇偶性
奇函数
周期性 单调性
周期kπ(k∈Z,k≠0),
最小正周期是π
在每一个区间 增加的
(
p 2
kp,
p 2
kp)上(k 是Z)
例1． 若 tanα＝ 2 ，借助三角函数定义求角α的正弦函 3
数值和余弦函数值.
解：因为 tanα＝ 2 ＞0，所以α是第一象限或第三象限的角. 3
2.已知θ是三角形的一个内角，且有tanθ≥ -1,
则θ的取值范围是 ( C )
A.
3 4
p
,p
B.
0,p 2
C.
0,p
2
3 4
p
,p
D.以上都不对
3.求函数
的定义域.
解：要使函数有意义，需tan x+1≥0，
5.4.3正切函数的性质与图像课件(人教版)
根据研究正切函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？
一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过视察图象获得对函数性质的直观认识， 再从代数的角度对性质作出严格表述.所以可以根据研究正弦函数、余弦函数的经验来 研究正切函数.
你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质， 再利用性质研究正弦函数的图象.
新课引入
回顾旧识
前面学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质，请回忆我们是如何根据它 们各自的三角函数线得出它们的函数图象的？
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
-
-
思考
,
2k
k
Z
上单调递增.
解题规律
形如 y Atan(x )(A 0, 0)的函数性质的求解方法：
①定义域：把“x ”作为一个整体，令x k (k Z)，可得 x 的取值
范围，即得函数的定义域.
②值域：(, ).
③单调区间：
（a）把“x ( 0)”作为一个整体；
（b）
A
0( A
④奇偶性：当 k (k Z)时为奇函数，否则，不具备奇偶性.
⑤周期：最小正周期T
练一练
1.与函数
y
tan
2x
π 4
的图像不相交的一条直线是(
)
A. x π
2
B. y π
一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过视察图象获得对函数性质的直观认识， 再从代数的角度对性质作出严格表述.所以可以根据研究正弦函数、余弦函数的经验来 研究正切函数.
你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质， 再利用性质研究正弦函数的图象.
新课引入
回顾旧识
前面学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质，请回忆我们是如何根据它 们各自的三角函数线得出它们的函数图象的？
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
-
-
思考
,
2k
k
Z
上单调递增.
解题规律
形如 y Atan(x )(A 0, 0)的函数性质的求解方法：
①定义域：把“x ”作为一个整体，令x k (k Z)，可得 x 的取值
范围，即得函数的定义域.
②值域：(, ).
③单调区间：
（a）把“x ( 0)”作为一个整体；
（b）
A
0( A
④奇偶性：当 k (k Z)时为奇函数，否则，不具备奇偶性.
⑤周期：最小正周期T
练一练
1.与函数
y
tan
2x
π 4
的图像不相交的一条直线是(
)
A. x π
2
B. y π
《正切函数的性质与图像》人教版数学高一下册PPT课件
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)正切函数的定义域和值域都是 R.( × ) (2)正切函数在其定义域内是单调递增函数．( × ) (3)函数 y＝|tanx|与 y＝tanx 的周期相等，都是 π.( √) (4)函数 y＝tanx 的所有对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．( ×) (5)直线 y＝a 与正切函数 y＝tanx 的图象相邻两个交点之间的距离为 π.(√ )
无
第一章 三角函数
[拓展](1)正切函数图象的对称中心是k2π，0(k∈Z)，不存在对称轴． (2)直线 x＝π2＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线． (3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)＋b 的周期是 T＝|ωπ|.
第一章 三角函数
[知识点拨]正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性． (2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，32π)，… 上都是增函数． (3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函 数在(－π2，π2)∪(π2，32π)∪…上是增函数．
[思路分析] 先确定在一个周期－π2，2π内的 x 值的范围，再写出不等式的解集．
第一章 三角函数
[解析] 函数 y＝tanx 在区间－π2，π2内的图象如图所示．
作直线 y＝1，则在－π2，π2内，当 tanx>1 时，有π4<x<π2，又函数 y＝tanx
的周期为 π，则 tanx>1 的解集是xπ4＋kπ<x<π2＋kπ，k∈Z
(1)tan32°___<___tan215°. (2)tan185π___<___tan－289π.
人教版高中数学必修4(A版) 正切函数的性质与图像 PPT课件
例4 求下列函数的周期：
( 2)变题 y 3 tan(
4
1 解 : f ( x) 3 tan( x ) 2 4
1 x ); 2 4
f (x ) 2 周期 T 2
3 tan[ 2( x ) ] 2 4
1 3 tan( x ) 2 4 1 3 tan[ ( x 2 ) ]
f ( x 2 ) 周期T 2
2
4
周期T | |
（1）正切函数的图像
（2）正切函数的性质： x | x k , k Z 2 定义域：
值域：全体实数R
正切函数是周期函数， 周期性： 最小正周期T= 奇函数， 奇偶性：
tan1670 tan1730
1 (1) y 3 tan( x ); 2 4
解 : (1)令u
例3
求下列的单调区间：
变题 (2) y 3 tan(
u
1 x 为增函数; 且y tan u的单调区间为: 2 4
1 x , 则y 3 tan u 2 4
正切函数在开区间 k , k , k Z 内都是增函数。
2
正切函数是周期函
数，T=
例1 求函数 y tan( x
解：令
4
z x
)的定义域。
z | z k , k Z 2
那么函数
y tan的定义域是： z
k , k , k Z 2 正切函数在开区间 2 单调性：
内都是增函数。
2
正切函数图像.ppt
正切函数的图象和性质
4.10 正切函数的图像和性质 一、引入
如何用正弦线作正弦函数图象呢？ 1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象. 2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
4.10 正切函数的图像和性质
二、探究用正切线作正切函数图象
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3 这说明自变量 x
,至少要增加
，函数的值
才能重复取得，所以函数
y
3
tan 3x
的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x
2 2
(2) y tan(4x)
4
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？
y
tan
x，x
2
，
2
角 的终边 Y
T3
（
3
，tan
）
3
A
0
X
3
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
4.10 正切函数的图像和性质 一、引入
如何用正弦线作正弦函数图象呢？ 1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象. 2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
4.10 正切函数的图像和性质
二、探究用正切线作正切函数图象
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3 这说明自变量 x
,至少要增加
，函数的值
才能重复取得，所以函数
y
3
tan 3x
的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x
2 2
(2) y tan(4x)
4
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？
y
tan
x，x
2
，
2
角 的终边 Y
T3
（
3
，tan
）
3
A
0
X
3
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
高中数学《正切函数的图像和性质》公开课PPT课件
1．4.3 正切函数的性质与图象
1．在诱导公式中，tan(x＋π)＝tan x，tan(－x) ＝－tan x．想一想，这两个公式体现了正切函 数的什么性质？ 2．回想一下正弦曲线的画法，利用正弦线画出 [0,2π]上的图象．你能否利用正切线画出函数 y ＝tan x，x∈－π2，π2的图象？
2
4．求函数 y＝ tan x＋lg(1－tan x)的定义域．
解析：
由题意得t1a－n txa≥n 0x>0
，即tan x≥0 tan x<1
，
∴0≤tan x<1.∴kπ≤x<kπ＋π4，
Байду номын сангаас
即函数的定义域为{x|kπ≤x<kπ＋π4，k∈Z}.
与正切函数有关的定义域和值域问题
(1)求函数y＝ 1- tanx 的定义域；
(1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小．
[解题过程] (1)y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4， 由 kπ－π2<12x－π4<kπ＋π2，k∈Z， 得 2kπ－π2<x<2kπ＋32π，k∈Z， 所以函数 y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是 2kπ－π2，2kπ＋32π，k∈Z.
所以函数y＝tan |x|的值域为R.
[题后感悟] 解形如tan x>a的不等式的步骤：
1.(1)求函数 y＝ tan x－ 3的定义域； (2)已知 f(x)＝tan2x－2tan x|x|≤π3，求 f(x)的值 域．
解析： (1)要使函数有意义，必须使 tan x－ 3 ≥0 即 tan x≥ 3. ∴kπ＋π3≤x＜kπ－π2，k∈Z. ∴函数 y＝ tan x－ 3的定义域为 kπ＋π3，kπ－π2(k∈Z)
1．在诱导公式中，tan(x＋π)＝tan x，tan(－x) ＝－tan x．想一想，这两个公式体现了正切函 数的什么性质？ 2．回想一下正弦曲线的画法，利用正弦线画出 [0,2π]上的图象．你能否利用正切线画出函数 y ＝tan x，x∈－π2，π2的图象？
2
4．求函数 y＝ tan x＋lg(1－tan x)的定义域．
解析：
由题意得t1a－n txa≥n 0x>0
，即tan x≥0 tan x<1
，
∴0≤tan x<1.∴kπ≤x<kπ＋π4，
Байду номын сангаас
即函数的定义域为{x|kπ≤x<kπ＋π4，k∈Z}.
与正切函数有关的定义域和值域问题
(1)求函数y＝ 1- tanx 的定义域；
(1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小．
[解题过程] (1)y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4， 由 kπ－π2<12x－π4<kπ＋π2，k∈Z， 得 2kπ－π2<x<2kπ＋32π，k∈Z， 所以函数 y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是 2kπ－π2，2kπ＋32π，k∈Z.
所以函数y＝tan |x|的值域为R.
[题后感悟] 解形如tan x>a的不等式的步骤：
1.(1)求函数 y＝ tan x－ 3的定义域； (2)已知 f(x)＝tan2x－2tan x|x|≤π3，求 f(x)的值 域．
解析： (1)要使函数有意义，必须使 tan x－ 3 ≥0 即 tan x≥ 3. ∴kπ＋π3≤x＜kπ－π2，k∈Z. ∴函数 y＝ tan x－ 3的定义域为 kπ＋π3，kπ－π2(k∈Z)
正切函数的图像和性质(PPT)3-3
白萝卜和胡萝卜就差一个字，口感差距却很大。很多人对胡萝卜敬而远之，却对白萝卜情有独钟。原
4.10 正切函数的图像和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1）tan167与
tan173
；（2）tan
11
4
与
tan
13
5
．
解：（（2）1）∵∵ta9n0141167
∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
Leabharlann 2，
2
的图像:
几何画板演示
深海，并在深海环境中完成整个生活史。 [] 作为凶悍的猎手，巨齿鲨活动量大，能量消耗也大，每天必须吃近吨的食物才能生存。显然，一旦食物短缺，其 生命脆弱性的一面就暴露无遗。“巨齿鲨为体型巨大的掠食者，处于最高的营养级，从理论上来讲，当前的海洋生态系统中的食物网结构无法支撑如此巨大 掠食者的生存。”赵宇； 云股票：/ ；说，所以，巨齿鲨如今依然存活于某处的说法站不住脚。 [] 化石证据表明巨齿鲨灭绝于约 万年前，这与最后一次冰期开始的时间吻合。因此，有人认为巨齿鲨因为无法适应海水温度骤降而灭绝。 [] 苏黎世大学研究人员年的研究显示，巨齿鲨的灭 绝与海水温度变化并无直接关系，该研究指出，生物因素是引起巨齿鲨灭绝的重要原因，巨齿鲨种群衰退伴随着鲸类多样性的下降，以及其它大型掠食性生
1ta7n3
3180
4
又 ∵ y tantaxn，在1390，2ta7n0 上3是 增函数 5 5
∴又∵tan3167
3tan1733
4.10 正切函数的图像和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1）tan167与
tan173
；（2）tan
11
4
与
tan
13
5
．
解：（（2）1）∵∵ta9n0141167
∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
Leabharlann 2，
2
的图像:
几何画板演示
深海，并在深海环境中完成整个生活史。 [] 作为凶悍的猎手，巨齿鲨活动量大，能量消耗也大，每天必须吃近吨的食物才能生存。显然，一旦食物短缺，其 生命脆弱性的一面就暴露无遗。“巨齿鲨为体型巨大的掠食者，处于最高的营养级，从理论上来讲，当前的海洋生态系统中的食物网结构无法支撑如此巨大 掠食者的生存。”赵宇； 云股票：/ ；说，所以，巨齿鲨如今依然存活于某处的说法站不住脚。 [] 化石证据表明巨齿鲨灭绝于约 万年前，这与最后一次冰期开始的时间吻合。因此，有人认为巨齿鲨因为无法适应海水温度骤降而灭绝。 [] 苏黎世大学研究人员年的研究显示，巨齿鲨的灭 绝与海水温度变化并无直接关系，该研究指出，生物因素是引起巨齿鲨灭绝的重要原因，巨齿鲨种群衰退伴随着鲸类多样性的下降，以及其它大型掠食性生
1ta7n3
3180
4
又 ∵ y tantaxn，在1390，2ta7n0 上3是 增函数 5 5
∴又∵tan3167
3tan1733