湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.2.2函数的单调性与导数练习 新人教B版选修2-2

湖南省新田县第一中学高中数学第一章 1.2.2函数的单调性与导数练习新人教B版选修2-2
班级___________ 姓名___________学号___________
1．在下列结论中，正确的有
( )．
①单调增函数的导数也是单调增函数；
②单调减函数的导数也是单调减函数；
③单调函数的导数也是单调函数；
④导函数是单调的，则原函数也是单调的．
A．0个B．2个C．3个D．4个
2．函数y＝1
2
x2－ln x的单调减区间是 ( )．
A．(0，1) B．(0，1)∪(－∞，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )．
A．[1，＋∞) B．a＝1 C．(－∞，1] D．(0，1)
4．当x>0时，f(x)＝x＋2
x
的单调递减区间是
( )．
A．(2，＋∞) B．(0，2) C．(2，＋∞) D．(0，2) 5．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是
( )．
6．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________．
7．若三次函数f(x)＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．
8．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的________条件．
9.函数f(x)的导数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数
f(x)的单调递增区间是________．
10．已知x>1，证明：x>ln(1＋x)．
11．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5，5)，求函数y＝f(x)的递增区间．
12．求下列函数的单调区间：
(1)y ＝x ＋9
x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.
1．在下列结论中，正确的有
( )．
①单调增函数的导数也是单调增函数； ②单调减函数的导数也是单调减函数； ③单调函数的导数也是单调函数；
④导函数是单调的，则原函数也是单调的． A ．0个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析 分别举反例：①y＝ln x ；②y＝1
x (x>0)；
③y ＝2x ；④y＝x 2，故选A. 答案 A
2．函数y ＝1
2x 2－ln x 的单调减区间是
( )．
A ．(0，1)
B ．(0，1)∪(－∞，－1)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，＋∞)
解析 ∵y＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y ′＝x －1x ，令y′<0，即x
－1
x
<0，解得：0<x<1或x<－1.
又∵x>0，∴0<x<1，故选A.
答案 A
3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )．
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0，1)
解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0，1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1<0在(0，1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
答案 A
4．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________．
解析f′(x)＝
2x－1
x2－x－2
，令f′(x)<0得x<－1或
1
2
<x<2，注意到函数定义域
为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．
答案(－∞，－1)
5．若三次函数f(x)＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．
解析f′(x)＝3ax2＋1，∴f(x)在R上为增函数，∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a>0.
答案(0，＋∞)
6．已知x>1，证明：x>ln(1＋x)．
证明设f(x)＝x－ln(1＋x)(x>1)，
f′(x)＝1－1
1＋x ＝
x
1＋x
，由x>1，知f′(x)>0.
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
又f(1)＝1－ln 2>0，
即f(1)>0.∵x>1，∴f(x)>0，即x>ln(1＋x)．综合提高（限时25分钟）
7．当x>0时，f(x)＝x＋2
x
的单调递减区间是
( )．
A．(2，＋∞) B．(0，2) C．(2，＋∞) D．(0，2)
解析f′(x)＝1－2
x2
＝
x2－2
x2
＝
（x－2）（x＋2）
x2
.
由f′(x)<0且x>0得0<x<2，故选D.
答案 D
8．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如
图所示，则y＝f(x)的图象可能是
( )．
解析当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x
1
)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意．
答案 D
9．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的________条件．
解析f(x)＝x3在(－1，1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件．
答案充分不必要
10.函数f (x)的导数y＝f′(x)的图象如图所示，则
函数f(x)的单调递增区间是________．
解析由图可知当x∈[－1，0]∪[2，＋∞)时，
f′(x)≥0，故函数f(x)的单增区间为[－1，0]和
[2，＋∞)．
答案 [－1，0]和[2，＋∞)
11．已知函数f(x)＝x 3＋ax ＋8的单调递减区间为(－5，5)，求函数y ＝f(x)的递增区间．
解 f′(x)＝3x 2＋a.
∵(－5，5)是函数y ＝f(x)的单调递减区间，则－5，5是方程3x 2＋a ＝0的根，∴a ＝－75.此时f′(x)＝3x 2－75，
令f′(x)>0，则3x 2－75>0，解得x>5或x<－5，∴函数y ＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)． 12．(创新拓展)求下列函数的单调区间： (1)y ＝x ＋9
x
； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.
解 (1)函数y ＝x ＋9
x 的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
∵y ＝x ＋9x ，∴y ′＝1－9
x
2.
当y′＞0，即x ＞3或x ＜－3时，函数y ＝x ＋9
x 单调递增；
当y′＜0，即－3＜x ＜0或0＜x ＜3时， 函数y ＝x ＋9
x
单调递减．
故函数y ＝x ＋9
x 的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为
(－3，0)，(0，3)．
(2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32，＋∞.
∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，
∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2（2x ＋1）（x ＋1）
2x ＋3.
当y′＞0，即－32＜x ＜－1或x ＞－1
2
时，
函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增； 当y′＜0，即－1＜x ＜－1
2时，
函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．
故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，＋∞，单调
递减区间为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－12.。