2017届甘肃省张掖市民乐一中高三5月诊断考试理科数学试题及答案
【精品】2017年甘肃省张掖市高考数学一诊试卷及参考答案(理科)
2017年甘肃省张掖市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|y=}，则A ∩B等于（）A．[﹣2，2]B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{0，1，2，3}2．（5分）若复数是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣6 B．3 C．﹣3 D．63．（5分）实数x，y满足，则使得z=2y﹣3x取得最小值的最优解是（）A．（1，0） B．（0，﹣2）C．（0，0） D．（2，2）4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．5．（5分）某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=B．f（x）=（﹣＜x＜）C．f（x）=D．f（x）=x2ln（x2+1）6．（5分）下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”7．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B 两点的横坐标之和为，则|AB|=（）A．B．C．5 D．8．（5分）等差数列{a n}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（）A．1 B． C．D．9．（5分）若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π10．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，2]C．[，+∞） D．[2，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（）A．2468 B．3501 C．4032 D．573912．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3，若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（2+，+∞） C ．（2﹣，+∞）D ．（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知平面向量、满足||=||=1，⊥（﹣2），则|+|的值为 ．14．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使成立的概率为 ． 15．（5分）设f （x ）是（x 2+）6展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[，]上恒成立，则实数m 的取值范围是 ．16．（5分）定义在R 上的函数f （x ），对任意的实数x ，均有f （x +3）≤f （x ）+3，f （x +2）≥f （x ）+2且f （1）=2，则f （2015）的值为 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =﹣3S n +4，b n =﹣log 2a n +1． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式与数列{b n }的通项公式； （Ⅱ）令c n=+，其中n ∈N*，若数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ．18．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否95%的把握认为以45岁为界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持有差异；（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，右顶点为E，P为直线x=a上的任意一点，且（+）•=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点（点A在第一象限），动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB=∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．21．（12分）设函数f（x）=﹣alnx．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，试求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（5分）在直角坐标系xOy中，已知曲线（α为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线C3：ρ=2sinθ．（l）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；（2）设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜|x﹣1|的解集；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求+的最小值．2017年甘肃省张掖市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|y=}，则A ∩B等于（）A．[﹣2，2]B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{0，1，2，3}【解答】解：由B中y=，得到4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0，1，2}，故选：C．2．（5分）若复数是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣6 B．3 C．﹣3 D．6【解答】解：∵复数是虚数单位）==，∵这是一个纯虚数，∴a+3=0，3﹣a≠0，∴a=﹣3，故选C．3．（5分）实数x，y满足，则使得z=2y﹣3x取得最小值的最优解是（）A．（1，0） B．（0，﹣2）C．（0，0） D．（2，2）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2y﹣3x得y=x+，平移直线y=x+由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，0），则z=2y﹣3x取得最小值的最优解（1，0），故选：A．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理可得：b2﹣a2=，又∵c=2a，∴a2+c2﹣b2=4a2﹣=3a2，∴利用余弦定理可得：cosB===，∴由于0＜B＜π，解得：sinB===．故选：A．5．（5分）某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=B．f（x）=（﹣＜x＜）C．f（x）=D．f（x）=x2ln（x2+1）【解答】解：根据程序框图可知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点，经验证：f（x）=不存在零点；f（x）=不存在零点；f（x）=x2ln（x2+1）为偶函数，f（x）=的定义域为全体实数，且f（﹣x）=﹣f（x），故此函数为奇函数，且令f（x）==0，得x=0，函数f（x）存在零点，故选：C．6．（5分）下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．7．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B 两点的横坐标之和为，则|AB|=（）A．B．C．5 D．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，设A，B的横坐标分别为x A，x B，则x A+x B=．∴|AF|=x A+1，|BF|=x B+1．∴|AB|=|AF|+|BF|=x A+x B+2=．故选：D．8．（5分）等差数列{a n}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（）A．1 B． C．D．【解答】解：由题意可得：因为数列{a n}是等差数列，所以设数列{a n}的通项公式为：a n=a1+（n﹣1）d，则a2n=a1+（2n﹣1）d，所以．因为是一个与n无关的常数，所以a1﹣d=0或d=0，所以可能是1或．故选B．9．（5分）若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，且四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱AE与底面垂直，如图所示，根据四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC，根据直角三角形的勾股定理知AC==，∴R=，∴V=πR3=•=．故选：D．10．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，2]C．[，+∞） D．[2，+∞）【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离d=≤，即有2b≤c，∴4b2≤3c2，∴4（c2﹣a2）≤3c2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2故选：B．11．（5分）已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（）A．2468 B．3501 C．4032 D．5739【解答】解：∵函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A•+1=cos（2ωx+2φ）+1+（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+=3，可求：A=2．∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即：=4，∴解得：ω=．又∵f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得：cos（2φ）+1+1=2，∴cos2φ=0，2φ=，解得：φ=．∴函数的解析式为：f（x）=cos（x+）+2=﹣sin x+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=﹣（sin+sin+sin+…+sin）+2×2016=504×0+4032=4032．故选：C．12．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3，若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2+，+∞）C．（2﹣，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f[f（x）﹣log2x]=3，∴f（x）﹣log2x为大于0的常数，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t（t＞0），又由f（t）=3，即log2t+t=3，解得t=2；∴f（x）=log2x+2，f′（x）=，∴f（x）+f′（x）=log2x+2+=a，设g（x）=log2x+2+，则g′（x）=，∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，函数取得最小值2+，∵方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，∴a＞2+，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知平面向量、满足||=||=1，⊥（﹣2），则|+|的值为．【解答】解：∵||=||=1，且⊥（﹣2），∴•（﹣2）=﹣=0，∴，则|+|==．故答案为：．14．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使成立的概率为．【解答】解：由得≤sin（θ+）≤1，∵0≤θ≤π，∴当0≤θ≤，则“”发生的概率P=．故答案为．15．（5分）设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是[5，+∞）．【解答】解：由题意可得f（x）=•x6•=•x3．由f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，可得m≥x2在区间[，]上恒成立，由于x2在区间[，]上的最大值为5，故m≥5，即m的范围为[5，+∞），故答案为：[5，+∞）．16．（5分）定义在R上的函数f（x），对任意的实数x，均有f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2且f（1）=2，则f（2015）的值为2016．【解答】解：令x=﹣1，则f（2）≤f（﹣1）+3，f（1）=2≥f（﹣1）+2，得f（﹣1）≤0，令x=0，则f（3）≤f（0）+3，f（2）≥f（0）+2．令x=1，f（4）≤f（1）+3=5，f（3）≥f（1）+2=4，．令x=2，则f（4）≥f（2）+2，f（0）+4≤f（2）+2≤f（4）≤5，得f（0）≤1，4≤f（3）≤f（0）+3，得f（0）≥1．得f（0）=1，∴5≤f（2）+2≤5，得f（2）+2=5，f（2）=3．∴3≤f（﹣1）+3，f（﹣1）≥0，得f（﹣1）=0，∵f（x+6）=f（x）+6，∴f（2015）=f（﹣1+6×336）=f（﹣1）+6×336=0+2016=2016．故答案为：2016．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n=﹣3S n+4，b n=﹣log2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式与数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=+，其中n∈N*，若数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（I）a n=﹣3S n+4，n≥2时，a n﹣1=﹣3S n﹣1+4，相减可得：a n﹣a n﹣1=﹣3a n，可得a n=．n=1时，a1=﹣3a1+4，解得a1=1．∴数列{a n}为等比数列，首项为1，公比为．∴a n=．b n=﹣log2a n+1=﹣=2n．（2）c n=+=+=+，其中n∈N*，设数列{}的前n项和为A n=+…+，∴=+…++，∴=+…+﹣=﹣，∴A n=2﹣．设数列的前n项和为B n．则B n=++…+=1﹣=．∴数列{c n}的前n项和T n=2﹣+．18．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否95%的把握认为以45岁为界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持有差异；（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．．【解答】解：（1）由统计数据填2×2列联表如下，计算观测值，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休政策”的支持度有差异；（2）①抽到1人是45岁以下的概率，抽到1人是45岁以上的概率是，故所求的概率是P=×=；②根据题意，X的可能取值是0，1，2；计算P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，可得随机变量X的分布列为故数学期望为E（X）=0×+1×+2×=．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PD中点为M，连ME，MF．…1分∵E是PC的中点∴ME是△PCD的中位线，∴ME平行且等于．∵F是AB中点且ABCD是菱形，∴AB平行且等于CD，∴ME平行且等于．∴ME平行且等于FB∴四边形MEBF是平行四边形．从而BE∥MF．∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（Ⅱ）：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴DF⊥PA．连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．建立如图所示的坐标系，则P（0，0，1），C（，3，0），D（0，2，0），F（，，0）易知=（，﹣，0）是平面PAB的一个法向量．设平面PCD的一个法向量为由，可取，设平面PAB与平面PCD所成锐角为θ，则cosθ==故平面PAB与平面PCD所成的锐角为60°．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，右顶点为E，P为直线x=a上的任意一点，且（+）•=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点（点A在第一象限），动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB=∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．【解答】解：（I）F（c，0），E（a，0），设P（，y），则=（，﹣2y），=（c﹣a，0），∴（+）•=（c﹣）（c﹣a）=2，∵椭圆的离心率e=，∴a=2c，∴c=1，a=2，b==，∴椭圆C的方程为：=1．（II）直线AB的方程为x=1，代入椭圆方程得y=±．∴A（1，），设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题意可知△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∵∠MAB=∠NAB，∴k AM+k AN=0，∵k AM==，k AN==，∴+=2k+（k+m﹣）=2k﹣（k+m﹣）=0，∴（4k﹣2）m+4k2﹣8k+3=0恒成立，∴，解得k=．∴直线MN的斜率为定值．21．（12分）设函数f（x）=﹣alnx．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，试求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣lnx，f'（x）=x﹣，∵f'（1）=0，f（1）=，∴在点（1，f（1））处的切线方程y=；（Ⅱ）f'（x）=，当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）递增，函数无极值；当a＞0时，在（0，）时递减，在（，+∞）时递增，函数的极小值为f（）=0；（Ⅲ）f（x）=﹣alnx在区间（1，e2]内恰有两个零点，∴y=与y=在区间（1，e2]内恰有两个交点，令g（x）=，g'（x）=，g（x）在（0，e）递增，在（e，e2）上递减，∴g（e）=，g（e2）=，∴∈[，），∴a∈（，]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（5分）在直角坐标系xOy中，已知曲线（α为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线C3：ρ=2sinθ．（l）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；（2）设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．【解答】解：（l）曲线，消去参数α，得：y+x2=1，x∈[﹣1，1]，①∵曲线，∴ρcosθ+ρsinθ+1=0，∴曲线C2：x+y+1=0，②，联立①②，消去y可得：x2﹣x﹣2=0，解得x=﹣1或x=2（舍去），∴M（﹣1，0）．…（5分）（2）曲线C3：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，∴曲线C3：x2+（y﹣1）2=1，是以C（0，1）为圆心，半径r=1的圆设圆心C，点B到直线x+y+1=0的距离分别为d，d'，则：，，∴|AB|的最小值为．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜|x﹣1|的解集；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求+的最小值．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜|x﹣1|，即|2x﹣1|＜|x﹣1|，平方化简可得x（3x﹣2）＜0，求得0＜x＜，故不等式的解集为{x|0＜x＜}．（Ⅱ）函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）=|2x﹣1|+|2（x﹣1）﹣1|=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，当且仅当≤x≤时，取等号，故g（x）的最小值为a=2，∴m+n=2≥2（m＞0，n＞0），∴mn≤1，≥1，当且仅当m=n=1时，等号成立．∴+=m++n+=2+（+）=2+（+）=5++≥5+2，当且仅当=时，等号成立，故求+的最小值为5+2．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
甘肃省张掖市民乐一中高三理综(物理部分)5月诊断考试试题新人教版(1)
民乐一中2014年5月诊断考试理科综合试题本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
满分300分，考试时间150分钟。
以下数据可供解题时参考：第Ⅰ卷（选择题共126分）二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14．下列复合单位中与电压的单位“伏特”等效的是（A）焦耳/安培（B）特斯拉·米2/秒（C）瓦特/库仑（D）特斯拉·安培·米15．如图所示，将一个质量为m的球固定在弹性杆AB的上端，今用测力计沿水平方向缓慢拉球，使杆发生弯曲，在测力计的示数逐渐增大的过程中，AB杆对球的弹力方向为A．始终水平向左B．始终竖直向上C．斜向左上方，与竖直方向的夹角逐渐增大D．斜向左下方，与竖直方向的夹角逐渐增大16．质量为0．3kg的物体在水平面上做直线运动，其v-t图像如图所示，其中图线b表示物体受到水平拉力作用时的图像，图线a表示物体不受水平拉力时的图像，重力加速度g取 10m/s2，则下列说法正确的是A．物体与水平面间的动摩擦因数等于151B．物体与水平面间的动摩擦因数等于0.2C．水平拉力等于0.4ND．水平拉力等于0.6N17．如图甲所示，理想变压器原、副线圈的匝数比为3∶1，L1、L2、L3为三只规格均为“9V 6W”的相同灯泡，各电表均为理想交流电表，输入端接入如图乙所示的交变电压，则以下说法中正确的是A.电流表的示数为2AB.电压表的示数为272VC.副线圈两端接入耐压值为8V的电容器能正常工作D.变压器副线圈中交变电流的频率为100Hz1 221345v/m.s-1ab16题图15题图a··· · ·· dbc E+Q O e· f18．某同学阅读了“火星的现在、地球的未来”一文，摘录了以下资料： ①太阳几十亿年来一直不断地在通过发光、发热释放能量，质量在缓慢地减小。
2017年甘肃省张掖市肃南一中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
（1）求证：平面 ABD⊥平面 BCD； （2）求二面角 F﹣DG﹣C 的余弦值．
20． （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，F1、F2 分别为椭圆 C：
＝1（a
＞b＞0）的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 是椭圆 C 上的一点，满足 ，且△EF1F2 的周长为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 M 是线段 OF2 上的一点，过点 F2 且与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，若△MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形，求点 M 到直线 l 距离 的取值范围． 21． （12 分）设函数 f（x）＝aex（x+1） （其中 e＝2.71828…） ，g（x）＝x2+bx+2， 已知它们在 x＝0 处有相同的切线． （Ⅰ）求函数 f（x） ，g（x）的解析式； （Ⅱ）求函数 f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值； （Ⅲ）若对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数 k 的取值范围．
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．
请考生在第（22） 、 （23） （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分， 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑， 把答案填在 答题卡上．[选修 4-3 坐标系与参数方程] ，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ
18． （12 分）2015 年 9 月 3 日，抗战胜利 70 周年纪念活动在北京隆重举行，受 到全国人民的瞩目．纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚 会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这 三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如表所示：
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11． （5 分）如图，半圆的直径 AB＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A、B 的任 意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则 的最小值为（ ）
甘肃省张掖市民乐一中2017-2018学年高二上学期期末考试数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年甘肃省张掖市民乐一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有下列四个：①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆；②“面积相等的三角形全等”的否；③“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否；④“若A∩B=B，则A⊂B”的逆否．其中为真的是( )A．①②B．②③C．④D．①②③2．设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．向量=（﹣2，﹣3，1），=（2，0，4），=（﹣4，﹣6，2），下列结论正确的是( ) A．∥，⊥B．∥，⊥C．∥，⊥D．以上都不对4．已知p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则下列中为真的是( ) A．（￢p）∨qB．p∧qC．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）5．曲线y=sinx+e x在点（0，1）处的切线方程是( )A．x﹣3y+3=0B．x﹣2y+2=0C．2x﹣y+1=0D．3x﹣y+1=06．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是( )A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）7．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是( ) A．椭圆B．直线C．线段D．圆8．若方程+=1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）9．已知双曲线的左焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点相同，则此双曲线的离心率为( )A．6B．C．D．10．如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等( )A．B．C．D．11．已知函数y=（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y=f（x）的大致图象是( )A．B．C．D．12．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )A．B．1C．D．一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．“对任何x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是__________．14．已知抛物线x2=4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是__________．15．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为__________．16．若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．求下列函数的导数：（1）y=e1﹣2x+ln（3﹣x）；（2）y=ln．18．已知p：c2＜c，和q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．19．已知椭圆的两焦点为F1（﹣，0），F2（， 0），离心率e=．（Ⅰ）求此椭圆的方程．（Ⅱ）若直线y=+m与此椭圆交于M，N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；（Ⅱ）求直线AB与平面EBC所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．21．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞1时，x2+lnx＜x3．22．如图，点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点，经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q．（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．2014-2015学年甘肃省张掖市民乐一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有下列四个：①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆；②“面积相等的三角形全等”的否；③“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否；④“若A∩B=B，则A⊂B”的逆否．其中为真的是( )A．①②B．②③C．④D．①②③考点：四种．专题：简易逻辑．分析：根据四种之间的关系进行判断即可．解答：解：①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆是：①“若x，y互为倒数，则xy=1”是真，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否是：“面积不相等的三角形不全等”是真，故②正确；③若x2﹣2x+m=0有实数解，则△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，∴若m≤1⇔则x2﹣2x+m=0有实数解”是真，故“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否是：“若x2﹣2x+m=0没有有实数解，则m＞1”是真，故③正确；④若A∩B=B，则A⊇B，故原错误，∴若A∩B=B，则A⊂B”的逆否是错误，故④错误；故选：D．点评：本题考查了四种之间的关系，考查基础知识的积累，是一道基础题．2．设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆．分析：当x=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1=0上”，当点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不一定得到x=2且y=﹣1，得到x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的充分不必要条件．解答：解：∵x=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1=0上”，当“点P在直线l：x+y﹣1=0上”时，不一定得到x=2且y=﹣1，∴“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题．3．向量=（﹣2，﹣3，1），=（2，0，4），=（﹣4，﹣6，2），下列结论正确的是( ) A．∥，⊥B．∥，⊥C．∥，⊥D．以上都不对考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．分析：利用向量的共线和垂直的充要条件即可判断出．解答：解：∵，∴，又∵=﹣2×2+0+1×4=0，∴，故选C．点评：熟练掌握向量的共线和垂直的充要条件是解题的关键．4．已知p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则下列中为真的是( ) A．（￢p）∨qB．p∧qC．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）考点：复合的真假．分析：先判断p和q的真假，p为真，q为假，再由真值表对照答案逐一检验．解答：解：不难判断p为真，q为假，从而¬p为假，¬q为真，所以A、B、C均为假，故选D．点评：本题考查复合的真值判断，属基本题．5．曲线y=sinx+e x在点（0，1）处的切线方程是( )A．x﹣3y+3=0B．x﹣2y+2=0C．2x﹣y+1=0D．3x﹣y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求出函数的导函数，然后得到在x=0处的导数即为切线的斜率，最后根据点斜式可求得直线的切线方程．解答：解：∵y=sinx+e x，∴y′=e x+cosx，∴在x=0处的切线斜率k=f′（0）=1+1=2，∴y=sinx+e x在（0，1）处的切线方程为：y﹣1=2x，∴2x﹣y+1=0，故选C．点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，解此题的关键是要对函数能够正确求导，此题是一道基础题．6．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是( )A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：若求解函数f（x）的单调递增区间，利用导数研究函数的单调性的性质，对f（x）求导，令f′（x）＞0，解出x的取值区间，要考虑f（x）的定义域．解答：解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，求f（x）的单调递增区间，令f′（x）＞0，解得x＞2，故选D．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质，值得注意的是，要在定义域内求解单调区间．7．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是( ) A．椭圆B．直线C．线段D．圆考点：轨迹方程．专题：动点型．分析：可以画出线段F1F2，根据图形即可找到满足条件的点M的分布情况，从而得出M点的轨迹．解答：解：M一定在线段F1F2上，如果点M不在该线段上，如图所示：①若M不在直线F1F2上时，根据两边之和大于第三边知：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|=6；即这种情况不符合条件；②M在F1F2的延长线或其反向延长线上时，显然也不符合条件；∴只有M在线段F1F2上符合条件；∴M点的轨迹是线段．故选：C．点评：考查点的轨迹的概念，以及两边之和大于第三边定理，可画出图形，也可想象图形．8．若方程+=1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的标准方程，列出不等式2m（1﹣m）＜0，求出实数m的取值范围即可．解答：解：方程+=1表示双曲线，则2m（1﹣m）＜0，即m（m﹣1）＞0；解得m＜0或m＞1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．故选：D．点评：本题考查了双曲线的定义与标准方程的应用问题，是基础题目．9．已知双曲线的左焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点相同，则此双曲线的离心率为( )A．6B．C．D．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线的焦点坐标，从而可得双曲线的几何量，由此可求双曲线的离心率．解答：解：抛物线y2=﹣12x的焦点坐标为（﹣3，0）∵双曲线的左焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点相同，∴c=3，∴m+5=9∴m=4∴双曲线的离心率为．故选B．点评：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等( )A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：由已知中M、G分别是BC、CD的中点，根据三角形中位线定理及数乘向量的几何意义，我们可将原式化为++，然后根据向量加法的三角形法则，易得到答案．解答：解：∵M、G分别是BC、CD的中点，∴=，=∴=++=+=故选C点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关键．11．已知函数y=（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y=f（x）的大致图象是( )A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：先结合函数y=（x﹣1）f'（x）的图象得到当x＞1时，f'（x）＞0，根据函数的单调性与导数的关系可知单调性，从而得到y=f（x）在（1，+∞）上单调递增，从而得到正确选项．解答：解：结合图象可知当x＞1时，（x﹣1）f'（x）＞0即f'（x）＞0∴y=f（x）在（1，+∞）上单调递增故选B．点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了函数图象的性质，属于基础题．12．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )A．B．1C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，即可得到线段AB的中点到y轴的距离．解答：解：由于F是抛物线y2=x的焦点，则F（，0），准线方程x=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1++x2+=3，解得x1+x2=，∴线段AB的中点横坐标为．∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．“对任何x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是存在x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|≤3．考点：的否定．专题：阅读型．分析：全称的否定是特称，只须将全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并同时把“|x ﹣2|+|x﹣4|＞3”否定．解答：解：全称的否定是特称，∴“对任何x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是：存在x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|≤3．故填：存在x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|≤3．点评：本题主要考查了的否定，属于基础题之列．这类问题常见错误是，没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞“的否定改成了”＜“，而不是“≤”．14．已知抛物线x2=4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是﹣4或4．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据点P到焦点的距离为5利用抛物线的定义可推断出P到准线距离也为5．利用抛物线的方程求得准线方程，进而可求得P的坐标．解答：解：根据抛物线的定义可知P到焦点的距离为5，则其到准线距离也为5．又∵抛物线的准线为y=﹣1，∴P点的纵坐标为5﹣1=4．将y=4 代入抛物线方程得：4×4=x2，解得x=﹣4或4故答案为：﹣4或4．点评：活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．15．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．考点：点到直线的距离公式．专题：转化思想．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或 x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故答案为．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．16．若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是﹣2＜a＜2．考点：函数零点的判定定理．分析：先构造两个简单函数转化为二者交点的问题，从而可得答案．解答：解：设g（x）=x3，h（x）=3x﹣a∵f（x）=x3﹣3x+a有三个不同零点，即g（x）与h（x）有三个交点∵g'（x）=3x2，h'（x）=3当g（x）与h（x）相切时g'（x）=h'（x），3x2=3，得x=1，或x=﹣1当x=1时，g（x）=1，h（x）=3﹣a=1，得a=2当x=﹣1时，g（x）=﹣1，h（x）=﹣3﹣a=﹣1，得a=﹣2要使得g（x）与h（x）有三个交点，则﹣2＜a＜2故答案为：﹣2＜a＜2点评：本题主要考查函数零点的判定方法﹣﹣转化为两个简单函数的交点问题．属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．求下列函数的导数：（1）y=e1﹣2x+ln（3﹣x）；（2）y=ln．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据函数的导数公式进行求导即可．解答：解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=﹣2e1﹣2x+﹣﹣﹣﹣﹣（2）y=ln=ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则函数的f（x）的导数f′（x）=﹣﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础．18．已知p：c2＜c，和q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．考点：复合的真假．专题：不等式的解法及应用．分析：先化简两个，当p是真，且q是假时，求得实数c的取值范围；当p是假，且q是真时，求得实数c的取值范围．再把这两个实数c的取值范围取并集，即得所求．解答：解：由p为真，可得c2＜c，解得 0＜c＜1．由q为真，可得△=16c2﹣4＜0，解得﹣＜c＜．∵pⅤq为真，p∧q为假，故p和 q一个为真，另一个为假．若p是真，且q是假，可得≤c＜1．若p是假，且q是真，可得﹣＜c≤0．综上可得，所求的实数c的取值范围为．点评：本题主要考查复合的真假，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．19．已知椭圆的两焦点为F1（﹣，0），F2（，0），离心率e=．（Ⅰ）求此椭圆的方程．（Ⅱ）若直线y=+m与此椭圆交于M，N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得：，解出即可得出．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x，y）．可得，=1，两式相减并代入x1+x2=2x，y1+y2=2y，=，即可得出，由P在椭圆内部，可求得．解答：解：（Ⅰ）由题意可得：，解得c=，a=2，b=1．∴椭圆的方程为：．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x，y）．∴，=1．两式相减得+（y1+y2）（y1﹣y2）=0．又x1+x2=2x，y1+y2=2y，=，∴=0，化为x+2y=0．∵P在椭圆内部，可求得．∴线段MN的中点P的轨迹方程为x+2y=0，（）．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；（Ⅱ）求直线AB与平面EBC所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：综合题．分析：（Ⅰ）要证AM⊥平面EBC，关键是寻找线线垂直，利用四边形ACDE是正方形，可得AM⊥EC．利用平面ACDE⊥平面ABC，BC⊥AC，可得BC⊥平面EAC，从而有BC⊥AM．故可证（Ⅱ）要求直线AB与平面EBC所成的角，连接BM，根据AM⊥平面EBC，可知∠ABM是直线AB与平面EBC所成的角，故可求．（Ⅲ）先最初二面角A﹣EB﹣C的平面角．再在Rt△EAB中，利用AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH．由（Ⅱ）所设EA=AC=BC=2a可得，，∴．从而可求二面角A﹣EB﹣C的平面角．解答：解：（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，AM⊥EC．…∵平面ACDE⊥平面ABC，又∵BC⊥AC，∴BC⊥平面EAC．…∵AM⊂平面EAC，∴BC⊥AM．…∴AM⊥平面EBC．（Ⅱ）连接BM，∵AM⊥平面EBC，∴∠ABM是直线AB与平面EBC所成的角．…设EA=AC=BC=2a，则，，…∴，∴∠ABM=30°．即直线AB与平面EBC所成的角为30°．…（Ⅲ）过A作AH⊥EB于H，连接HM．…∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB．∴EB⊥平面AHM．∴∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角．…∵平面ACD E⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC．∴EA⊥AB．在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH．由（Ⅱ）所设EA=AC=BC=2a可得，，∴．…∴．∴∠AHM=60°．∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．…（14分）点评：本题以面面垂直为载体，考查线面垂直，考查线面角，面面角，关键是作、证、求．21．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞1时，x2+lnx＜x3．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，可得导数的正负，即可得到函数的单调区间；（2）构造函数g（x）=x3﹣x2﹣lnx，确定g（x）在（1，+∞）上为增函数，即可证得结论．解答：（1）解：依题意知函数的定义域为{x|x＞0}，∵f′（x）=x+，∴f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．（2）证明：设g（x）=x3﹣x2﹣lnx，∴g′（x）=2x2﹣x﹣，∵当x＞1时，g′（x）=＞0，∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∴g（x）＞g（1）=＞0，∴当x＞1时，x2+lnx＜x3．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数，确定函数的单调性是关键．22．如图，点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点，经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q．（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入，可求得P，根据点Q 的坐标是（4，4），PF1⊥QF2，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）利用PF1⊥QF2，求得，从而可求，又，求导函数，可得x=﹣c时，y′==，故可知直线PQ与椭圆C只有一个交点．解答：（Ⅰ）解：将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入得∴P∵点Q的坐标是（4，4），PF2⊥QF2∴∵∴a=2，c=1，b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）证明：设Q，∵PF2⊥QF2∴∴y2=2a∴∵P，∴∵，∴∴y′=∴当x=﹣c时，y′==∴直线PQ与椭圆C只有一个交点．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，综合性强．。
甘肃省高台县第一中学2017届高三上学期第五次检测数学(理)试题 含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，若()2,1ia bi ab R i+=+∈+,则()lg a b +的值是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．122．已知集合{}1M x x =＞，集合{}220N x xx =-＜，则MIN 等于（ ）A ．{}12x x ＜＜B ．{}01x x ＜＜C ．{}02x x ＜＜D ．{}2x x ＞3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为（ ）A ．64B ．73C ．512D ．5854．已知等比数列{}na 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078aaa a+=+（ ) A ．12 B ．12 C ．32+ D ．322-5．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)20,40,[)40,60[)60,80，[)80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60 6．已知11a =，12b =，且111a a b ⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则向量1a 与向量1b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π7．“0a ≤”是“函数()()1f x ax x =-在区间()0,+∞内单调递增”的（ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．2865+B ．60125+C ．565+D ．3065+9．将函数()3cos sin y x x x R +∈的图像向左平移()0m m ＞个单位长度后,所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．6πB ．12πC ．3πD ．56π10．已知()()()()10210012101111x a a x a x L a x +=+-+-++-，则8a 等于（ ）A ．5-B ．5C ．90D ．18011．设抛物线()2:30C y px p =＞的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()0,2,则C 的方程为（ ）A ．24yx=或28yx= B ．22yx=或28yx= C ．24yx=或216yx= D ．22yx=或216y x =12．已知函数()()2102x f x xe x =+-＜与()()2ln g x xx a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A．⎛-∞ ⎝B．(-∞ C．⎛ ⎝D．⎛ ⎝第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．定积分0=⎰．14．已知x ,y 满足约束条件1020x y x y y -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，求()()2211z x y =++-的最小值是 ．15若三棱锥P ABC -的最长的棱2PA =，且各面均为直角三角形,则此三棱锥的外接球的体积是 ． 16．已知数列{}na 满足11a=，()*12n n n aa n N +⋅=∈,则2016S=．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． （本小题满分12分）ABC∆中，角A ，B ,C 所对边分别是a ，b ，c ,且1cos 3A =．(1）求2coscos22B CA ++的值;(2)若a =ABC ∆面积的最大值．18． (本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表:（单位:人）（Ⅰ)能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空军能力与性别有关？(Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ． 附表及公式()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++19． （本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=︒，2PB BC CA ===，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且2PF FA =．(Ⅰ）求证：BE ⊥平面PAC ;(Ⅱ)求直线AB 与平面BEF 所成角的正弦值． 20． （本小题满分12分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞6以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2260x y +=相切．（Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ)已知点A ，B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ,使得2EAEA AB+⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值;若不存在,请说明理由． 21． （本小题满分12分） 已知函数()12ln x xe f x e x x-=+．(Ⅰ)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； (Ⅱ）证明：()1f x ＞．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．22． （本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲已知ABC ∆中，AB AC =，D 为ABC ∆外接原劣弧AC 上的点（不与点A 、C 重合）,延长BD 至E ，延长AD 交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23． （本小题满分10分）选修4—4：极坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为310110x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．（Ⅱ)若直线的极坐标方程为1sin cos θθρ-=,求直线被曲线C 截得的弦长．24．(本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲．已知函数()3f x x m =+-，0m ＞，()30f x -≥的解集为(][),22,-∞-⋃+∞． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若x R ∃∈,()232112f x x tt --++≥成立，求实数t 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:CABCB 6—10:BCDAD 11、12：CB 二、填空题13．4π 14．12 15．43π 16．100823-三、解答题 17．解:(1)()2221cos 1cos cos cos 22cos 12cos 12222B C B C AA A A ++++=+-=-+-1cos 3A =，()0,A π∈，22122sin 1cos 133A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭()max 1192232sin 22434ABC S bc A ∴==⋅⋅=18．解：（Ⅰ）由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯＞所以根据统计有97．5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关． （Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x 、y 分钟,则基本事件满足的区域为5768x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤(如图所示） 设事件A 为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x y ＞∴由几何概型()11112228P A ⨯⨯==⨯即乙比甲先解答完的概率为18(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C=种,其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有112612CC ⋅=种；两人都被抽到有221C =种X∴可能取值为0，1，2,()15028P X ==,()1231287P X ===, ()1228P X ==X的分布列为：()151211012E X ∴=⨯+⨯+⨯=．19．（1）证明：PB ⊥底面ABC ，且AC ⊂底面ABC ，AC PB ∴⊥由90BCA ∠=︒,可得AC CB ⊥又PB CB B ⋂=，AC ∴⊥平面PBC注意到BE ⊂平面PBC ,AC BE ∴⊥PB BC =,E 为PC 中点，BE PC ∴⊥ PC AC C ⋂=，BE ⊥平面PAC(2）如图,以B 为原点、BC 所在直线为x 轴、BP 为z 轴建立间直角坐标系．则()2,0,0C ，()2,2,0A ,()0,0,2P ，()1,0,1E1224,,3333BF BP PF BP PA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭设平面BEF 的法向量(),,m x y z =． 由0m BF ⋅=,0m BE ⋅=得2240333x y z ++=，即20x y z ++=0x z +=取1x =，则1y =,1z =-,()1,1,1m =-．()2,2,0AB =--,6cos ,3AB m AB m AB m⋅==⋅ 6sin 3α∴=，直线AB 与平面BEF 所成角的正弦值63．20．解答．（1)由63e =63c a =,即63c a =① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为222x y a +=且与直线2260x y +=相切，所以()22622a ==+-2c =，所以2222ba c =-=．所以椭圆C 的标准方程为22162x y += （2）由()221622x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()222213121260k x k x k +-+-=设()11,A x y 、()22,B x y ，所以21212132k x x k +=+，212212613k x x k -=+根据题意，假设x 轴上存在定点(),0E m ， 使得()2EAEA AB EA AB EA EA EB +⋅=+⋅=⋅为定值．则()()()()11221212,,EA EB x m y xm y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+()()()()()()22222221212231210612413m m k m k x x k m x x k m k -++-=+-++++=+要使上式为定值，即与k 无关，()223121036m m m -+=-，得73m =．此时，22569EA EA AB m +⋅=-=-,所以在x 轴上存在定点7,03E ⎛⎫⎪⎝⎭，使得2EA EA AB +⋅为定值，且定值为59-．21．解:(1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()11222ln x x x xe xe ef x e x x x---'=++ 由题意可得()12f =，()1f e =，故曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()12y e x =-+；(2）证明:由(1）知，()12ln xx f x e x e x -=+，从而()1f x ＞等价于2ln x x x xe e--＞设函数()ln g x x x =， 则()1ln g x x '=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '＜;当1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0g x '＞．故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,从而()g x 在()0,+∞上的最小值为11g e e⎛⎫=- ⎪⎝⎭设函数()2xh x xee-=-，则()()1x h x e x -'=-． 所以当()0,1x ∈时,()0h x '＞；当()1,x ∈+∞时,()0h x '＜．故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 从而()h x 在()0,+∞上的最大值为()11h e=-． 因为()()()min max11g x g h h x e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以当0x ＞时，()()g x h x ＞,即()1f x ＞．22．解：(1）证明：QA 、B 、C 、D 四点共圆 CDF ABC ∴∠=∠．AB AC =ABC ACB ∴∠=∠且ADB ACB ∠=∠,EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠，CDF EDF ∴∠=∠（2）由（1)得ADB ABF ∠=∠，又BAD FAB ∠=∠，所以BAD ∆与FAB ∆相似，AB AD AF AB ∴=2AB AD AF ∴=⋅， 又AB AC =,AB AC AD AF ∴⋅=⋅，AB AC AD AF DF ∴⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23．解:（1）曲线C的参数方程为31x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数） ∴曲线C 的普通方程为()()321210x y -+-=曲线C 表示以()3,1将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得:6cos 2sin ρθθ=+ 即曲线c 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+．(2）直线的直角坐标方程为1y x -=∴圆心C到直线的距离为2d =弦长为=． 24．解：(1）()3f x x m =+-，所以()30f x x m -=-≥， 0m ＞，x m ∴≥或x m -≤,又()30f x -≥的解集为(][),22,-∞-⋃+∞． 故2m =． （2）()232112f x x t t --++≥等价于不等式2332132x x t t +---++≥， ()4,3132132,3214,2x x g x x x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=+--=+-⎨⎪⎪-+⎪⎩≤＜＜≥, 故()max 1722g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有273322t t -++≥，即22310t t -+≥，解得12t ≤或1t ≥ 即实数的取值范围[)1,1,2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 4cm3 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。
甘肃省民乐县第一中学2018届高三上学期期中考试数学理试题 含答案 精品
民乐一中2017—2018学年第一学期高三年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集2,{20},{1}U R A x x x B x x ==-<=≥，则()U AC B =( )A ．(0,)+∞ B.(,1)-∞ C ．(,2)-∞ D ．（0,1） 2. 已知i 是虚数单位，则21ii=+( ) A ．1 B．．2 D3. 等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104.某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布2(100,5)N ，且(110)0.96P ξ<=， 则(90100)P ξ<<的值为A.0.49B.0.48C.0.47D.0.465.中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为 A ．3795000立方尺 B ．2024000立方尺 C. 632500立方尺 D ．1897500立方尺6.如果实数,x y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为（）A ．2B ．1C ．-2D ．-37.某程序框图所示，该程序运行后输出的x 值是（） A. 3 B.4 C.6 D.88．向量a ,b 均为非零向量，b a b a b a⊥-⊥-)2(,)2(，则a ,b 的夹角为A ．3π B ．2πC ．23πD ．56π9．某企业有4个分厂，现有新培训的6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（）A ．1080B ．480C ．1560D ．30010.在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角为（）A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π11.已知双曲线)0,0(1a 2222>>=-b a by x 右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF FB ⊥，设ABF θ∠=，且(,)124ππθ∈，则双曲线C 离心率的取值范围是A.]B.C.)∞D.(2,)+∞12.已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足①()40f =；②曲线()1y f x =+关于点()1,0-对称；③当()4,0x ∈-时()2log 1xxxf x e m e ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭，若()y f x =在[]4,4x ∈-上有5个零点，则实数m 的取值范围为（）A. )43,1e -⎡-⎣B. ){}423,1e e ⋃--⎡--⎣C. [){}20,1e ⋃-- D.[)0,1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省河西五市部分普通高中2017年高考数学一模试卷(解析版)(理科)
2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix45．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．75396．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．37．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m8．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．110．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1] C．[1，3] D．（﹣∞1]12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5一．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是．16．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．21．（12分）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，t≠0），l与C1交与点A，l与C2交与点B，且|AB|=，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】化简=，==，= =，进而得出．【解答】解：∵=，==，= =，而0＜＜2，∴a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix4【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，故选：A．【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．5．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587．故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】讨论当x＞0时，运用一次函数的单调性，可得f（x）的范围；当x≤0时，求出f （x）的导数，单调区间和极大值，也为最大值，即可得到所求最大值．【解答】解：当x＞0时，f（x）=1﹣2x递减，可得f（x）＜1；当x≤0时，f（x）=x3﹣3x，导数f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得x=﹣1处f（x）取得极大值，且为最大值﹣1+3=2．则f（x）的最大值为2．故选：B．【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，注意考虑各段的最值，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及判断比较能力，属于中档题．7．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【分析】设出AB=x，进而根据题意将BD、DC用x来表示，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即可得到电视塔的高度．【解答】解：由题题意，设AB=x，则BD=x，BC=x在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠DCB即：（x）2=（40）2+x2﹣2×40•x•cos120°整理得x2﹣20x﹣800=0，解之得x=40或x=﹣20（舍）即所求电视塔的高度为40米．故选B．【点评】本题给出实际应用问题，求电视塔的高度．着重考查了解三角形的实际应用的知识，考查了运用数学知识、建立数学模型解决实际问题的能力．8．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】简单线性规划的应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM ==≤=，当且仅当y 02=2p 2，取得等号．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积． 【解答】解：做出几何体的直观图如图所示：其中底面ABCD 是边长为2的正方形，AE ，DF 为底面的垂线， 且AE=2，DF=1，∴V=V E ﹣ABC +V C ﹣ADFE =+=．故选D ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，体积计算，属于中档题．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1] C．[1，3] D．（﹣∞1]【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）等价为2f（x3﹣x2+a）≥2f（1）即f（x3﹣x2+a）≥f（1）对x∈[0，1]恒成立，即﹣1≤x3﹣x2+a≤1对x∈[0，1]恒成立，即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a对x∈[0，1]恒成立，设g（x）=x3﹣x2，则g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），则g（x）在[0，）上递减，在（，1]上递增，∵g（0）=g（1）=0，g（）=﹣，∴g（x）∈[﹣，0]，即即，得﹣≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法结合导数法，构造函数求函数的最值是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】正弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．一．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是144cm．【考点】棱台的结构特征．【分析】设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似求出x=96 cm．推导出△BOB′为正三角形，由此能示出矩形铁皮长边的最小值．【解答】解：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似可得，解得x=96 cm．则=，解得α=60°，所以△BOB′为正三角形，则BB′=OB=96+48=144 cm．由下图可知，矩形铁皮长边的最小值为144 cm．故答案为：144cm．【点评】本题考查矩形铁皮长边的最小值的求法，是中档题，解题时要要认真审题，注意圆台的性质的合理运用．16．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有14个．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故答案为14【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【考点】数列的应用；集合的包含关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．18．（12分）（2017•甘肃一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•甘肃一模）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（Ⅱ）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017年对应的t值为10，代入可预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，∴r≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（Ⅱ）由≈1.331及（Ⅰ）得=≈0.103，=1.331﹣0.103×4=0.92．所以，y关于t的回归方程为：=0.92+0.10t．将2017年对应的t=10代入回归方程得：=0.92+0.10×10=1.92所以预测2017年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心．20．（12分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•甘肃一模）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性．（2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可．【解答】解：（1）∵f（x）=e﹣，∴f′（x）=﹣，∴g（x）=（x+1）（﹣），∴g′（x）=[（x+3）﹣1]，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．（2）由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F′（x）=（﹣g（x）），由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且g（﹣1）=0 可知当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）∈（0，+∞），则F′（x）=（﹣g（x））有唯一零点，设此零点为x=t，易知x∈（﹣1，t）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；x∈（t，+∞）时，F′（t）＜0．F（x）单调递减．知F（x）max=F（t）=ln（t+1）﹣af（t）+4，其中a=，令G（x）=ln（x+1）﹣+4，则G′（x）=，易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，∴G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且G（0）=0，①当0＜a＜4时，g（t）=＞=g（0），由g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，知t＞0，则F（x）max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，由F（x）在（﹣1，t）上单调递增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（﹣1，+∞）上均恒成立，则F（e﹣4﹣1）=﹣af（e﹣4﹣1）＜0，∴F（t）F（e﹣4﹣1）＜0∴F（x）在（﹣1，t）上有零点，与条件不符；②当a=4时，g （t ）===g （0），由g （x ）的单调性可知t=0，则F （x ）max =F （t ）=G （t ）=G （0）=0，此时F （x ）有一个零点，与条件不符；③当a ＞4时，g （t ）=＜=g （0），由g （x ）的单调性知t ＜0， 则F （x ）max =F （t ）=G （t ）＜G （0）=0，此时F （x ）没有零点．综上所述，当F （x ）=ln （x+1）﹣af （x ）+4无零点时，正数a 的取值范围是a ∈（4，+∞）． 【点评】本题考查函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•甘肃一模）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），l 与C 1交与点A ，l 与C 2交与点B ，且|AB|=，求α的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将曲线C 1的方程化为普通方程，然后转化求解C 1的极坐标方程．（2）曲线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，利用|AB|=，即可得出．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为（β为参数）．可得（x ﹣1）2+y 2=1，x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴C 1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）曲线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，∵|AB|=，∴|OA|﹣|OB|=﹣2cosα=，即cosα=﹣．又＜α＜π，∴α=．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•甘肃一模）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，可得a2﹣2a﹣1≤2，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证：成立，只需证+≤2，利用分析法的证明步骤，结合基本不等式证明即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|2x﹣1|+|2x+1≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，∵不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，∴a2﹣2a﹣1≤2，∴a2﹣2a﹣3≤0，∴﹣1≤a≤3；（Ⅱ）要证：成立，只需证+≤2，两边平方，整理即证（2m+1）（2n+1）≤4，即证mn≤，又m+n=1，∴mn≤=．故原不等式成立．【点评】本题考查分析法证明不等式的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式的性质，考查逻辑推理能力以及计算能力．。
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民乐一中2017—2017学年5月诊断考试高三数学（理科）试卷命题人：邵天平 樊永文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U =R ,集合{}09,A x x x =<<∈R 和{}44,B x x x =-<<∈Z 集合B A C U ⋂)(中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个2． 在复平面内，复数212iz i=-+的共轭复数的虚部为( ) A ．25 B ．25- C ．25i D ．25i -3. 若向量(cos ,sin )a θθ= ，1)b =-，则2a b - 的最大值为（ ）A ．4 B ．．2 D ．4. 在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有6名学优网志愿者要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有( ) 种A ．12种B ．18种C ．36种D ． 56种5．已知抛物线y 2＝2px （p>0）的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切，则p 的值为 ( )A.12B. 1C. 2D. 46. 已知(,)P x y 是不等式组10,30,0x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域内的一点，(1,2)A ，O 为坐标原点，则OA OP ⋅的最大值( )A.2B.3C.5D.6 7.下图是一个算法的流程图，最后输出的=x ( )A ．4-B ．7-C ．10-D ．13- 8.设n m l ,,表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若α⊥l ，α⊥m ，则m l //； ②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，l m ⊥，则n m ⊥； ③若α⊂m ，n m //，则α//n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题为 （ ）A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①③④9. 若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 310.已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列，则132a a a +等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．411.已知双曲线C ：22221x y a b-=的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FH 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．26D ． 2 12.给出定义：若]21,21(+-∈m m x （其中m 为整数），则m 叫做实数x 的“亲密的整数”，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =在)1,0(∈x 上是增函数；②函数)(x f y =的图象关于直线)(2Z k k x ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期为1；④当]2,0(∈x 时，函数x x f x g ln )()(-=有两个零点。
其中正确命题的序号是（ ）A. ②③④B.① ②③C. ①②D. ②③第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰______． 14. 数列{}n a 的通项为(1)sin12n n n a n π=-⋅⋅+ 前n 项和为n S , 则100S =_________.15．二项式（1+sinx ）n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在[0，2π]内的值为 ． 16．下列结论中正确的是 ．① 函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x+1）=- f （x ），则函数y=f （x ）的图像关于直线x=1对称； ② 2~(16,),(17)0.35,(1516)0.15;N P P ξσξξ>=<<=已知若则 ③ ()(,),(,0]f x -∞+∞-∞已知是定义在上的偶函数且在上是增函数1.21(ln ),(log 3),(0.4),;43a fb fc f c a b -===<<设则 ④ 线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱．三、解答题：（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中, c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=.（Ⅰ）求B 的大小;（Ⅱ）若2a c +=，b =求ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分）现有4人去旅游，旅游地点有A 、B 两个地方可以选择。
但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A 地，掷出其他的数则去B 地；（1）求这4个人中恰好有1个人去A 地的概率；（2）求这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数的概率； （3）用X,Y 分别表示这4个人中去A 、B 两地的人数，记X Y ξ=⋅.求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ. 19．（本小题满分12分）如图，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 为矩形，AC BC =．O为AB 的中点，OF EC ⊥． （Ⅰ）求证：OE FC ⊥；（Ⅱ）若二面角F CE B --的余弦值为13-时，求ACAB的值． 20．（本题满分12分）如图，已知圆2220G x y x +--=：经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点F 第19题图及上顶点B ，过椭圆外一点(,0)()m m a >且倾斜角为56π的直线l 交椭圆于,C D 两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的外部，求m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数3f (x )aln x ax (a R )=--∈． （Ⅰ）若a =-1，求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）若函数y f (x )=的图象在点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45o ，对于任意的t ∈[1，2]，函数322mg(x )x x [f '(x )](f '(x )=++是f (x )的导函数）在区间（t ，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围； （Ⅲ）求证：23412234*ln ln ln ln n ...(n ,n N )n n⨯⨯⨯⨯<≥∈。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，△ADC 的外 接圆交BC 于点E ，AB=2AC （I ）求证：BE=2AD ；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD 的长．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy 和极坐标系Ox 的原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为4cos ,(2sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）。
（1）在极坐标系下，曲线C 与射线4πθ=和射线4πθ=-分别交于A ，B两点，求AOB ∆的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为2,x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），求曲线C 与直线l 的交点坐标。
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲． 已知函数()|3|,()f x x a a R =-∈（I ）当a =1时，解不等式()5|21|;f x x >--（1I ）若存在000,()6x R f x x ∈+<使成立，求a 的取值范围．民乐一中2017—2017学年5月诊断考试高三数学（理科）答案一、 选择题：1.B2.A3.A4.B5.C6.D7.C8.A9.B 10.B 11.D 12.A 二、 填空题：13、2314、150 15．566ππ或; 16．①②③三、 解答题：17.解：（Ⅰ）由2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=得：sin sin 2cos cos (1)1cos cos A CA C A C-= ………………………………………………………2分∴2(sin sin cos cos )1A C A C -=∴1cos()2A C +=-，………………………………………………………………………4分∴1cos 2B =，又0B π<< 3B π∴=……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==22()2122a c acb ac +--∴=， ………………………………………………………………8分又a c +=，b =27234ac ac ∴--=，54ac =……………………………10分115sin 224ABC S ac B ∆∴==⨯=………………………………………………12分18. 依题意，这4个人中，每个人去A 地旅游的概率为13，去B 地的人数的概率为23设“这4个人中恰有i 人去A 地旅游”为事件01234i A =（i ，，，，） ∴4412()()()33i i i i P A C -=.---------------------------------------------2分（1）这4个人中恰有1人去A 地游戏的概率为113141232()()()3381P A C ==------------4分（2）设“这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数”为事件B ，则B=34A A ⋃，∴341()()()9P B P A P A =+=------------------------------------------8分（3）ξ的所有可能取值为0，3，4，0416117(0)()()818181P P A P A ξ==+=+= 1332840(3)()()818181P P A P A ξ==+=+=224(4)()81P P A ξ===------------------------------------------------------10分 ∴ξ的分布列是17402480348181813E ξ=⨯+⨯+⨯=--------------------------------------12分 19.20. 解：（Ⅰ）∵圆G：2220x y x +--=经过点F 、B ．∴F （2，0），B （0，，∴2=c，b = ------------3分∴212a =． 故椭圆的方程为221128x y +=． ------------5分（Ⅱ）设直线l 的方程为)6)((33>--=m m x y ．由221128()3x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得2232(24)0x mx m -+-=．设),(11y x C ，),(22y x D ，则1223x x m +=，212243m x x -=， ------7分∴3)(331)](33[)](33[221212121m x x m x x m x m x y y ++-=--⋅--=．∵),2(11y x -=，),2(22y x -=，∴⋅=2121)2)(2(y y x x +-- 43)(3)6(3422121+++-=m x x m x x∵点F 在圆G 的外部，∴0FC FD ⋅>， -----------9分得2512600m m -->，解得m <或m >-----------10分 由0∆>，得236m <，解得66m -<<．又m >，6m <．∴6m <<． -----------12分21. 解：（Ⅰ）当1a =-时，(1)'() (0)x f x x x-=>， 解'()0f x >得),1(+∞∈x ；解'()0f x <得)1,0(∈x )(x f 的单调增区间为()+∞,1，减区间为()1,0 . （Ⅱ） ∵)0()1()('>-=x xx a x f ∴12)2('=-=a f 得2-=a ，32ln 2)(-+-=x x x fx x m x x g 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g ，由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴9337-<<-m .（Ⅲ）证明如下： 由（Ⅰ）可知当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴0ln 1x x <<-对一切),1(+∞∈x 成立． ∵2,≥∈N*n n ，则有1ln 0-<<n n ，∴nn n n 1ln 0-<<. ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n*-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈22.（Ⅰ）连接DE ,因为ACED 是圆内接四边形，所以,BCA BDE ∠=∠ 又,CBA DBE ∠=∠DBE ∆∴∽CBA ∆,即有,CADEBA BE = 又因为AC AB 2=，可得,2DE BE =因为CD 是ACB ∠的平分线，所以DE AD =, 从而AD BE 2=；………………………………5分 （Ⅱ）由条件知62==AC AB ，设t AD =， 则62,2+==t BC t BE ，根据割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅,即),62(26)6(+⋅=⨯-t t t 即018922=-+t t ，解得23=t 或6-（舍去），则.23=AD ………………………10分23：（Ⅰ）曲线C 在直角坐标系下的普通方程为x 216＋y 24＝1，分别代入θ＝π4和θ＝－π4，得|OA|2＝|OB|2＝325，因∠AOB ＝π2，故△AOB 的面积S ＝12|OA||OB|＝165． ……………………5分（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得(t －)2＝0，∴t ＝，代入l 的参数方程，得x ＝，y ，所以曲线C 与直线l 的交点坐标为)．……………………10分24、【解】（Ⅰ）当1=a 时，不等式()>x f 125--x 可化为5123>-+-x x ， 当21<x 时，不等式即,31,5213-<∴>-+-x x x当321≤≤x 时，不等式即,3,5123>∴>-+-x x x 所以φ∈x ， 当3>x 时，不等式即3,5123>∴>-+-x x x ， 综上所述不等式的解集为13.3x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或………………………………5分（Ⅱ）令23,3,()()33,3,x a x a g x f x x x a x a x a -≥⎧=+=-+=⎨<⎩所以函数x x f x g +=)()(最小值为a 3，根据题意可得63<a ，即2<a ，所以a 的取值范围为)2,(-∞.…… ………………10分。