模糊地理实体不确定性综合描述研究(武大学报EI)

第35卷第1期2010年1月武汉大学学报・信息科学版G eomatics and Information Science of Wuhan University Vol.35No.1Jan.2010收稿日期:2009210229。

项目来源:国家科技支撑计划资助项目(2008BA K50B01);中国博士后科学基金资助项目(20080430586)。

文章编号:167128860(2010)0120046205文献标志码:A模糊地理实体不确定性综合描述研究郭继发1,2　崔伟宏2　刘　臻1,2　彭光雄2(1　中国科学院研究生院,北京市玉泉路甲19号,1000491)(2　中国科学院遥感应用研究所,北京市朝阳区大屯路9718信箱,100101)摘　要:从二型模糊的角度讨论了模糊地理实体的不确定性,基于空间数据的位置误差,利用模糊集的λ2截集和圆误差带模型推导了模糊地理实体隶属度的误差模型,并给出了隶属度不确定性的度量方法,提出了用隶属度误差立方体来综合描述模糊点的不确定性。

关键词:模糊地理实体;二型模糊集;圆误差带;隶属度误差立方体中图法分类号:P208 地理信息中大量的空间数据既包含位置误差、模型误差,同时还具有地理实体本身的模糊性。

在位置不确定性方面,一些研究人员综合考虑了矢量数据的模型误差和随机误差,建立了线元的综合不确定带[1,2];基于信息熵理论,研究了矢量数据的误差熵带,建立了不等同的误差熵带模型[325]。

但是,基于信息熵的不确定性模型仍然属于统计不确定性,因为误差熵是基于概率密度函数推导出来的。

这里的误差熵模型是一种基于统计理论的不确定性模型[6]。

对于综合量化随机不确定性和模糊不确定性,文献[6]提出了一种矢量数据不确定性的混合熵模型。

但是,目前概率熵和模糊熵的结合尚处于研究阶段,针对不同的应用,模糊熵、混合熵存在多种表达方式,因此,应用混合熵来度量空间数据的混合不确定性,首先需要寻找一种合适的度量空间数据混合熵的数学模型。

经典模糊集在实际运用中带有较大的主观性,而二型模糊集考虑了隶属度的误差,因此,运用二型模糊集理论来研究模糊点、线、面的数学模型更具实际意义[7]。

针对不同的研究和应用领域,目前已经提出了许多模糊熵函数,并扩展到模糊集的广义熵、直觉模糊集的模糊熵、Vague 集的模糊熵[8210],Deluca 等提出用总熵(total ent ropy ,混合熵)来描述其不确定性[11]。

同样也有许多描述混合熵的函数[12]。

误差熵不确定带模型的理论基础是信息熵及其最大熵原理。

最大熵原理包括峰值功率受限条件下信源的最大熵和平均功率受限条件下信源的最大熵原理,均有特殊的限制条件。

峰值功率受限条件下信源的最大熵是在∫bap (x )d x =1下信源的最大相对熵。

平均功率受限条件下信源的最大熵是在约束条件∫bap (x )d x =1和σ2=∫ba(x -m )2p (x )d x =K <∞(1)下求的信源差熵的极大值[13]。

误差熵由观测误差的熵确定,即由残余信息熵H (X/X n )决定:Δ=12e H (X/X n )(2)式中,X n 为随机变量;X n 为观测矢量,观测结果越精确,误差熵越小。

对于空间对象,Δ为不确定范围的度量。

但是,模糊熵是事物固有模糊性的一种度量,对于一个模糊对象A ,∑ni =1μA(x i)不一定等于1,即模糊熵和混合熵不存在上述限制条件;而误差熵是测量值在位置偏差的一种度量,通过熵半径来描述其范围。

它们分别属于模糊空间和随机空间的两种测度,因此,对于模糊性和随机性共存的地理实体不适合用式(2)描述其位置不确定性。

从数值的角度来看,由参数(a ,b,c )定义三角模糊　第35卷第1期郭继发等:模糊地理实体不确定性综合描述研究数的模糊熵为12(c -a ),由参数(a ,b,c ,d )定义的梯形模糊数的模糊熵为12(d -a )+(ln2-0.5)(c -b ),其值均为参数的线性分布,即当三角模糊数和梯形模糊数的模糊性线性递增时,其模糊熵线性递增,但式(2)不是一个线性函数,若用式(2)计算其误差熵,会与实际值不符。

因此,当地理实体的不确定性同时存在模糊性和随机性时,不能用误差熵带模型来度量其不确定性。

对于模糊数据,由于观测数据均不可避免地带有误差,于是可以将观测数据的误差转化为隶属度的误差。

但是经典模糊数学不能处理这种隶属度带有误差的模糊集,针对这一缺陷,Zadeh 针对数据的不确定性再次提出了模糊二型理论。

文献[14]给出了二型模糊集的定义和主隶属度不确定性的度量方法。

二型模糊集可分为二型一般模糊集合和二型区间模糊集,其中二型一般模糊集是指二型模糊集中次隶属成员函数为一般函数的模糊集;当次隶属函数是一型区间模糊集时称为二型区间模糊集[15]。

1　模糊点的模糊随机不确定性综合描述模型的建立 地理信息矢量数据不可避免地存在误差,同样模糊点在任意位置的隶属度也存在误差,在此考虑模糊点测量误差造成的隶属度误差。

设任意点P (x 0,y 0)的协方差阵为D P =σ2x Pσx P y P σ2y P x P σ2y P 。

模糊性方面,定义模糊点p (x 0,y 0)的隶属度为:μp (x 0,y 0)=C -(x -x 0)2+(y -y 0)2R,(x -x 0)2+(y -y 0)2≤R20,(x -x 0)2+(y -y 0)2>R 2(3)式中,C 为模糊点中心的隶属度;R 为模糊点的半径。

模糊集合与经典集合之间的转化关系通过模糊集合的截集实现,模糊截集可以知道某元素对模糊集合的明确归属。

通过取该模糊数的λ2截集,可以得到不同半径的同心圆,其半径为:R λ=R (C -λ),λ∈(0,C](4)1.1　圆曲线误差带圆有多种构造方法,在此设圆的参数方程为x =x O +R λcos (θ)y =y O +R λsin (θ),0≤θ<2π,同时假定半径没有长度误差。

在已知圆心和半径的情况下,以参数方程通过误差传播率得出不确定性方程,此时K =1001,根据协方差传播率D x =K ×D P ×KT可求得圆上任意点误差,D x 为圆上任意点的协方差阵,如图1(b )所示。

图1　圆不确定带模型Fig.1　Uncertainty Band Model of Circle圆曲线误差带的构造如图1(a )所示,图中P为圆形,椭圆为圆上T i 点的误差椭圆。

以误差椭圆上斜率与圆曲线上点斜率相等的点作为圆曲线误差带的内外包络带,以此作为圆曲线的“G 2带”模型。

以误差椭圆与圆曲线半径延长线的交点为圆曲线误差带的内外包络带,以此作为圆曲线的“G 2带”模型。

以误差椭圆与圆曲线半径延长线的交点为圆曲线误差带的内外包络带,以此作为圆曲线的“εσ2带”,在图1(a )中圆θi 方向上的半径延长线与点T i 上误差椭圆的交点t 1、t 2的集合构成圆曲线的“εσ2带”的包络带。

在此为了讨论方便,以“εσ2带”进行讨论。

1.2　模糊点不确定性的综合描述模型的建立取不同的λ∈(0,C],可以得到不同半径的同心圆,通过求不同半径的同心圆的误差带,可以得到点的不同截集的误差带簇。

过点P 隶属度为C 的位置作一任意竖直平面,如图2(a )所示,其剖面如图2(b )所示,可以看出在不考虑隶属度误差且C 取1时,为经典三角模糊集。

在顾及隶属度误差的情况下,图2(b )中填充区域为隶属度不确定性区域,三根竖线表示为1、2、3处的隶属度误差,对隶属度不确定区域的研究将在后文中展开。

2　模糊点不确定性的综合描述模型分析 由于点位误差的存在,造成平面各点对模糊74武汉大学学报・信息科学版2010年1月图2　模糊点的不确定性分析Fig.2　Uncertainty Analysis of Fuzzy Points点P的隶属度均存在误差,那么描述模糊点的隶属度从以经典模糊集转化为用二型模糊集来描述。

由§2可知,不同的同心圆在θ方向上的误差相同,如图2(b)所示,有:rθi =rθj=rθ(5)αθi =αθj=a tanCR(6)那么隶属度误差为:hθ=hθi =rθitan(aθi)=rθRC(7)式中,rθ表示模糊点在θ方向上的误差,r2θ=σ2xP・co s2(θ)+σxP y P sin(2θ)+σ2yPsin2(θ)。

于是可以导出模糊点在任意位置的次隶属度函数。

利用R、rθ、αθ、h i及其相互关系很容易推导出该二型模糊集的上边界、下边界、左右肩和左右底。

当Pθ-rθ≤P≤Pθ+rθ时隶属度为C,成为左、右肩。

当Pθ-R-rθ≤P≤Pθ-R+rθ、Pθ+R -rθ≤P≤Pθ+R+rθ时隶属度为0,称为左、右底。

该二型模糊集的上边界通过式(8)、式(9)确定,多边形的下边界通过式(10)、式(11)确定。

μL T(P)=CR(P-Pθ+rθ)+C,Pθ-R-rθ≤P≤Pθ-rθ(8)μRT(P)=-CR(P-Pθ-rθ)+C,Pθ+rθ≤P≤Pθ+R+rθ(9)μLB(P)=CR(P-Pθ+R-rθ),Pθ-R+rθ≤P≤Pθ(10)μRB(P)=-CR(P-Pθ-R+rθ),Pθ≤P≤Pθ+R-rθ(11) 2.1　模糊点隶属度误差的近似计算目前,对一般二型模糊集的求解是一个难点,尚未有一种公认的合理方法,对于一般二型模糊集的简化通常有以下两种方法[16]:①将一般二型模糊集简化为区间二型模糊集,然后对主隶属函数离散化;②将一般二型模糊集离散化,包括对主隶属函数和次隶属函数的离散化。

方向隶属度的误差可以采用第一种方法。

另外,对于点位误差可以采用误差圆代替误差椭圆亦可降低计算量来近似计算。

模糊点在θ方向上主隶属函数的不确定性即为图2(b)中的填充区域,那么考虑模糊点点位误差时θ方向上的隶属函数为:f(θ,P)=(μL T(θ))/2,Pθ-R-rθ≤P≤Pθ-R+rθ(μL T(θ)+μLB(θ))/2,Pθ-R+rθ≤P≤Pθ-rθ(C+μLB(θ))/2,Pθ-rθ≤P≤Pθ(C+μRB(θ))/2,Pθ≤P≤Pθ+rθ(μRT(θ)+μRB(θ))/2,Pθ+rθ≤P≤Pθ+R-rθ(μRT(θ))/2,Pθ+R-rθ≤P≤Pθ+R-rθ(12)各位置对模糊点的隶属度的不确定性为:U(θ,P)=μL T(θ),Pθ-R-rθ≤P≤Pθ-R+rθμL T(θ)-μLB(θ)=2hθ,Pθ-R+rθ≤P≤Pθ-rθC-μLB(θ),Pθ-rθ≤P≤PθC-μRB(θ),Pθ≤P≤Pθ+rθμRT(θ)-μRB(θ)=2hθ,Pθ+rθ≤P≤Pθ+R-rθμRT(θ),Pθ+R-rθ≤P≤Pθ+R-rθ(13)84　第35卷第1期郭继发等:模糊地理实体不确定性综合描述研究2.2　模糊点的隶属度误差度量方法对于当点位误差的误差椭圆为标准误差椭圆时,隶属度区间一般为[μθi -h θ,μθi +h θ]。