近五年高考数学全国1卷

一．选填题（每题5分）

1. （2017年，第6题）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）

2. （2017年，第16题）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。

3. （2016年，第7题）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是

3

28π

，则它的表面积是 （ ）

（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π

4.（2016年，第11题）平面过正文体ABCD —A1B1C1D1的顶点A,，，则m ，n 所成角的正弦值为 （ ） （A ）（B ）（C ）（D ）

5.（2015年，第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问

题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

斛 斛 斛 斛

6.（2015年，第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =

（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

7.（2014年，第8题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱

8.（2013年，第11题）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为 （A ）16+8π （B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π

9.（2013年，第15题）已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB=1:2，AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为_______.

二．大题（每题12分）

10.（2013年，第19题.）本小题满分12分

如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;

侧视图

俯视图

A

B

C C 1

A 1

B 1

11.（2014年.第19题）(本题满分12分)

如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面

C C BB 11.

（1）证明：;1AB C B ⊥

（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο

求三棱柱111C B A ABC -的高.

12.（2015年，第18题）（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE ⊥EC ，三棱锥E —ACD 的体积为

3

6

，求该三棱锥的侧面积。

13.(2016年.第18题.）（本题满分12分）

如图，在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，PA =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；

（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．

14.（2017年.第18题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB 90BAP CDP ∠=∠=o 90APD ∠=o

8

3

答案解析：

1. A .根据线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条与已知直线平行的直线.在 B 选项中，AB ∥MQ ，则直线 AB ∥平面 MNQ ；在 C 选项中，AB ∥MQ ，则直线 AB ∥平面 MNQ ；在 D 选项中，AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面 MNQ.故选 A.

π取SC 的中点O ，连接,OA OB ，

因为,SA AC SB BC ==， 所以,OA SC OB SC ⊥⊥， 因为平面SAC ⊥平面SBC ， 所以OA ⊥平面SBC ， 设OA r =，则31111

23323

A SBC SBC V S OA r r r r -?=

??=????=， 所以31

933

r r =?=，所以球的表面积为24π36πr =.

.由三视图知：该几何体是

78个球，设球的半径为R ，则3

7428V R 833

ππ=?=，解得R 2=，所以它的表面积是2273

4221784

πππ??+??=，故选A ．

.如图，设平面11CB D I 平面ABCD ='m ，平面11CB D I 平面11ABB A ='n ，因为//α平面

11CB D ，所以//',//'m m n n ，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ，过1D 作11//D E B C ，连接11,CE B D ，则CE 为'm ，同理11B F 为'n ，而111//,//BD CE B F A B ，则

','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，即为60?，故,m n 所成角的正弦值为

，选A.

.设圆锥底面半径为r ，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷≈22，故选B. .由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B.

根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．

..解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

V 半圆柱＝

12

π×22

×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.

所以所求体积为16＋8π.故选A. 9.

2

9π

.如图，

设球O 的半径为R ， 则AH ＝

23

R ， OH ＝

3

R . 又∵π·EH 2

＝π，∴EH ＝1.

∵在Rt△OEH 中，R 2＝2

2+13R ?? ???

，∴R 2

＝98.

∴S 球＝4πR 2

＝9π2

.

10. (1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ， 所以OC ⊥AB .

由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .

因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ?平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .

(2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，

所以OC ＝OA 1.

又A 1C

，则A 1C 2

＝OC 2

＋2

1OA ，

故OA 1⊥OC .

因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高． 又△ABC 的面积S △ABC

，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3. 11.解： 连接

1

BC ，则O 为

1B C

与

1

BC 的交点.因为侧面

11BB C C

为菱形，所以

11.

B C BC ⊥

又AO ⊥平面

11BB C C

，所以

1B C AO ⊥，故

1B C ⊥

平面ABO.

由于AB ?平面ABO ，故

1.

B C AB ⊥ ……6分

作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD.作OH AD ⊥，垂足为H. 由于BC AO ⊥，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥.又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC. 因为

160CBB ∠=?

，所以

1

CBB ?为等边三角形，又BC=1，

可得

4OD =

.由于1AC AB ⊥ ，

所以

111

.

22OA B C =

= 由OH AD OD OA ?=?，

且

AD =，

得14OH =

又O 为

1B C

的中点，所以点

1

B 到平面

ABC

的距离为故三棱柱111

ABC A B C -的距

离为

7.

12.解：

（1）

Q 四边形ABCD 为菱形，∴ AC BD ⊥ 又BE ⊥平面ABCD ，∴ AC BE ⊥ ∴ AC ⊥平面BDE

又AC ?平面AEC , 平面AEC ⊥平面BED

(2) 设AB x =，

则2AG GC x ==

, 1

2

GB GD x ==, Q AE EC ⊥

∴2

EG x =

,

2BE x =

,

故31132243

E ACD V AC GD BE x -=???==，解得2x = ∴

AE EC ED ===

所求侧面积为3+13.因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥

因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥ 所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥

又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.

（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.

理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又//EF PB ,所以EF PC ⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.

连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心. 由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2

.3

=

CD CG 由题设可得⊥PC 平面PAB ，⊥DE 平面PAB ，所以//DE PC ，因此

21

,.33

=

=PE PG DE PC

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114

222.323

=????=V

14.（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=o ，得,AB AP CD PD ⊥⊥

由于//AB CD ，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD 又AB ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD （2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E