4.3解直角三角形
【导学案】4.3解直角三角形(3)导学案及答案
解直角三角形3学习目标1、让学生感受通过作辅助线，把非直角三角形转化为直角三角形来解决问题的方法.2、让学生经历观察、操作、实践，培养学生运用所学知识解决未知问题的能力，实现从感性到理性，从已知到新知的矛盾特征的转化过程，形成新的知识网络.3、通过课堂为学生提供的充分从事数学活动的机会，让学生理解并掌握基本数学知识与技能，了解数形结合的思想方法，培养转化、化归的思想方法，进而获得广泛的数学活动的经验.学习策略1、让学生感受通过作辅助线，把非直角三角形转化为直角三角形来解决问题的方法.2、让学生经历观察、操作、实践，培养学生运用所学知识解决未知问题的能力，实现从感性到理性，从已知到新知的矛盾特征的转化过程，形成新的知识网络.学习过程：一、知识回顾1、直角三角形的解法2、根据下列条件解直角三角形.在Rt △ABC 中.1、c=20 ∠A=45°2、 a=36 ∠B=30°3、a=19 c=2194、a=66,26 b二、探索新知我们已经知道只要已知条件适当，直角三角形可解，那么对于非直角三角形中的线段与角怎么求呢？例5 在锐角三角形ABC 中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）这是一个锐角三角形的解法问题，我们只需作出BC 边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好.），问题就转化为两个解直角三角形的问题.在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：锐角三角形的解法问题可转化为可解的直角三角形问题，那么，钝角三角形的解法又如何呢？例6 如图：在三角形ABC中，AC=40 ，BC=25 ，∠A=30°，求AB的长.由例5知，作出一边上的高可把锐角三角形分割成两个直角三角形，那么在钝角三角形中，这种方法是否可行呢？与同伴交流进行解答.思考：在上述条件不改变的情况下，如果没有给出图形，那么上述解法是否完整？与同伴交流.三、尝试应用1、在△ABC中，AB=AC=5 ，BC=6，求sinB，cosB的值.2、在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°, AB=6,AC=63求平行四边形ABCD的面积.四.自主总结五、达标测试1、如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC的面积（结果可保留根号）.2、某型号飞机的机翼形状如图所示，AB∥CD，根据数据计算AC、BD和CD的长度（精确到0.1米， 2 ≈1.414， 3 ≈1.732）.参考答案尝试应用答案：1、【分析】作BC边的高AD，根据勾股定理得出AD，再由已知条件和三角函数的定义求出sin B，cos B，tan B．【解答】解：作AD⊥BC于D，则BD＝BC＝×6＝3，∴sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝．【点评】本题考查解直角三角形以及等腰三角形的性质，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．2.【分析】连接BD交AC于点O，过O作OH⊥AB于H，利用已知条件可求出OH的长，再由平行四边形的面积公式计算即可．【解答】解：如下图，过点C作AD的垂线交AD的延长线于点E，∵AB＝6，∠BAD＝60°，∴DC＝6，∠CDE＝60°，又∵CE⊥DE，∴DE＝3，CE＝3，又∵AE＝，且AC＝，∴AE＝9，∴AD＝AE﹣DE＝6，∴S▱ABCD＝AD•CE＝18．【点评】本题考查了平行四边形的性质及平行四边形的面积公式的运用，解答本题得关键是求出△ABO的面积．达标测试答案：1.【分析】过C作CD⊥AB于D，利用直角三角形的性质求得CD的长．已知AB的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠CDA＝90°，∴＝cot∠DAC＝cot60°＝，即AD＝CD×．在Rt△BDC中，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝45°，∴CD＝BD．∵AB＝DB+DA＝CD+CD×＝8，∴CD＝12﹣4．∴S△ABC＝AB×CD＝×8×（12﹣4）＝48﹣16．答：△ABC的面积为48﹣16．【点评】考查直角三角形的性质及三角形的面积公式的掌握情况．2.【分析】过C作CE⊥BA交BA延长线于E，在Rt△CAE中，∠ACE＝45°，则△ACE是等腰直角三角形即可求得AC的长；过B作BF⊥CD交CD延长线于F，在Rt△BFD中已知∠DBF与FB的长，利用三角函数即可求得BD的长；根据CD＝CF﹣FD＝CE+AB﹣FD即可求解．【解答】解：过C作CE⊥BA交BA延长线于E，过B作BF⊥CD交CD延长线于F（1分）在Rt△CAE中，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝5（m）（2分）∴AC＝CE＝5≈5×1.414≈7.1（m）（3分）在Rt△BFD中，∠DBF＝30°，∴DF＝FB•tan30°＝5×≈5×≈2.89（m）∴BD＝2DF≈2×2.89≈5.8（m）（6分）∴CD＝1.3+5﹣DF≈6.3﹣2.89≈3.4（m）（7分）答：AC约为7.1米，BD约为5.8米，CD约为3.4米．【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．。
湘教版九年级上4.3解直角三角形及其应用课件ppt
根据下列每一组条件，能画出多少个直角 三角形（全等的直角三角形算一个）？
做一做 （１）一个锐角为40º；
（无数个）
（２）一个锐角为40º，它的邻边长为3cm; （一个）
（３）一个锐角为40º，它的对边长为3cm; （一个）
（４）一个锐角为40º，它的斜边长为3cm; （一个） （５）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm．（一个）
sin A a , c
Cb
A
a 1 5 . 6 8 s i n 3 8 1 2 1 5 . 6 8 0 . 6 1 8 4 9 . 7 0 c m .
cos A b ， c
b c c o s A 1 5 .6 8 c o s 3 8 1 2 1 2 .4 2 c m ．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还律？
总结
在直角三角形中，除直角外的5个元素（3条边 和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少 有一个是边），就可求出其余的3个未知元素， 这叫作 解直角三角形.
考虑
如果知道的2个元素都是角，能求出 直角三角形的边吗？
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90º， ∠A
例 =26º8′，b=4,求∠B 、a、 c (精确到0.01)．
题
B
c
解 B 9 0 2 6 8 6 3 5 2 , a
cos268 b 4 cc
Cb
A
c 4 4.46. cos268
又∵a 是∠A 的对边，于是
tan268 a a, b4
a 4 t a n 2 6 8 1 . 9 6 .
A6125.
B
c a
从而 B 9 0 6 1 2 5 2 8 3 5 . C b A
4.3 解直角三角形及其应用 第2课时湘教版
3 1
3
Rt△ACD中，AD＝3m，∠ADC＝60°所以
AC AD tan ADC 3 tan 60 3 3 3 3
所以路况显示牌BC的高度为 3
3－3
m。
1．（2010·深圳中考）如图，某渔 船在海面上朝正方方向匀速航行，在
北 北 M
A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上， 航行半小时后到达B处，此时观测到 灯塔M在北偏东30°方向上，那么该 船继续航行______分钟可使渔船到达 15
A 60º 30º
东
B
离灯塔距离最近的位置。
2．（2010·湖州中考）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，
迎水坡AB的坡比1： （坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽 3
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方 的夹角叫做俯角.
如图,一塔的周围有池塘,无法 到达底部, 你能计算这座塔水 面以上的高度吗？
在Rt△ABC中， ∠C=90°那么它的 三边之间的关系是： 锐角之间的关系是: A 边角之间的关系是: 1.Байду номын сангаасt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=10， 则ＡＢ＝ BＣ＝ . 2.已知Rt△ABC中∠C=90° ∠Ａ＝ ， AＣ＝m，你能写出ＡＢ、BＣ的表达式吗？
AB BC
可求．
1．弄清俯角、仰角等概念的意义，才能恰当地把实 际问题转化为数学问题． 2．用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：
⑴ 建
⑵ 找 ⑶ 解
名言警句
4.3解直角三角形应用湘教版
在Rt△ADB中， BD=AD•cot30˚= x•cot30˚,
∵ BD-CD=BC,BC=24
∴ x•cot30˚- x•cot60˚=24 ∴ x=
例
2
∵AC = 120 < 150
∴A城受到沙尘暴影响
由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴 侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B处， 以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心150km的范 围为受影响区域。 （1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？ （2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？ 解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km 为半径的圆与BM的交点，由题意得： ∴CE =√ 2 – AC2 = 90 AE ∴EF = 2CE = 2 x 90 = 180 ∴A城受到沙尘暴影响的时间为 180÷12 = 15小时 答：A城将受到这次沙尘暴影响， 影响的时间为15小时。 B A F C
解直角三角形的依据 1、三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）；
锐角之间的关系
边角之间的关系 sinA＝ a tanA＝ b a
∠ A＋ ∠ B＝ 90º
Ｂ
c
cosA＝ b c b cotA＝ a
Ａ
c
a
b
Ｃ
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 2、
h α
l
（1）坡度 i＝
h l
tanα＝ i （α为坡角）
逻辑推理 数学问题的解
4.3解直角三角形及其应用
小结与复习
本章我们主要学习了锐角的正弦、余弦、正切 的概念，以及它们在求解直角三角形和实际生活中 的广泛应用．
一、锐角三角函数
1. 概念 在直角三角形中，一个锐角为α，则
sin = 角的对边 .
斜边
cos = 角的邻边 .
斜边
tan = 角的对边 .
邻边
sin , cos , tan 分别叫作角α的正弦、余弦、正切.
∠AED=90°，AD=1.9m，AE=0.8m，
E
图4-28
从而 DE = AD2 AE2 = 1.920.82 1.7m .
由于AE是∠A的邻边，AD是斜边，因此 cos A = AE = 0.8 0.4211. AD 1.9
从而 A 656 .
答：等腰梯形的高约等于1.7m， 一腰与下底所成的底角约等于 656 .
观察
图4-29的(1)和(2)中，哪个山坡比较陡？
(2)中的山坡比较陡.
（1）
（2）
图4-27
动脑筋
如何用数量来反映哪个山坡陡呢？
（1） 图4-27 （2）
如图4-30，从山坡脚下点P上坡走到点N 时，升 高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距离l(即 线段PM的长度)的比叫作坡度，用字母i表示，即
第三要会用计算器进行有关计算．
中考 试题
例1
已知在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，sinA =
3 5
，
则tanB的值为（ A ）
A.
4 3
B.
4 5
C.
5 4
D.
3 4
解 Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinA= ,53
∴ 可设a=3k，c=5k，b=4k，
秋湘教版九年级上4.3解直角三角形课件
BC=5，试求AB 的长.
3
解
∵ ∠C = 90°，cos A= 1，
3
∴
AC AB
=
1 3
.
设
AB=x，则
AC=
1 3
x.
又 A B 2=A C 2+ B C 2 ，
2
∴
1 2
x = x
3
+52.
解得
x1
15 4
2
,
x2
15 4
2
（舍去）.
∴ AB的长为 1 5 2 . 4
练习
1. 在Rt△ABC中， C 9 0 , B 4 5 , b=3cm， 求a，c 的长度.
sinA=
3 5
,
∴ 可设a=3k，c=5k，b=4k，
∴ tanB =
b a
=
4 3
.
故选A.
中考 试题
例2
如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角，则tanα的值是（ C ）
A. 1
B. 2
C. 1
2
2
D. 2
解 ∵∠α是等腰直角三角形的一个锐角， ∴∠α=45°， ∴ tanα= tan45°=1. 故选C.
一 、重点： 1、理解解直角三角形的概念； 2、学会解直角三角形。 二、难点： 1、三角函数在解直角三角形中的应用；
三、能力思想：养成良好的数形结合 思想解题
这样的生活问题怎么解决？
说一说
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， ∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
1.直角三角形的三边之间有什么关系？ 2.直角三角形的锐角之间有什么关系？ 3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
(课件1)4.3解直角三角形及其应用
已知一角先求角， 已知一角先求角， 已知两边先求边， 已知两边先求边， 求解尽量用已知， 求解尽量用已知， 能用乘法不用除。 能用乘法不用除。
“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用 有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用 有斜 ）， 正切，余切）， 宁乘勿除，取原避中。 切（正切，余切）， 宁乘勿除，取原避中。
B c a C b A
２．如图，在Rt △ABC 中， 如图， ∠C= 90º，a=15.60cm，b=8.50cm, ， ， 求c 、∠A、 ∠B 、 (长度精确到 长度精确到0.01cm，角度精确到 ． 长度精确到 ，角度精确到1‘)．
B
c a
C
b
A
° 在Rt△ABC中，a=12, ∠B=50 ，解 这个直角三角形（精确到0.1）。
在直角三角形中，除直角外的5个元素（ 在直角三角形中，除直角外的5个元素（3条边 和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少 个锐角），只要知道其中的2个元素（ ），只要知道其中的 有一个是边），就可求出其余的3个未知元素， ），就可求出其余的 有一个是边），就可求出其余的3个未知元素， 这叫作 解直角;b =c ，
2 2 2
co s A = ∠ A的 邻 边 . 斜边
边与锐角满足： 边与锐角满足： ∠ A的 对 边 sin A = . 斜边
∠ A的 对 边 ta n A = ． ∠ A的 邻 边
做一做
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90º， ．如图， ， ∠A =30º，a=5,求∠B 、b、 c 。 ， 求
a
C 直角三角形的锐角之间有什么关系？ （２）直角三角形的锐角之间有什么关系？
b
A
（３）直角三角形边与锐角之间有什么关系？ 直角三角形边与锐角之间有什么关系？
4.3解直角三角形
第 1 页 共 2 页 4.3解三角形教学反思 李达中学 郑文敏 本章内容是在学习了相似三角形和勾股定理的知识后，提出的直角三角形的边角关系——锐角三角函数及其实际应用。我上的这一节课是从研究直角三角形的：锐角关系、三边关系、边角关系等入手，给学生创设学习情境，再后利用勾股定理，锐角三角函数的知识来解决已知一边一角或两边解直角三角形等问题。 为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，让学生通过给出的条件，能否求出其余几个要素。当学生的兴趣被激发出来后，再抛出当天的课题：“解直角三角形”。 首先，本节课教学我结合课程标准，在对教材深入钻研的基础上，围绕知识与技能、过程与方法、情感态度价值观，制定了以“会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形”作为本节课的核心目标，“渗透数形结合的数学思想、分类思想等，培养学生良好的学习习惯”。 第二，本节课的设计，力求体现新课程理念。给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、 创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性。 第三，在讲授本节课时，我采用以下方法进行教学： (1)情境引入法：通过课前创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易回答的问题为开端，让学生在各自熟悉的环境中轻松、愉快的回答老师提出的问题后，带着成功的喜悦进入新课的学习之中，这样效率和兴趣自然就高了许多，今后应采用该法引入情境。 第 2 页 共 2 页
(2)启发教学法：在教学过程中，选用启发式教学是较为行之有效的教学方法，并且也是永恒的教学方法。在教师的启发下，让学生成为课堂的主人也是本节课堂的主要亮点之一；鼓励学生主动参与，积极展示所得结果，学生兴趣较高，效率也很好。 通过本节课的实践，我觉得也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。比如，例题较多，时间仓促，有点赶鸭子上架；没有根据学生的实际掌握情况出示相应的拓展练习，后面的练习难度偏大；在探讨解直角三角形的依据时，处理的有些过于仓促，讲话语速太快，影响学生的思考时间；不敢放手让学生有自己去想，教师主导、主讲的情况偏多；对于例题，没有做到深入的挖掘，留给学生思考的时间不够。 在今后的教学中，应更多地关注学生的发展与提升，注意以学生的思维为发展目标。在课堂上尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的机会，在老师和同学的鼓励中、欣赏中认识自我，找到自我，找到自信，体验成功的快乐，从而培养学习数学的信心。
4.3解直角三角形及其应用
(3) 已知 tanα的值，α是锐角，求sinα，cosα 的值的方法可以参看4.2节的例3.此方法可推广 到：已知sinα(或cosα)的值，α是锐角，求 cosα(或sinα)，tanα的值.
4. 互为余角的正弦、余弦的关系． 设α是锐角，则
s in ( 9 0 - ) = c o s , c o s ( 9 0 - ) = s in .
s in =
角
2. 30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值.
s in
cos
3 0
4 5
6 0
ta n
1 2 3 2 3 3
2 2 2 2
3 2 1 2
3
1
3. 同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系.
( 1) ( 2) s in 2 + c o s 2 = 1 . t a n = s in α . cos α
2
从而
答：等腰梯形的高约等于1.7m， 一腰与下底所成的底角约等于 6 5 6 .
观察
图4-29的(1)和(2)中，哪个山坡比较陡？
(2)中的山坡比较陡.
（1） 图4-27
（ 2）
动脑筋
如何用数量来反映哪个山坡陡呢？
（1） 图4-27 （2）
如图4-30，从山坡脚下点P上坡走到点N 时，升 高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距离l(即 线段PM的长度)的比叫作坡度，用字母i表示，即
?
图4-25
例4 如图4-26，在高为28.5m的楼顶平台D处，用仪 器测得一路灯电线杆底部B的俯角为 1 5 ，仪器高度 AD为1.5m.求这根电线杆与这座楼的距离BC(精确到 1m).
4.3 解直角三角形及其应用 第1课时湘教版
解直角三角形及其应用
第1课时
B c
a
A ┌
b
C
1、体会锐角三角函数在解决问题中的作用；
2、能够把实际问题转化为数学问题，发展数学应用意 识和解决问题的能力．
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ B c2 (1) 三边之间的关系：a2+b2=_____ 90° (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____
规律方法：在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，
本书除特别说明外, 到1′. 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； 边长保留四个有效数字，角度精确
（2）已知一条边和一个锐角
1.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，
B
cosA=
3 4
6 ,则AC的长是_______ C A
2.（2010·常德中考）在Rt△ABC中，若AC=2BC，则sinA 的值是（
A. 1 2
C ）
B.2
C. 5 5 D. 5 2
3、（2010•常德中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=
4 5
则tanB为（
4 3
B
3 4
）
3 5 D. 4 5
A
A.
B.
C.
4．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高 AD=4，cosB= 4
由cosA b c ， 得
A
b=c·cosA=30×0.7420=22.26
由sinA a c ， 得
a=c·sinA=30×0.6704=20.112
1．（2010·江西中考）如图，从点C测得树的顶角为33º， BC＝20米，则树高AB＝ 精确到0.1米） 【解析】 由tanC 米（用计算器计算，结果