学而思初一数学春季班第8讲-目标满分班-教师版
学而思初一数学春季班第9讲-目标满分班-教师版
三角形1级几何基础图形三角形的认识三角形2级三角形两大模型三角形3级三角形三大专题春季班第十一讲春季班第十讲色盲检测漫画释义满分晋级阶梯9几何基础图形——三角形的认识定 义示例剖析三角形的定义：由三条不在．．同一条直线上的线段首尾顺次．．．．连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性．．．. 表示法及读法：三角形用符号“△”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“ ABC △ ”，读作“三角形ABC ”．ABC △的三边有时也用a ，b ，c 表示．顶点A 的对边a （BC ） 顶点B 的对边b（AC ） 顶点C 的对边c （AB ） 三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.,,A B C ∠∠∠是三角形的内角c b aCBA 思路导航知识互联网题型一：三角形的边A BC教师总结：根据三角形三边关系的相关考点考点一、已知两边求第三边的取值范围或边长例1、用三条绳子打结成三角形（不考虑结头长），已知两根分别为3cm，7cm，求第三根长度有什么限制.【解析】设第三根绳子长为xcm，有7-3<x<7+3，有4<x<10.例2、已知三角形两边长为3cm，6cm，且第三边为奇数，求第三边的长度.【解析】第三边为5cm或7cm考点二、判断三条线段能否构成三角形例3、以下列各组线段为边，能构成三角形的是（）A.1cm,2cm,4cmB.8cm,6cm,4cmC.12cm,5cm,6cmD.8cm,6cm,2cm【解析】B考点三、确定三角形的个数问题例4、长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任意取三根，能组成多少个三角形？【解析】从四根木棒中取三根，共有四种取法，分别是：①2cm、3cm、4cm；②2cm、3cm、5cm．③3cm、4cm、5cm；④2cm、4cm、5cm．其中①、③、④符合三角形三边关系，因此可以组成三个三角形.考点四、化简代数式问题如例2、⑶⑷考点五、三角形边的不等关系如思维拓展，训练2例题精讲【引例】一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长的最小值是（）A．14 B．15 C．16 D．17【解析】根据三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和，可得第三边的取值范围是410c<<，在这一范围内满足第三边是整数的点分别是5、6、7、8、9，而三角形的周长要取最小值，即当第三边5c=时，这个三角形周长最小，是3+5+7=15，故选B.典题精练【例1】 ⑴下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1cm ，2cm ，5cmB ．4cm ，5cm ，9cmC ．5cm ，8cm ，15cmD ．6cm ，8cm ，9cm⑵下列线段能组成三角形的是 ．①123，， ②234，， ③222345，， ④222123(0)a a a a +++≠，，⑶已知三角形三边长分别为4,5,x ，则x 的取值范围是 。
学而思初一数学春季班第5讲-目标中考满分班-教师版
不等式1级 不等式的概念和性质 不等式2级 含参不等式 方程6级不等式3级 不等式的应用春季班 第七讲暑期班第七讲天平漫画释义满分晋级阶梯5含参不等式编写思路：题型一：让学生掌握解一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，认识解集，理解解与解集的区别和联系；题型二：让学生掌握含参不等式（系数含参和不含参两种类型）的解法. 对系数含参的不等式，让学生理解和掌握参数系数的讨论方法，并与含参方程的讨论方法进行比较、认识. 题型三：对于绝对值不等式，通过两种方法让学生理解（1）代数方法：即讨论、去绝对值，变成一元一次不等式，求解集. （2）几何方法：利用绝对值的几何意义求解.定 义示例剖析一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式，叫作一元一次不等式.25x >，340m -<，332307≥y y -+-一元一次不等式标准形式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b<或ax b >的形式（其中0a ≠）.563x >，37≤x 等都是一元一次不等式的标准形式 不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫作不等式的解．4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知思路导航知识互联网题型一：不等式（组）的基本解法数的集合，叫作不等式的解集．一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．3≥x 是260≥x -的解集； 2x <是2x ->-的解集解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（化成ax b <或ax b >形式）→系数化为1（化成b x a >或bx a<的形式）．不等式的解与不等式解集的区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值组成的集合；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．定 义示例剖析一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组．1302841x x x ⎧-⎪⎨⎪+<-⎩≥和26061503≥x x x ⎧⎪-⎪-<⎨⎪⎪->⎩ 都是一元一次不等式组； 24x y >⎧⎨<⎩不是一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）．解一元一次不等式组的步骤：⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集；⑵ 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中a b >）不等式 图示解集 x ax b >⎧⎨>⎩ x a >（同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ x b <（同小取小）x ax b <⎧⎨>⎩ b x a <<（大小交叉中间找）x ax b >⎧⎨<⎩无解（大大小小无解了）【例1】 ⑴解不等式31423x x x +--+≤. 典题精练⑵解不等式组12(1)532122x x x --⎧⎪⎨-<+⎪⎩≤，并在数轴上表示出解集.⑶求不等式组2(2)43251x x x x --⎧⎨--⎩≤＜的整数解．⑷解不等式组32215x x -<-<⑸解不等式组253473x x -<⎧⎪-⎨>⎪⎩（2012年朝阳一模）【解析】⑴135x -≥； ⑵由①得1x -≥由②得3x <∴原不等式组的解集是13x -<≤.⑶由①得 12x -≥；由②得 2x <．∴此不等式组的解集为122x -<≤．∴此不等式组的整数解为0，1．⑷原不等式组等价于不等式组3221215x x x -<-⎧⎨-<⎩解得：1x < ⑸无解【点评】通过此题告知学生不等式组无解的写法.思路导航题型二：含参数的不等式（组）对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <，分类情况解集情况 0a >时解集为bx a <．0a <时 解集为bx a >.0a =时若0b >，则解集为任意数； 若0b ≤，则这个不等式无解．【引例】⑴关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩无解集，则a ，b 的大小关系是 ．⑵关于x 的一次不等式组x ax b <⎧⎨<⎩的解集是x b <，则a ，b 的大小关系是 ．⑶关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，则a ，b 的大小关系是 ．⑷关于x 的一次不等式组x ax b ⎧⎨⎩≥≤的解集是a x b ≤≤，则a ，b 的大小关系是 ．【解析】 ⑴a b ≥；⑵b a ≤；⑶a b <；⑷a b ≤.【点评】先根据不等式组解集的情况得到大小关系，再对“是否取等”情况单独分析.【例2】 解关于x 的不等式：⑴+2a x b > ⑵13kx +> ⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<--⑸()212m x +< ⑹()25n x --<典题精练例题精讲【解析】 ⑴ 2b ax ->⑵移项得：2kx >当0k >时，解集为2x k >当0k <时，解集为2x k<当0k =时，不等式变为02x ⋅>，故不等式无解 ⑶移项，合并同类项得：()33k x ->-当30k ->，即3k >时，不等式解集为33x k ->- 当30k -<，即3k <时，不等式解集为33x k -<-当30k -=时，即3k =时，不等式变为03x ⋅>-，故不等式解集为任意数. ⑷不等式变形得：()9m n x +<-，因不知()m n +的正负性，故分类讨论①当0m n +>，即m n >-时，解集为9x m n <-+ ②当0m n +<，即m n <-时，解集为9x m n>-+③当0m n +=，即m n =-时，不等式无解.⑸∵210m +>，∴不等式解集为221x m <+ ⑹20n --<，∴不等式解集52x n >--【点评】第1小题为系数不含参的，第2至第4为系数含参的需要分类讨论，第5,6题都是系数恒正（恒负）的问题不需要分类讨论.【总结】解决系数含参的一元一次不等式步骤：1. 移项合并同类项后得到最简式ax b >或ax b <；2．对系数a 进行分类讨论；（此时注意分析系数有可能是恒正或恒负） 3．对系数为0的情况单独分析，此时不等式解集为任意数或无解.【例3】 ⑴不等式()123x m m ->-的解集与2x >的解集相同，则m 的值是 ．⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示，则a 的值为 .⑶关于x 的不等式5ax >的解集为52x <-，则参数a 的值 .⑷ ①若不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集是x a >，则a 的取值范围是 .②若不等式组3x x a >⎧⎨⎩≥的解集是x a ≥，则a 的取值范围是 .A ．3a ≤B ．3a =C ．3a >D ．3a ≥（北京二中期中考试）⑸已知关于x 的不等式组232x a x a +⎧⎨-⎩≥≤无解，则a 的取值范围是 ．⑹已知关于x 的不等式组>053x a x -⎧⎨-⎩≥无解，则a 的取值范围是 ．【解析】 ⑴由不等式解得62x m >-，即622m -=，则2m =； ⑵由不等式解得12a x -≤，可得112a -=-，1a =-；⑶2a =-⑷ ①D ；②C .⑸当232a a +>-时，不等式组无解，（大于大的，小于小的无解），∴2a <．⑹解不等式组得2x a x >⎧⎨⎩≤，当2a ≥时，不等式组无解（大于大的，小于小的无解），∴2a ≥．【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0521≥x a x -⎧⎨->⎩只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个，那么m 的取值范围是（ ） A ．2025m <≤ B ．2025m <≤ C ．25m < D ．20m ≥（北京五中期中考试）【解析】 ⑴ 32≤a -<-；⑵A .【总结】（供教师参考）对于解决不等式组的整数解个数问题步骤：以例4（1）为例 1.写出不等式组的解集；例如2a x <≤2.根据整数解的个数在数轴上画出简图；可得32a -<<-；3.对于是否取等号单独讨论分析.当3a =-时，解集为32x -<≤此时有五个整数解，不合题意； 当2a =-时，解集为22x -<≤此时有四个整数解，合题意. 综上可得32a -<-≤.【探究对象】以下对于含有字母系数的一元一次不等式组的问题进行变式和拓展，主要针对整数根问题和解含参的不等式组，需要分类讨论.【变式】试确定实数a 的取值范围，使不等式组恰有两个整数解.544(1)331023a x x a x x +⎧+++⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩≥ 【解析】 不等式组的解为225x a -<≤恰有两个整数解，则这两个整数解必为0,1x =则122a <≤，解得112a <≤.【拓展1】如果关于x 不等式组9080.x a x b -⎧⎨-<⎩，≥的整数解仅为1，2，3，则a 的取值范围是 ，b 的取值范围是 ． （2011年西城区期末考试） 【解析】 由原不等式组可得98a bx <≤．因不等式组的整数解仅为1，2，3，于是有019a <≤，348b<≤，由019a <≤得09a <≤，由348b<≤得2432b <≤.【拓展2】解关于x 的不等式组：23262(1)11x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩ 【解析】原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩，当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+；当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >．【拓展3】已知关于x 的不等式组214(1)3x ax x -<+⎧⎨+>⎩⑴若不等式组无正整数解，求a 的取值范围；⑵是否存在实数a ，使得不等式组的解集中恰含了3个正整数解. 若存在请求出a 的取值范围.【解析】 化简不等式组得()1314a x x ->-⎧⎪⎨>-⎪⎩当1a <时，解集为1341x a --<<-；当113a ≤≤时，解集为14x >-；当13a >时，解集为31x a >--⑴若不等式组无正整数解，显然1a ≥时，均不合题意； 当1a <时，应有311a --≤，得2a -≤， 所以原不等式组无正整数解时，a 的取值范围是2a -≤； ⑵当1a ≥时，不等式组的解集中均有无数个正整数解. 当1a <时，依题意得3341a -<-≤，解得104a <≤. 故当104a <≤时，不等式组的解集中恰含了3个正整数解.定义示例剖析绝对值不等式：不等式中未知数含有一个或几个绝对值的不等式.≤x a ，122≥x x -+-对于复杂的不等式可采用整体思想，例如()()22323x x +-+<，此时不必去括号可直接把2x +看成一个整体去解.【例5】 解下列不等式 ：⑴ >2x ． ⑵ 3x ≤． ⑶ 14≤x -【解析】 ⑴ （法一）零点分类讨论：①02x x ⎧⎨>⎩≥即2x >． ②02x x <⎧⎨->⎩即2x <-．综上得，2x >或2x <-．典题精练思路导航题型三：复杂的不等式（组）（法二 ）应用绝对值的几何意义：2x >或2x <-． ⑵（法一）零点分类讨论：① 03x x ⎧⎨⎩≥≤ 即03x ≤≤．② 03x x <⎧⎨-⎩≤即30x -<≤．综上得，33x -≤≤．（法二）应用绝对值的几何意义：33x -≤≤． ⑶ （法一）零点分类讨论：① 1014≥≤x x -⎧⎨-⎩即51≤≤x ．② 1014≤x x -<⎧⎨-⎩即31x -<≤综上得，35x -≤≤（法二）应用绝对值的几何意义：35x -≤≤【例6】 解不等式⑴ 123≤≤x + ⑵ 235≥x x -++【解析】 ⑴（法一）零点分类讨论：① 20123x x +⎧⎨+⎩≥≤≤ 即11x -≤≤．② 201(2)3x x +<⎧⎨-+⎩≤≤即53x --≤≤．综上得，11x -≤≤或53x --≤≤．（法二）应用绝对值的几何意义：11x -≤≤或53x --≤≤． ⑵ 应用绝对值的几何意义，易得x 为任意数.【总结】绝对值不等式的解法，通常根据绝对值的意义，用讨论的方法，去掉绝对值的符号，将绝对值不等式化为不等式组进行求解.也可根据数轴，利用绝对值的几何意义进行求解.【例7】 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b <≤，求x 的取值范围．【解析】题型一 不等式（组）的基本解法 巩固练习【练习1】 不等式组331482x x x +>⎧⎨--⎩≤的最小整数解是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1【解析】A题型二 含参数的一元一次不等式（组） 巩固练习【练习2】 、a b 为参数，解不等式153b ax x -<-+ 【解析】 不等式化简为63b a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ 当03b a +>时，解集为183x a b<+ 当03b a +<时，解集为183x a b>+ 当03b a +=时，解集为任意数. 【练习3】 ⑴若不等式(2)2a x a -<-的解集在数轴上表示如图所示，则a 的取值范围是 .复习巩固真题赏析312310,216232160,3431421624323x a x a x b x b a b x x x --+=∴=+--=∴=<-⎧⎪⎪∴⎨+⎪>⎪⎩∴-<≤≤≤⑵若不等式组213x x a -<⎧⎨<⎩的解集是2x <，则a 的取值范围是 ．⑶如果关于x 的不等式组230≥≤x x m -⎧⎨⎩无解，则m 的取值范围是 . 【解析】 ⑴2a <；⑵2a ≥； ⑶32m <.【练习4】 ⑴ 关于x 的不等式组1532223x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）． A.1453a --≤≤ B.1453a -<-≤ C.145<3a --≤ D ．1453a -<<-⑵已知关于x 的不等式组0321≥x a x -⎧⎨->-⎩的整数解有5个，则a 的取值范围是 . 【解析】 ⑴ C. 不等式组可化得2123x x a <⎧⎨>-⎩∴这四个整数只能是17，18，19，20， 故162317a -<≤，即1453a -<-≤． ⑵43≤a -<-.题型三 复杂的不等式（组） 巩固练习【练习5】 解下列不等式：135x <-<【解析】 22x -<<或48x <<第十四种品格：信念朋友的信任公元前4世纪，在意大利，有一个名叫皮斯阿司的年轻人触犯了国王。
学而思初一数学春季班第4讲-目标中考满分班-教师版
方程7级二元一次方程组的实际应用方程8级分式方程方程9级一元二次方程认识初步寒假班第一讲秋季班第十讲世纪画作漫画释义满分晋级阶梯4二元一次方程组的实际应用编写思路：本讲主要还是训练学生寻找题目中等量关系的能力。
当题目中涉及多个未知量及多个等量关系的时候，可以设多元，通过列方程组、解方程组解答。
每个例题，涉及一个实际问题，让学生充分掌握和运用各类实际问题中量与量的关系列方程。
解实际问题的一般步骤：⑴ 审题，分析题目中的已知和未知； ⑵ 找等量关系（画图法或列表法等）； ⑶ 设未知数列方程组； ⑷ 求解方程组；⑸ 检验（包括代入原方程组检验和是否符合题意的检验）； ⑹ 写出答案．【引例】 A 、B 两地相距36千米，两人步行，甲从A 到B ，乙从B 到A .两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙剩下的路程的2倍，求两人的速度. 【分析】设甲每小时行x 千米，乙每小时行y千米，那么，其有关的等量关系可用下面的线段图表示例题精讲思路导航知识互联网题型一：二元一次方程组的应用（如图所示）【解析】 设甲的速度是x 千米/时，乙的速度是y 千米/时，根据题意得44363662(366)x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解方程组得45x y =⎧⎨=⎩. 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时.1．工程问题【例1】 ⑴某蔬菜公司收购某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨。
现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排x 天精加工，y 天粗加工. 为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ）A ．14016615x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．14061615x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．15166140x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．15616140x y x y +=⎧⎨+=⎩⑵2012年8月中旬，某市受到14号台风的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两队合作需12天完成此工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．问甲、乙两队单独完成此工程各需多少天？【解析】 ⑴D⑵设甲、乙两队每天排水量分别为，x y m ，则 121212008181200x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得6040x y =⎧⎨=⎩甲：12006020÷=（天）； 乙：12004030÷=（天） 另解：设甲、乙两队单独完成此工程各需，x y 天，则 111128181x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2030x y =⎧⎨=⎩ (2)(1)4x4yAB甲乙 C AC+CB=ABBC=2AD乙甲 B ADC6x 36-6x 甲剩下的乙剩下的36-6y 6y典题精练答：甲队单独完成此工程需要20天，乙队需要30天．【点评】第一种方法虽然不是直接法但是好理解也容易求解，第二种方法直接设元但实际是分式方程，学生不太好求.教师可两种方法都介绍.2．图形问题【例2】 ⒈小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题： ⑴ 写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；⑵ 已知客厅面积比卫生间面积多221m ，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺21m 地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【解析】 ⑴ 6218S x y =++；⑵ 62216218152x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩ 解得432xy =⎧⎪⎨=⎪⎩．总费用为：38064218804536002⎛⎫⨯⨯+⨯+=⨯= ⎪⎝⎭元答：铺地砖的总费用为3600元．2.如图所示，矩形ABCD 的周长为14cm ，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AD 于点F ．以C 为圆心，CB 长为半径画弧交CD 于点G ．设cm AB x =，cm BC y =，当DF DG =时，求x ，y 的值．【解析】 根据题意可列方程组221412x y y x x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩．3．利润问题【例3】 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％的利润定价，乙服装按40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 【解析】 设甲、乙服装的成本分别为x 元，y 元，根据题意可得()5001.5 1.40.9500157x y x y +=⎧⎪⎨+⨯-=⎪⎩解得300200x y =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两件服装的成本分别是300元和200元．【点评】售价=成本+利润=成本⨯（1+利润率），利润率=利润/成本．4．容积问题【例4】 第一个容器内有水49升，第二个容器有水56升．若将第二个容器内的水倒满第一个容器，第二个容器剩下的水正好是这个容器的容量的一半．若将第一个容器内的水倒满第二个容器，第一个容器剩下的水正好是这个容器的容量的三分之一．求两个容器的容量． 【解析】 设第一个容器的容量为x 升，第二个容器的容量为y 升．则卧室2236xy 卫生间厨房客厅()()156492149563x y y x⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩， 解得6384x y =⎧⎨=⎩． 答：第一个容器的容量为63升，第二个容器的容量为84升．5．方案问题【例5】 已知：用2辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：⑴1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ ⑵请你帮该物流公司设计租车方案；⑶若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费 (2012年龙岩中考题) 【解析】⑴ 设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，依题意列方程组得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组，得：34x y =⎧⎨=⎩∴91a b =⎧⎨=⎩或54a b =⎧⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩答：有3种租车方案：方案一：A 型车9辆，B 型车1辆； 方案二：A 型车5辆，B 型车4辆； 方案三：A 型车1辆，B 型车7辆．⑶ ∵A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次， ∴方案一需租金：910011201020⨯+⨯=（元） 方案二需租金：51004120980⨯+⨯=（元） 方案三需租金：11007120940⨯+⨯=（元） ∵1020980940>>∴最省钱的租车方案是方案三：A 型车1辆，B 型车7辆，最少租车费为940元．以下对图形问题进行拓展：【拓展1】在长为10m ，宽为8m 的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个完全一样的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．【解析】 设小矩形的长为xm ，宽为ycm ，由题意得：21028x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得42x y =⎧⎨=⎩答：小矩形的长为4m ，宽为2m ．【拓展2】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图左方式放置，再交换两木块的位置，按图右方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A ．37 cmB ．74 cmC ．75 cmD ．76 cm【分析】本题的相等关系有：桌高+长方体的长-长方体的宽=80 cm. 桌高+长方体的宽-长方体的长=70 cm.【解析】 设桌子高度为a ，木块的长为x ，宽为y ，由题意可知8070x a y y a x +-=⎧⎨+-=⎩，∴2150a =，即75a =. 故选C.【拓展3】扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm ，求这种药品包装盒的体积． 【解析】 设这种药品包装盒的宽为x cm ，高为y cm ，则长为（4x +）cm根据题意得22144213x y x y +=⎧⎨++=⎩解得52x y =⎧⎨=⎩，故长为9cm ，宽为5cm ，高为2cm ， 所以体积V=9×5×2=90（cm 3）． 答：这种药品包装盒的体积为90cm 3．70 cm80 cm不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷个，不能唯一确定．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．【引例】 方程314x y +=的整数解有 组，正整数解都有哪些？ 【解析】 方程的整数解有无数组.x 、y 为正整数得14300x y y =->⎧⎨>⎩解不等式组得1403y <<． 故y 只能等于1234，，，. 118524123x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩，，，．【例6】 ⑴方程210x y +=的解有 组；正整数解有 组，分别为 .⑵已知关于x 的方程36x ax -=的解为负整数，求223a a +-的值．【解析】 ⑴ 无数组，4组．x 、y 为正整数得，0051020x x y x >⎧⇒<<⎨=->⎩，故x 只能等于1234，，，，12348642，，，x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩． ⑵ 21、32、45或96． 当3a ≠时，解方程得63x a=-，因为x 为负整数，所以3123，，a -=---或6-，得对应典题精练例题精讲思路导航题型二：不定方程求解a 的值为4569，，，，代入223a a +-得21324596，，，．【例7】 已知m 为正整数，关于x ，y 的二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，求2m 的值．（丰台十二中检测题）【解析】 法一：两式相加得()310m x +=,103x m =+m 可为：2或7当2m =时，2x =，3y =． 当7m =时，1x =， 1.5y =（舍）． 所以 24m =．法二：解方程组得()101533，，x y m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，若，x y 为正整数，则3m +应该是10和15的公约数，推得2m =，所以24m =．【变式】已知方程组26x y mx y -=⎧⎨+=⎩有非负整数解，求正整数m 的值．【解析】 两式相加得()18m x +=，81x m =+. 故正整数m 可为1,3,7代入可得6201my m -=+≥，故3m ≤所以1,3m =.【总结】对于一元一次方程和二元一次方程（组）中出现的整数根问题：（1）解决一元一次方程的方法首先是要表示出未知数，如果是整数根，只需要分子是分母的约数，有时需要考虑符号问题；例33x m =-，若解是整数，则31,3m -=±±，解得m ；若解是正整数，则31,3m -=，从而解得m .（2）解决二元一次方程的整数解问题，基本方法是先根据题意得到关于其中一个未知数的不等式组，从而解得它的取值范围，再依次代入检验另一个未知数是否符合整数根； （3）解决二元一次方程组的整数根问题，常用方法是：①通过消元，将问题转化为解不定方程；②视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；③利用整体思想方法求解.【例8】 一宾馆有两人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅游团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？真题赏析【解析】 设租二人间x 间，三人间y 间，四人间z 间，则234207x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，得26y z +=，∵,,x y z 均为正整数，∴有2x =，4y =，1z =；3,2,2x y z ===， 故有两种租房方案.题型一 二元一次方程组的应用 巩固练习【练习1】 为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费． （2011娄底中考） 【解析】 ⑴设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y 元/千瓦时，根据题意，得80(10080)6880(12080)88x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得0.61x y =⎧⎨=⎩答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时． ⑵()800.613080198⨯+-⨯=（元）．答：预计小张家6月份上缴的电费为98元．【练习2】 小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；复习巩固爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．【解析】 设上月萝卜的单价是x 元/斤，排骨的单价y 元/斤，根据题意得：()()32363150%2120%45x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩．解得：215x y =⎧⎨=⎩ 这天萝卜的单价是（1+50%）x=（1+50%）×2=3， 这天排骨的单价是（1+20%）y=（1+20%）×15=18 答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤.【练习3】 如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm ，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm ．设演员的身高为x cm ，高跷的长度为y cm ，求,x y 的值．【解析】 依题意得方程组：222428x y x y =⎧⎨+=+⎩，解得：16884x y =⎧⎨=⎩∴x 的值为168，y 的值为84.题型二 不定方程求解 巩固练习【练习4】 a 取哪些正整数值，方程组25342x y ax y a +=-⎧⎨-=⎩的解都是正整数？【解析】 解方程组得232x a y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，由解是正整数得32a -=，即1a =．【练习5】 已知关于x 、y 的方程组21230x my x y +=⎧⎨-=⎩①②的解为正整数，则m 的整数值是多少？【解析】 由方程②得3x y =③将方程③代入方程①中得612y my +=，∴126y m=+∵方程组的解为正整数，∴y 是正整数，即()6m +必须是12的正约数，又12的正约数有：1234612，，，，，，∴6162636466612，，，，，m m m m m m +=+=+=+=+=+=，可求出m 的值为543206，，，，，----．第十四种品格：信念同样的圣诞夜1944年的圣诞夜，两个迷了路的美国大兵拖着一个受了伤的兄弟在风雪中敲响了德国西南边境亚尔丁森林中的一栋小木屋的门，他的主人，一个善良的德国女人，轻轻地拉开了门上的插销。
初一数学人教版 学而思
初一数学人教版学而思初一数学是初中阶段的第一门数学课程，是学生初步接触数学知识和学习数学方法的重要阶段。
学而思是一家专注于中小学数学教育的教育机构，为学生提供高质量的数学学习资源和学习指导。
本文将围绕初一数学人教版学而思课程进行讨论和分析。
人教版是中国人民教育出版社所编写的教材，人教版初一数学教材是学生学习初中数学的基础教材。
学而思是以此教材为基础，结合自身的教学经验和教学理念，为学生提供一套全面系统的数学学习课程。
学而思的初一数学课程分为数学基础和数学提高两个阶段，每个阶段包括多个学习单元。
数学基础阶段主要学习数学的基本概念和基本运算，如整数、有理数、分数等。
学生通过学习和练习，掌握数学基础知识的运用和解题方法。
数学提高阶段则侧重于数学的拓展学习和应用。
学生将学习更高阶段的数学知识，如代数、几何、概率等。
学而思通过设计生动有趣的学习活动和练习题，激发学生的兴趣，提高他们的学习积极性。
学而思的初一数学课程注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教师通过引导学生思考、探索和讨论，培养学生的逻辑思维和创新思维。
学生通过解决实际问题和数学问题的联系，提高他们的问题解决能力和应用能力。
学而思的初一数学课程还注重培养学生的数学学习方法和学习习惯。
教师会教授学生学习数学的基本方法，如记忆、思维导图、逻辑分析等。
学生通过学习和实践，掌握科学有效的学习方法，提高学习效果和学习效率。
学而思的初一数学课程还重视学生的学习能力和学习素养的培养。
学生不仅仅学习数学知识，还学习学习的方法和学习的态度。
学而思通过学习单元的设计和教学活动的安排，提高学生的学习能力和学习素养，培养他们的自主学习能力和合作学习能力。
总结来说，初一数学人教版学而思课程是一套系统完整的初中数学学习课程。
学而思以人教版教材为基础，通过精心设计的学习单元和教学活动，帮助学生全面掌握数学基础知识和学习方法。
学而思注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，提高他们的学习能力和学习素养。
学而思初一数学春季班第2讲-目标中考满分班-教师版
函数1级平面直角坐标系认识初步 函数2级平面直角坐标系中的变换函数3级 函数初步暑期班 第二讲春季班 第一讲减肥记漫画释义满分晋级阶梯2平面直角坐标系中的变换编写思路：本讲求面积时主要让学生掌握将点坐标转化为线段长度的过程.一：让学生亲自动手在坐标系中画出某个点关于横轴、纵轴以及原点的对应点，并且让他们自己总结两个对称点的横、纵坐标关系。
二：（1）对于点的平移：让学生亲自动手将某个点进行上、下、左、右平移，并且自己总结点的坐标变化规律。
对于任意的平移，可以将其理解先上下平移、后左右平移的组合。
（2）对于图形的平移：让学生充分认识本质就是图形上的每个点都进行同一过程的平移，即对应点之间的平移过程完全一样。
从而将图形的平移转化成为点的平移。
并让学生体会平移前后的两个图形完全一样。
三、简单的数形结合：求三角形面积问题。
让学生充分掌握割补法求三角形面积，并理解为何要用割补法。
让学生熟练掌握并体会坐标与线段长的计算关系。
四、找规律问题：老师可带着学生探索常见找规律问题的思路和方法.点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点()P a b ，和点()Q c d ，的中点是22a c b d M ++⎛⎫⎪⎝⎭，．（选讲）思路导航知识互联网题型一：坐标系中的对称【引例】 在平面直角坐标系中，()45P -，关于x 轴的对称点的坐标是 ，关于y 轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点是 ．【解析】 关于x 轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数，坐标是()45--，； 关于y 轴的对称点纵坐标不变，横坐标互为相反数，坐标是()45，； 关于原点的对称点横、纵坐标都互为相反数，坐标是()45-，．【例1】 ⑴ 点()35P -，关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()35--， B ．()53，C ．()35-，D ．()35，⑵ 点()21P -，关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()21--，B ． ()21，C ．()21-，D ．()21-，⑶ 在平面直角坐标系中，点()23P -，关于原点对称点P '的坐标是 ．⑷ 点()23，P 关于直线3x =的对称点为 ，关于直线5y =的对称点为 ． ⑸ 已知点()121P a a +-，关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．【解析】 ⑴ D ；⑵ B ；⑶ ()2,3-；⑷ ()43，，()27，；⑸ 112a -<<．【例2】 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：⑴ 由图观察易知()20A ，关于直线l 的对称点A '的坐标为()02，，请在图中分别标明()53B ，，()25C -，关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出它们的坐标：B ' ，C ' ；归纳与发现：⑵ 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点()P a b ，关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；⑶ 点()A a b ，在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为 ；若在直线l 的上方，则 ．典题精练例题精讲【解析】 ⑴ ()35B '，，()52C '-，； ⑵ ()b a ，； ⑶ a b >，b a >．⑴ 点平移：①将点()x y ，向右（或向左）平移a 个单位可得对应点()x a y +，或()x a y -，． ②将点()x y ，向上（或向下）平移b 个单位可得对应点()x y b +，或()x y b -，．⑵ 图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位．②如果把图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位．注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化．【引例】 点()35M --，向上平移7个单位得到点1M 的坐标为 ；再向左平移3个单位得到点2M 的坐标为 ．【解析】 点向上平移7个单位，则横坐标不变，纵坐标增加7，即1M 坐标为()32-，，再向左平移3个单位，则纵坐标不变，横坐标减少3，即2M 坐标为()62-，．【例3】 ⑴ 平面直角坐标系中，将(2,1)P -向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到'P ，CB A'A-1-2-3-3-2-1O yx123456654321l 典题精练例题精讲思路导航题型二：坐标系中的平移⑵ 平面直角坐标系中，线段11A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()14A --，的对应点为 ()111A -，′，那么此过程是先向 平移 个单位再向 平移 个单位得到的，则点B ()11，的对应点1B 坐标为 ． ⑶将点()21，P m n -+沿x 轴负方向平移3个单位，得到()112，P m -，则点P 坐标是 ． （一五六中学期中）⑷ 平面直角坐标系中，线段A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()21，A -的对应点为 ()34，A ′，点B 的对应点为()40，B ′，则点B 的坐标为（ ）A ．()93，B ．()13，--C ．()33，-D ．()31，--（一五六中学期中）【解析】 ⑴ ()22-，； ⑵ 右2，上3，()3,4；⑶ ()12，．由题意知23112m m n --=-⎧⎨+=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩．故点()12P ，．⑷ B ；可知线段AB 向右平移5个单位，向上平移3个单位得到A B ''，故点B 坐标是()13，--．【例4】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(42)-，，(22)-，，右边图案中左眼的坐标是(34)，，则右边图案中右眼的坐标是_______．（北京十二中期中） ⑵ 如下右图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE 绕A 点逆时针旋转90︒再向右平移2个单位的图形（其中C 、D 为所在小正方形边的中点）．⑶ 如图，把图1中的A e 经过平移得到O e （如图2），如果图1中A e 上一点P 的坐标为()m n ，，那么平移后在图2中的对应点P '的坐标为 ．（三帆中学期中）【解析】 ⑴ 左眼坐标由(42)-，变为(34)，，由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右平移7个单位，从而得到右眼平移后的坐标为(54)，． ⑵ 图略；A B CDE -3图1-图2⑶ ()21m n +-，；A e 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到O e ．在平面直角坐标系或网格中求面积，一般将难以求解的图形分割成易求解的图形的面积，可以用大图形的总面积减去周围小三角形的面积．一般方法有割补法和等积变换法．找规律的题目一定要先找123n =、、几个图形规律，再推广到n 的情况．从简单情形入手，从中发现规律，猜想、推测、归纳出结论，这是创造性思维的特点．【引例】 如图，直角坐标系中，ABC △的顶点都在网格点上，其中点A 坐标为()21-，，则ABC △的面积为 平方单位． 【解析】 长方形FDEB 的面积是12平方单位，ADC △的面积是1.5平方单位，AEB △的面积是4个平方单位，BFC △的面积是1.5平方单位，所以ABC △的面积为124 1.5 1.55---=平方单位．【例5】 ⑴ 直角坐标系中，已知()10A -，、()30B ，两点，点C 在y 轴上，ABC △的面积是4，则点C 的坐标是 ．⑵ 如右图，已知直角坐标系中()14A -，、()02B ，，平移线段AB ， 使点B 移到点()30C ，，此时点A 记作点D ，则四边形ABCD 的 面积是 ．（161中学期中）【解析】 ⑴ ()02，或()02，-；⑵ 4；点A 平移后的坐标为()22D ，，所以BD x ∥轴，2BD =，故122242ABCD S =⨯⨯⨯=．【例6】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为(00)A ，，(90)B ，，(75)C ，，(27)D ，．求四边形ABCD 的面积．典题精练例题精讲思路导航题型三：坐标系中的面积与规律问题OF EDCBA y x1O yxDC BA54321Ay D (2,7)C (7,5)y⑵如上右图，ABC △，将ABC △向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到111A B C △．①画出平移后的111A B C △；②写出111A B C △三个顶点的坐标；（在图中标出）③已知点P 在x 轴上，以1A 、1B 、P 为顶点的三角形面积为4，求P 点的坐标．【解析】 ⑴ 本题的关键是根据平面直角坐标系的长度单位、原点和坐标轴方向的意义解决简单的面积问题．可以把图形分割成3个直角三角形和1个正方形，问题就迎刃而解了．如右图，分别过点D 、C 作x 轴的垂线，过C 作y 轴的垂线，则可把图形分割成特殊的4部分，因此(275225)25542ABCD S =⨯+⨯+⨯÷+⨯=四边形．⑵ ①略；②()()()111042041A B C ，，，，，;③ ()00，或()40，．【探究对象】平面直角坐标系中求面积的方法【探究目的】熟练利用几种方法快速准确求面积，为以后学习函数综合题打好基础 建议教师：先让学生自由发散，最后教师再总结方法 方法一、割补法（割：分割后再加；补：补全再减.）【探究1】如图所示，()()()1,4,4,3,5,0A B C ,求图形OABC 的面积.解析： 割：如上左图，分别过点A 、B 做x 轴的垂线段AD 、BE OAD BCE OABC ABED S S S S =++△△四边形梯形 ()111=14+4+33+13=14222⨯⨯⨯⨯⨯⨯补：如上右图，先补全为长方形再减去其余图形OAD BCE ABE OABC ODEC S S S S S =---△△△四边形四边形 111=54141414=14222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯【探究2】如下图所示，()()354,3A B -，，，求图形OAB 的面积.解析：补：如上右图所示，补全图形为ABD △OAB ABD AOD BOD S S S S =--△△△△111117838372222=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=割：利用一次函数可求出直线AB 解析式为：811=77y x -，故117OC =()1111134272OAB OAC OBC S S S =+=⨯⨯+=△△△ 【此法教师备选】方法二、容斥法：面积差【探究3】如图所示，求12S S -的值.解析：1211=6424822ABD ACD S S S S --=⨯⨯-⨯⨯=△△【教师备选】B B方法三、转化法：平行线，一边转到轴上【探究4】如图所示，求三角形AOB 的面积.解析：过点A 做OB 的平行线，交y 轴于点C ，连接BC由一次函数知识可求出直线1=2OB y x ：，设直线1=+2AC y x b ：求得1=+22y x ，得()0,2C由等积变换可知1=24=42AOB BOC S S =⨯⨯△△【探究5】如图所示，求三角形ABC 的面积.解析：过点A 作BC 的平行线交y 轴于点D ，连接DC 利用一次函数求得:=2+2BC y x ，设直线:=2+AD y x b 求得=2+7y x ，()0,7D由等积变换可知15=15=22ABC DBC S S =⨯⨯△△【点评】方法一和二为坐标系中求面积的常用方法，方法三转化法用到了一次函数的知识，作为教师备选，建议教师可给学生传递这种求面积的思想，即把其中的一条边转化为坐标轴，从而快速的求出面积.【变式】已知，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且3OB OA ==．⑴直接写出点A 、B 的坐标； ⑵若点()22C -，，求BOC △的面积；⑶点P 是与y 轴平行的直线上一点，且点P 的横坐标为1，若ABP △的面积是6，求点P 的坐标．【解析】 ⑴()()3,00,3A B ，;⑵13232BOC S =⨯⨯=△;⑶ 分两种情况：①当点P 在第一象限时，设()1,,>0P a a ，如图1所示AOB ABP BDP AODP S S S S =++△△△四边形即()()1911+3=+6+3222a a ⨯-，解得=6a ()1,6P②当点P 在第四象限时，设()1,,<0P a a ，如图2所示 ABP AOB BDP AODP S S S S =+-△△△四边形 即()()911+1+313+=6222a a ⨯-⨯⨯解得=2,a 故=2a -. 即()1,2P -图1 图2【例7】 ⑴ 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四 条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边 上的整点个数共有 个．（清华附中期中）⑵ 如图，在平面直角坐标系中，第1次将OAB △变换成11OA B △，第二次将OAB △变换成22OA B △，第3次将OAB △变换成33OA B △．已知()13A ，，()123A ，，()243A ，，()383A ，，()20B ，，()140B ，，()280B ，，()3160B ， 观察每次变化前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将33OA B △变换成44OA B △，则点4A 的坐标是 ，点4B 的坐标是 ，点n A 的坐标是 ，点n B 的坐标是 ．【解析】 ⑴ 40；⑵ ()163，，()320，，()23，n ，()120，n +【例8】 一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，在第1min 内它从原点运动到(10)，，而后接着按如图所示方式在与x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在2013min 后，求这个粒子所处的位置坐标．【解析】 弄清粒子的运动规律，并求出靠近1989min 后粒子所在的特殊点的坐标，最后确定所求点的坐标．对于这种运算数较大的题目，我们首先来寻找规律，先观察横坐标与纵坐标相同的点： (00)，，粒子运动了0min ．(11)，，粒子运动了122(min)⨯=，向左运动． (22)，，粒子运动了236(min)⨯=，向下运动． (33)，，粒子运动了3412(min)⨯=，向左运动． (44)，，粒子运动了4520(min)⨯=，向下运动．……于是点(4444)，处粒子运动了44451980(min)⨯=．这时粒子向下运动，从而在运动了2013min 后，粒子所在的位置是(444433)-，，即(4411)，．【变式】将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标()x y ，，且x ，y 均为整数．如数5对应的坐标为()11-，，则数 对应的坐标是()23-，，数2012对应的坐标是 ． （2012年101中期中）【拓展】 数1950对应的坐标是 .【解析】 36，()922-，. ()22,9- 真题赏析12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637 xy如右图所示，可观察到奇数平方数的规律如下数字 坐标21=1 ()0,023=9 ()11-， 25=25 ()22-，……那么由245=2025可得数2025对应的坐标为()2222-，， 故数2012对应的坐标为()221322--，，即()922-，. 拓展：由于2012比较接近45的平方，而1950接近44的平方，故观察偶数平方数的规律数字 坐标22=4 ()0,124=16 ()12-， 26=36 ()23-，……由244=1936可得数1936对应的坐标为()21,22-，此时再往左一个数字1937对应坐标为()22,22-，此后向下数字变大，故1950对应的坐标为()22,2213--，即()22,9-.【教师备选】【备选1】类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为()321+-=．若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{}a b ，叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{}a b ，与“平移量”{}c d ，的加法运算法则为{}{}{}a b c d a c b d +=++，，，． 解决问题：⑴ 计算：{}{}3112+，，； ⑵ 动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{}31，平移到A ，再按照“平移量”{}12， 平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{}12，平移到C ，再按照“平移量”{}31，平移，最后的位置还是点B 吗？在图1中画出四边形OABC ．⑶ 如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头()23P ，，再从码头P 航行到码头()55Q ，，最后回到出发点O ，请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．（2012北京101中期中）【解析】 ⑴}{4,3；⑵是，如图所示；⑶}{}{}{}{2,3+3,2+5,5=0,0--.【备选2】观察下列有规律的点的坐标：()111A ，，()224A -，，()334A ，，()442A -，，()557A ，，6463A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()7710A ，，()881A -，依此规律，11A 的坐标为 ，12A 的坐标为 ．（2012年101中期中）【解析】 ()1111,16A ，12212,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.横坐标的规律很明显，而纵坐标414,427,,10, 1 (3)----，，，中的奇数数列1,4,7,10是公差为3的等差数列，11A 的纵坐标为16，偶数数列可转化为4444,,,1234----，故12A 的纵坐标为42=63--. 【备选3】一个动点P 在平面直角坐标系中作折线运动，第一次从原点运动到（1，1），然后按图中箭头所示方向运动，每次移动三角形的一边长.即（1，1）→（2，0）→（3，2）→（4，0）→（5，1）→……，按这样的运动规律，经过第17次运动后，动点P 的坐标是 ，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是 .【解析】 ()()17,12011,2，.【备选4】如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶 点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012清华附中期中） 【解析】 B .【备选5】在平面直角坐标系中，已知()22A -，，在y 轴上确定点P ，使AOP △为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个（2012陈分期中考试）【解析】 C题型一 坐标系中的对称 巩固练习【练习1】 ⑴ 在平面直角坐标系中，点()25A ，与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（ ） A ．(52)--， B ．()25--，C ．()25，-D ．()25，-⑵ 已知点()P x y ，，()Q m n ，，如果00x m y n +=+=，，那么点P Q ，（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于过点()()0011，，，的直线对称 ⑶ 已知：()2|1|20x y -++=，则()x y ，关于原点对称的点为 ．(12，0)(10，0)(8，0)(6，0)(4，0)(2，0)(11，2)(9，1)(7，2)(5，1)(3，2)(1，1)O 复习巩固（北京十二中）⑷ 已知点()33P a b +，与点()52Q a b -+，关于x 轴对称，则a = ，b = ．【解析】 ⑴ Ｃ；⑵ A ；⑶ ()12-，；⑷ 12a b ==-，；由3523a b a b +=-⎧⎨+=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩． 题型二 坐标系中的平移 巩固练习【练习2】 ⑴线段CD 是由线段AB 平移得到的，点()15A -，的对应点是()42C ，，则点()41B -，的对应点D 的坐标为 ．⑵在平面直角坐标系中有一个已知点A ，现在x 轴向下平移3个单位，y 轴向左平移2个单 位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A 的坐标为()12-，，在旧的坐标系下，点A 的坐标为 ．【解析】 ⑴()9,4-；⑵()31--，．【练习3】 如图，在平面直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位．⑴ 线段DC 是线段AB 经过怎样的平移得到的？ ⑵ 若C 点的坐标是()41，，A 点的坐标是()12--，，你能写出B 、D 两点的坐标吗？⑶ 求平行四边形ABCD 的面积．（首师大二附中期中）【解析】 ⑴ 先向右平移1个单位再向上平移3个单位．⑵ ()32B -，，()01D ，． ⑶ 4312ABCD S =⨯=Y ．题型三 坐标系中的面积和规律问题 巩固练习【练习4】 ⑴ 已知()02，A -，()50，B ，()43，C ，求△ABC 的面积． （四中期中） ⑵ 已知：()40A ，，()10B x -，，()13C ，，ABC △的面积6=， 求代数式22225432x x x x x -++--的值．（人大附中期中）【解析】 ⑴ 172．⑵ 由题可得4AB =，得1441x x --=±⇒=或7x =-，原式化简222254322x x x x x x -++--=--，代入得3-或5【练习5】 如图，长为1，宽为2的长方形ABCD 以右下角的顶点为中心顺时针旋转90︒，此时A 点的坐标为 ；依次旋转2009次，则顶DCBA点A 的坐标为 ．【解析】 ()32，，()30152，．第十四种品格：信念你的意念能跳多高布勃卡是举世闻名的奥运会撑杆跳冠军，享有“撑杆跳沙皇”的美誉。
学而思初一数学春季班第3讲-目标中考满分班-学生版
实数6级绝对值实数7级实数初步实数8级实数的化简与应用春季班第三讲寒假班第一讲想歪了的计算漫画释义满分晋级阶梯3实数的化简与应用在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算总可以进行，且结果仍然是实数.但开 方运算不能无条件进行，只有正数和0才可以开偶次方.在有理数范围内适用的运算律和运算法则，在实数范围内仍然可以使用。
实数的混合运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运 算按从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的【例1】 ⑴ 两个无理数的和、差一定是（ ）A 、无理数B 、有理数C 、0D 、实数⑵ 计算：①9494- ②3331642728-+-⨯-③()23252211251445---+- ④2315111393⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭典题精练思路导航知识互联网题型一：实数的计算⑤230275(1)1384π⎛⎫---+- ⎪⎝⎭【例2】 计算：① 35255+- ② 13(32)3++③ 2(22)(321)+-- ④ 2(636)6(61)6----化简常用式子：⑴()()20aa a =≥⑵()()()20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⑶ 33a a -=-；33a a =；()33a a -=-【例3】 ⑴ 当23x <<时，化简3 1.5x x ---= .⑵化简： 25-= ；3π-= . ⑶ 计算：233225-+-+-⑷ 若3x =-，则()211____x -+=.典题精练思路导航题型二：实数的化简⑸ 计算：()()22262163-+---【例4】 ⑴ 化简：当0a ≥时，2a = ，当0a ≤时，2a = ，当1a ≥时，2(1)a -= . ⑵ 当时，化简．⑶ 已知2()22x xx x=--，则x 应满足（ ） A 、2x < B 、0x ≤ C 、2x > D 、0x ≥且2x ≠ ⑷ 化简2()a b a b b a b a -⋅-----⑸若101a <+且2(1)1a a -=-，则整数a 的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个【例5】 ⑴ 实数a 在数轴上的对应点A 的位置如图所示：化简()212______a a -+-=⑵ 已知实数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，试化简下 列各式：①2a ab +；②a b a b++-⑶ 已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示： 化简：()22a a c c b b -++---的结果为________【例6】 比较下列各值的大小：①31-+和51-+ ② 3和32 ③36-和62-④5m -和34m - ⑤1338-和18 ⑥102+和652-0≤x 21x x -- A直角三角形中，两直角边分别为a b 、，斜边为c ，则满足222a b c +=. 此结论叫做勾股定理.如右图：在直角ABC △中，两条直角边分别为4,3a b ==， 则22216925c a b =+=+=，所以255c ==.【例7】 如下左图：在平面直角坐标系中，点(1,1)A ，做AH x ⊥轴于H ，连接OA ，则1OH AH ==，则根据勾股定理：222OA OH AH =+=.以O 为圆心、OA 为半径画圆，与x y 、轴交于四个点，则四个点的坐标分别为：(2,0)(2,0)(0,2)(0,2)--、、、按照此种思路，请在此平面直角坐标系中，画出点(12,0),(0,12)--+.典题精练思路导航题型三：实数应用CBAcb=3a=41x2O 12-1-1H 1x2O 12-1-1A题型一 实数的计算 巩固练习 【练习1】 计算：⑴()32168-⨯- ⑵3648281-+-- ⑶()233258-+-【练习2】 计算：⑴55(52)++ ⑵12(2)(32)2+-+题型二 实数的化简 巩固练习【练习3】 ⑴已知a 为实数，那么2a -等于（ ）A.a B ．a - C ．1- D ．0⑵若<0x ，则化简2x x x-的结果是__________.【练习4】 计算：⑴ 327422+- ⑵()2324273-+-+-π【练习5】 数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简2()b a a b -+-．题型三 实数应用 巩固练习【练习6】 作图：在数轴上做出2,2,21,12-+-这四个点.b 0 a复习巩固第十四种品格：信念一壶水有一年,一支英国探险队进入了撒哈拉沙漠的某个地区.在茫茫的沙海里负重跋涉,阳光下,漫天飞舞的风沙像炒红的铁砂一般,扑打着探险队员的面孔.口渴似炙,心急如焚——大家的水都没有了.这时,探险队长拿出一只水壶,说:"这里还有一壶水.但穿越沙漠前,谁也不能喝."一壶水,成了穿越沙漠的信念源泉,成了求生的寄托！感觉使队员们濒临绝望的脸上,又显露出坚定的神色.终于,探险队顽强地走出了沙漠,挣脱了死神之手.大家喜极而泣,用颤抖的手拧开了那壶支撑他们精神和信念的水——缓缓流出来的,却是满满的一壶沙子!今天我学到了。
学而思七年级数学培优讲义word版（全年级章节培优-绝对经典）[精品文档]
![学而思七年级数学培优讲义word版（全年级章节培优-绝对经典）[精品文档]](https://img.taocdn.com/s3/m/1a3f333ccec789eb172ded630b1c59eef8c79a07.png)
学⽽思七年级数学培优讲义word版（全年级章节培优-绝对经典）[精品⽂档]第1讲与有理数有关的概念考点·⽅法·破译1．了解负数的产⽣过程，能够⽤正、负数表⽰具有相反意义的量.2．会进⾏有理的分类，体会并运⽤数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会⽤数轴⽐较两个有理数的⼤⼩，会求⼀个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7⽶⑵收⼈－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】⽤正、负数表⽰实际问题中具有相反意义的量．⽽相反意义的量包合两个要素：⼀是它们的意义相反．⼆是它们具有数量．⽽且必须是同类两，如“向前与⾃后、收⼊与⽀出、增加与减少等等”解：⑴向前－7⽶表⽰向后7⽶⑵收⼊－50元表⽰⽀出50元⑶体重增加－3千克表⽰体重减⼩3千克.【变式题组】01．如果＋10%表⽰增加10%，那么减少8%可以记作（）A ．－18%B ．－8%C ．＋2%D ．＋8%02．（⾦华）如果＋3吨表⽰运⼊仓库的⼤⽶吨数，那么运出5吨⼤⽶表⽰为( )A ．－5吨B ．＋5吨C ．－3吨D ．＋3吨03．（⼭西）北京与纽约的时差－13（负号表⽰同⼀时刻纽约时间⽐北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限⼩数和⽆限循环⼩数，因为π＝3.1415926…是⽆限不循环⼩数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是⽆限循环⼩数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为，整数为，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填⼊图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有⼀列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 . 【解法指导】从⼀系列的数中发现规律，⾸先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进⾏验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分⼦部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分⼦也是1．分母是2007，并且是⼀个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01．（湖北宜宾）数学解密：第⼀个数是3＝2 ＋1，第⼆个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四⼗数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了⼀种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有⼀组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家⼝）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和⼏何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.⼏何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表⽰的数叫互为相反数，本题m 2＝－4,m ＝－8 【变式题组】01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ．－5D ．－1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为⼀个正⽅体纸盒的展开图，若在其中的三个正⽅形A 、B 、C 内分别填⼈适当的数，使得它们折成正⽅体.若相对的⾯上的两个数互为相反数，则填⼈正⽅形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ．－ 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ．－2，0，1D ． 2，1，0【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的⼤⼩顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的⼏何意义：⼀个数的绝对值就是数轴上表⽰a 的点到原点的距离,即|a|,⽤式⼦表⽰为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >??=??-标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c |c|的值可能是____. 【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+b ab的值. 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运⽤，因为任何有理数a 的绝对值都是⾮负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.⽽两个⾮负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，⼜|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ．02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ．－4B ．－1C ． 0D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从⽽把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n)2＋|m |≥0，⽽(m ＋n)2＋|m|＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0∴m ＋n ＝O ①⼜∵|2m －n －2|＝0∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ．02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最⼤值.演练巩固·反馈提⾼01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( ) A ． 156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ．－6C ． 16D ．－1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个04．若⼀个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表⽰互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和306．若－a 不是负数，则a( )A ．是正数B ．不是负数C ．是负数D ．不是正数07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b|③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝bA ．①②B ．③④C ．①④D ．②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所⽰,则a 、b ，－a ，|b|的⼤⼩关系正确的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－aD ． a ＞|b|＞－a ＞b09．⼀个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表⽰为1、a 、a ＋b 也可以表⽰成0、b 、b a的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有⾮负性，也有最⼩值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l|＋|x －3|有没有最⼩值，如果有，求出最⼩值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表⽰实数a、b，A、B两点之间的距离表⽰为|AB|．当A、B两点中有⼀点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表⽰2和5的两点之间的距离是, 数轴上表⽰－2和－5的两点之间的距离是, 3，数轴上表⽰1和－3的两点之间的距离是 4；⑵数轴上表⽰x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x＝1或3；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最⼩值时，相应的x的取值范围是7．。
学而思初一数学春季班第11讲 目标满分班 教师版
三角形3级三角形三大专题三角形4级全等三角形的认识三角形5级全等中的基本模型春季班第十三讲春季班第十一讲多边形的故事满分晋级阶梯11三角形三大专题漫画释义1、边长都是整数的三角形，称为整数边三角形．2、若三角形三边的长为a ，b ，c 且a b c ≤≤，则⑴ 三角形的最小的边a 满足：03a b ca ++<≤，当且仅当abc ==时，等号成立；⑵ 三角形的最大的边c 满足：32a b c a b cc ++++<≤，当且仅当a b c ==时，等号成立．（上述公式建议教师结合三角形三边关系和不等式给学生进行推导）方程（特别是不定方程）和不等式是解决整数边三角形或内角是整数的三角形的常用工具．运用这一工具时，枚举法（树状图）则是常用的方法，但要注意对求得的结果进行检验．例题精讲思路导航知识互联网题型一：整数边三角形【引例】 已知等腰三角形的周长是8，边长是整数，则腰长是多少？【解析】 假设最大边为a ，则易知843a <≤，所以3a =. 即三边满足3，3，2.所以腰长为3.【例1】 ⑴若三角形的周长为60，求最大边的范围.⑵设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角形共有多少个？【解析】 ⑴设三角形的三边为a 、b 、c ，其中最大的边c 满足：32a b c a b cc ++++<≤，当且仅当a b c ==时，等号成立．依题意有606032<c ≤，即2030a <≤；⑵∵三角形三边关系定理，知p m n <+，即15p p m n p +<++=，∴152p <∵m n p ≤≤，315p m n p ++=≥，∴153p ≥，∴ 151532p <≤∵p 为自然数，∴p 可取5、6、7当7p =时，7n =，1m =；6n =，2m =；5n =，3m =；4n =，4m =； 当6p =时，6n =，3m =；5n =，4m =； 当5p =时，5n =，5m =.综上所述,以m 、n 、p 为三边长的三角形共有7个.【例2】 ⑴三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <<，若7b =，则有 个满足题意的三角形.⑵三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．⑶三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．【解析】 ⑴上面都是已知三角形的周长，从三角形的最大的边出发用枚举法．而本题提供了另 一种思路：b 知道了，a 的范围就确定了，对a 采用枚举法就可以把问题算出来，现在对a 从1到6枚举满足不等式77c a <<+的整数c 的个数为1234515++++=． ⑵21．⑶28．典题精练题型二：多边形及其内、外角和多边形及其内、外角和 （一）多边形及其内角和1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ① 多边形的顶点、边、内角、外角、对角线内角：A ∠、ABC ∠、C ∠、CDE ∠、E ∠…… 外角：α∠对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD .n 边形对角线条数：(3)2n n -条② 凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图）图（a ）为凸多边形图（b ）为凹多边形（a ） （b ）③ 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如图正六边形） AB=BC=CD=DE=EF=AF A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠2．多边形内角和：n 边形内角和等于(2)180n -⋅°① 多边形内角和公式推理方法一： 边过n 边形一个顶点，连对角线，可以得(3)n -条对角线，并且将n 形分成角(2)n -个三角形，这(2)n -个三角形的内角和恰好是多边形的内和．将n 边形分成()2n -个三角形② 多边形内角和公式推理方法二：在n 边形边上取一点与各顶点相连，得(1)n -个三角形，n 边形内角和等于这(1)n -个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即 (1)180180(2)180n n -⋅-=-⋅°°° 将n 边形分成()1n -个三角形思路导航αEDFE DCB AA B C D③ 多边形内角和公式推理方法三：在n 边形内部取一点O 与n 边形各顶点相连，得n 个三角形：ABO △、BCO △、CDO △……，这n 个三角形所有内角之和为123456180BOA BOC COD n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+=⋅° 故()1231803602180n n ∠+∠+∠+=⋅-=-⋅°°°取多边形内一点，连结各顶点，将n 边形分成n 个三角形．注：多边形内角和公式可以通过割或补的思想推导得出，教师可以给学生介绍“补”的思想.（二）多边形外角和1．多边形外角和等于360°如图：1801α∠=-∠°，1802β∠=-∠°，1803r ∠=-∠°，…… 所以r αβ∠+∠+∠+1801180=-∠+∠-°°21803∠+-∠°+…… 等式右边共有n 个180°相加，123∠+∠+∠+代表n 边形的内角和， 整理得180(2)180n n ⋅--⋅°°，即r αβ∠+∠+∠+360=° 多边形外角和恒等于360︒．2．多边形边数与内外角和关系①多边形内角和与边数相关：边数增加，内角和增加，边数减少，内角和减少；每增加一条边，内角和增加180°，反过来也成立．②多边形外角和恒等于360°，与边数多少无关．③多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不等式2级 含参不等式不等式3级 不等式的应用不等式4级方程与不等式综合应用春季班 第七讲 春季班 第五讲怎么就不一样？漫画释义满分晋级阶梯8方程与不等式 综合应用编写思路：对于求参数取值范围的题目:让学生充分认识，通过不等式求范围。
即去寻找题目中的不等关系，得到关于参数的不等式或不等式组。
本块专题通常给出方程组的解所满足的不等关系，从而求出参数的取值范围.以例1为主.对于此类问题，我们可以把方程组的解用参数来表示，也可以不必求出解的值对方程组进行整体考虑，不等式对代数计算要求很高，希望能准确应用性质来解决问题.【引例】 已知3242231x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，其中12k <<，⑴ 求、x y 的取值范围；⑵ 求2x y -的取值范围.【解析】 ⑴ 解方程组3242231x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩得42515x k y k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∵ 12k <<，∴ 224k <<，∴ 444224555k +<+<+，即142455x <<，同理可得11655y -<<-.例题精讲思路导航知识互联网题型一：方程解的取值范围⑵ 4162224555x y k k k ⎛⎫-=+---=+ ⎪⎝⎭, 可得66641442555k ⨯+<+<⨯+，即2646255x y <-<. 【点评】此题是已知参数的范围，确定解的范围.【例1】 1. 直接求未知数法：⑴ 已知方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x y >？⑵k 取什么值时，关于x 、y 的二元一次方程组24x y kx y +=⎧⎨-=⎩得到的、x y 的值① 都小于1；② 都不小于12． 整体法：⑶已知32432370x y a x y a x y +=+⎧⎪+=+⎨⎪->⎩，则a 的取值范围是 .⑷ 已知关于x 、y 的二元一次方程组2424421x y ax y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +>，那么a 的取值范围是 .⑸ 若方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ，且24k <<，求x y -的取值范围.3.与绝对值非负性综合：⑹ 已知()22230x x y m -+-+=，且0y >，则m 的取值范围是 .⑺ 如果12x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程()21280ax by ax by +-+-+=的解，求不等式组1314 >33x x a bax x +⎧-⎪⎨⎪-<+⎩的解集.【解析】 ⑴ 解方程组得35x m y m =-⎧⎨=-⎩，∵x y >，∴35m m ->-，∴4m >.⑵ 解方程组得22x k y k =+⎧⎨=-⎩，① 2121x k y k =+<⎧⎨=-<⎩，解得1k <-；② 2121≥≥x k y k =+⎧⎨=-⎩，解得3≥k .典题精练⑶ 观察方程组32432370x y a x y a x y +=+⎧⎪+=+⎨⎪->⎩①②，不必分别求出、x y 的值，只须-①②即可得到x y -，即()()4370a a +-+>，解得43a >. ⑷ 两个方程相加即可得1a >-.⑸ 两个方程相减，得：()()22222401k x y x y x y =-+⇒<-+<⇒<-<. ⑹ 4m >-.⑺ 由非负性性质可以求得2a =，5b =，则原不等式组的解集为3x <-.【例2】 ⑴已知方程组3751x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解为正数. 化简13a a ++-.⑵已知关于x ，y 的方程组：325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩的解满足0x y >>，化简：3a a +-.【解析】 ⑴ 解方程组得443x a y a =+⎧⎨=-⎩，∵00x y >⎧⎨>⎩，∴44030a a +>⎧⎨->⎩，解得13a -<<.∵13a -<<，∴1030a a +>⎧⎨-<⎩，∴13134a a a a ++-=++-=.⑵32121202252x y a x a a a a x y a y a -=+=+⎧⎧⇒⇒+>->⇒>⎨⎨+==-⎩⎩. 当23a <<时，333a a a a +-=+-=; 当3a ≥时，3323a a a a a +-=+-=-.【点评】根据解的情况确定参数的范围，从而化简绝对值.求解不等式中的参数，通常根据不等式的基本性质来判断并确定含参数的式子的取值范围．如例3. 有的根据不等式的解集列出方程（组），从而求解，确定不等式中参数的值.如例4 确定不等式（组）中参数的取值范围，常用的方法有：⑴逆用不等式（组）解集确定；⑵分类讨论确定；⑶借助数轴确定.【例3】 ⑴ 若2ax >的解集为1x <-，求24x a ->的解集.⑵ 已知a ，b 为常数，若0ax b +>的解集是13x <，求不等式0bx a -<的解集．典题精练思路导航题型二：求不等式中的参数⑶已知关于x 的不等式()3a b x a b +>-的解集是53x <-，试求0bx a ->的解集【解析】 ⑴由于不等号方向改变，故0a <，且21a=-，得20a =-<，符合题意．将2a =-代入不等式24x a ->得，2(2)4x -->，解得1x >.⑵解0ax b +>得ax b >-，由于解集为13x <，不等号方向改变，故0，a <且13b a -=，得103b a =->；解0bx a -<得bx a <，因为03，ab b>=-，所以解集为3x <-.⑶由题可知，30533a b a b a b +<⎧⎪-⎨=-⎪+⎩，解得3200a b a b ⎧=-⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩，解0bx a ->得a x b <，即32x <- 【点评】由已知解集确定参数的正负情况，从而解出新的不等式.【例4】 ⑴关于x 的不等式组12x m x m >-⎧⎨>+⎩的解集是1x >-，则m = ．⑵若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，则2009()a b += ．⑶不等式组237635x a bb x a-<⎧⎨-<⎩的解集是 5<x <22, 求a ·b = .⑷若关于x 的不等式组x m nx m n +<⎧⎨->⎩的解集是37x -<<，求不等式20mx n -<的解集.【解析】 ⑴ 3-.由题意得21m +=-，解得3m =-. ⑵ 1-．由题意，得：2213 , , 2122x a a a bb b x >++=-⎧⎧=-⎧⎪⎪∴∴⎨⎨⎨=<=⎩⎪⎪⎩⎩. 当3a =-，2b =时，()()20092009321a b +=-+=-⑶由题意，得：372376537265635323a b x x a b b a a b x b a b x a x +⎧<⎪-<⎧-+⎪⇒⇒<<⎨⎨--<⎩⎪>⎪⎩，∴37223265553a ba b a b +⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩ 所以15a b ⋅=.⑷解不等式组得x n m x m n <-⎧⎨>+⎩，依题意得73n m m n -=⎧⎨+=-⎩，解得52m n =-⎧⎨=⎩，代入不等式20mx n -<中得()2520x ⨯-⨯-<，解得15x >-.【例5】 已知方程()3127x -+=-的解是不等式()3256x x k -+>-+的最小整数解，求参数k 的取值范围．【解析】 解方程()3127x -+=-得，2x =-，解不等式()3256x x k -+>-+ 得72k x -+>， 即2-是不等式72k x -+>的最小整数解， 故可得7322≤k -+-<-， 解得1113≤k <.【拓展】若关于x 的不等式()152ax x a ->-的解都是不等式123x -<的解，求a 的取值范围．【解析】 ()152ax x a ->-化简得()252a x a ->-，123x -<的解集为1x >-，由题意可得205212≥a a a ->⎧⎪-⎨-⎪-⎩⇒205202+1≥a a a ->⎧⎪-⎨⎪-⎩⇒2052202≥a a a a ->⎧⎪-+-⎨⎪-⎩⇒20302≥a aa ->⎧⎪-⎨⎪-⎩⇒2030a a ->⎧⎨-⎩≥， 解得23≤a <.【点评】若不等式A 的解都是不等式B 的解，则A 的解集都在B 的解集里.【拓展】若满足不等式3(2)315a x a ---≤≤的x 必满足35x ≤≤，求a 的取值范围. 【解析】 原不等式可化为34(2)36a a x a +-+≤≤当2a >时，则343622a a x a a ++--≤≤，由题意得 34363522a a a a ++--≤≤≤解得8a ≥ 当2a =时，则不等式无解.当2a <时，则363422a a x a a ++--≤≤，由题意得 36343522a a a a ++--≤≤≤，无解.综上得8a ≥.有的不等关系隐藏在题目条件中需要细心发现，当题目中参数较多时，可选出其中一个为已知并且用它来表示其他的参数，如例7思路导航题型三：方程（组）与不等式综合应用【例6】 已知关于x 、y 的方程组2131x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和方程组31241x y ax by +=⎧⎨-=⎩的解相同，求关于x 的不等式616ax bx -->+的解集.【解析】 重组方程组得213312x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得53x y =⎧⎨=-⎩，代入另外两个方程得5315341a b a b -=-⎧⎨+=⎩，解得47a b =⎧⎨=⎩，代入不等式得46716x x -->+，解得2x <-.【例7】 已知a,b,c 是三个非负数，并且满足325,231a b c a b c ++=+-=,设37M a b c =+-,记M 的最大值为x ，最小值为y ，求xy . 【解析】 由题意，得：7332711a c M c b c =-⎧⇒=-⎨=-⎩. 又因为 0730370711071100≥≥≥≥≤≤≥≥a c b c c c c -⎧⎧⎪⎪⇒-⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎩.得5132711c ---≤≤所以max min15115777x M xy y M ⎧==-⎪⎪⇒=⎨⎪==-⎪⎩.【变式】已知实数a 、b 、c 满足6,23a b c a b c ++=-+=，0c b ≤≤，则a 的最大值为 ，最小值为 .【解析】 由6,23a b c a b c ++=-+=，解得 393,22a ab c +-==. 因为0c b ≤≤，所以933022a a-+≤≤解得332a ≤≤因此a 的最小值为32，最大值为3.【例8】若a,b 满足22357 , 23a b s a b +==-，求s 的最值.(2012年北京十二中期末考试)真题赏析典题精练【解析】 由题意，得25211914319s a s b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,又∵ 20 , 0≥≥a b ，∴521019143019s s +⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩≥≥.解得211453s -≤≤所以s 的最大值为143，最小值为215-.【点评】例8把s 看作已知量，并且用它来表示2a 和b ，根据非负性即可得到s 的取值范围，从而得到最值.训练1. 解方程组2133x y k x y +=+⎧⎨-=⎩得到的x 、y 的值，⑴ 如果满足2x y +=，求k ；⑵ 如果x 、y 的值都不小于1，求k 的范围； ⑶ 如果46≤k <，求x 、y 的范围【解析】 ⑴ 94k =解方程组得45335k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵2x y +=，∴433255k k +-+=，解得94k =；⑵ 83≥k ．依题意得415335≥≥1k k +⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得83≥k ；⑶ 825≤x <，935≤y <．∵46≤k <，代入方程组的解45335k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩得825≤x <，935≤y <.训练2. 已知a 、b 为常数，若不等式()2340a b x a b -+-<的解集是49x >，求不等式()4230a b x a b -+->的解集 【解析】 ∵()2340a b x a b -+-<的解集是49x >，∴2043429a b b a a b -<⎧⎪-⎨=⎪-⎩⇒8700a b a b ⎧=⎪⎪<⎨⎪<⎪⎩，将其代入()4230a b x a b -+->得88423077b b x b b ⎛⎫-+⨯-> ⎪⎝⎭，化简得20577bx b ->，思维拓展训练（选讲）解得14x >-.训练3. 已知方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩与方程35471x y x y -=⎧⎨-=⎩的解相同，求解不等式()112123ax b bx +>-．【解析】 解35471x y x y -=⎧⎨-=⎩得21x y =⎧⎨=⎩，将21x y =⎧⎨=⎩代入46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩得2426a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得521a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 将521a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入()112123ax b bx +>-得15121223x x ⎛⎫⨯+>- ⎪⎝⎭.解得121x >-.训练4. 已知x 、y 、z 是三个非负有理数，且满足325x y z ++=，2x y z +-=，又2S x y z =+-，S 的最大值为m ，S 的最小值为n ，求()kn m -（k 为整数）的值（清华附中期末）【解析】 解方程组3252x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩（将z 看作参数）,解得1341x z y z =-⎧⎨=+⎩，因为000≥≥≥x y z ⎧⎪⎨⎪⎩，所以1304100≥≥≥z z z -⎧⎪+⎨⎪⎩解得103≤≤z ，将1341x z y z =-⎧⎨=+⎩代入2S x y z =+-得33S z =-，2333≤≤z -，所以23≤≤S∴32m n =⎧⎨=⎩，∴()()1k k n m -=- 当k 为偶数时，()()11kkn m -=-=；当k 为奇数时，()()11kkn m -=-=-.复习巩固题型一 方程根的取值范围 巩固练习【练习1】 已知方程组2334541x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解满足00x y >⎧⎨<⎩，求m 的取值范围.【解析】 171223317120722454127270211m x x y m m m x y m m m y +⎧=⎪+=++>⎧⎧⎪⇒⇒⇒>⎨⎨⎨-=--+-+<⎩⎩⎪=⎪⎩. 【练习2】 已知24221x y kx y k +=⎧⎨+=+⎩且01y x <-<，则k 的取值范围为 ．【解析】 用方程组中第1个方程减去第2个方程，得21y x k -=-，因为01y x <-<，所以0211k <-<，解得112k <<．题型二 求不等式中的参数 巩固练习【练习3】 若不等式()()230a b x a b ++-<的解集为13x >-，则不等式()()320a b x b a -+->的解集为.【解析】 由已知不等式的解集可得0a b +<，且3213b a a b -=-+，于是20a b =<，代入所求不等式，解得3x >-.【练习4】 ⑴ 若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩ 的解集为11x -<<,求()()11a b +-的值.⑵ 若不等式组32122x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为723x <<，那么()()12a b ++的值为【解析】 ⑴由题意，121123223223a x a x a b x x b x b +⎧-<<⎧+⎪⇒⇒+<<⎨⎨->⎩⎪>+⎩， ∴23111212b a a b +=-⎧=⎧⎪⇒⎨⎨+=-=⎩⎪⎩ 当12a b =⎧⎨=-⎩， ()()116a b +-=-.⑵ 8.题型三 方程（组）与不等式综合应用 巩固练习【练习5】 已知非负数x,y,z 满足325,2x y z x y z ++=+-=，若2S x y z =+-，求S 的最值. 【解析】 由题意，得：133314x zS z y z =-⎧⇒=-⎨=+⎩又因为1311002343≤≥≥≥≤≤≤≤≥≥zxy z z Szz⎧⎪⎧⎪⎪⎪⇒-⇒⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩，所以S的最大值为3，最小值为2.第十四种品格：信念信念的力量在美国纽约，有一个年轻的警察叫亚瑟尔。