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行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。
一、按定义式计算行列式：按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。
按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。
我们通常会采用其他方法来计算行列式。
计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。
行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。
利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。
对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。
具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。
三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。
即M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。
矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。
行列式的计算方法及应用
行列式的计算方法及应用行列式是线性代数中一个重要的概念，它是一个正方形矩阵的特殊的函数，用于描述线性方程组的解的唯一性、可解性以及一些几何性质。
本文将介绍行列式的计算方法及其应用。
一、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶的矩阵A=[[a,b],[c,d]]，其行列式的计算方法为：det(A) = ad - bc。
2.三阶行列式的计算方法对于一个三阶的矩阵A=[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]，其行列式的计算方法为：det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi。
3.一般的行列式计算方法对于一个n阶的矩阵A，其行列式的计算方法可以通过展开定理进行计算。
展开定理的思想是通过将行列式展开为更小规模的行列式的和来计算。
假设A为n阶矩阵，其元素为a[i][j]，行列式记为det(A)，则行列式的计算方法为：det(A) = a[1][1] * A[1][1] + (-1)^(1+2) * a[1][2] * A[1][2] + ... + (-1)^(1+n) * a[1][n] * A[1][n]其中，A[1][k]为将矩阵A的第1行和第k列删去后的(n-1)阶矩阵，det(A)为其中的行列式。
二、行列式的应用1.线性方程组的解的唯一性和可解性判断对于一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b 为常数向量。
若A的行列式不为0，则方程组有唯一解；若A的行列式为0，则方程组可能有无穷多个解或无解。
2.矩阵的可逆性判断一个矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是其行列式不为0。
可逆矩阵在数值计算和理论推导中有着重要的应用，例如求解线性方程组的解、求逆矩阵以及解线性变换等。
3.几何性质的判断行列式可以用来判断空间中向量的线性相关性和共面性。
对于一个n 维空间中的n个向量，若这些向量的行列式为0，则说明这些向量线性相关，存在一些向量可以由其他向量线性表示；若行列式不为0，则说明这些向量线性无关，对应n维空间中的一个n维平行体。
【精品】行列式的计算方法完整版
定理7.1.2 设{1, 2, …, n}是F上的向 量空间V的一个基，1, 2, …, n是V的
任意n个向量，则存在V的唯一的一个
线性变换，使
(i)＝i，i＝1, 2, …, n. 推论7.1.3 设{1,2,…，n}是向量空间
V的一个基，若V的线性变换, 满足
(i)＝ (i), i＝1, 2, …, n,
(ii) 设1，… ，s是V的向量，则 (1＋…＋s)＝ (1) ＋… ＋ (s)；
(iii) , 1，… ，s是V的向量. 若 ＝k11＋…＋kss，则
()＝k1 (1) ＋… ＋ks (s). (iv) 若{1,…, s}是V的线性相关的向量组， 则{(1), …, (s) }也是V的线性相关的向量
八、本征值和本征向量的定义
定义1 设V是数域F上的向量空间
，是V的线性变换. 若对F中的 数，存在V的一个非零向量，
使
()＝,.
则称是线性变换的本征值，称 为的属于本征值的本征向量.
九、本征值和本征向量的求法
定理7.5.1 设V是F上n(0)维向量空间，
L(V)，在V的基{1,2 ,…,n}下的
是(b1, b2 ,…, bn)T，则
b 1
b2
b
n
a 1
A
a
a
2 n
定理7.3.2 设{1,2,…,n}是向量空间V
的给定的一个基，作映射f：
L (V) →Mn(F)，使对V的任一线性变换
，在f之下的象是关于基 {1,2,…,n}的矩阵A，即f ()＝A. 那 么f是L(V)到Mn(F)的双射，并且若, L(V)，f ()＝A，f ()！！！
20
则必有
＝.
三、线性变换的运算
(完整版)行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结:1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式:B A BC A BC A ==0021,B A BA D DB Amn )1(0021-==,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: nn abab ab b a b abaD 22=,利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式ab ba 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-=n n n n n n n D b a D ab b a D ,此为递推公式,应用可得n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=-- .3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.例:nn n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=0001133112211321321321321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100101010011)(3332221111-------⋅-=∏=nn n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1001000010)(33322221111nn n ni ii i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-⋅-=∑∏== --------(将第n ,,3,2 列加到第一列)其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.n x a aa a a x a a a a a x a a a aa x a ++++ 321,nn n n a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ++++ 321321321321. 4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用逐行(列)相减可以化出零. 5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变).例子:nn n n nnn n nn n n nn b a b a b a a b a b a b a a b a b a b a a b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a ++++-++++-++++----=++++++++++++10101010000011112122212212111121212221212111∑∑∑∑∑∑======+--+=---+--+=------=ni in i i i ni in ni i n i i i ni in n b b a na b b b b b a na a a ab b b 1112111121211110100000101111111010100111011101∑∑∑∑∑∑∑=≠======-+++=-++=nj nji i j i j ni i ni i ni i i ni i ni i a a b b a b a n b a 1111111)(1)1)(1(.例子:nnx a aaaa x a a a a a x a a a a a x a a a a a x a aaaa x a a a a a x a aa a a x a ++++=++++0001321321).1(00000000000010100010001000111213211321∑∑==+=+=----=ni in nni inx a x x x x x x x a a a a x a x x x x a a a a6. 利用范德蒙德行列式.计算行列式: n nn n nn nn n n nnx x x x x x x x x x x x x x x x D321223222122322213211111----=解: 令: nnnn nn n nn n n n nn n n ny x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D211112112222212222212111111--------=,这是一个1+n 级范德蒙德行列式. 一方面,由范德蒙德行列式得)())(()(2111n ni j j ix y x y x y x xD ---⋅-=∏≤<≤ .可看做是关于y 的一个n 次多项式.另一方面,将1D 按最后一列展开,可得一个关于y 的多项式01111p y p y p y p D n n n n ++++=-- ,其中1-n y 的系数1-n p 与所求行列式D 的关系为1--=n p D .由)())(()(2111n ni j j ix y x y x y x xD ---⋅-=∏≤<≤ 来计算1-n y的系数1-n p 得:∑∏=≤<≤-⋅--=ni i ni j j in x x xp 111)(,故有∑∏=≤<≤-⋅-=-=ni i ni j j in x x xp D 111)(其它的例子:=+-+++-++-++------n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nb b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a 111121211111212222222122111121211111……每一行提公因子n i a ,nn n n n n n n n n n n n n nn n n a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a ba b a a a )()()()(1)()()()(1)()()()(1111112111122122222221111121111121++-++++++--+=).(1121∏≤<≤+-=n i j j j ii nn n n a b a b a a a7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳)证明当βα≠时,,1000001000100011βαβαβααββαβααββααββα--=+++++=++n n n D证明时,将n D 按第一行(或第一列)展开得21)(---+=n n n D D D αββα,利用归纳假设可得. 8. 利用递推公式.例子: 计算行列式,10000010001000βααββαβααββααββα+++++=n D 解: 按第一行展开得: 21)(---+=n n n D D D αββα,将此式化为:(1) )(211----=-n n n n D D D D αβα或 (2) )(211----=-n n n n D D D D βαβ 利用递推公式(1)得:n n n n n n n n D D D D D D D D βαβαβαβα=-==-=-=-------)()()(122322211 ,即n n n D D βα+=-1. (3)利用递推公式(2)得:n n n n n n n n D D D D D D D D αβαβαβαβ=-==-=-=-------)()()(122322211 ,即n n n D D αβ+=-1. (4)由(3)(4) 解得: ,,)1(,11⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=++βααβαβαβαn n n n n D其它的例子nn acb a ac b a c b a D00000000000=,按第一行展开可得21---=n n n bcD aD D ,此时令,,bc a ==+αββα则21)(---+=n n n D D D αββα,变形为211)(----=-n n n n D D D D αβα,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果. 这里,,bc a ==+αββα即βα,是方程02=+-bc ax x 的两个根.9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解成两个容易求的行列式的和.例子:accccb ac c c bb ac c bbbac b b b b c a c accccb ac c c bb ac c bbbacb b b b a D n-+==210000V V acccb ac c b b a c b b b a b b b b c a accccb ac c c b b a c c b b b a c b b b b c +=-+=1V : 除第一行外,其余各行加上第一行的1-倍,所得行列式按第一列展开,2V 按第一列展开.11)(0000000--=----------=n b a c ba b c b c bc ba b c b c b b b a b c ba b b b b c V12)(--=n D c a V , 故11)()(---+-=n n n D c a b a c D ,由c b ,的对称性质,亦可得11)()(---+-=n n n D b a c a b D ,这两个式子中削去1-n D ,可得结论,bc c a b b a c D nn n ----=)()(.注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点,选择合适的计算方法. (2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综合运用以上方法,。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式的计算方法-计算行列式的格式
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载行列式的计算方法-计算行列式的格式地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容行列式的计算方法摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组, 行列式的计算是一个重要的问题。
本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。
关键词：行列式矩阵降阶The Methods of Determinant CalculationAbstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples.Keywords: determinant matrix reduction.1．引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外,还在各种工程领域有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具，所以说行列式的计算是一个重要的问题。
行列式计算方法
行列式计算方法行列式的计算是线性代数中的重要内容，有以下几种常用的方法：1. 代数余子式法：给定一个n阶矩阵A，取A的第i行第j列元素a_ij为基准，计算它的代数余子式A_ij的值。
代数余子式的定义是，在A中划去第i行和第j列后，剩余元素构成的(n-1)阶子矩阵的行列式。
然后，根据代数余子式的符号规律，求得A_ij*(-1)^(i+j)，再将所有的代数余子式乘以对应位置的元素，再求和即可得到行列式的值。
2. 拉普拉斯展开法：选择A的任意一行或一列，例如第i行，根据拉普拉斯展开定理，将行列式的计算转化为n个(n-1)阶行列式的计算，然后依次递归地计算(n-1)阶行列式，最后累加得到行列式的值。
3. 对角线法则：对于一个n×n的矩阵A，按照对角线上的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加，再减去按照对角线下方的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加。
这个过程可以用一个式子来表示：det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_21 * a_32 * ... * a_n1。
4. 公式法：对于一个3阶矩阵A，可以利用公式来计算行列式的值。
行列式的计算可以表示为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33+ a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32 - a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_12。
对于4阶及以上的矩阵，复杂度较高，通常情况下不会直接使用公式法计算，而是选择其他方法。
以上是几种常用的求行列式的方法，不同的方法适用于不同的情况，在实际计算中可以根据需要选择合适的方法来求解。
行列式的多种计算方法
行列式的多种计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，常用于表示线性方程组的性质和解的情况。
本文将介绍行列式的多种计算方法，包括定义法、按行展开法、秩法、特殊行列式计算法以及Laplace展开法。
一、定义法行列式的定义法是最基本也是最直观的计算方法。
对于二阶行列式，定义为：abcd行列式的值等于对角线上元素的乘积减去反对角线上元素的乘积，即ad-bc。
对于高阶行列式，可以通过对行列式进行展开，将矩阵分解成若干个二阶行列式，然后递归地计算这些二阶行列式的值，最终得到整个行列式的值。
二、按行展开法按行展开法是一种递归计算行列式的方法。
对于n阶行列式，可以通过展开第一行或第一列得到：a11a12 (1)a21a22 (2)............an1 an2 ... ann按照第一行展开：det(A) = a11 * det(A11) - a12 * det(A12) + a13 * det(A13) - ... + (-1)^(1+n) * a1n * det(A1n)其中Aij是删除第i行第j列后剩下的(n-1)阶行列式。
通过递归计算子行列式的方法，可以得到整个行列式的值。
三、秩法秩法是一种基于线性方程组的计算方法。
对于n个未知数的线性方程组，可以写成矩阵形式AX=B，其中A是一个n×n的矩阵，X和B都是n 维向量。
如果A的行列式非零，方程组有唯一解；如果A的行列式为零，则方程组无解或者有无穷多解。
所以，通过计算矩阵A的行列式，可以判断线性方程组的解的情况。
具体计算方法是将A进行行变换，化为上三角矩阵，然后将对角线上的元素相乘即得行列式的值。
四、特殊行列式计算法对于一些特殊的行列式，可以使用简便的计算方法。
例如，对于单位矩阵I，其行列式的值为1、对于对角矩阵D，其行列式的值等于对角线上元素的乘积。
对于三角形上下边对称的矩阵，其行列式的值为对角线元素与次对角线元素的乘积之差。
五、Laplace展开法Laplace展开法是一种递归计算行列式的方法。
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行列式的计算方法综述
目录
1.定义法（线性代数释疑解难参考）
2.化三角形法（线性代数释疑解难参考）
3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考）
4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考）
5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考）
6.递推法（线性代数释疑解难参考）
7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考）
8.拆项法（课外辅导书上参考）
9.换元方法（课外辅导书上参考）
10.拆因法（课外辅导书上参考）
线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。
下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法：
1.定义法
由定义看出，n级行列式有!n个项。
n较大时，!n是一个很大的数字。
直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。
但在n级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。
例1.算上三角行列式
解：展开式的一般项为
同样，可以计算下三角行列式的值。
2.化三角形法
画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上
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（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。
例2.计算
解：各行加到第一行中
把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有
3.逐行（列）相减法
有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。
因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。
例3.计算n 级行列式
解：从第二行起，每一行的()1-倍都加上上一行，有
上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素()10或，且最后一行有()1n -元素都是x 。
因此可再用两列逐列相减的方法：第()1n -列起，每一列的()1-倍加到后一列上
4.升降法（加边法）
升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的n 阶成为()1n +阶，且往往让()1n +阶行列式的值与原n 阶行列式的值相等。
一般说，阶数高的比阶数低的计算更复杂些。
但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。
例4.计算n 级行列式
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解： 1212121
2
10
10
10
1n n n
n D αααααααααααα+=++L L L
M M
M
M L
121110010101
000
n
ααα-=--L
L L M M M M L
121
110100
100100001
n
i n
n i ααααα+=
=+∑∑L
L L M M M M L
5.利用范德蒙德行列式
例5. 计算n 级行列式
解：这个行列式与范德蒙行列式很相似，可以利用行列式的性质将它化为范德蒙行列式。
n D 的第n 行依次与1n -行，2n -行,K ,2行,1行对换，再将所得到的行
列式的第n 行，依次与1n -行，2n -行,L ,2行对换。
如此继续下去，直到最后将第n 行与1n -行对换，这样经过()()()1
122112
n n n n -+-+++=-L L 次对换后，得到
这是一个范德蒙行列式。
于是有
范德蒙行列式是一个重要的行列式，它可以作为公式应用。
6.递推法
这种方法是计算n 阶行列式较有用的一种方法。
首先利用行列式性质把给
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定的n 阶行列式n D 用同样形式的低阶行列式表示出来，这种表示式称为递推关系式。
然后从递推关系式出发求出n D 的一般表示式。
例6. 计算n 级行列式
解：本题第一列只有两个非零元素，且11a 的余子式恰为1n D -。
因此我们有可能找出递推关系式。
按第一列展开得
故
这就是本题行列式的一个递推关系式，往n 减少方向递推有 故有
7.数学归纳法
计算和证明一些行列式时用数学归纳法来计算和证明比较方便，所以我们就用数学归纳法。
数学归纳法一般是在已知行列式的结果或猜出其结果作严格论证时用的方法。
例7．试证n 阶行列式 证明：用归纳法步骤 1.验证：当2n =时， 左()212122
11
x x a x a x a x a a a x
-=
=++=+++ 右212
x a x a =++∴左边=右边
注意：当本题行列式为2阶时，应取右下角的2阶与12,a a 有关的行列式，而不能取左上角的。
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2设当1n -阶时，结论成立。
则将n D 用第一列展开，有()
1
11000100100000
1
n n n n x D xD a x x +---=+--L L L M M M M L =右
8.拆项法
由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再得原行列式值。
此法称为拆行（列）法。
例8. 0000000000n a a a a a a b
a a
b a a D b
b a b b a b b b
b b b
a a
--==--L L L L L L M M M M M M M M L L 对于上面的第一行列式，将第n 列乘()b -加到其余各列上，对第二个行列式按第n 列展开，最后可得：
这样我们得一个递推公式：()
1
1n n n D a b aD --=-+
如果将第一列对b 按类此方法拆项，又可得到另一递推公式：
()
1
1n n n D b a bD --=--
取立上述两递推公式()()1
11
1
n n
n n n n D a b aD D b a bD ----⎧=--⎪⎨=--⎪⎩
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当a b ≠时，()
11
1
1n n n n a b D ab
a b
----=-- 当a b =时，()
()1
11n n n D n a -=--
9.换元方法
这种方法利用行列式的这样一条性质：
设11121111212122221222112
12,n n n
n n n nn n n nn x x x x x x
D D x x x
αααααααααααααααααα++++++=
=
+++L L L
L
L
L
L L
L L L L
L
L
则1,1
n
ij i j D D x A ==+∑
例9.计算n 阶行列式n x
x D x
ααα
α
αα
=
L
L L
L
L L L
解： ()()()000000n x x D x αα
ααααα
α
α
ααα
-++++-++=
++-+L L L L L L
L
()1
000000
n x x n x x ααααα
---=+--L L L L L L L
10．拆因法
如果行列式D 中有一些元素是x 的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多
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项式()f x ，然后对行列式施行某些变换，求出()f x 的互素的一次因式，使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c ，根据多项式相等的定义，比较()f x 与()g x 的某一项的系数，求出c 的值，便可求得()D cg x =
例10.计算1
231
131
211231
n n x n D x n x +=++L
L L L L L L L L 解：已知行列式n D 是x 的()1n -次多项式，利用行列式的性质我们把
()1n -次多项式分解成n D 的一次因式的乘积。
当1x =时，n D 的第一列和第二
列的对应元素成比例，所以0n D =。
显然1x -是n D 的一个因式。
当2x =时，n D 的第一列和第三列的对应元素成比例，所以0n D =。
显然2x -是n D 的一个因式。
同法得出()3,4,,1x x x n ----L L 是n D 的因式。
因为x i -和 x j -(),,1,2,,1i j i j n ≠=-L L 为互素，所以
()()()121n
x x x n D --⎡--⎤⎣⎦L
，但n
D 的展开式中的最高项1n x -的系数是1，因此
总结
以上我们介绍了计算行列式的10种方法。
在具体计算时，要根据行列式构造上的特点，利用行列式的性质，选用适当的方法来计算。
这就需要我们熟悉个类型行列式的构造上的特点及善于不断的归纳总结。
学无止境。
明天，将是我终身学习另一天的开始。
在此谨向帮助过我的所有老师和同学表示诚挚的感谢！
此致
敬礼
潘滨
2013年12月28日希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：：
1、世事忙忙如水流，休将名利挂心头。
粗茶淡饭随缘过，富贵荣华莫强求。
2、“我欲”是贫穷的标志。
事能常足，心常惬，人到无求品自高。
3、人生至恶是善谈人过；人生至愚恶闻己过。
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