福建省福州市第八中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题及答案
2015-2016学年福建福州八中高二(下)期中考试数学(理)试题(解析版)
2015-2016学年福建福州八中高二（下）期中考试数学（理）试题一、选择题 1．定积分dx ⎰-2)3(等于（ ）A ．－3B ．3C ．－6D ．6 【答案】C【解析】试题分析：因dx ⎰-2)3(623-=⨯=,故选C ．【考点】定积分及运算．2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果()00f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数()3f x x =在0x =处的导数值()00f '=(0)0f '=，所以，0x =是函数()3f x x =的极值点．以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 【答案】A【解析】试题分析：因导数函数的零点不一定都是极值点,故大前提错位,应选A ． 【考点】三段论及运用．3．设O 是原点，向量,OA OB对应的复数分别为23,32,i i --+那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 【答案】D【解析】试题分析：因55BA OA OB i =-=-,故应选D ．【考点】复数的向量表示及运算． 4．下列求导运算正确的是（ ） A ．（x+x 1）′=1+21xB ．（log 2x ）′=2ln 1xC ．（3x）′=3x·log 3e D ．（x 2cosx ）′=－2xsinx【答案】B【解析】试题分析：因ax x a ln 1)(log /=,故正确,应选B ． 【考点】求导运算法则． 5．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n -＜n （n ∈N，n ＞1），第一步应验证不等式（ ）A ．1＋12＜2 B ．1＋12＋13＜3C ．1＋12＋13＋14＜3 D ．1＋12＋13＜2【答案】D【解析】试题分析：因2≥n ,故应验证2=n ,应选D ． 【考点】数学归纳法及运用．6．若p =q =，0a ≥，则p 、q 的大小关系是（ ） A ．p q > B ．p q = C ．p q < D ．由a 的取值确定【答案】C【解析】试题分析：因0≥a ,故4523+++<+++a a a a ,则451231+++>+++a a a a ,即4523+-+>+-+a a a a ,也即4352+++<+++a a a a ,故q p <,应选C ．【考点】分析法及运用．7．设函数y ＝f （x ）在（a ，b ）上可导，则f （x ）在（a ，b ）上为增函数是f′（x ）＞0的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：因若0)(/>x f ,则)(x f 单调递增;反之,若)(x f 单调递增,则0)(/≥x f ．如3x y =,故应选A ．【考点】充分必要条件．8．甲、乙速度v 与时间t 的关系如下图，)(b a 是b t =时的加速度，)(b S 是从0=t 到b t =的路程，则()a b 甲与)(b a 乙，)(b S 甲与)(b S 乙的大小关系是（ ）A ．)()(b a b a 乙甲>，)()(b S b S 乙甲>B ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<C ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲>D ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲< 【答案】C【解析】试题分析：因图中的甲的速度大于乙的速度,且函数类似于幂函数αx y =,甲中的10<<α，乙中的1>α；又因为a v =/,所以)()(b a b a 乙甲<,)()(b S b S 乙甲>,故应选C ．【考点】函数与导函数的图象的识读及运用． 9．设a 、b 、c 都为正数，那么三个数ac c b b a 1,1,1+++（ ） A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 【答案】D【解析】试题分析：首先答案D 是正确的．反设每个都小于2,则a c cb b a 111+++++6<,而12a a +≥，12b b +≥，12c c +≥,故6111≥+++++ac c b b a 因反设矛盾,故假设不正确,即D 是正确的,应选D ． 【考点】反证法及运用．【易错点晴】反证法是间接证明中的很重要的证明和推断命题真伪的方法之一．反证法推理步骤是先反设再运用反设和已知进行分析推证,逐步寻找出与已知或已证的事实矛盾的结论,最后再肯定原有结论的正确．本题要求在所给的四个选择支,选出一个能正确运用反证法的结论,就是考查用反证法证明命题的思路和步骤及语言的表述．因此要解答好本题须对反证法的思路步骤要扎实掌握和熟练运用． 10．下面给出了四个类比推理：（1）由“若,,a b c R ∈则()()ab c a bc =”类比推出“若a ,b ,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)”； （2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积” （4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”． 上述四个推理中，结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】试题分析：容易验证结论是错误的．事实上,若三个向量都是单位向量,其夹角不同则（1）不成立;若取i z z ==21,1,显然满足题设,即（2）不成立．其中（3）（4）是正确的证明过程略．故应选B ．【考点】类比推理及命题真假的判定．【易错点晴】类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的结论的推理方法．本题是一道合情推理中的类比推理题,问题中给出了几个类比的结论,要求判断其真伪的问题．解答时,综合运用所学知识逐一加以验证和推断,当然本题的解答要求对所学知识扎实掌握,只有这样才能做出正确的判断．二、填空题11．复数z ＝i （i ＋1）（i 为虚数单位）的共轭复数Z = ． 【答案】1i --【解析】试题分析：因i z +-=1,故其共轭复数i z --=1． 【考点】复数的有关概念及运算．12．曲线y =2y x =所围成的封闭图形的面积S= ．【答案】13【解析】试题分析：由定积分公式可得31)01(31)01(32)(23102=---=-=⎰dx x x S ．【考点】定积分的运算公式．13．已知函数32()f x mx nx =+的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线30x y +=平行，若()[,1]f x t t +在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是_______． 【答案】]1,2[--【解析】试题分析：因nx mx x f 23)(2/+=,则⎩⎨⎧=+--=-2323n m n m ,解之得⎩⎨⎧==31n m ,所以233)(x x x f +=,所以)2(363)(2/+=+=x x x x x f ,所以⎩⎨⎧≤+-≥012t t ,即12-≤≤-t ,应填答案]1,2[--．【考点】导数的几何意义及运用．【易错点晴】导数是解答函数问题是重要工具,也是研究函数的单调性和最值的重要方法．本题是一道将函数的单调性与参数的取值范围相融合的综合问题．解答时充分利用题设条件,建立方程组⎩⎨⎧=+--=-2323n m n m ,求出函数解析式32()f x mx nx =+中的未知数n m ,的值,再依据题设中的函数32()f x mx nx =+在区间]1,[+t t 上单调,建立不等式组,通过解不等式组从而使得问题获解．14．凸函数的性质定理为：如果函数f （x ）在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1,x 2,…,x n ,有1212()()()()n nf x f x f x x x x f n n++++++≤ ，已知函数y=sinx 在区间（0,π）上是凸函数，则在△ABC 中，sin A+sin B+sin C 的最大值为 ．【解析】试题分析：因为233sin 3sin 3sin sin sin ==++≤++πC B A C B A ,所以233sin sin sin ≤++C B A ． 【考点】三角变换及运用． 【易错点晴】解答本题的关键是一定要深刻理解题设中心定义的凸函数这一新的概念和信息．解答本题时除了要扎实掌握所的三角函数的知识之外,还要学会借助和运用类比思维的推理模式,将所求问题域新定义的凸函数的所满足的数量关系式进行类比,从而求出函数C B A y sin sin sin ++=的最大值为233max =y ,在这一问题的求解过程中,类比的思维方法起到了至关重要作用．15．已知复数12,Z Z 在复平面内对应的点分别为(2,1),(,3)A B a -．（1）若12Z Z a -=的值；（2）复数12z Z Z =⋅对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值． 【答案】（1）3-=a 或1-=a ；（2）9-=a ．【解析】试题分析：（1）先将复数21,z z 的坐标形式化为代数形式,再运用复数的模建立方程求解；（2）借助题设条件求21z z 的积,然后运用题设建立方程求解． 试题解析:（1）由复数的几何意义可知：122,3z i z a i =-+=+1222z z a i -=---==31a a ∴=-=-或（2）12(2)(3)(23)(6)z z z i a i a a i =⋅=-+⋅+=--+- 依题意可知点(23,6)a a ---在直线y x =-上 ∴6(23)9a a a -=---⇒=-【考点】复数的有关概念和几何意义的综合运用．16．已知n x x )(3-的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512． （1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；（2）求n x x x )1()1()1(43-++-+- 展开式中2x 项的系数．【答案】（1）550101x x C T ==，446107210x x C T ==；（2）233+． 【解析】试题分析：（1）运用二项式展开式的通项公式待定求解；（2）借助题设条件运用组合数的性质求解． 试题解析:（1）912025122===++-n n n C C∴91=-n ，10=n6510321*********)1()1()()(rrrrr r rr rr r xC xC x x C T -+--+-=-=-= （ r =0, 1, …，10 ）∵∈-65rZ ，∴0=r ，6有理项为550101x x C T ==，446107210x x C T == （2）∵r n r n r n C C C 11+-=+，∴r n r n r n C C C -=+-112x 项的系数为)()()(310311343533342102423C C C C C C C C C -++-+-=+++ 16433311=-=C C【考点】二项式定理及通项公式的综合运用．17．已知三次函数()()32,,f x x bx cx d a b c R =+++∈过点（3,0），且函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线恰好是直线y=0． （1）求函数()f x 的 解析式；（2）设函数g （x ）=9x+m-1，若函数y=f （x ）-g （x ）在区间［-2，1］上有两个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()323f x x x =-；（2）)6,1[-．【解析】试题分析：（1）依据题设运用导数的几何意义建立方程组求解；（2）借助题设条件运用化归转化的思想构造函数,再运用导数求函数的值域即可获解． 试题解析: （1）(),232fx x bx c =++函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线恰好是y=0，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=='=0)3(0)0(0)0(f f f即⎪⎩⎪⎨⎧=+++==0392700d c b c d ∴b=-3 ∴()323f x x x =-（2）依题意得：原命题等价于方程0)()(=-x g x f 在区间[-2,1]上有两个不同的解。
福建省福州市第八中学高二数学下学期期中试卷文(含解析)
福建省福州市第八中学2015-2016学年高二数学下学期期中试卷 文（含解析）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |3x ≥}，则P ∩Q 等于（ ） A ．{x |3≤x <4} B ．{x |－3<x <4} C ．{x |2≤x <3}D ．{x |2≤x ≤3}【答案】A考点：集合的运算.2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)- 【答案】D 【解析】试题分析：因i z +-=1,故应选D. 考点：复数的运算.3.设[),0,a b ∈+∞，A B ==A,B 的大小关系是（ ）A.A B ≤B.A B ≥C.A B <D.A B > 【答案】B 【解析】试题分析：因00≥⇒≥ab ab ,故b a ab b a +≥++2,所以应选B.考点：不等式的性质.4.小明想沏壶茶喝，当时的情况是，开水没有，烧开水需要15分钟，烧开水的壶要洗，需要1分钟，沏茶的壶和茶杯要洗，需2分钟，茶叶已有，取茶叶需1分钟，沏茶也需1分钟，小明要喝到自己所沏的茶至少需要花的时间为（）A.16分钟B. 19分钟C.20分钟D.17分钟【答案】D【解析】试题分析：因洗沏茶的壶和茶杯的2分钟可以在烧水的时候做,取茶也可以与烧水同步,故至少需17分钟就可以了,故应选D.考点：算法及运用.5.《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．合情推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理【答案】D考点：推理的形式.6．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根【答案】A 【解析】试题分析：因至少有一个实数根的反面是无实数根,故应选A. 考点：反证法及运用.7．已知x ，y 之间的一组数据如下表：对于表中数据则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是（ ） A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝85x －25D ．y ＝32x【答案】C 【解析】试题分析：因8598643,4565432=++++==++++=y x ,通过计算可知拟合程度最好的是直线5258-=x y ,故应选C.考点：线性回归方程及运用.8.执行如图所示的程序框图,则输出的k 的值是（ ） A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】考点：算法流程图的理解和识读.9．函数f (x )）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(2，＋∞)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：因0)(log 1221>-x ,故1log 121<<-x ,由对数函数的性质可得221<<x ,故应选A.考点：对数不等式的解法.10.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为（ ）A ．76B ．80C ．86D ．92 【答案】B考点：归纳推理及运算.【易错点晴】解答本题的关键是探寻出整数解的个数的表达式所存在的规律,这是进行归纳猜想的合情推理的基础,也是进行归纳、猜想的阶梯.本题的解答过程是通过对方程的整数解的个数的数字分析探究,不难发现当n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=时,整数解的个数为n ⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯4,44,34,24,14,这说明个数的都是项数的四倍,即方程的整数解的个数的通项是n a n 4=,再取20=n ,就获得答案80.运用数学的归纳法进行猜想时,一定要列举一些事实之后,当然这一猜想是有基础的,那就是对以上几个特殊值的归纳的结果.二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．） 11.已知复数z 满足(1)1z i i -=+，那么z =___. 【答案】i 【解析】试题分析：因i i i i z =+=-+=2)1(112,故应填i . 考点：复数及运算．12.函数223y x ax =--在区间[]0,1上具有单调性，则a 的取值范围是 ．【答案】(][),01,-∞+∞【解析】试题分析：因二次函数的对称轴为a x =,所以当0≤a 或1≥a 时,二次函数在区间[]0,1上单调.考点：二次函数的图象和性质． 13.已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形,若等腰ABC ∆存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___. 【答案】45︒考点：逻辑推理及运用．【易错点晴】本题以三角形的内角之间的正弦余弦的关系为前提定义了一个友好三角形的新概念和新的信息.解答本题时充分依据题设中提供的这一新的信息和概念,进行合理的推理和分析探究,最终使得问题巧妙获解.求解本题的关键是探寻出等腰三角形的顶角和底角与友好三角形的顶角和底角之间的关系1C C =且1sin cos C C =,借助三角形的内角和为0180,求出了即0902=C ,故=C 45︒.14.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”．类比此命题，给出等比数列{}n b 相应的一个正确命题是：“若{}n b是等比数列，11=b ，t s 、是互不相等的正整数，则有 ”．【答案】111=--t ss t b b【解析】试题分析：由类比推理的格式可知,等差数列是差,则等比数列是比,等差数列的差是0,则等比数列的商是1,故应填答案111=--t ss t b b .考点：类比推理及运用．【易错点晴】本题是一道合情推理中的类比推理题,类比的内容是等差数列与等比数列的之间的类比.所谓类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法.本题的解答就是借助等差和等比数列之间的这种相似进行类比推理的.解答时将差与比进行类比,将零与1进行类比,从而使得问题巧妙获解.当然这需要对类比的内涵具有较为深刻的理解和把握.三、解答题（本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题10分）设复数z 满足1z =，且(34)i z +⋅是纯虚数，求z ． 【答案】4355z i =-或4355z i =-+.【解析】考点：复数的有关概念和运算．16.已知命题46p x :|-|≤，22:210(0)q x x a a -+-≥,>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】03a <≤. 【解析】试题分析：借助题设条件建立不等式组求解.试题解析:由46102p x x x ⌝:|-|>,><-,解得或记A={x|x>10或x<-2},---------2分 q:22210x x a -+-≥,解得1x a ≥+或x ≤1-a,记B={x|x ≥1+a 或1x a ≤-}. --------4分 而⌝p q q ⇒,/⇒ p ⌝,----------------------------------------------------------6分∴A ⊂≠B,-----------------------8分即 121100a a a -≥-,⎧⎪+≤,⎨⎪>.⎩--------------11分∴03a <≤.------------------12分 考点：充分必要条件及运用．17. 2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1(单位：人)．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表(表2)． 表1表2（1）求研究小组的总人数；（2）写出表2中A 、B 、C 、D 、E 的值，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关．【答案】(1)12；(2)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关. 【解析】试题分析：(1)依据题设条件建立方程求解；(2)借助题设条件运用独立性检验的卡方系数进行推断. 试题解析:考点：正弦余弦定理及三角形面积公式的运用．第Ⅱ卷（50分）四、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18．已知命题p ：函数)2log y x =是奇函数；命题212),,0(:00=+∞∈∃x x q ，则下列判断正确的是（ ） A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．)(q p ⌝∧是真命题D ．q p ∧⌝)(是真命题【答案】C 【解析】试题分析：因01log )1(log )1(log )()(22222==+++-+=-+x x x x x f x f ,故)2log y x =是奇函数,命题p 真；由于2120=x ,则),0(10+∞∈-=x ,所以命题 212),,0(:00=+∞∈∃x x q 是假的,所以应选C. 考点：命题及复合命题的真假的判定.19.对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C 【解析】试题分析：因2|1||1|,1|||1|≥++-≥+-y y x x (当且仅当11,10≤≤-≤≤y x 时取等号),故3|1||1||||1|≥++-++-y y x x ,应选C. 考点：绝对值不等式的几何意义及应用.20．已知抛物线y 2=4x,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是（ ） A.8 B.32C.16D.4【答案】B 【解析】考点：直线与抛物线的位置关系及基本不等式的灵活运用.21.设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足条件:存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b D ⊆上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数2()log (2)xf x t =+为“倍缩函数”，则t 的取值范围是 （ ） A.1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.()0,1C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：由题设函数的定义域是],[b a ,则其值域是]2,2[ba ,由于函数在R 上是单调递减函数,所以2)2(log 2a t a=+,即222a a t =+；同理可得222b b t =+,由此可知方程222xx t =+有两个不等是实数根.令022>=u x,则t u u =-2,则问题转化为函数)0(2>-=u u u y 和t y =有两个不同的交点问题.而函数)0(2>-=u u u y 的最大值为41,结合图象可知410<<t 时,两函数的图象有两个不同的交点,故应选D.考点：函数与方程思想、转化化归思想和数形结合思想的综合运用.五、填空题（本大题共2小题，每题4分，满分8分．）22．已知21x y +=，则22x y +的最小值为________．【答案】15 【解析】 试题分析：因21x y +=，故22x y +145)21(222+-=+-=y y y y ,由于该函数是开口向上的抛物线,因此当52=y ，函数取最小值为15. 考点：二次函数的图象和性质．【易错点晴】本题表面上是一道求二元函数的最值问题,解答时充分借助题设条件中的21x y +=,运用消元的思想,将两个变量变为一个变量,即利用21x y +=消去未知数x ,将问题转化为求二次函数145)(2+-=y y y h 的最小值的问题,求解时直接将对称轴52=y 代入函数的解析式145)(2+-=y y y h 中可得51158)52(5)(2min =+-=y h ,故所求最小值为15. 23．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在0，2]上的解析式为f (x )＝()1,01sin ,12x x x x x π-≤≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩， 则291746f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝______． 【答案】516考点：分段函数的图象和性质的综合运用．六、解答题（本大题共2小题，共22分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）24.（10分）已知函数()R a a x x x f ∈++-=,22.(Ⅰ)当2a =时，解不等式()5≥x f ；(Ⅱ)若存在0x 满足()3200<-+x x f ，求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 5{|1}3x x x ≤-≥或；(Ⅱ) 71a -<<-.【解析】试题分析：(Ⅰ)先去掉绝对值化为一次不等式求解；(Ⅱ)借助题设条件运用绝对值的几何意义求解.试题解析（Ⅰ）当2a =时，()|2||22|f x x x =-++.由5)(≥x f 得. |2||22|5x x -++≥当2≥x 时，不等式等价于52225,3x x x -++≥≥解得，所以2≥x ；…1分 当12x -<<时，不等式等价于2225,1,2x x x x -++≥≥≤<即所以1，…2分 当1x ≤-时，不等式等价于52225,3x x x ---≥≤-解得，所以53x ≤-.......3分. 所以原不等式的解集为5{|1}3x x x ≤-≥或 ............5分 （Ⅱ）4)42(22422222)(+=--+≥++-=++-=-+a x a x a x x a x x x x f ...7分 因为原命题等价于min (()|2|)3f x x +-<， ............9分 所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围. (10)考点：绝对值不等式及综合运用．【易错点晴】绝对值不等式一直是高中数学内容的难点之一.解答本题的关键是如何去掉函数解析式中的绝对值符号将其转化为普通的函数的形式,也是解答好本题的关键.求解过程中充分依据题设条件,运用绝对值的定义和几何意义,从而使得问题的解答简捷明快.求解第一问时,运用绝对值的定义将不等式化为整式形式的一元一次不等式,需要注意的是不要忘记讨论时的前提条件,这是解答这类问题的容易出错的地方.第二问中的不等式恒成立问题是巧妙地借助绝对值的几何意义从而使得问题的解答简捷巧妙独辟歧径.25．（12分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式2mf (x )≤2()1xg x e m ---在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+，证明见解析；(Ⅱ) 1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即() 1.g x >-------4分考点：函数的奇偶性和基本不等式的运用．【易错点晴】函数的单调性、奇偶性和对称性等基本性质是函数的表达式和图象在平面直角坐标系中的反映和再现.借助这些性质可以推证和研究许多与函数有关的问题.本题在解答时充分依据题设条件,巧妙运用函数的奇偶性这一性质,求出了函数)(),(x g x f 的解析表达式.然后运用指数函数和基本不等式证明了1)(,0)(>>x g x f 的结论；第二问中设置了不等式恒成立的情境下,求参变量的取值范围问题,求解时依据题设将其参变量分离出来,使其等价转化求构造函数的最小值问题.从而使得问题简捷巧妙地获解.。
福州八中2014-2015学年第二学期期中考试试卷理科
福州八中2014-2015学年第二学期期中考试高二数学理科一、选择题：（共10小题，每小试题5分，共50分）1. 有5名游客到公园坐游艇，分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排2名游客，那么互不相同的安排方法的种数为（）A ．10 B. 20 C.30 D.402. 已知ξ(0,2σ)，且P （-2≤ξ0≤）=0.4.则P （ξ>2）等于（） A ．0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 若ξ(n,p)且E ξ =6 ，D ξ =3则P （ξ=1）的值为（） A. 3⋅22- B. 3⋅210- C. 24- D.28-4. 三江口校区安排A,B,C,D,E 五位同学住同一间宿舍，每个人只分配一个床位且床位分别为1,2,3,4和5号如果B 不排1号和5号床位，则不同的安排法有（）种. A.36 B. 8 C. 60 D.725. 设（x-x2）6的展开式中的常数为M ，所有二项式系数和为N ， 则M+N=A.304B. -304C. 136D.-1366. 将3个大小形状完全相同但颜色不同的小球放入3个盒子中，恰有一个盒子是空的概率是（） A.103 B. 32 C.53 D. 1097. 从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回的任取3件，则取得次品数为1件的概率是（） A.3532 B. 3512 C. 353 D.3528、设1021101211(3)(23)(3)(3)(3),x x a a x a x a x ++=+++++++则01211a a a a ++++的值为 （ ）A 、1B 、2C 、113 D 、1045⨯9、如图所示，用五种不同的颜色分别给A 、B 、C 、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有（ ）种。
10、 A 、45 B 、60 C 、120 D 、18010、某人练习射击，共有5发子弹，每次击中目标的概率为0.6，若他只需要在五次射击中四次击中目标就算合格，一旦合格即停止练习。
福建省福州市第八中学高二数学下学期期末考试试题 文
福州八中2014—2015学年第二学期期末考试高二数学（文）考试时间：120分钟 试卷满分：150分2015.6.9一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}322-+==x x y y A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+==0,1x x x y y B ，则有 A ．B A ⊆ B ．A B ⊆ C ．B A = D ．φ=⋂B A2．给出下列两个结论：①若命题2000:R,10p x x x ∃∈++<，则2:R,10p x x x ⌝∀∈++≥；②命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则m ≤0”； 则判断正确的是 A ．①对②错 B ．①错②对 C ．①②都对 D ．①②都错3．设全集U 是实数集,R {}22,M x x x =><-或{}2430N x x x =-+>,则图中阴影部分所表示的集合是A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <4．已知()x f 在R 上是奇函数,且满足()()x f x f =+4,当()2,0∈x 时, ()22x x f =,则()2015f 的值为 A ．2- B ．2 C ．98- D ．985．过抛物线24y x =焦点F 的直线交其于,A B 两点，O 为坐标原点．若||3AF =，则AO F∆的面积为ABCD．6．设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l α⊂，m β⊂，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m β⊂，则β⊥α，则下列命题为真命题的是A ．p 或qB ．p 且qC ．p ⌝或qD ．p 且q ⌝7．如图，在正四棱锥ABCD S -中，N M E ,,分别是SC CD BC ,,的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①//EP BD ；②AC EP ⊥；③S A C EP 面⊥；④（第 3题图）SBD EP 面//中恒成立的为A. ②④B.③④C.①②D ．①③8．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A.1B.2C.212- D.212+ 9．函数()bx ax x f +=2与()()b a ab xx f ab ≠≠=,0log 在同一直角坐标系中的图象可能是10．已知命题23:(0,),log log .p x x x ∀∈+∞< 命题32:,1.q x R x x ∃∈=- 则下列命题中为真命题的是 A.p q ∧B. p q ⌝∧⌝C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧11．一个圆的圆心为椭圆的右焦点F ，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P , 直线1PF （1F 为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为A ．21B ．22 C ．23D ．13- 12．已知函数()x f ＝201543212015432x x x x x +⋯+-+-+，则下列结论正确的是 A ．()x f 在()1,0上恰有一个零点 B ．()x f 在()0,1-上恰有一个零点C ．()x f 在()1,0上恰有两个零点D ．()x f 在（()0,1-上恰有两个零点二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．已知在四面体ABCD 中，E F 、分别是AC BD 、的中点，若24,CD AB EF AB ==⊥，则EF 与CD 所成的角为________.14．已知命题p ：实数m 满足()071222><+a ama m ，命题q ：实数m 满足方程21x m -＋my -32＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为________． 15. 曲线2-=x xy 在点()33，处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．16．已知函数都有且满足对任意的实数上的单调函数是定义在x ，R x f )(()[],62=-x x f f ()()_____________的最小值等于则x f x f -+ 三、解答题：本大题共6小题，共76分。
福建省福州市第八中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷
福州八中2014—2015学年第二学期期末考试 高二数学（理） 考试时间：120分钟试卷满分：150分 2015.6.9 第I卷（共100分） 一、选择题：（10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知集合A={x|x2+x＞2}，B={x|2x<1}，则(RA)∩B等于A．[0，1] B．(-2，1) C．[-2，0) D．[-1，0] 2. 若点的极坐标为，则点的直角坐标是 A． B． C． D． 3. 若集合＝{1，2，3}，＝{x|0＜x，x∈R}，则下列论断正确的是 A．x∈是x∈的充分不必要条件B．x∈是x∈的必要不充分条件 C．x∈是x∈的充分必要条件D．x∈是x∈的既不充分也不必要条件 . 在一次跳伞训练中，甲.乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A．B．C．D． 5. 下列点在曲线上的是 A． B． C． D． . 设，则下列不等式中不恒成立的是 A．≥2 B．≥2（） C．≥ D．≥2 7. 设是正数，且，，，则 A． B． C． D． 8.给出下列四个命题：命题“若，则”的否命题为“若”； 命题．则，使； “”是“函数为偶函数”的充要条件； 命题“，使”；命题“设是任意两个向量，则“”是“”的充分不必要条件”，那么为真命题． 其中正确的个数是 ．．．． 9. 直线（其中t为参数，）的倾角为 A. B. C. D. 10.不等式组的解集记为D，有下面四个命题： p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2， p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1. 其中的真命题是 A．p2，p3 B．p1，p2C．p1，p4 D．p1，p3二、填空题：（4小题，每小题4分，共16分） 11. 对于任意实数和b，不等式恒成立，则实数x的取值范围是 12. 若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是． 在极坐标系内，已知曲线C1的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为(为参数)．设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角的最大值是_______． 1.一个矩形的周长为l，面积为S，给出：①（4，1）；②（8，6）；③（10，8）；④.其中可作为取得的实数对的序号是_______.三、解答题：（3小题，共34分） 15.（本小题10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）求曲线的平面直角坐标方程； （Ⅱ）设直线与曲线交于点，若点的坐标为，求．16.（本小题12分）函数，其中. （Ⅰ）当时，求不等式的解集； （Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值.17.（本小题12分）已知集合，若，求实数的取值范围. 第Ⅱ卷（共50分） 一、选择题：（3小题，每小题4分，共12分） 18.在极坐标系中，直线与直线关于极轴对称，则直线L的方程为 A． B． C． D． .设、、为实数，，则下列四个结论中正确的是 A．B．C．且D．且 20.设非空集合满足：当时，有,给出如下三个命题：①若，则②若，则；③若，则其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题：（3小题，共38分） 21.（本小题12分）已知三个集合A＝{x|x2－x＋＝0}，B＝{x|x2－a+2)x＋a＝0}，C＝{x|bx2－x＋＝0}，问同时满足BA，A∪C＝A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b；若不存在，请说明理由． 22.（本小题12分）已知， ()求证:，并指出等号成立的条件; ()利用不等式求函数的最小值，并求出等号成立时的值. 23.（本小题14分）的离心率为，且过点，抛物线的焦点坐标为. (Ⅰ)求椭圆和抛物线的方程； (Ⅱ)若点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别是，直线交椭圆于两点. 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； 当的面积取最大值时，求直线的方程.福州八中2014—2015学年第二学期期末考试 高二数学（理）试卷参考答案及评分标准 第I卷（共100分） 一、选择题：（10小题，每小题5分，共50分）1. C2.A3. A4.A5.C6.D7.C8. B9.C 10.A 二、填空题：（4小题，每小题4分，共16分） 12. 13. 14．①④ 三、解答题：（3个小题，共3分）（本小题10分）【】（Ⅰ）由，得， 当时，得，对应直角坐标方程为：.当，有实数解，说明曲线过极点，而方程所表示的曲线也过原点. ∴曲线的直角坐标方程为．（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，即，由于，故可设是上述方程的两实根，则 ∵直线过点， ∴由的几何意义，可得.…………10分 16.（本小题1分） 【】（Ⅰ）当时，可化为由此可得或故不等式的解集为或( Ⅱ) 由，得 此不等式化为不等式组或………………6分 即或，………………………………9分 因为，所以不等式组的解集为………………11分 由题设可得=，故.……………………12分 17.（本小题1分）【】由已知得，，得 ①当即时，集合. 要使成立，只需，解得②当即时，，显然有，所以符合③当即时，集合. 要使成立，只需，解得综上所述，所以的取值范围是［-，］.第Ⅱ卷（共50分） 一、选择题：（3小题，每小题4分，共12分）A 19.B 20. D． 三、解答题：（3小题，共38分） 21 （本小题12分）【解析】∵A＝{x|x2－x＋＝0}＝{2，}， B＝{x|x2－(a+2)x＋a＝0}＝{x|(x－)(x－a＝0}， 又∵BA，∴a＝2. 4分∵A∪C＝A，∴C?A，则C中元素有以下三种情况： ①若C＝，即方程bx2－x＋＝0无实根， ∴Δ＝b0， x3+x4=- ；x3x4=………………………………9分 (PQ(=·=·………………10分 点O到PQ的距离为：d=从而S(OPQ=·(PQ(·d=×·×=2×(=1 13分当且仅当y02=4x02- y02+1时等号成立，又2x0-4y0+3=0联立解得：x0=，y0=1或x0=- ，y0=； 从而所求直线AB的方程为：x+2y+2=0 或x-14y-10=014分 … 第23 题图 P Q L A B M y x O。
福建省福州市第八中学2014-2015学年高二下学期期中考试化学试卷 Word版含答案.pdf
B．盛有相同浓度双氧水的两支试管，一支加入MnO2放在冷水中，一支直接放在冷水中，前者反应快
C．将浓硝酸分别放在冷暗处和强光下，发现强光下的浓硝酸分解得快
D．升高温度，H2O2的分解速率加快，原因是反应物分子的能量增加，活化分子百分数增大，有效碰撞次数增多
4．钢铁发生吸氧腐蚀时，正极上发生的电极反应是
定能发生
C．应用盖斯定律，可计算某些难以直接测量的反应的焓变
D．同温同压下，H2(g)＋Cl2(g)===2HCl(g)在光照和点燃条件的ΔH不同
．为了探究影响化学反应速率的因素，4位同学分别设计了下列4个实验，其中结论不正确的是
A．将大小、形状相同的镁条和铝条与相同浓度、相同温度下的盐酸反应时，两者快慢相同
C．混合气体的压强不再改变的状态
D．混合气体的密度不再改变的状态
．在容积不变的密闭容器中存在如下反应：2A(g)＋B(g) 3C(g)；ΔH”、“ 0
T1温度N2O5，部分实验数据见下表：
/s0500100 0150 0c(N2O5)/ ol·L-15.003.522.502.50下列说法中不正确的是
C．4Al(s)＋3O2(g)2Al2O3(s)
D．H(aq)＋a(OH)2(aq)BaSO4(s)＋H2O(l)
17．下列平衡体系在体积不变时加入所给物质，平衡移动的是
A．FeCl3aq)＋3KSCNaq)
Fe(SCN)3(aq)＋3KClaq)，加入KCl晶体
B．N2g)＋3H2g) 2NH3(g)，HCl气体
加入NaOH溶液
Cr(OH)3沉淀
通电
? ①CH3OH(g)+H2O(g)=CO2(g)+3H2(g)△H1=+49.0 kJ·mol-1
2014-2015年福建省福州八中高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)
二、填空题（4 小题，每小题 4 分共 16 分） 11． （4 分）执行如图程序，当输入 39，24 上，输出的结果是 ．
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12． （4 分）已知 F1、F2 为椭圆 C： ∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|= ．
=1 的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，
13． （4 分）为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的 方法，从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师，调查了解他们上学期使用多媒 体辅助教学的次数， 结果用茎叶图表示 （如图所示） ， 据此可估计该校上学期 200 名教师中，使用多媒体辅助教学的次数在[15，25）内的人数为 ．
框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是（
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A．n=n+2，i＞21？ B．n=n+2，i＞20？ C．n=n+1，i≥20？ D．n=n+1，i＞21？ 8． （5 分） 直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆 则该椭圆的离心率为（ A． B． C． ） D． 的一个焦点和一个顶点，
概率． 16． （12 分）已知抛物线 E：x2=4y． （1）若直线 y=x+1 与抛物线 E 相交于 P，Q 两点，求|PQ|弦长； （2）已知△ABC 的三个顶点在抛物线 E 上运动．若点 A 在坐标原点，BC 边过定 点 N（0，2） ，点 M 在 BC 上且 • =0，求点 M 的轨迹方程．
9． （5 分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人 被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ A． B． C． D． =1（a＞0，b＞0）的右焦点 F 是抛物线 y2=8x ） ）
10． （5 分）已知双曲线 C：
福建省福州市第八中学高二数学下学期期中试题 文 新人
福州八中2014—2015学年第二学期期中考试高二数学（文）考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图是水平放置的ABC ∆的直观图，''//'A B y 轴，''''A B A C =，则 ABC ∆是 A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2．抛物线221xy =的准线方程是A ．81-=x B ．81-=y C ． 21-=x D ． 21-=y3.在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为3，其余各棱长都为2，则二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π4．已知函数()x f y =是定义在R 上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①()xf y =为偶函数；②()()x f x f y -+=为非奇非偶函数；③()()x f x f y --=为奇函数；④()[]2x f y = 为偶函数．其中正确判断的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．一个三棱锥的正视图和俯视图如图 所示，则它的侧视图的面积为A.23B.25C.23 D .256.若12≤≤-x 时，函数()12++=a ax x f 的值有正值也有负值，则a 的取值范围是22112211俯视图正视图A ．3131<<-a B ．31-≤a C ．31≥a D ．以上都不对 7．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是A ．1CC 与1B E是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//AC 平面1AB E8．已知双曲线()014222>=-a y a x 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为A ．xy 45±= B ．xy 54±= C ．xy 43±= D ．xy 34±= 9．设γβα、、为平面，m 、n 、l 为直线，则下列哪个条件能推出β⊥m A ．βα⊥，l =⋂βα，l m ⊥ B ．α⊥n ，β⊥n ，α⊥mC ．γα⊥，γβ⊥，α⊥mD ．m =⋂γα，γα⊥，γβ⊥10．如图，三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为ο60，11B AA ∠为锐角，且侧面11A ABB ⊥底面ABC ，给出下列四个结论：①ο601=∠ABB ； ②1BB AC ⊥；③直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为ο45；④11AC C B ⊥.其中正确的结论是 A ．②④ B ．①③C ．①③④D ．①②③④AA 1CBC 1B 1A 1B 1C 1ABEC11.函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+=0,10,2x a x x x a x x f ， 若()0f 是()x f 的最小值，则a 的取值范围为A ．[]2,1-B ．[]0,1-C ．[]2,1D ．[]2,012．如图所示，正方体D C B A ABCD ''''-的棱长为1, F E ,分别是棱A A '，C C '的中点，过直线F E ,的平面分别与棱B B '、D D '交于N M ,，设[]1,0,∈=x x BM ，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面''BDD B ；（2）当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()[]1,0,∈=x x f L ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21x f y 是偶函数； （4）四棱锥MENF C -'的体积()x h V =为常函数； 以上命题中真命题的个数.A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.已知函数()1-=x f y 定义域是[]3,1-，则()12+=x f y 的定义域是 14.已知四面体ABCD 的所有棱长均为3，顶点A 、B 、C 在半球的底面内，顶点D 在半球球面上，且在半球底面上的射影为半球球心，则此半球的体积是15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=＞＞的左、右焦点分别为12,F F ，点()23，M为双曲线C 右支上一点，且2F 在以线段1MF 为直径的圆的圆周上，则双曲线C 的离心率为 .16.设()x f 是定义在R 上的偶函数，且对于R x ∈∀恒有()()11-=+x f x f ，已知当[]1,0∈x 时，()xx f -=12则（1）()x f 的周期是2；（2）()x f 在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；D 'C 'B 'A 'NME DBAF C（3）()x f 的最大值是2，最小值是1；（4）当()4,3∈x 时，()32-=x x f其中正确的命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共76分。
福建省福州八中高二数学下学期期末考试试卷 理(含解析
福建省福州八中2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题：（10小题，每小题5分，共50分）1．已知集合A={x|x2+x＞2}，B={x|2x＜1}，则（∁R A）∩B等于( )A．[0，1] B．（﹣2，1）C．[﹣2，0）D．[﹣1，0]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|x2+x＞2}={x|x2+x﹣2＞0}={x|x＞1或x＜﹣2}，B={x|2x＜1}={x|x＜0}，则（∁R A）={x|﹣2≤x≤1}，则（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜0}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，根据集合的基本运算是解决本题的关键．2．若M点的极坐标为，则M点的直角坐标是( )A．（﹣，1）B．（﹣，﹣1）C．（，﹣1）D．（，1）考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用即可得出．解答：解：∵=﹣，y=2=1，∴M点的直角坐标是．故选：A．点评：本题考查了把极坐标化为直角坐标的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．若集合M={1，2，3}，N={x|0＜x≤3，x∈R}，则下列论断正确的是( )A．x∈M是x∈N的充分不必要条件B．x∈M是x∈N的必要不充分条件C．x∈M是x∈N 的充分必要条件D．x∈M是x∈N的既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据集合的元素的特点，得到M⊊N，继而得到结论．解答：解：∵M={1，2，3}，N={x|0＜x≤3，x∈R}，∴M⊊N，∴x∈M是x∈N的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查集合的基本运算，以及充分条件和必要条件的应用，比较基础．4．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．解答：解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．5．下列点在曲线上的是( )A．（2，1）B．（﹣3，﹣2）C．D．（1，1）考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：根据三角函数的平方关系将参数方程化为普通方程，再把各个选项中点的坐标代入验证即可．解答：解：由题意得，，消去参数θ得y2+x=1，A、把点（2，1）代入y2+x=1不成立，A不正确；B、把点（﹣3，﹣2）代入y2+x=1不成立，B不正确；C、把点（，）代入y2+x=1成立，C正确；D、把点（1，1）代入y2+x=1不成立，D不正确；故选：C．点评：本题考查参数方程化为普通方程，三角函数的平方关系的应用，以及点与曲线的位置关系，属于基础题．6．设a＞0，b＞0则下列不等中不恒成立的是( )A．a+≥2B．a2+b2≥2（a+b﹣1）C．≥﹣D．a3+b3≥2ab2考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的基本性质可得A、B、C正确，通过举反例求得D不正确，从而的互结论．解答：解：由条件a＞0，b＞0，利用基本不等式可得a+≥2，故A正确．根据a2+b2﹣2（a+b﹣1）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，可得B正确．当a=b时，C成立；当a＜b时，C显然成立．当a＞b时，C等价于 a﹣b≥a+b﹣2，等价于≥b，等价于ab＞b2，显然成立．故C恒成立．当a=2、b=3时，a3+b3=35，2ab2=36，故此时D不成立，故D不正确．故选：D．点评：本题主要考查不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题．7．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=1，x2+y2+z2=4，ax+by+cz=2，则( ) A．B．C．D．考点：柯西不等式．专题：计算题；推理和证明．分析：根据所给“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可．解答：解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=1，x2+y2+z2=4，ax+by+cz=2，∴（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2中等号成立，∴一定有：，∴=．故选：C点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．8．给出下列四个命题：①命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1；③“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，使sinx0+cosx0=”；命题q：“设，是任意两个向量，则“•=||||”是“∥”的充分不必要条件”，那么（￢p）∧q为真命题．其中正确的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1考点：命题的真假判断与应用．专题：推理和证明．分析：根据否命题的定义，可判断①；根据全称命题的否定方法，可判断②；根据三角函数的图象和性质及充要条件的定义，可判断③；根据三角函数的图象和性质及向量数量积的定义，可判断④．解答：解：①命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”，故错误；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1，故正确；③若函数y=sin（2x+φ）为偶函数，则sin（﹣2x+φ）=sin[π﹣（﹣2x+φ）]=sin（2x+π﹣φ）=sin（2x+φ）恒成立，则2φ﹣π=2kπ（k∈Z），即φ=+kπ（k∈Z），反之当φ=+kπ（k∈Z）时，y=sin（2x+φ）=cos2x或y=sin（2x+φ）=﹣cos2x是偶函数，故“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，故正确；④∵sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，∉[﹣，]，故命题p：“∃x0∈R，使sinx0+cosx0=”为假命题；若•=||||，则向量，同向，故命题q：“设，是任意两个向量，则“•=||||”是“∥”的充分不必要条件”为真命题，那么（￢p）∧q为真命题．综上正确的个数有3个，故选：B点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，本题综合性强，难度中档．9．直线（其中t为参数，）的倾斜角为( )A．αB．C．D．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线的参数方程化为普通方程，再根据直线的斜率求出倾斜角．解答：解：把直线（其中t为参数，）的参数方程化为普通方程是y+2=tan（α﹣）（x﹣1），其中0＜α＜；∴直线的斜率k=tan（α﹣）＜0，∴倾斜角为π+（α﹣）=+α．故选：C．点评：本题考查了直线的参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为普通方程，是基础题目．10．不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥1，p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，p3：∃（x，y）∈D，x+2y≤3，p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1．其中的真命题是( )A．p2，p3B．p1，p2C．p1，p4D．p1，p3考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．解答：解：作出不等式组表示的区域：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D有一部分在x+2y=1的下方，故p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥1错误；区域D有一部分在x+2y=2的上方，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确，区域D有一部分在x+2y=3的下方，故p3：∃（x，y）∈D，x+2y≤3正确，区域D全部在x+2y=﹣1的上方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误．综上所述p2，p3正确，故选：A点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．二、填空题：（4小题，每小题4分，共16分）11．对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a||x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是[﹣1，3]．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得，|x﹣1|小于或等于的最小值．利用不等式的性质求得的最小值等于2，从而得到|x﹣1|≤2，由此求得实数x的取值范围．解答：解：由题意可得|x﹣1|≤恒成立，故|x﹣1|小于或等于的最小值．∵≥=2，故的最小值等于2．∴|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，故答案为[﹣1，3]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，求出于的最小值等于2，是解题的关键，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．12．若点P（x，y）在曲线（θ为参数，θ∈R）上，则点P到原点的距离的取值范围是[1，3]．考点：参数方程化成普通方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：把曲线的参数方程化为普通方程，由几何法求出圆上的点到原点的距离即可．解答：解：把曲线（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，得；x2+（y﹣2）2=1，∴点P在以点A（0，2）为圆心，以1为半径的圆上，且圆心A到原点O的距离为1，∴点P到原点的距离取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]．点评：本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为普通方程，是基础题目．13．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ=2cosθ，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）．设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角的最大值是60°．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C1的方程为ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x，圆心Q（1，0）．以曲线C2的参数方程为（t为参数），消去参数可得普通方程．设切点为A，B，要使∠APB最大，则∠APQ取最大值，而，当PQ取最小值时即点Q到直线的距离为垂直距离时，∠APB取最大值．解答：解：曲线C1的方程为ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x，圆心Q（1，0）．以曲线C2的参数方程为（t为参数），消去参数化为：3x﹣4y+7=0．设切点为A，B，要使∠APB最大，则∠APQ取最大值，而，∴当PQ取最小值d==2时，∠APB取最大值60°．故答案为：60°．点评：本题考查了极坐标方程和直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、圆的切线性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．一个矩形的周长为l，面积为S，给出：①（4，1）②（8，6）③（10，8）④（3，）其中可作为（l，S）取得的实数对的序号是①④．考点：进行简单的演绎推理．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式，确定周长l，面积S之间的关系，代入验证可得结论．解答：解：设矩形的长、宽分别为a、b，则a+b=，S=ab∵a+b≥2∴≥2∴l2≥16S∵四组实数对：①（4，1）②（8，6）③（10，8）④（3，）∴代入验证，可知可作为（S，l）取得的实数对的序号是①④故答案为：①④点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：（3小题，共34分）15．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+）．（Ⅰ）求曲线C的平面直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点M，N，若点P的坐标为（1，0），求点P与MN中点的距离．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开得（ρsinθ+ρcosθ），利用即可得出；（II）把直线l的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得﹣1=0，由t的几何意义，可得点P与MN中点的距离为．解答：解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开得（ρsinθ+ρcosθ），可得直角坐标方程为：x2+y2=2y+2x，配方为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）把直线l的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得=2，即﹣1=0，由于△=6＞0，可设t 1，t2是上述方程的两实根，则．∵直线l过点P（1，0），∴由t的几何意义，可得点P与MN中点的距离为．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣=﹣1，故a=2点评：本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．17．已知集合M={x|x2＜（a+1）x}，N={x|x2+2x﹣3≤0}，若M⊆N，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：需要分类讨论：a+1＜0、a+1=0、a+1＞0三种情况下的集合M是否符合题意，由此求得a的取值范围．解答：解：由已知得N={x|﹣3≤x≤1}，M={x|x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）}，由已知M⊆N，得①当a+1＜0即a＜﹣1时，集合M={x|a+1＜x＜0}．要使M⊆N成立，只需﹣3≤a+1＜0，解得﹣4≤a＜﹣1；②当a+1=0即a=﹣1时，M=∅，显然有M⊆N，所以a=﹣1符合题意．③当a+1＞0即a＞﹣1时，集合M={x|0＜x＜a+1}．要使M⊆N成立，只需0＜a+1≤1，解得﹣1＜a≤0，综上所述，所以a的取值范围是[﹣4，0]．点评：本题考查集合的包含关系判断及应用，综合性强，具有一定的难度．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．一、选择题：（3小题，每小题4分，共12分）18．在极坐标系中，直线与直线关于极轴对称，则直线l的方程为( )A． B．C． D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换求出直角坐标方程，然后求出关于x轴对称后的曲线方程，再将直角坐标方程画出极坐标方程．解答：解：，得其直角坐标方程为：x﹣2y=1关于x轴对称后的曲线方程为x+2y=1∴关于极轴的对称曲线的极坐标方程为故选A．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及极坐标方程与直角方程的互化和对称变换，属于中档题．19．设a、b、c为实数，4a﹣2b+c＞0，a+b+c＜0，则下列四个结论中正确的是( ) A．b2≤ac B．b2＞ac C．b2＞ac且a＞0 D．b2＞ac且a＜0考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：当a=0时，则由题意可得b≠0，则b2＞ac=0成立，若a≠0，则对于二次函数f（x）=ax2﹣bx+c，由f（2）＞0，f（﹣1）＜0，可得该函数图象与x轴的交点必然有两个，即判别式b2 ﹣4ac＞0，但二次函数的开口方向不确定．解答：解：若a=0，则由题意可得b≠0，则b2＞ac=0．若a≠0，则对于二次函数f（x）=ax2﹣bx+c，由f（2）＞0，f（﹣1）＜0，所以当a不等于0的时候，该函数为二次函数，该函数图象与x轴的交点必然有两个，即判别式b2 ﹣4ac＞0，故 b2＞ac，但二次函数的开口方向不确定，故选 B．点评：本题考查不等式与不等关系，体现了分类讨论的数学思想，二次函数的图象性质，a≠0时，推出b2＞ac，是解题的关键．20．设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤n≤1；③若n=，则﹣≤m≤0．其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3考点：元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性．专题：集合．分析：根据题中条件：“当x∈S时，有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得，②，则对于③若，则，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．解答：解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m∈S时，有m2∈S即m2≥m，符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证n∈S时，有n2∈S即n2≤n，正对各个命题进行判断：对于①m=1，m2=1∈S故必有可得n=1，S={1}，②m=﹣，m2=∈S则解之可得≤n≤1；对于③若n=，则解之可得﹣≤m≤0，所以正确命题有3个．故选D点评：本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．三、解答题：（3小题，共38分）21．已知三个集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}，C={x|bx2﹣x+1=0}，问同时满足B⊊A，A∪C=A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b的取值情况；若不存在，请说明理由．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：先求得集合A、B；然后结合已知条件得到C⊆A，则C中元素有以下三种情况：①C=∅；②C={2}或{3}；③C={2，3}．分别求得这三种情况下b的取值范围．解答：解：∵A={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}={x|（x﹣2）（x﹣a）=0}，又∵B⊊A，∴a=2．∵A∪C=A，∴C⊆A，则C中元素有以下三种情况：①若C=∅，即方程bx2﹣x+1=0无实根，∴△=1﹣4b＜0，∴b＞，②若C={2}或{3}，即方程bx2﹣x+1=0有两个相等的实根，∴△=1﹣4b=0，∴b=，此时C={2}符合题意．③若C={2，3}，则=2+3=5，，不存在这样的b．综上所述，a=2，b≥．点评：本题考查了集合的包含关系判断及应用．综合性强，具有一定的难度．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．22．已知a，b，x，y∈（0，+∞），（Ⅰ）求证：+≥，并指出等号成立的条件；（Ⅱ）利用（1）中的不等式求函数f（x）=+（x∈（0，））的最小值，并求出等号成立时的x值（必须使用（1）中的结论，否则不给分）．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）判断+﹣的符号，得到大小关系；（Ⅱ）对f（x）变形，利用基本你打算求之．解答：解：（Ⅰ）+﹣=…∵a，b，x，y∈（0，+∞），∴xy（x+y）＞0，（ay﹣bx）2≥0所以+≥，…等号当且仅当ay=bx时成立．…（Ⅱ）f（x）=+==25，…等号当且仅当2（1﹣2x）=3×2x即x=∈（0，）时成立，…所以，x=时，f（x）的最小值为25．…点评：本题考查了比较法证明不等式、利用基本不等式求最值．23．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点（1，）．抛物线C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q两点．（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由已知条件，设椭圆方程为，把点代入能求出椭圆C1的方程．抛物线C2中，由，能求出抛物线C2的方程．（II）（i）设点M（x0， y0），且满足2x0﹣4y0+3=0，点A（x1，y1），B（x2，y2），由于切线MA，MB同过点M，有，由此能证明直线AB过定点．（ii）设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立方程，得，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线方程．解答：解：（I）由于椭圆C1中，，则设其方程为，由于点在椭圆上，故代入得λ=1．故椭圆C1的方程为．抛物线C2中，∵抛物线C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣），∴，故p=1，从而椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为x2=﹣2y．（II）（i）证明：设点M（x0，y0），且满足2x0﹣4y0+3=0，点A（x1，y1），B（x2，y2），则切线MA的斜率为﹣x1，从而MA的方程为y=﹣x1（x﹣x1）+y1，考虑到，则切线MA的方程为x1x+y+y1=0，同理切线MB的方程为x2x+y+y2=0，由于切线MA，MB同过点M，从而有，由此点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x0x+y+y0=0上．又点M在直线2x﹣4y+3=0上，则2x0﹣4y0+3=0，故直线AB的方程为（4y0﹣3）x+2y+2y0=0，即y0（4x+2）+（2y﹣3x）=0，∴直线AB过定点．（ii）解：设P（x3，y3），Q（x4，y4），考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0=0，则联立方程，消去y并简化得，从而，，，从而，点O到PQ的距离，从而=，当且仅当，即，又由于2x0﹣4y0+3=0，从而消去x0得，即，解得，从而或，∴所求的直线为x+2y+2=0或x﹣14y﹣10=0．点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．。
福建省福州市八县2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题文
2021-2021 学年度第二学期八县〔市〕一中期末联考高中二年数学〔文〕科参考答案一、选择题〔每题 5 分，共60 分〕123456789101112 DBABD A C A C B D D二、填空题〔每题 5 分，共20 分〕13、 214、 [ －4,0)∪ (0 ，＋∞)15、－ 416、 3233三、解答题〔本大题共 6 小题，共70 分〕16－31 4099217．〔本小题总分值 10 分〕〔1〕81－ 3 - 2 - 116=8⋯⋯⋯⋯ 5 分〔2〕log 98 log 2 93log 3 7lg52 lg 2=9⋯⋯⋯⋯ 10 分218.〔本小题总分值 12 分〕解： (1)因为 f x 6 x 26x ，⋯⋯⋯⋯2分所以 f112，⋯⋯⋯⋯ 4 分函数 f x的图像在点1,6 处的切线方程为：y612 x 1 ⋯⋯⋯⋯5分即 :y12x6⋯⋯⋯⋯ 6 分(2)f x 6 x 2 6 x 6 x x1⋯⋯⋯⋯ 7 分令f ' x 0,那么x0或x1⋯⋯⋯⋯ 9 分令 f 'x0,那么 1x0⋯⋯⋯⋯ 11 分f x 的增区间为0,,, 1 减区间为1，0⋯⋯⋯⋯ 12 分19、〔 1〕当a1时， p :x x2或 x 0⋯⋯⋯⋯ 1分q ：x2x3⋯⋯⋯⋯ 2分又 p q 真，所以p, q 都为真⋯⋯⋯⋯ 3分5专业资料整理2x3〔 2〕p : x1a,x1a或x1a, a0 ⋯⋯⋯⋯7分p : 1 a x 1a, a0⋯⋯⋯⋯ 8 分∴满足条件p 的解集A=x1a x1a, a 0q ： B= x2x3p 是q的必要不充分条件a0⋯⋯⋯⋯ 12B A,a13 a 3分1 a220.[ 解] 〔 1〕f ( x)的定义域为{ x x 0, x R} ,关于原点对称，⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分f (x)a(x)21ax21，⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分x x当 a0时， f (x) f ( x) 为奇函数⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分当 a0时，由 f (1)a1, f (1) a 1 ，知 f (1)f (1) ，故 f (x) 即不是奇函数也不是偶函数。
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福州八中2014—2015学年第二学期期中考试高二数学（理）考试时间：120分钟 试卷满分：150分2015.4.16第I 卷（共100分）一、选择题：（共10小题，每小试题5分，共50分）1.有5名游客到公园坐游艇，分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排2名游客，那么互不相同的安排方法的种数为 A ．10 B ．20 C ．30 D ．402. 已知),0(~2σξN ，且4.0)02(=≤≤-ξP ，则)2(>ξP 等于 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D. 0.43.若ξ～B (n ，p )且Eξ＝6，Dξ＝3，则P (ξ＝1)的值为 A ．3·2－2 B ．3·2－10 C ．2－4 D ．2－84.三江口校区安排A ， B ， C ， D ， E 五位同学住同一间宿舍，每个人只分配一个床位且床位编号分别为1，2，3，4和5 号，如果B 不排1号和5号床位，则不同的安排法共有（ ）种. A ．36 B ．8 C ．60 D ．725. 设(x －2x)6的展开式中的常数为M ，所有二项式系数和为N ，则M N +＝A ．304B ．-304C ．136D ．－1366.将3个大小形状完全相同但颜色不同的小球放入3个盒子中，恰有一个盒子是空的概率是A ．310B ．32C ．35D ．9107.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1件的概率是A.3235B.1235C.335D.2358. 设(x ＋3)(2x ＋3)10＝a 0＋a 1(x ＋3)＋a 2(x ＋3)2＋…＋a 11(x ＋3)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为A ．1B ．2C ．113D ．1045⨯9.如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有（ ）种．A.45B.60C. 120D.18010.某人练习射击，共有5发子弹，每次击中目标的概率为0.6，若他只需要在五次射击中四次击中目标就算合格，一旦合格即停止练习。
则他在第五次射击结束时恰好合格的概率为A ．40.60.4⨯B ．5554456.0)6.01(6.0∙+-∙∙C CC ．40.6D ．3440.60.4C ⨯⨯二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分）11.图是三个正态分布X ～N(0，0.01)，Y ～N(0，1)，Z ～N(0，2.25)的密度曲线，则三个随机变量X ， Y ，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________.12．袋中装有标号为1、2、3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次.若抽到各球的机会均等，事件A=“三次抽到的号码之和为6”，事件 B=“三次抽到的号码都是2”，则P(B|A)=______________ .13. 随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝k )＝(1)ck k +，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则P (12<X <52)的值为____________________.14.将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使所有字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 __________________种（用数字作答） 三、解答题：（3小题，共30分）15. （本小题10分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率作用的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀． （Ⅰ）试分别估计两个班级的优秀率；（Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强…语文阅读理解‟训练对提高…数学应用题‟得分率”有帮助．参考公式及临界值表如下：k 2= ))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-16．（本小题10分）如图，假设从福州金山到火车南站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．17.（本小题10分）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．下图是一个11阶杨辉三角：（1）求第20行中从左到右的第19个数；（2）设第n 行中所有数和为A ，n 阶（包括0阶）杨辉三角中的所有数的和为B ，且A+B ＝95，求n 的值；（3）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现351510631=++++，事实上，一般地有这样的结论：第m 斜列中（从右上到左下）前k 个数之和，一定等于第1m +斜列中第k 个数．试用含有m ，k ),(*N k m ∈的数学式子表示上述结论，并证明之．第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（3个小题，每小试题5分，共15分）18.在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为A ．16B ．14C ．13D ．51219. 为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题。
被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答，结果被调查者的300人（学号从1到300）中有90人回答了“是”，由此可以估计在这300人中闯过红灯的人数是A ．15B ．30C ．45D ．7520.将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
那么，所有的三位数中，奇和数有（ ）个。
A ．100B ．120C ．160D ．200二、解答题：（3个小题，共35分）21. （本小题11分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品。
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙；（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I ）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）22. （本小题12分）已知函数f (x )＝a ln x ＋1(a >0)．(1)求函数φ(x )＝f (x )－a ⎝⎛⎭⎫1－1x 的单调区间；(2)在区间(1，e)上f (x )>x 恒成立，求实数a 的范围．23. （本小题12分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 为x 28＋y 2b 2＝1，F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 的坐标为(1，0)，椭圆上是否存在一点P ，使得直线PF 1，PF 2都与以Q 为圆心的一个圆相切？若存在，求出P 点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．稿 纸表一表二表三福州八中2014—2015学年第二学期期中考试高二数学（理） 试卷参考答案及评分标准第I 卷（共100分）一、选择题：（共10小题，每小试题5分，共50分）1.B2.A3.B4.D5.A6.B7.B8.A9.D 10.D 二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分） 11.① ② ③ 12.1713.6514.144三、解答题：（3小题，共30分）15.【解析】（本小题10分）（1）由题意，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为5030=60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为5025=50%，∴甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%．…………4分（2∵K 2=45555050)25202530(1002⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=99100≈1.010，……………………9分∴由参考数据知，没有75%的把握认为“加强…语文阅读理解‟训练对提高…数学应用题‟得分率”有帮助．……………………10分16. 【解析】（本小题10分） (1)A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i ＝1,2. 用频率估计相应的概率可得P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1；……………………2分 P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P (B 2)＞P (B 1)，∴乙应选择L 2.…………………………4分(2)用A ，B 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P (A )＝0.6，P (B )＝0.9，又由题意知，A ，B 独立，X 可取0，1， 2.P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.6×0.9＝0.54. ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.17.【解析】（本小题10分）（1）1820C ＝220201919021C ⨯==⨯………………2分 （2）由条件知，A ＝2n ，B ＝2311222221n n ++++++=-…………4分由A+B ＝95，得232n=，所以，n=5.……………………6分（3）111121m m m mm m m k m k C C C C ----+-+-++⋅⋅⋅+=证明：左边11112112m m m m m m m m m k m m m k C C C C C C ----+-+++-=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+1221m m mm k m k m k C C C -+-+-+-=⋅⋅⋅=+==右边.……………………10分第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（3个小题，每小试题5分，共15分）高二数学（理）试卷参考答案 第1页 共4页18. D 19. A 20. A二、解答题：（3个小题，共35分）21.【解析】（本小题11分）（Ⅰ）解：.6.08.075.0,68.085.08.0=⨯=⨯=乙甲P P………………2分（Ⅱ）解：随机变量ξ、η的分别列是：,2.432.05.268.05=⨯+⨯=ξE .1.24.05.16.05.2=⨯+⨯=ηE ………6分（Ⅲ）解：由题设知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,4028,60105y x y x y x 目标函数为.1.22.4y x yE xE z +=+=ηξ………………8分作出可行域（如图）：作直线:l ,01.22.4=+y x将l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上的点M 点与原点距离最大，此时y x z 1.22.4+=取最大值. 解方程组⎩⎨⎧=+=+.4028,60105y x y x得.4,4==y x即4,4==y x 时，z 取最大值，z 的最大值为25.2 . …………11分22.【解析】（本小题12分）(1)由φ(x )＝f (x )－a ⎝⎛⎭⎫1－1x (x >0)，知φ′(x )＝a x －ax2.……2分 由φ′(x )≥0，得x ≥1，由φ′(x )≤0，得0<x ≤1，又a >0，所以，函数的单调递增区间为[)1,+∞；递减区间为(]0,1.……………………4分(2)由f (x )>x 得a ln x ＋1>x ，即a >x －1ln x .…………………………5分令g (x )＝x －1ln x (1<x <e)，则g ′(x )＝ln x －x －1x x 2.……………………6分 令h (x )＝ln x －x －1x(1<x <e)，…………………………7分则h ′(x )＝1x －1x 2>0，故h (x )在定义域上单调递增，所以h (x )>h (1)＝0.………9分因为h (x )>0，所以g ′(x )>0，即g (x )在定义域上单调递增， 则g (x )<g (e)＝e －1，即x －1ln x <e －1，……………………11分所以a 的取值范围为[e －1，＋∞)．……………………12分23. （本小题12分）解：(1)由题可知：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝22，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2故椭圆C (2)假设椭圆上存在一点P (x 0，y 0)，使得直线PF 1，PF 2都与以Q 为圆心的一个圆相切，则Q 到直线PF 1，PF 2的距离相等．∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∴直线PF 1的方程为(x 0＋2)y －y 0x －2y 0＝0，直线PF 2的方程为(x 0－2)y －y 0x ＋2y 0＝0.…………………………6分 ∴|3y 0|x 0＋2＋y 20＝|y 0|x 0－2＋y 20， 化简整理得：x 20－5x 0＋4＋y 20＝0.……………………9分 ∵点P 在椭圆上，∴x 20＋2y 20＝8.由以上两式解得：x 0＝2或x 0＝8(舍去)，∴y 0＝2或y 0＝－2，此时相切的圆的半径r ＝1.………………………………11分∴椭圆上存在点P ，其坐标为(2，2)或(2，－2)，使得直线PF 1，PF 2都与以Q 为圆心的圆(x －1)2＋y 2＝1相切．…………………………12分。