精锐教育学科教师辅导讲义 圆
加乘原理
精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 小五 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：王引授课类型 加法原理 乘法原理教学目标1.使学生掌握加法原理的基本内容；掌握加法原理的运用；培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则。
2. 使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系； 培养学生准确分解步骤的解题能力。
授课日期及时段教学内容【本讲知识点】1、加法原理概念：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理。
2、加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决。
我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。
分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法。
只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确。
运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数。
通俗地说，就是“整体等于局部之和”。
3、加法原理解题三部曲：①完成一件事分N 类；②每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）； ③类类相加。
一、专题精讲例1：从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？例2：甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：一共有多少种不同的订法？例3：一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．例4：袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有________种可能．例5：1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?例6：在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？例7：A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？例8：如图所示，沿线段从A 到B 有多少条最短路线？GFED C B A例9：如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？例10：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？二、专题过关检测题1：从1～8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？检测题2: 大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？检测题3：一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？检测题4：2007的数字和是2+0+0+7=9，问：大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?检测题5：一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？检测题6：如图1为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有条.ACBD 图1检测题7：1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法．三、学法提炼加法原理解题常用方法总结1.枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数。
第一讲讲义动点问题
A E B 图1 A E B
D F C B E
A
D F C B E
A P
D N F C
M D F C 图 4（备用）
图2 D F
M 图3
（第 25 题） A E B 图 5（备用）
7
C 中国领先的中小学教育品牌
方法回顾
通过这节课的学习，你有哪些收获和感悟？
8
）
3 6． 已知抛物线 y k ( x 1)( x ) 与 x 轴交于 A，B，与 y 轴交于点 C，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条 k
数是（ A. 2 ） B. 3 C. 4 D. 5
二、认真填一填（每个 5 分） 7．数据 1，1，1，3，4 的平均数是________；众数是________ 8．某企业向银行贷款 1000 万元，一年后归还银行 1065.6 多万元，则年利率高于______% 9．已知 a (a 3) 0 ，若 b 2 a ，则 b 的取值范围是________ 10．已知一个底面为菱形的直棱柱，高为 10cm，体积为 150cm3，则这个棱柱的下底面积为________cm2；若该棱柱、 侧面展开图的面积为 200cm2， 记底面菱形的顶点依次为 A， B， C， D， AE 是 BC 边上的高， 则 CE 的长为________cm 11、(单动点问题)如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF ∥ BC 交 CD 于点 F ． AB 4，BC 6 ，∠B 60 . （1）求点 E 到 BC 的距离； （2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M ，过 M 作 MN ∥ AB 交折线 ADC 于点 N ， 连结 PN ，设 EP x . ①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2） ， △PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出 △PMN 的周长；若改变，请说 明理由； ②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3） ，是否存在点 P ，使 △PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由. N P
数学-初三-圆的相关概念与垂径定理
数学-初三-圆的相关概念与垂径定理精锐教育1对1辅导讲义学员姓名： 学科教师： 年级： 辅导科目：主题：圆基本概念与垂径定理授课时间：学习目标1、掌握圆的相关基本概念2、运用垂径定理解决问题教学内容1、 圆是如何确定的？大小怎么判定？2、 圆中有哪些概念？3、 垂径定理如何应用？【知识梳理1】圆的确定定理 同圆或等圆中半径相等1.点与圆的位置关系圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
点P 与圆心的距离为d ，则点P 在直线外⇔r d >；点P 在直线上⇔r d =；点P 在直线内⇔r d <。
【例题精讲】例1.如图，圆O 的半径为15，O 到直线l 的距离OH =9，P 、Q 、R 为l 上的三点.PH =9，QH =12，RH =15，请分别说明点P 、Q 、R 与圆O 的位置关系.【试一试】1.矩形ABCD 中，AB ＝8，35BC =，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．(A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内； (C) 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P 内．2.如图所示，已知ABC ∆，90ACB ∠=，12AC =，13AB =，CD AB ⊥于点D ，以C 为圆心，5为半径作圆C （ ）A .点D 在圆内，B A 、在圆外 B .点D 在圆内，点B 在圆上，点A 在圆外C .点B 、D 在圆内，A 在圆外 D .点D 、B A 、都在圆外2.过三点的圆1.不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。
例2.如图，作出AB所在圆的圆心，并补全整个圆.【试一试】1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商定去的一块玻璃片应该是（）A.第①快B.第②快C.第③快D.第④快2.三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【知识梳理2】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角：顶点在圆心的角。
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精锐教育学科教师辅导讲义1、假如你是文中的那条鱼，你有什么想法？你为什么要逆流而上？【解析】鱼干的是一件不寻常的事情，那么，原因何在，可以从不寻常的角度去考虑，人为什么要做不寻常【核心思路】紧紧抓住关键词语，从大和小两个方向入手，大的方向，如人一生或一个阶段的舍得与选择，比如，你人生中有没有经验不足但勇于尝试的经历？不要去想大而空的，可以抓住细节去想，一件看似不起眼的事情往往有不一样的内涵，如第一次尝试着写日记去表达自己，这就有很不一样的内涵。
【核心思路】在关键词确定的情况下，学会怎样拓展、拓深这些词语。
【范文欣赏】我既不是运筹帷幄、经验丰富的老雕刻家，也不是那位英气勃发、勇气十足的小徒弟，我是那块有一道裂痕的钻石。
迪生的很多发明，和情感几乎没有关系，而手机却深刻的改变了这一点，这算不算一个突破口呢？【核心思路】要把看似普通的事物作深入挖掘，最好能往人的情感、精神方面总结。
【范文欣赏】爱迪生在天堂生活了多年，2013人物情感，比如，莫言对读者的感谢，能不能体现出某种谦和，或者谦卑，如果有，可不可以和错误结合起【核心思路】把普通材料往人物的心理、情感上引导，得出更好的更深刻的结论。
透过这张试卷看到阅卷老师铁青铁青的脸。
据媒体报道，近十年来房价涨幅为里？普通老百姓一个月的工资只购买样的表。
表哥还说，他在北京还有好几套房子。
于是，我的眼珠子都快要掉下来。
幸好，接下来又有了“房姐”，“房姐”用她的实际行动告诉“表哥”：你娃太嫩了！据媒体报道，房姐在北京有几十套房，有四个户口本。
户口本是真的，连身份证号码都有四个。
这次，我的眼珠子才真的掉下来了，摸了半天才镶回去。
对此，有关部门默不作声，无人承担责任，无人受此事牵连。
突然，我平衡了。
当富二代开着跑车拿着鲜花在校园里泡妞的时候，当跑车的轰鸣与强劲的尾气喷在我脸上的时候，我在想，我爹怎么就不是李刚？这种消极的思想在我身体里肆意蔓延，让我萎靡不振。
此时郭美美同学的事迹又及时点醒了我。
初三数学辅导讲义(13)圆(2-教师)
第13讲 与圆相关的位置关系点与圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d.直线与圆的位置关系设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d.数量关系 ④________⑤________⑥________圆的切线 三角形与圆 确定圆的条件不在○________直线的三个点确定一个圆. 角形○________的距离相等.1．判断一直线是否为圆的切线的方法：(1)连半径，证垂直；(2)作垂线，证半径．2．直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a ，b 是Rt △ABC 的两条直角边，c 为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R ＝c2；(2)直角三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c2.命题点1 点与圆、直线与圆的位置关系(2013·凉山)在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(－3，－1)，C(－3，1)，D(－2，－2)，E(0，－3)．(1)画出△ABC 的外接圆⊙P，并指出点D 与⊙P 的位置关系；(2)若直线l 经过点D(－2，－2)，E(0，－3)，判断直线l 与⊙P 的 位置关系．【解答】判断点与圆和直线与圆的位置关系，都是判断圆心与点或直线的距离与半径的大小关系．1．(2014·梧州)已知⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，则点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在⊙O 上B ．点A 在⊙O 内C ．点A 在⊙O 外D ．点A 与圆心O 重合2．已知⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则反映直线l 与⊙O 的位置关系的图形是( )(例2题图)3．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，直角边AC ＝6 cm ，以C 为圆心，3 cm 为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是________．命题点2 切线的性质与判定(2015·攀枝花)如图，在⊙O 中，AB 为直径，OC ⊥AB ，弦CD 与OB 交于点F ，在AB 的延长线上有点E ，且EF ＝ED.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若OF∶OB＝1∶3，⊙O 的半径r ＝3，求BDAD的值．【解答】证明一条直线是圆的切线常用的方法有：(1)若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先作出过此点的半径，再证其与直线垂直；(2)若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径．若已知切线，连接过切点的半径是常规的辅助线作法．1．(2015·南充)如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB 的大小是( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°(例2-1) (例2-2) (例2-3) (例2-4) 2．(2014·成都)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，连接AD.若∠A＝25°，则∠C＝________度．3．(2015·宜宾)如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ︵的中点，弦CF 交AB 于点E.若⊙O 的半径为2，则CF ＝________．4．(2015·宜宾)如图，CE 是⊙O 的直径，BD 切⊙O 于点D ，DE ∥BO ，CE 的延长线交BD 于点A.(1)求证：直线BC 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝2，tan∠DEO＝2，求AO 的长．1．(2015·河池)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：y ＝kx ＋43与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB ＝30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 的个数是( )A ．6B ．8C ．10D ．122．(2014·宜宾)已知⊙O 的半径r ＝3，设圆心O 到一条直线的距离为d ，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m ，给出下列命题：①若d ＞5，则m ＝0；②若d ＝5，则m ＝1；③若1＜d ＜5，则m ＝3；④若d ＝1，则m ＝2；⑤若d ＜1，则m ＝4.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．53．(2015·乐山)如图，已知直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA 、PB.则△PAB 面积的最大值是( )A ．8B ．12 C.212 D.1724．(2014·绵阳)如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，OQ ⊥BC 于点Q ，过点B 作半圆O 的切线，交OQ 的延长线于点P ，PA 交半圆O 于R ，则下列等式中正确的是( )A.AQ AP ＝AC AB B.AC OR ＝OQ AB C.AQ AB ＝BP BC D.AC AP ＝OR OP(练-4) (练-5) (练-6)5．(2015·绍兴)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为________．6．如图所示，已知点A 从点(1，0)出发，以每秒1个单位长度的速度沿着x 轴的正方向运动，经过t 秒后，以点O 、A 为顶点作菱形OABC ，使点B 、C 都在第一象限内，且∠AOC＝60°，若以点P(0，4)为圆心，PC 为半径的圆恰好与OA 所在的直线相切，则t ＝________．7．(2014·河南)如图，CD 是⊙O 的直径，且CD ＝2 cm ，点P 为CD 的延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线PA ，PB ，切点分别为点A ，B.(1)连接AC ，若∠APO＝30°，试证明△ACP 是等腰三角形； (2)填空：①当DP ＝________cm 时，四边形AOBD 是菱形； ②当DP ＝________cm 时，四边形AOBP 是正方形．8．如图，点B 在y 轴上，BA ∥x 轴，点A 的坐标为(5.5，4)，⊙A 的半径为2.现有点P 从点B 出发沿射线BA 运动．(1)当点P 在⊙A 上时，请直接写出它的坐标；(2)设点P 的横坐标为x ，连接OP ，试探究射线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由．参考答案考点解读考点1①d＜r ②d＝r ③d＞r考点2④d＞r ⑤d＝r ⑥d＜r考点3⑦唯一⑧半径⑨垂直于⑩一个○11半径○12半径○13切点○14两○15相等○16平分考点4○17同一○18外接圆○19外心○20三个顶点○21内切圆○22内心○23三边各个击破例1(1)所画的⊙P图略，由图知⊙P的半径为 5.连接PD.∵PD＝12＋22＝5，∴点D在⊙P上．(2)直线l与⊙P相切．理由：连接PE.∵直线l经过点D(－2，－2)，E(0，－3)，∴PE2＝12＋32＝10，PD2＝5，DE2＝5.∴PE2＝PD2＋DE2.∴△PDE是直角三角形，且∠PDE＝90°.∴PD⊥l.∴直线l与⊙P相切．题组训练 1.C 2.B 3.相切例2(1)证明：连接OD.∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF.∵∠EFD＝∠CFO，∠CFO＋∠FCO＝90°，∴∠EDF＋∠FCO＝90°.∵OC＝OD，∴∠FCO＝∠CDO.∴∠EDF＋∠CDO＝90°，即OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线．(2)∵∠BDE＋∠ODB＝90°，∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠BDE＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠EAD＝∠ADO.∴∠BDE＝∠EAD.又∵∠E＝∠E，∴△DBE∽△ADE.∴DEAE＝BEDE，即DE2＝AE·BE.∵OF∶OB＝1∶3，OB＝3，∴OF＝1，BF＝2.设BE＝x，则DE＝EF＝x＋2. ∴(x＋2)2＝x(x＋6)，解得x＝2.∴BE＝2，DE＝4.∴BDAD＝BEDE＝12.题组训练 1.C 2.40 3.2 34.(1)证明：连接OD.∵DE∥BO，∴∠ODE＝∠BOD，∠OED＝∠BOC.又∵∠ODE＝∠OED，∴∠BOD＝∠BOC.又∵BO＝BO，OD＝OC，∴△BOD≌△BOC.∴∠BCO＝∠BDO＝90°.∴直线BC是⊙O的切线．(2)连接CD，∵∠OCD＋∠OED＝90°，∠ODE＋∠ADE＝90°，∠OED＝∠ODE，∴∠OCD＝∠ADE.又∵∠EAD＝∠DAC，∴△EAD∽△DAC.∴EADA＝EDDC.又tan∠DEO＝DCDE＝ 2.∴2DA＝12，即AD＝2 2.设圆的半径为r，在Rt△AOD中，由勾股定理，得r2＋(22)2＝(r＋2)2.解得r＝1.∴AO＝AE＋EO＝2＋1＝3.整合集训能力提升16．A 17.C 18.C 19.A 20.3或73 21.43－1 22.(1)证明：连接OA.∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°.在Rt △AOP 中，∠AOP ＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°， ∵OA ＝OC ，∴∠ACP ＝∠OAC＝30°. ∴∠ACP ＝∠APO，∴AC ＝AP ，即△ACP 是等腰三角形． (2)①1提示：①要使四边形AOBD 是菱形，则OA ＝AD ＝OD ， ∴∠AOP ＝60°.∴OP ＝2OA ，DP ＝OD ＝12CD ＝1.②2－1②要使四边形AOBP 是正方形，则必须∠AOP＝45°，OA ＝PA ＝1，则OP ＝2， ∴DP ＝OP －1＝2－1.23.(1)点P 的坐标为(3.5，4)或(7.5，4)．(2)过点O 作圆A 的切线OM ，切点为M ，连接AM ，则AM⊥OM，由题意可知：OM 与BA 的交点为P ，BP ＝x ，当点P 在点A 的左侧时，x ＜5.5，点A 的坐标为(5.5，4)，此时⊙A 过P 的切线为OM 1，M 1为切点，图略．AP 1＝5.5－x ，OB ＝4，⊙A 的半径为2，∴AM 1＝2，BA ∥x 轴， ∴∠OBP 1＝90°.∴∠AM 1P 1＝∠OBP 1，∠AP 1M 1＝∠OP 1B. ∴△OBP 1∽△AM 1P 1. ∴OP 1AP 1＝OB AM 1. ∴OP 15.5－x ＝42，即OP 1＝11－2x.在Rt △OBP 1中，(11－2x)2＝42＋x 2，解得x ＝3或x ＝353(舍去)； 当点P 在点A 的右侧时，x ＞5.5，同理可解得x ＝3(舍去)或x ＝353.∴当x ＝3或353时，直线OP 与⊙A 相切；当0＜x ＜3或x ＞353时，直线OP 与⊙A 相离；当3＜x ＜353时，直线OP 与⊙A 相交．。
专题38 动态几何问题
2
3 9 ，S 有最大值，S1＝ ； 2 4 12 ②在 2＜ t ≤3 时，当 t ＝3，S 有最大值，S2＝ ； 5 9 15 ③在 3＜ t ≤4.5 时，当 t ＝ ，S 有最大值，S3＝ ； 2 4
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【点拨】本题重点考查在整个运动过程中，两圆有几次相切的情况．分析好运动过程，就能迎刃而解． 【解答】两圆相切可分为如下四种情况： (1)当两圆第一次外切时，由题意可得 11－2t＝1＋1＋t，t＝3； (2)当两圆第一次内切时，由题意可得 11 11－2t＝1＋t－1，t＝ ； 3 (3)当两圆第二次内切时，由题意可得 2t－11＝1＋t－1，t＝11； (4)当两圆第二次外切时，由题意可得 2t－11＝1＋t＋1，t＝13. 11 所以当点 A 出发后 3 秒、 秒、11 秒、13 秒两圆相切． 3 机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”， 如图所示， “海宝”从圆心 O 出发， 先沿北偏西 67.4° 方向行走 13 米至点 A 处，再沿正南方向行走 14 米至点 B 处，最后沿正 东方向行走至点 C 处，点 B、C 都在⊙O 上．
1 1 PC · CQ ＝ (3 t ) 2t ＝ (3 t )t ＝ 2 ， 2 2
C
t1
＝
1
，
t2
＝
2
2
Q P A B
∴当时间 t 为 1 秒或 2 秒时， S△PCQ ＝ 2 厘米 ；
3 9 （2）①当 0＜ t ≤2 时，S＝ t 3t ＝ t ； 2 4
向沿△ABC 的边运动．当点 Q 运动到点 A 时，P、Q 两点运动即停止．点 P、Q 的运动速度分别为 1 厘米/秒、2 厘米/ 秒，设点 P 运动时间为 t （秒） ． （1）当时间 t 为何值时，以 P、C、Q 三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于 2 厘米 2； （2）当点 P、Q 运动时，阴影部分的形状随之变化．设 PQ 与△ABC 围成阴影部分面积为 S（厘米 2） ，求出 S 与时 间 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围； （3）点 P、Q 在运动的过程中，阴影部分面积 S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 解： （ 1 ） S△PCQ ＝ 解 得
九年级圆全章辅导讲义
九年级圆全章辅导讲义学生：科目：第单元第节第课时教师：ABCD=12×15×12×12 =45cm 2知识概括、方法总结与易错点分析 1、点与圆的位置关系 2、直线与圆的位置关系 3、圆与圆的位置关系 4、内心 外心的理解针对性练习 一、 选择题1、如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【 】A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切3．若1O 的半径为3cm ，2O 的半径为4cm ，且圆心距121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．内切 C ．相交 D ．内含4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ． 相交B ． 相切C ． 相离D ． 无法确定5．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点． 则B 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-5954, D ．()31,-7. 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则ΔADE 和直角梯形EBCD 周长之比为( )A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:78．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．43B ．34 C ．45D ．359．如图1，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4 B ．8C ．43D ．8310．如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=，P ∠的度数为（ ）A ．35B ．45C ．60D ．70（第8题） x yO1 1BAPB AO第9第10题图ABCO P（第11题A B C EFD O11、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为 （ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．2212．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙1O 的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（ ） A ．5cm B ．13cm C ．9 cm 或13cm D ．5cm 或13cm 二、 填空题1．如图，已知O 是ABC △的内切圆，且50BAC ∠=°，则BOC ∠为 度．2．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．3．如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是 ．4．如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A B ，间距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm ，16cm ，则此两车轮的圆心相距 cm ．5. 如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离．．和 ． 6．如图，从O 外一点P 引O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点（点C 与A B ，两点不重合），过点C 作O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长是 ． 7．如图，AB 是O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=，过M 点的O 的切线交AB延长线于点N ．若12cm ON =，则O 的半径为 cm ．8.分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________. 三、 解答题1．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ，求证：PC 是⊙O 的切线．BCA O （第1题）1o 2o 3o 4oCB D A 第（2）题图① 第（2）题图② 1o 2o 3o4o5oA BCEDABC第3题图 （第4题图）A B OA DPE B C（第6题图）AOBNMABO C PMPA2.如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ． （1）求证：BC 是O 的切线；（2）若1210BD EC ==，，求AD 的长．3.如图，ABC △内接于O ，AB 为O 的直径，2BAC B ∠=∠，6AC =，过 点A 作O 的切线与OC 的延长线交于点P ，求PA 的长．4.如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）求证：DE 与O 相切；（2）若O 的半径为3，3DE =，求AE ．5.（08山东潍坊20题）如图，AC 是圆O 的直径，10AC =厘米，PA PB ，是圆O 的切线，A B ，为切点．过A 作AD BP ⊥，交BP 于D 点，连结AB BC ，．（1）求证ABC ADB △∽△；（2）若切线AP 的长为12厘米，求弦AB 的长．6.已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ．（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值．7、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm ，求铁环的半径.BCPO AB DCEAOA PDBCO CPBO A D8.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 边上且DE BE ⊥． （1）判断直线AC 与DBE △外接圆的位置关系，并说明理由； （2）若662AD AE ==，，求BC 的长．9、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）CE AE 31=．．10.如图10，AB 为O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为弧AF 的中点，连接AE ．求证：ABE OCB △≌△．11.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．12.如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，ADBOCE图ODBCF E ADCOABEC（第8题）BDAE连结AD 、BD ．（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）14.如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E ．(1) 试探究A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案： ①你选用的已知数是 ；②写出求解过程（结果用字母表示）．15、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长.巩固作业1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。
九年级圆全章辅导讲义
九年级圆全章辅导讲义学生：科目：第单元第节第课时教师：ABCD1、点与圆的位置关系2、直线与圆的位置关系3、圆与圆的位置关系4、心 外心的理解针对性练习 一、 选择题1、如图，是奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【 】A ．含B ．相交C ．相切D ．外离2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．切3．若1O 的半径为3cm ，2O 的半径为4cm ，且圆心距121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．切 C ．相交 D ．含4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ． 相交B ． 相切C ． 相离D ． 无法确定5．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-5954, D ．()31,- 7. 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则ΔADE 和直角梯形EBCD 周长之比为( )A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:78．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．43B ．34 C ．45D ．359．如图1，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4 B ．8C ．43D ．8310．如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=，P ∠的度数为（ ）A ．35B ．45C ．60D ．7011、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为 （ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．2212．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙1O 的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（ ） A ．5cm B ．13cm C ．9 cm 或13cmD ．5cm 或13cm二、 填空题（第8题）x yO 1 1BAPB AO第9第10题图ABCO P（第11题A B C EFD O1．如图，已知O 是ABC △的切圆，且50BAC ∠=°，则BOC ∠为 度．2．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．3．如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是 ．4．如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A B ，间距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm ，16cm ，则此两车轮的圆心相距 cm ．5. 如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离．．和 ． 6．如图，从O 外一点P 引O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点（点C 与A B ，两点不重合），过点C 作O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长是 ． 7．如图，AB 是O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=，过M 点的O 的切线交AB延长线于点N ．若12cm ON =，则O 的半径为 cm ．8.分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________. 三、 解答题1．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ，求证：PC 是⊙O 的切线．2.如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ． （1）求证：BC 是O 的切线；BCA O （第1题）1o 2o 3o 4o CB D A 第（2）题图① 第（2）题图② 1o 2o 3o 4o 5oA B C E D ABC第3题图（第4题图）A B OA DPE BC（第6题图）AOBNMABO C PMP的半径为3，DE潍坊20题）如图，AC⊥，交BPBP，120AB=外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若662AD AE ==，，求BC 的长．9、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）CE AE 31=．．10.如图10，AB 为O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为弧AF 的中点，连接AE ． 求证：ABE OCB △≌△．11.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．12.如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ．ADBOCE图ODBC F EADCOABEA（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）14.如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E ．(1) 试探究A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案： ①你选用的已知数是 ；②写出求解过程（结果用字母表示）．15、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长.巩固作业1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。
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精锐教育学科教师辅导讲义例2：已知：如图，CD 是⊙O 的弦，CE=FD ，半径OA ，OB 分别过E ，F 点． 求证：△OEF 是等腰三角形．证明：如图，连接OC 、OD ，∴OC=OD, ∴∠C=∠D, ∵CE=DF, ∴△OCE ≌△ODF, ∴OE=OF, ∴△OEF 是等腰三角形 练习：1. 要确定一个圆，需要知道_________和___________.2. 已知⊙O 的直径为4cm ，则⊙O 的面积为_________，周长为_________。
3. 如果的周长为10π，那么它的半径为_________4. 到定点Ｏ的距离等于２cm 的点的集合是以_________为圆心，_________为半径的圆．5. 在同圆中，如果B A=2D C ，那么弦AB 、CD 的关系为AB____2CD.6.一个圆的最长弦长为１０cm ，则此圆的半径是_________7.Ａ、Ｂ是半径为2的⊙O 上不同两点，则AB 的取值范围是_________ 8.如图：AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC ，求证：∠1=∠2。
9.如图：在矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，试说明点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，并画出这个圆。
10.已知：两个以O 为圆心的同心圆中，M ，N 是小圆上两点，大圆的弦AB ，CD 分别过点M ，N ，且OM ⊥AB ，ON ⊥CD （如图）．求证：AM=CN ． 2 0CBA 1 AC BOD考点二 、垂直于弦的直径例1：如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB•的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）A ．3：2B ．5：2C ．5：2D ．5：4 答案：C小学初中高中各科视频讲义 汇总小学初中高中 Word 汇总 同步培优竞赛 三轮复习 一些书籍Word 还可以订做你需要Word 联系我 468453607 微信t442546597例2：如图所示，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB ⊥CD 于M ，CD=15cm ，OM ：OC=3：5，求弦AB 的长．11．AB=12cm 练习： 1.判断题1) 1． 过圆心平分弦（直径除外）的直线必平分弦所对的两条弧 ．（ ） 2) 2． 平分弧的直径必平分弦 ．（ ） 3) 3． 平分弦的直线必垂直弦 ．（ ）4) 4． 在圆中,如果一条直线经过圆心,且平分弦,必平分此弦所对的弧 ．（ ） 5) 5． 分别过弦的三等分点作弦的垂线．将弦所对的两条弧分别三等分 ．（ ）。
2.下列命题中,不正确的是( )A ．垂直于弦的直径平分这条弦B ．平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦C ．弦的垂直平分线是圆的直径D ．平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦3.圆的半径等于4cm ，圆内的一条弦长为43cm ，则弦中点与弦所对弧中点的距离等于___________． 4． 在⊙O 中, 已知弦AB=m, 弧AB 的中点C 到AB 的距离CD=n, 则圆的半径r 为__________． 5． ⊙O 半径20cm, 弦AB ∥CD, AB 与CD 距离等于4cm, 若AB=24cm, 则CD 的长=__________． 6. 如图，DE 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD=•CE ， •则AC 与BC 的大小关系是 BACDOBACDOM7．如图，⊙O 在△ABC 三边上截得的弦长相等，∠A=70°， 则∠BOC=8.已知：如图，⊙O 的半径为25cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40cm ，CD=14cm ．则AB 和CD 间的距离为 ．9．⊙O 的直径是50cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40cm ，CD=48cm ，则AB•与CD•之间的距离为_______． 10．“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE=1，AB=10，求CD 的长．”根据题意可得CD 的长为________．11．如图，方格纸上一圆经过（2，6）、（-2，2）、（2，-2）、（6，2）四点，•则该圆圆心的坐标为（ ）A ．（2，-1）B ．（2，2）C ．（2，1）D ．（3，1）12.已知P 为⊙O 内一点，且OP=2cm ，如果⊙O 的半径是3cm ，那么过P 点的最短的弦等于（ ） A ．1cm B.2cm C.5cm D.25cm13．某机械传动装置在静止的状态时，如图所示，连杆PB 与点B•运动所形成的⊙O 交于点A ，测得PA=4cm ，AB=5cm ，⊙O 半径为4.5cm ，求点P 到圆心O 的距离．14.如图，CO 是圆的半径，AB 是弦，且AB ⊥CO 于E ，CE=1cm ，AB=10cm ，求半径CO 的长．B A P OBAC ED O16．已知：如图，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C 是AB 的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由．17．已知：如图24-1-28，P 为直径AB 上一点，EF 、CD 为过点P 的两条弦，且∠DPB=∠EPB ．求证：（1）CD=EF ；（2）CE DF ．18．已知：如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN 的中点，P•是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为多少？考点三 、弦、弧、圆心角例1：如图所示，在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC•的三边所得的弦长相等， •则∠BOC=（ ）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125° 答案：D例2：已知：如图，⊙O 中，M ，N 分别是两条不平行的弦AB 和CD 的中点，且AB=CD ．求证：∠AMN=∠CNM ． B CA OO 2BCADO 1P答案：提示：连接OM ，ON ，则OM ⊥AB ，ON ⊥CD ．所以∠OMA=∠ONC=90°．又AB=CD ，所以OM=ON ．由此得∠OMN=∠ONM ．所以∠AMN=∠CNM ．练习：1.如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D.AB 与2CD 的大小关系无法比较2．AD 是⊙O 的直径，AB 、AC 是它的两条弦，若AD 平分∠BAC ．那么①AB=•AC ，•②AB AC =，③BD CD =，④AD ⊥BC ，以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在半径为2的圆中，长为23的弦所对的圆心角的度数是( ).(A)60° (B)90° (C)120° (D)135° 4. 若⊙O 内一条弦把圆周分为3:1两段弧，若⊙O 的半径为R ，那么这条弦的长为（ ） (A)R (B)2R (C)2R (D) 3R 5、已知AB 、CD 是两个不同圆的弦，如AB=CD ，那么AB 与CD 的关系是（ ） A 、AB CD = B 、AB CD > C 、AB CD < D 、不能确定6、在⊙O 中，弦AB=3，圆心角∠AOB=120°，则⊙O 的半径为 .7、在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°，则弧所对的弦长是 .8、已知：如图，AB 为半⊙O 的直径，C 、D 、E 为半圆弧上的点，CD DE EA ==， ∠BOE=55°，则∠AOC 的度数为 .9．如图7所示，已知C 为AB 的中点，OA ⊥CD 于M ，CN ⊥OB 于N ，若OA=r ，•ON=•a ，•则CD=_______．10．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中B 点坐标为（4，4），• EODC BABCADO NM11. 已知：如图，两个以O 为圆心的同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D ．求证：AC=BD ．12.如图，在⊙O 中，AB=CD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， 求证：∠AEF=∠CFE.13.过⊙O 外一点P 作两条直线分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，PO 平分∠BPD ，求证：AB=CD.14.如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，弦AE ∥CD ，求证： BE=2AC.15.如图，AB 为⊙O 的直径，D 为 AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DE 交AC 于点F.(1)求证：AC=2DE ；(2)求证：AF=DF. ODCBAPD CF EO DC BA考点四、 圆周角例1：如图所示，∠A 是⊙O 的圆周角且∠A=40°，求∠OBC 的度数．解：因为∠A=12∠BOC ，又因为∠A=40°， 所以∠BOC=2∠A=80，在等腰△OBC 中，∠OBC=1801808022BOC ︒-∠︒-︒==50°例2：如图所示，在足球比赛场上，甲、•乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随 冲到B 点，从数学角度看，此时甲是自己射门好，•还是将球传给乙，让乙射门好？简述理由． 解：让乙射门，连NC ，则∠B=∠NCM>∠A ．练习：1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对圆心角的 。
半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°圆周角所对的弦是 。
2、如图1，已知A 、B 、C 在⊙O 上，∠COA ＝100°，则∠CBA ＝ 度.3、如图2，点A 、 B 、C 是⊙O 上的三点，若∠BOC =56°，则∠A ＝___________°4、一条弦将一个圆分成1：2两部分，则这条弦所对的圆周角为 .5.如图3，点D 在以AC 为直径的⊙O 上，如果∠BDC ＝20°，那么∠ACB ＝ ． A图1OCBA图2O DCBA图36、如图4，在⊙O 中，∠ACB ＝∠D ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长为_____ ____。
7、如图5，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40°,则∠DCF 等于（ ） A.80° B. 50° C. 40° D. 20°8、如图6，△ABC 内接于 ⊙O ，∠C = 45º, AB =4 ，则⊙O 的半径为（ ）A . 2B . 4C . 23D . 59.如图所示，AB 是直径，D 是圆上任意一点，C 不与A 、B 重合，连结BD ，并延长得到C ，使DC=DB ，连结AC ，判断 △ABC 形状并说明理由10.如图，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于E ，，求CD 的长。