1.4.3正切函数的性质与图象
必修四1.4.3正切函数的性质与图象
3 (1) 2 4 (1)
(2)2
(2)
题型三
【例 3】 求下列函数的最小正周期: ( 1) y=- tan x 3 ;
求周期
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
5
( 2) y=| tan x| . 分析: ( 1) 利用 T= 求解; ( 2) 画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解: ( 1) ∵ ω= , ∴ 最小正周期 T= = 3.
内都是增函数。
kπ , ( ,0) k Z 2
对称轴呢？
典型例题
例1.求函数y= tan(
2
x
3
)的定义域、周期和单调区间。
5 定义域： x x 2k , k 3
周期：T 2
5 1 单调增区间： +2k , 2k , k 3 3
y tan x
正切函数的图象
3 2
0
y
3 2
2
3 2
o
x
问题4、正切函数 y
= tanx 的单调性。
2 k ,
正切函数在开区间(问题5、正切函数 y
= tanx
2 的值域。
k ), k 内都是增函数.
值域为R
正 切 函 数 图 像
性质 :
预习自测 1 (1) x k x k , k (2) x x k , k 2 (3) x k x k , k 2 k 2 x x , k 3 6
x k x k , k 2
1.4.3正切函数的性质与图象
--米山国藏
谢谢大家
(2) 作正切线
(3) 平移
y
(4) 连线
o
2
o 3 x
84 8 2
探究函数
y
tan
x
，x
[0,
2
)
的图像在
[0,
2
)
的趋势
“ ”正切
y
-
x
-ห้องสมุดไป่ตู้
-
O
2
2
正切曲线
“华”正切
“华”正切
性质 数
图象 形
性质 数
数形 结合
“华”正切
已知tan x 3, x （- ， ），求x.
22 变式1：已知 tan x 3, 求x.
f (x) f (x)
tan(-x) - tan x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数
“画”正切
“画”正切
利用正切线作正切函数的图象
yT P
O
Ax
正切线：有向线段AT
“画”正切
利用正切线画出函数
y tan x，
x [0, )
2
的图象:
作法:(1) 等分：把单位圆在第一象限的部分分成4等份。
1.4.3 正切函数的 性质与图象
甘肃省临洮中学 朱建辉
核心素养
学习目标
能画出正切 函数的图象， 掌握正切函 数的性质．
数学抽象 直观想象
思想方法
数形结合 类比推理
“话”正切
1.4.3正切函数的性质和图象课件.ppt
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
y=cosx
y
1
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
2
值域： R
y y tan x
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
2
o 2
x 2
奇偶性： 奇函数
单调性： 在 ( k , k ) k Z
2
2
内是增函数
对称性： 对称中心是(k , 0), k Z
2
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
解：
y
3
0 x
高中数学复习课件-高中数学必修4课件 1.4.3正切函数的性质与图象
1.能借助单位圆中的正切线画出 y=tan x 的图象. 2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性,并能应用.
正切函数的图象与性质 (1)图象:如图所示.
正切函数 y=tan x 的图象叫做正切曲线.
(2)性质:如下表所示.
性质
函数
y=tan x
定义域
(1)y=-tan
3
x
3 5
;
(2)y=|tan x|.
分析:(1)利用 T= 求解;(2)画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解:(1)∵ω= ,∴最小正周期 T= =3.
3
3
(2)函数 y=|tan x|的图象是将函数 y=tan x 图象 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 上去,其余不变,如图所示.
2
4
答案:B
4
函数
y=tan
x
4
的定义域为
.
解析:要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 x+ ≤kπ+ (k∈Z),解得
4
2
x≠kπ+ .
4
答案:x|x
k
π 4
,
k
Z}
5 比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
解:∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),
错解:∵1+tan x≠0,即 tan x≠-1,
∴x≠kπ-
4
(k∈Z),即
y=
1
1 tanx
的定义域为
x|x
k
π 4
,
k
Z}.
错因分析:错解忽略了 tan x 本身对 x 的限制.
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
1.4.3正切函数的图象与性质
x 变式题：求函数y 3 tan(- )的单调区间. 2 4 x
4 3 （2k ， 2k ），k Z . 2 2
y 3 tan(-
3 2k - x 2k ,k Z 2 2 x
2
)的单调递减区间为 :
1、函数y tan( x A.{ x R | x k
4
)的周期是（ C ）
C、 3
D、 6
课堂练习
３、直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanx 相交的 相邻两点间的距离是( A )
A、
B、/2
C、2
D、与a值有关
4、与函数y tan( 2 x 一条直线是（ D） A. x
4
)的图象不相交的
2
B. x -
2
C.x
4
D. x
8
课堂练习 课本P45 练习2
3 2
y
y tan x
1
2
-1
0
2
3 2
x
观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围：
(1) tan x 0
(2) tan x 0
︱ k x k , k Z} {x 2 {x︱ x k , k Z }
（2）
3 (0, ) ( , ) 4 4
课本P45 小(1)tan138与tan143
课堂练习 练习6 比较下列各组是两个正切值的大
思想：在同一个单调区间比较！
13 17 (2) tan 与 tan 4 5 (1) 90 138 143 270 tan 138 tan 143 13 17 2 (2) tan tan , tan tan 4 4 5 5 2 且 0 2 5 4 2 17 13 tan tan tan tan 5 4 5 4
1.4.3正切函数的性质与图象
B
)
π 2．y＝tanx(x≠kπ＋ ，k∈Z)在定义域上的单调性为( 2 A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
C
)
π π C．在每一个区间－ ＋kπ， ＋kπ (k∈Z)上为增函数 2 2 π π D．在每一个区间－ ＋2kπ， ＋2kπ (k∈Z)上为增函数 2 2
(2)∵tan496°＝tan136°，
y＝tanx 在(90°，270°)上是增函数，270°>136°>126
°>90°，∴tan136°>tan126°，即 tan496°>tan126°.
不求值， 比较下列每组中两个正切值的大小， 用不等号 “<” 、 “>”连接起来．
< (1)tan32°________tan215 °.
O 6
4 3 2
x
正切函数的性质 :
定义域： x x k , k Z 2 值域： R
周期性：
k 对称中心是 ( , 0), k Z 2
T
奇偶性： 奇函数
单调性： 在开区间 2 k , 2 k k Z 内递增
cosx 是偶函数，∴(4)对． 因此，正确的命题的序号是(1)(4)．
解：令 z x
例1.求函数 y tan （x ）的定义域 . 4
z z k , k z 2 由x z k , 4 2 可得 x k k 2 4 4
y A tan( x ) T y tan x T π
2、奇偶性 π tan( x ) tan x , x R, x kπ , k Z 2 正切函数是奇函数
数学必修四课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
17π － 【解析】tan ＝－tan 4 22π － tan ＝－tan 5
π ， 4
2π ， 5
π π 2π π 2π π ∵－ < < < ，∴tan ＞tan ， 2 4 5 2 5 4 即
17π 22π － tan－ 4 >tan . 5
)
tan 2x 3．函数 f(x)＝ 的定义域为( tan x
kπ A.xx∈R且x≠ 4 ，k∈Z
)
π B. xx∈R且x≠kπ＋4，k∈Z π C. xx∈R且x≠kπ＋2，k∈Z π D.xx∈R且x≠kπ－4，k∈Z
【答案】A
• 正切函数的性质
【例 1】 求函数 间．
【解题探究】 利用正切函数的定义域， 求出函数的定义域， 通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区 间求出函数的单调增区间．
π π y＝tan2x＋3 的定义域、周期和单调区
π π π 1 【解析】由 x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，解得 x≠ ＋2k，k∈Z. 2 3 2 3
1 ∴定义域为 xx≠3＋2k，k∈Z .
π 周期 T＝ ＝2. π 2 π π π π 由－ ＋kπ＜ x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z， 2 2 3 2 5 1 解得－ ＋2k＜x＜ ＋2k，k∈Z. 3 3
5 1 ∴函数的单调递增区间为－3＋2k，3＋2k ，k∈Z.
• 【方法规律】运用正切函数单调性比较大小 的方法 • (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 一单调区间内． • (2)运用单调性比较大小关系．
专题1.4.3 正切函数的性质与图象-20届高中数学同步讲义人教版(必修4)
第一章 三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象一、正切函数的性质 1．周期性由诱导公式可知，πtan πtan ,π,2()x x x x k k +=∈≠+∈R Z ,，因此 是正切函数的一个周期. 一般地，函数()(tan 0)y A x k A ωϕω=++≠的最小正周期π||T ω=.学科=网2．奇偶性正切函数的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ,关于原点对称，由于()()()()sin tan cos x f x x x --=-=- ()sin tan cos xx f x x-==-=-，因此正切函数是 . 3．单调性和值域单位圆中的正切线如下图所示.利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：角xππ022-→→ π3ππ22→→正切线AT 0-∞→→+∞ 0-∞→→+∞tan x增函数 增函数由上表可知正切函数在ππ(,)22-,π3π(,)22上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为π(π,2k -+ ππ)()2k k +∈Z .此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(,)-∞+∞或R ，因此正切函数 最值. 二、正切函数的图象利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）. 作法如下：(1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆.(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线.根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.K 知识参考答案：一、1．π 2．奇函数 3．没有K —重点 正切函数的性质与图象K —难点 正切函数的性质的应用，正切函数的图象的应用 K —易错不能正确利用正切函数的图象与性质解题1．正切函数的性质熟练掌握正切函数tan ,y x x =∈R 的性质： (1)定义域：π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ； (2)值域：R ；学-科网 (3)最小正周期：π； (4)奇偶性：奇函数； (5)单调性：在每一个开区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 内均为增函数. 【例1】下列函数中，最小正周期为π2的是 A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝tan(2x －π3) C ．y ＝cos(2x ＋π6)D ．y ＝tan(4x ＋π6)【答案】B【解析】函数y ＝tan(2x －π3)的最小正周期T ＝π2，故选B ．【例2】求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.【解析】由π33x -ππ2k ≠+得π5π318k x ≠+(k ∈Z )， 所以所求函数的定义域为π5π{|,318k x x x ∈≠+R 且，k ∈Z }； 值域为R ；函数πtan(3)3y x =-的定义域不关于原点对称，因此该函数既不是奇函数又不是偶函数；正切函数tan y x =在区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 上为增函数， 因此令πππ323k x -+<-ππ2k <+，解得ππ183k x -+<5ππ183k <+()k ∈Z , 即函数πtan(3)3y x =-的单调递增区间为ππ5ππ(,)()183183k k k -++∈Z .【易错启示】正切函数是奇函数，但是函数()tan y x ωϕ=+一般不具有奇偶性， 需要先求出定义域，再进行判断.【名师点睛】（1）正切函数tan y x =的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方.（2）求函数(n )ta y A x ωϕ=+的单调区间时，将x ωϕ+视为整体，代入函数tan y x =的单调区间即可，注意,A ω的符号对单调区间的影响. 2．正切函数的性质的应用（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小.（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化. 【例3】比较下列各组数的大小： （1）13πtan4与17πtan 5； （2）tan1,tan 2,tan 3,tan 4.【名师点睛】（1）比较三角函数值的大小，主要利用函数单调性及单位圆，有时可以利用引进中间量等方法．（2）有关正切函数值大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理． 【例4】求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．【解析】由x ∈[π4，π3]，得tan x ∈[1，3]，令tan x ＝t ，则t ∈[1，3]．∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1＝－(t －5)2＋24. 由于1≤t ≤3， ∴8≤y ≤103－4，故函数的值域是[8,103－4]．【名师点睛】利用换元法求解问题时，往往容易忽视元的范围的变化，导致错解.如该题，如果不注意元的取值范围的限制，直接求解二次函数的值域，显然就会扩大所求函数的值域而得到错解. 3．正切函数的图象及其应用 （1）tan y x =的周期性：函数sin y x =及cos y x =的周期是其对应函数sin ,cos y x y x ==周期的一半，而函数tan y x =的图象是把tan y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，但其周期与tan y x =的周期相等，均为π. （2）解三角不等式的方法一般有两种：学-科网一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用. 【例5】作出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间． 【答案】B【解析】y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2k ∈Z －tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤k π－π2，k πk ∈Z ，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |的最小正周期T ＝π，单调增区间的⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． 【名师点睛】要作出函数y ＝|tan x |的图象，可先作出y ＝tan x 的图象，然后将其在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x 轴对称的图象)，就可得到y ＝|tan x |的图象． 【例6】求下列函数的定义域： （1）函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )；（2）函数y ＝tan(sin x )．（2）∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴函数y ＝tan(sin x )总有意义， 故函数y ＝tan(sin x )的定义域为R . 4．正确利用函数性质求解【例7】若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是________． 【错解】因为函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π，其中x ＝π3.所以θ＝k π－2π3，k ∈Z .由于－π2<θ<π2，∴k ＝1时，θ＝π－2π3＝π3.【错因分析】错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k π，0)(其中k ∈Z )，但由正切函数的图象发现：点(k π＋π2，0)(其中k ∈Z )也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(k π2，0)(其中k ∈Z )． 【答案】－π6或π3.【正解】易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z .因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3.1．函数y =tan x 在其定义域上的奇偶性是 A ．奇函数 B ．偶函数C ．既奇且偶的函数D ．非奇非偶的函数2．函数y =tan （π2–x ）（ππ044x x ⎡⎤∈-≠⎢⎥⎣⎦，且）的值域为 A ．[–1，1] B ．[–1，+∞）C ．（–∞，1）D ．（–∞，–1]∪[1，+∞）3．函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是A ．πππ3π2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，B ．π3πππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，C ．ππππ2424k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，D ．π5πππ44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，，4．函数t =tan （3x +π3）的图象的对称中心不可能是 A ．（–π9，0） B ．（π18，0）C ．π018⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．5π018⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5．函数πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为A ．()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，B ．（k π，k π+π）（k ∈Z ）C ．()3ππππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，D ．()π3πππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，6．下列关于函数y =tan （x +π3）的说法正确的是 A ．在区间（–π6，5π6）上单调递增 B ．最小正周期是π C ．图象关于点（π4，0）成中心对称 D ．图象关于直线x =π6成轴对称 7．函数f （x ）=tan x 在ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为___________．8．已知ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且1+tan α≥0，则角α的取值范围是___________．9．函数f （x ）=5tan （3x +π4）+2的最小正周期T =___________． 10．函数y =3tan （2x +π3）的最小正周期为___________． 11．观察正切曲线，满足条件tan x >1的x 的取值范围是___________． 12．求函数y =tan （π–23x ）的定义域、单调区间和对称中心．学-科网13．根据三角函数图象，写出满足下列条件的x 的取值范围．（1）－32<cos x <0；（2）3tan x －3≥0.14．下列各式中正确的是A ．tan47π>tan 37π B ．tan （–134π）<tan （–175π） C ．tan4>tan3D ．tan281°>tan665°15．直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离是A ．π2B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关16．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是17．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π1218．函数y =tan （sin x ）的值域为A ．[–π4，π4] B ．[–22，22]C ．[–tan1，tan1]D ．以上均不对19．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．20．设函数()πtan 23x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求函数f （x ）的定义域和最小正周期； （2）求f （x ）的单调增区间； （3）求不等式–1≤f （x ）≤3的解集．21．求函数y =tan （3x –π3）的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．22．若函数f (x )＝tan 2x －a tan x (|x |≤π4)的最小值为－6，求实数a 的值．23．已知函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝. （1）求f (x )的最小正周期和单调递减区间； （2）试比较()πf 与3π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小．1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 ADACDBCBAAC1．【答案】A【解析】正切函数y =tan x 的定义域是（–π2+k π，π2+k π）k ∈Z ，定义域关于原点对称，且对于定义域内的任意x ，满足f （–x ）=tan （–x ）=–tan x =–f （x ），所以函数y =tan x 在其定义域上是奇函数．故选A ．3．【答案】A【解析】πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=–tan （2x –π4），要使原函数有意义，则ππππ2π242k x k -+<-<+，解得ππ3ππ8282k k x -+<<+，k ∈Z ，∴函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是πππ3π2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，，故选A ． 4．【答案】C【解析】因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是（π2k ，0），k ∈Z ．令3x +ππ32k =，解得x =ππ–69k ，k ∈Z ；所以函数y =tan （3x +π3）的图象的对称中心为（ππ–69k ，0），k ∈Z ；当k =0、1、–1时，得ππ–69k =–π9、π18、–5π18，所以A 、B 、D 选项是函数图象的对称中心．故选C ． 5．【答案】D【解析】对于函数πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令k π–π2<x –π4<k π+π2，求得k π–π4<x <k π+3π4，可得函数的增区间为（k π–π4，k π+3π4），故选D ．7．【答案】3-【解析】由于函数f （x ）=tan x 在（–π2，π2）上单调递增，故函数f （x ）=tan x 在ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故当x =–π3时，函数f （x ）取得最小值为–3，故答案为：3-． 8．【答案】[3π4，π） 【解析】1+tan α≥0，∴tan α≥–1，解得–π4+k π≤α<π2+k π，k ∈Z ．又α∈（π2，π），∴3π4≤α<π，即α的取值范围是[3π4，π）．故答案为：[3π4，π）． 9．【答案】π3【解析】根据正切函数的图象与性质得：函数f （x ）=5tan （3x +π4）+2的最小正周期为：T =ππ3ω=．故答案为：π3． 10．【答案】2π【解析】函数y =3tan （2x +π3）的最小正周期为：T =ππ12ω==2π．故答案为：2π． 11．【答案】（ππ4k +，ππ2k +），k ∈Z 【解析】观察正切曲线：当tan x =1时，x =ππ4k +，k ∈Z ，由tan x >1，可得ππππ42k x k +<<+．故答案为：（ππ4k +，ππ2k +），k ∈Z ．12．【解析】对于函数y =tan （π–23x ）， 令12x –π3≠k π+π2，k ∈Z ， 解得x ≠2k π+5π3，k ∈Z ，故函数y 的定义域为{x |x ≠2k π+5π3，k ∈Z }． 令k π–ππ–223x <<k π+π2，k ∈Z ， 解得2k π–π3<x <2k π+5π3，k ∈Z ， 故函数y 的单调增区间为（2k π–π3，2k π+5π3），k ∈Z ；无单调减区间． 令ππ–232x k =，k ∈Z ， 求得x =k π+2π3，k ∈Z ， 故函数y 图象的对称中心为（k π+2π3，0），k ∈Z ． 13．【解析】（1）如图所示．由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为(2k π＋π2，2k π＋5π6)∪(2k π＋7π6，2k π＋3π2)，k ∈Z .（2）如图所示．由3tan x －3≥0，得tan x ≥33. 由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为[π6＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .14．【答案】C【解析】函数y =tan x 在（–π2，π2）上单调递增．A ，tan 47π=tan （–37π），∴tan 47π<tan 37π，故A 错误．B ，tan （–134π）=tan （–π4），tan （–175π）=tan （–2π5），则tan （–134π）>tan （–175π），故B 错误．C ，tan4=tan （4–π），tan3=tan （3–π），则tan （4–π）>tan （3–π），即tan4>tan3，故C 正确．D ，tan281°=tan （–79°），tan665°=tan （–55°），则tan281°<tan665°，故D 错误，故选C ． 15．【答案】B【解析】直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离正好等于y =tan x 的一个周期，即直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离为π，故选B ．学-科网 16．【答案】A【解析】∵函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3的最小正周期为2π，因此可排除B 、D ，选项C 中，当x ＝π3时，y ≠0，因此排除C ，故选A ． 17．【答案】A【解析】解法一：验证：当φ＝－π6时，2x ＋φ＝2×π12－π6＝π6－π6＝0，∴tan(2x ＋φ)＝0，满足题意，故φ可以是－π6.解法二：由题意，得2×π12＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，令k ＝0时，φ＝－π6，故φ可以是－π6.18．【答案】C【解析】∵–1≤sin x ≤1，且函数y =tan t 在t ∈[–1，1]上是单调增函数，∴tan （–1）≤tan t ≤tan1，即–tan1≤tan （sin x ）≤tan1，∴函数y =tan （sin x ）的值域为[–tan1，tan1]．故选C ． 19．【解析】由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.故函数f (x )的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )．又f (－x )＋f (x )＝tan()1lg tan()1x x -+--＋lg tan x ＋1tan x －1＝tan 1tan 1lg()tan 1tan 1x x x x -+⋅+-＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．（3）由题意，k π–π4≤π23x -≤k π+π3， 可得不等式–1≤f （x ）≤3的解集π4π{|2π2π}63x k x k k +≤≤+∈Z ，． 21．【解析】由ππ3π32x k -≠+，解得π5π318k x ≠+，k ∈Z ； ∴所求的定义域为π5π{|}318k x x x k ∈≠+∈R Z ，且，； 函数的值域为R ， 周期为T =ππ3ω=， f （x ）的定义域不关于原点对称，∴f （x ）是非奇非偶的函数； 令–π2+k π<3x –ππ32<+k π，k ∈Z ， 解得–π18+π3k <x <5π18+π3k ，k ∈Z ， ∴函数y 在区间()πππ5π318318k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，上是增函数．③若a2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝1－a ＝－6， ∴a ＝7，综上所述，a ＝－7或7. 23．【解析】（1）∵()ππ3tan()3tan()6446x x f x =-=--， ∴函数的最小正周期为4πT =． 由πππππ,2462x k k k -<-<+∈Z ，得4π8π4π4π,33k x k k -<<+∈Z ， ∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调增区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调减区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，（2）()πππππ3tan 3tan 3tan 641212f ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππ3π5π5π3tan 3tan 3tan 2682424f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵π5ππ012242<<<， ∴π5πtan tan1224<，∴π5π3tan3tan 1224->-，即()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【思路分析】（1）将函数化为()π3tan()46x f x =--，然后根据正切函数的周期和单调性求解． （2）由题意可得()π3π5ππ3tan,3tan 12224f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，根据函数tan y x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性可得π5πtantan 1224<，从而可得()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【名师点睛】解决函数()tan()f x A x ωϕ=+有关问题的思路：（1）采用整体代换的解题方法，即把x ωϕ+看作一个整体，然后根据正切函数的有关性质求解． （2）解题时要注意参数,A ω的符号对解题结果的影响，特别是解决与单调性有关的问题时一定要注意．。
1.4.3 正切函数的性质与图象
2
k , k Z
y A tan( x )
2.奇偶性
tan( x) tan x, x
T
2
k , k Z
正切函数是奇函数
练习：求下列函数的最小正周期： 1 π (1)y＝tan(－ x)；(2)y＝tan(2x＋ )． 2 12
T 2 1 2
[规律方法] 对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ为 非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正 切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和 换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式 将x的系数化为正数，再进行求解．
例 4 利用正切函数的单调性比较下列两个 函数值的大小： 6 13 (1)tan－5π与 tan－ 7 π； (2)tan 2 与 tan 9.
T
2
利用正切线画出函数在 , 的图象 2 2
y
O1
3 4 6 2
O 6
4 3 2
x
图
y
象
3 2
2
2
3 2
x
特征
三点两 线
2
由直线 x 1.有无穷多支曲线组成，
k , k Z隔开
2.在每个分支里是单调递增的 3.有渐近线 x
无减区间 在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说
正切函数在整个定义域上单调递增？
例 1 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的 定义域．
变式训练 求下列函数的定义域： 1 (1)y＝ ；(2)y＝lg( 3－tan x)． 1＋tan x
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1.4.3正切函数的性质与图象
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。
教学过程：
一、复习引入：
问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数的图象． 二、讲解新课：
1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠
z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？ ()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫
+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭
且，
∴π是tan ,,2y x x R x k k z π
π⎛
⎫
=∈≠+
∈ ⎪⎝
⎭
且的一个周期。
π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛-2,2ππ的图象
说明： （1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”。
（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2
x k k Z π=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠
z k k x x ,2|ππ
； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2
π
π，2
π+π−→−k x 时，tan x −−
→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→−
2
时，-∞−→−
x tan 。
（3）周期性：π=T ；
（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。
5.讲解范例：
例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-
413tan π与⎪⎭
⎫
⎝⎛-517tan π的大小解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
π 4π，52tan 5
17tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
，⎪⎭
⎫
⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单
调递增， ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ
517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan
4tan
即 例2：求下列函数的周期： （1）3tan 5y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
答：T π=。
（2）tan 36y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
答：3
T π
=。
说明：函数()()
tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω
=
．
例3：求函数⎪⎭⎫
⎝
⎛
-
=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性， 解：1、由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ，所求定义域为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+≠
∈z k k x R x x ,1853,|ππ且 y
2、值域为R ，周期3
π
=
T ，
3、在区间()z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。
思考1：你能判断它的奇偶性吗？ （是非奇非偶函数）， 练习1：求函数⎪⎭⎫
⎝⎛+=32
tan ππ
x y 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。
略解：定义域：⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
∈+
≠∈z k k x R x x ,4|π
π且 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在)4
,43(π
πππ+-
k k 上是增函数 思考2
：你能用图象求函数y =的定义域吗？
解：
由tan 0x ≥ 得
tan x ≥利用图象知，所求定义域为(),
k k k Z ππππ⎡
⎫++∈⎪⎢，
亦可利用单位圆求解。
四、小结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数x y tan =的定义域是},2
,|{Z k k x R x x ∈+
≠∈π
π，所以它的图象被
, (2)
3
,2ππ
±±
=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。