08年全国一卷数学

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）一、选择题 1．函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数ln1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．e2x-1B ．e 2xC ．e2x+1D ． e2x+27．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ） A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，A ．B ．C ．D ．10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B．3C．3D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．CDE AB双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案一、选择题 1、C2、A3、A4、D5、C6、B7、D8、A9.D10.D ．11.B ．12.B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：38. 16.答案：16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 a=CBc b C A c sin sin ,sin sin =acosB-bcosA=(A CBB C A cos sin sin cos sin sin ⋅-⋅)c=c B A A B B A ⋅+-)sin(cos sin cos sin =c B A B A B A B A ⋅+-sin cos cos sin sin cos cos sin =1cot tan )1cot (tan +-B A cB A 依题设得c B A c B A 531cot tan )1cot (tan =+-,解得tanAcotB=4(II)由（I ）得tanA=4tanB ，故A 、B 都是锐角，于是tanB>0 tan(A-B)=B A BA tan tan 1tan tan +-=B B 2tan 41tan 3+ ≤43， 且当tanB=21时，上式取等号，因此tan(A-B)的最大值为4318．解：(I)作AO ⊥BC ，垂足为O ，连接OD ，由题设知，AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 中点， 由21==DE CD CD OC 知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ， 从而∠ODC=∠CED ，于是CE ⊥OD ， 由三垂线定理知，AD ⊥CE（II ）由题意，BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧面ABC ，又BE ⊂侧面ABE ，所以侧面ABE ⊥侧面ABC 。

作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，则CF ⊥平面ABE故∠CEF 为CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF=45° 由CE=6，得CF=3又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC 为等边三角形 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE 。

由（I ）知，CE ⊥AD ，又CE ∩CG=C ，故AD ⊥平面CGE ，AD ⊥GE ，∠CGE 是二面角C-AD-E 的平面角。

CG=32622=⨯=⨯AD CD AC GE=,6,310652)21(22==⨯=-⨯CE AD DE AD DEcos ∠CGE=10103103226310342222-=⨯⨯-+=⋅-+GE CG CE GE CG所以二面角C-AD-E 为arccos(1010-) 解法二：（I ）作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz. 设A （0,0,t ），由已知条件有C(1,0,0), D(1,2,0), E(-1, 2,0),),2,1(),0,2,2(t AD CE -=-=所以0=⋅AD CE ，得AD ⊥CE（II ）作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ， 设F （x,0,z ）则CF =(x-1,0,z),0),0,2,0(=⋅=BE CF BE故CF ⊥BE ，又AB ∩BE=B ，所以CF ⊥平面ABE ， ∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF=45°由CE=6，得CF=3又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC 为等边三角形，因此A （0，0，3） 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE ，在Rt △ACD 中，求得|AG|=32|AD| 故G[33,322,32] ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=33,32,35,33,322,31GE GC又)3,2,1(-=AD0,0=⋅=⋅AD GE AD GC所以与的夹角等于二面角C-AD-E 的平面角。

由cos(GE GC ,)=1010-= 知二面角C-AD-E 为arccos(1010-) （19）解：（Ⅰ）f ´(x)=3x 2+2ax+1，判别式Δ=4(a 2-3)（i ）若a>3或a<3-，则在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---∞-33a a ,2上f ´(x)>0，f(x)是增函数； 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+----33a a ,33a a 22 内f ´(x)<0，f(x)是减函数； 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+-,33a a 2上f ´(x)>0，f(x)是增函数。

（ii ）若3-<a<3，则对所有x ∈R 都有f ´(x)>0，故此时f(x)在R 上是增函数。

（iii ）若a=3±，则f ´(3a -)=0，且对所有的x ≠3a-都有f ´(x)>0，故当a=3±时，f(x)在R 上是增函数。