高中数学圆锥曲线解题思考与探究
对称，求实数
m
取值范围．
分析 若想求出 m 具体范围，需要得到 m 有关的不等
式，这是解答范围问题的基础环节． 因此，解答此题主要是
寻找一个满足要求的带有 m 的不等式． 是椭圆和直线的相
交问题，学生在解答之时需要设出交点坐标，之后用点差法
求出坐标，进而解相应的不等式．
解 根据题意，假设点 A（ x1 ，y1 ） ，点 B（ x2 ，y2 ） ，那么 AB
2 3槡6，－ 1
． 解答
此题之时，主要对定义知识进行运用，把曲线变成直线进行
解答．
（ 三） 方程问题分析
在圆锥曲线有 关 问 题 当 中，方 程 求 解 属 于 一 种 常 见 题
型，关于双曲线、椭 圆 和 抛 物 线 等 有 关 问 题，如 果 使 用 相 应
的标准方程加以研究，会增加解题难度． 所以，实际解题时，
且右焦点是 F，椭圆之上存在一点 M，若使 | MP | + 2 | MF | 的
值最小，求出满足题意的点 M（ x，y） 的坐标．
解 可先设 M 点到右准线距离为 | MN | ，根据题意可知
a = 2，b = 槡2，c = 1，e =
1 2
，以 椭 圆 第 二 定 义 为 依 据 可 知
MF MN
．
（ 二） 点坐标的问题分析
在解答圆锥曲 线 有 关 问 题 之 时，求 点 坐 标 属 于 常 见 问
题，在解答此类问 题 之 时，需 对 点 到 直 线 距 离 加 以 设 置，之
后通过曲线定义加以求解，进而得到点的具体坐标．
例如，如果椭
圆
x2 4
+
y2 3
= 1 当中存在一点 P（ 1，－ 1） ，
题进行思考期间，需要对下面三类问题加以关注． 首先，过
定点与 x 轴是否垂直或平行问题． 其次，直线方程与曲线方
程联合以后需通过 Δ 来计算参数具体取值． 最后，针对相应
坐标进行计算．
二、圆锥曲线的解题思考
（ 一） 范围问题分析
求范围这类问题是一类常见的圆锥曲线有关问题． 例
如，根据题干求离心率的具体范围，或针对题干当中某一参
解题技巧与方法
136
JIETI JIQIAO YU FANGFA
高中数学圆锥曲线解题思考与探究
◎赵淑贤 （ 黑龙江省鹤岗市绥滨县第一中学，黑龙江 鹤岗 156200）
【摘要】在高中阶段的数学内容当中，圆锥曲线属于一 项重点内容，也是一项难点内容． 同时，圆锥曲线还是历年 高考一个必考内容，通常以解答题这种形式出现，所占分值 较大． 因此，数学教师以及高中生都应当对圆锥曲线这一知 识给予重视，对圆锥曲线相应的解题方法与技巧加以掌握， 这样才能使得学生在高考当中取得较好成绩． 本文在分析 圆锥曲线命题特 征 的 基 础 上，对 圆 锥 曲 线 的 解 题 技 巧 加 以 探究，希望可以对实际教学有所帮助．
=e
=
1 2
，所以 | MP |
+ 2 | MF | ，因此，| MP |
+ 2 | MF |
=
| MP | + | MN | ，之后过 P 点画出右准线的垂线与椭圆交点，
即所求的
M
点，把
y
=
1
代入原椭圆方程
x2 4
+
y2 3
= 1 中，进
( ) 而得到
x
=
2
槡6 3
，y
=
－ 1，所以点 M 坐标为
数学学习与研究 2019. 15
【关键词】高中数学； 圆锥曲线； 解题技巧
一、圆锥曲线命题特征分析
第一，纵观近五年的高考数学试题，可以发现圆锥曲线
方面问题设计多以下面三种形式出现． 首先，圆锥曲线性质
以及条件的简单应用． 其次，考查直线和圆锥曲线间位置关 系． 最后，平面几何与圆锥曲线间的关联［1 － 2］．
第二，思考问题的周密性． 高中生在对圆锥曲线有关问
可通过参数方程进行求解，这样可以让问题得以简化．
三、结 论
综上所述，圆锥 曲 线 整 体 知 识 结 构 当 中 包 含 很 多 类 型
问题，与其他知识 相 比，圆 锥 曲 线 有 关 问 题 难 度 较 大，对 高
中生数学能力以及综合素养要求较高． 所以，高中生除了要
对有关数学知识 加 以 掌 握 之 外，同 时 还 需 对 圆 锥 曲 线 具 体
1 2
中，得到 b =
－
m2 + 2m2
2
．
③
由于直线 yAB =
－
1 m
x
+
b（
m ≠0 ）
和椭圆
x2 2
+ y2
=1 存
在两个相异的交点，因此，有
( ) ( ) Δ =
2b m
2
－4
1 2
+
1 m2
（ b2 － 1）
=
－ 2b2
+2
+
4 m2
＞ 0．
④
将③和④联立可得到
m
＜
－
槡6 3
或
m
＞
槡6 3
命题特征加以了 解，掌 握 圆 锥 曲 线 有 关 问 题 相 应 的 解 题 技
巧，这样才能在高考当中占据优势地位．
【参考文献】 ［1］陈淑贤． 圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的运 用研究［J］． 数学学习与研究，2018（ 15） ： 137． ［2］唐双荣． 探讨圆锥曲线参数方程在高中数学解题中 的应用［J］． 高考，2018（ 17） ： 213．
数范围加以求解． 对以上问题，高中生在解答期间存在不小
难度，难以在题干当中找到具体的突破点，进而难以对问题
进行解答． 此种情况之下，需要按照有关定理来对问题加以
深入分析以及理解，进而才能进行有效解题．
例如，已知椭圆
x2 2
+ y2
= 1 上存在 A 和 B 两点，其这两
点关于直线 y = mx +
1 2
所在的直线方程为
yAB
=
－
1 m
x
+
b（
m≠0）
．
①
由已知椭圆方程是
x2 2
+ y2
= 1．
②
把①和②进行联立可得
( ) 1 2
+
1 m2
x2 － 2b x + b2 － 1 = 0． m
根据韦达定理能够得出
x1
+ 2
x2
=
2mb m2 + 2
，y1
+ 2
y2
=
m2 b m2 + 2
，
代入到 y = mx +
圆锥曲线中的探究(存在)性问题-(通用版)(解析版)
圆锥曲线中的探究（存在）性问题圆锥曲线中探究（存在）性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索（存在）性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神.圆锥曲线中探索问题的求解策略1).此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．2)．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 题型1 探究点线关系问题1．（2020·上海市七宝中学高三期末）已知直线过椭圆：的右焦点，且直线交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；（3）连接，试探究当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，；（3）是，定点，证明见解析 【分析】（1）根据直线过定点，可求出椭圆的右焦点坐标，从而可求出椭圆中的值，再结合椭圆中，可求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，并结合及，可得到:1l x my =+C 22213x y a +=F lC ,A B ,,A F B :4l x '=,,D KE C l y M 12,MA AF MB BF λλ==m 12λλ+12λλ+,AE BD m AE BD 22143x y +=1283λλ+=-5(,0)2l ()1,0c 23b =a l ()()1122,,,A x y B x y 221431x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩y 1MA AF λ=2MB BF λ=的表达式，进而可证明；（3）令，可知直线与相交于，进而讨论时，直线与也相交于即可. 【详解】（1）直线过定点，所以椭圆的右焦点为，即，又椭圆中，所以，∴椭圆：.（2）易知，且直线与轴的交点为，直线交椭圆于， 联立，得，所以，所以，， 又，可得，所以，又，同理可得，所以， 因为， 所以，故的值是定值，且. （3）若，则直线为，此时四边形为矩形，根据对称性可知直线与相交于的中点，易知； 若，由（2）知，可知， 所以直线的方程为，12λλ+1283λλ+=-0m =AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭0m ≠AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭:1l x my =+()1,0C ()1,0F 1c =C 23b =222314a b c =+=+=C 22143x y+=0m ≠l y 10,M m ⎛⎫-⎪⎝⎭l ()()1122,,,A x y B x y 221431x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=()()22236363414410m m m ∆=++=+>122634m y y m +=-+122934y y m =-+1MA AF λ=111111(,)(1,)x y x y mλ+=--1111my λ=--2MB BF λ=2211my λ=--12121112()m y y λλ+=--+212212121163423493y y m m my y y y m ⎛⎫+++==-⋅-=⎪+⎝⎭12121111282()233m m y y m λλ+=--+=--⋅=-12λλ+1283λλ+=-0m =l 1x =ABED AE BD ,F K N 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭0m ≠()()1122,,,A x y B x y ()()124,,4,D y E y AE 2121(4)4y y y y x x --=--当时，， 所以点在直线上，同理可知，点也在直线上. 所以时，直线与也相交于定点. 综上所述，变化时，直线与相交于定点. 【点睛】求定值问题，常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2．（2021·江苏高三）如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左､右顶点，.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线与直线的交点落在定直线上.【分析】（1）根据题中条件，求出，即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得52x =211221122121112(4)3()2(41)3()3()422(4)2(4)y y x y y y my y y y y y x x x --------=+-==---211213()22(4)y y my y x +-=-2221169321818343402(4)2(4)(34)m m m m m m x x m --⨯-⨯-+++===--+5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭AE 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭BD 0m ≠AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭m AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭xOy A B 22221(0)x y a b a b+=>>AB =2e =F F l M N AM BN P 2212x y +=AM BN P 2x =,a b MN 1x my =+()11,M x y ()22,N x y到，，表示出直线和为定值，即可得出结果.【详解】（1），设焦距为，离心率，，，因此所求的椭圆方程为（2）设直线方程为，设，，由得，，，直线方程是，直线方程是，由，解得：此直线与直线的交点落在定直线上.【点睛】求解本题第二问的关键在于根据点为两直线交点，联立两直线方程，结合直线与椭圆联立12y y +12y y AMBN 2AB =2a ∴=a =2c 2e =2c a ∴=1c ∴=2221b a c ∴=-=2212x y +=MN 1x my =+()11,M x y ()22,N x y 22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222210m y my ++-=12222m y y m ∴+=-+12212y y m =-+AM y x =+BN y x =y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩212112211y x y my my y y ++++===212211212(1122221(12m m y m m m y m m m y m ⎛⎫⎛⎫-++--⎡⎤ ⎪ ⎪-+--+++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭21312m m y -+-++=((()(()()()21213121121m m y m m y ⎡⎤-+-++⎣⎦=⎡⎤-++⎣⎦()213121m m y ⎡⎤-+-++=()221121m m y ⎡⎤-+-++=(213=+=+3=+2x =AM BN P 2x =P MN，确定点横坐标为定值，即可求解.3．（2020·重庆八中高三月考）在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为，，P 是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于.设点P 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）某同学对轨迹C 的性质进行探究后发现：若过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C 相交于M ，N 两点，则直线，的交点Q 在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.【答案】（1）；（2）正确，证明见解析，直线. 【分析】（1）设点P 的坐标为，利用直接法，列方程即可求解.（2）根据题意，可设直线的方程为：，将直线与椭圆方程联立，整理可得，利用韦达定理可得，，直线的方程与直线的方程，直线，的交点的坐标满足：，整理可得，即证.【详解】（1）设点P 的坐标为， 由，得，即. 故轨迹C 的方程为：（2）根据题意，可设直线的方程为：，由，消去x 并整理得 其中，. 设，，则，. 因直线的倾斜角不为0，故，不等于（，不为0），P ()2,0-()2,0PA PB 14-()1,0l AM BN ()22104x y y +=≠4x =(),x y MN 1x my =+()224230m y my ++-=12224m y y m +=-+12234y y m =-+AM BN AM BN ()00,Q x y ()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--04x =(),x y 1224y y x x ⋅=-+-2244y x =-()22104x y y +=≠()22104x y y +=≠MN 1x my =+22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()224230m y my ++-=()222412416480m m m ∆=++=+>()11,M x y ()22,N x y 12224m y y m +=-+12234y y m =-+l 1x 2x 2±1y 2y从而可设直线的方程为∴，直线的方程为∴， 所以，直线，的交点的坐标满足：而， 因此，，即点Q 在直线上. 所以，探究发现的结论是正确的.【点睛】本题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法，属于中档题.4．（2020·江苏南通市·海安高级中学高三期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积．即椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在x 轴上，椭圆的面积为，且短轴长为．椭圆与椭圆有相同的离心率．（1）求m 的值与椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左顶点A 作直线l ，交椭圆于另一点B ，交椭圆于P ，Q 两点（点P 在A ，Q 之间）．∴求面积的最大值（O 为坐标原点）；∴设PQ 的中点为M ，椭圆的右顶点为C ，直线OM 与直线BC 的交点为N ，试探究点N 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．AM ()1122y y x x =++BN ()2222yy x x =--AM BN ()00,Q x y ()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--()()()()2121122121212123321y x y my my y y y x y my my y y +++==---()()2122121123239344433344m m y m m y m m m m m y y m -⎛⎫+-- ⎪--+++⎝⎭===---+-+04x =4x =1C 1F 2F 1C222:1(03)3x y C m m +=<<1C 1C 1C 1C 2C OPQ △1C【答案】（1）；；（2）∴；∴点N 在定直线运动． 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求椭圆的标准方程，再根据两个椭圆有相同的离心率，求；（2）∴设直线AB 的方程为：且，与椭圆联立方程，利用韦达定理表示，转化为关于的函数求最值；∴首先求点的坐标，并求直线的方程，并利用直线与椭圆方程联立，求点的坐标，联立直线OM 和BC 的方程，求交点的坐标.【详解】（1）由题意可得解得， 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以的标准方程为椭圆的离心率为，椭圆得焦点在y 轴上，则 则 （2）∴当直线AB 与x 轴重合时，O ，P ，Q 三点共线，不符合题意 故设直线AB 的方程为：且 设，由（1）知椭圆的方程为：联立方程消去x 得： 由韦达定理得：； 又令 此时 ∴94m =22143x y +=4187x =-,a b 1C m 2x ty =-0t ≠2C OPQSt M OM PQ B 2ab b π⎧=⎪⎨⎪=⎩2a =b =1C 1C 22143x y +=1C 122C 12=94m =2x ty =-0t ≠()11,P x y ()22,Q x y 2C 224193x y +=2241932x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22431670t y ty +-+=1221643t y y t +=+122743y y t =+12121||2POQ AOQ AOPS S S AO y y y y =-=⋅-=-△△△==243(3)t s s +=>==≤3233s =>OPQ △∴由∴知：，则∴ ∴直线OM 的斜率： 则直线OM 的方程为： 联立方程消去x 得：，解得： ∴ ∴则直线BC 的方程为： 联立直线OM 和BC 的方程解得：∴点N 在定值直线运动. 【点睛】定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程； （2）韦达定理列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积； （4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.题型2 探究平面图形存在问题1.（2018·上海高考真题）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．1221643t y y t +=+1221243x x t -+=+2268,4343t M t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭43OM t k =-43ty x =-222143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234120t y ty +-=21234B t y t =+222126823443B t t x t t t -=⋅-=++222121233468164234BC tt t t kt t +==-=---+3(2)4t y x =--433(2)4t y x t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩1824,77t N ⎛⎫- ⎪⎝⎭187x =-2t >xOy ()20F ，l x t =Γ()2800y x x t y =≤≤≥，l x A ΓB P Q ΓAB t B F 3t =2FQ =OQ FP AQP△8t =FP FQ FPEQ E ΓP【答案】（1）；（2）；（3）见解析. 【解析】（1）方法一：由题意可知：设，则，∴；方法二：由题意可知：设，由抛物线的性质可知：，∴； （2），，，则， ∴，设的中点，，，则直线方程：， 联立，整理得：，解得：，（舍去）， ∴的面积（3）存在，设，，则，， 直线方程为，∴，， 根据，则，∴，解得：， 2BF t =+1723S ==()B t 2BF t ==+2BF t =+()B t 22pBF t t =+=+2BF t =+()20F ，2FQ =3t =1FA =AQ =(3Q OQ D 322D ⎛ ⎝⎭，02322QFk ==-PF )2y x =-)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩2320120x x -+=23x =6x =AQP 1723S ==28y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，28m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2281628PF y y k y y ==--2168FQ y k y -=QF ()21628y y x y -=-()22164838284Q y y y y y --=-=248384y Q y ，⎛⎫- ⎪⎝⎭FP FQ FE +=2248684y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2165y =∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且． 2．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>1C 的上顶点与抛物线2C ：()220x py p =>的焦点F 重合，且抛物线2C 经过点()2,1P ，O 为坐标原点．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的标准方程；（2）已知直线l ：y kx m =+与抛物线2C 交于A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D 两点，若直线PF 平分APB ∠，四边形OCPD 能否为平行四边形？若能，求实数m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；24x y =；（2）四边形OCPD 不是平行四边形，理由见解析. 【分析】（1）由抛物线2C 经过点()2,1P ，可得抛物线方程为24x y =，其焦点为()0,1F ，可知1b =，再利用椭圆的离心率即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，由已知得120k k +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用两点求斜率公式求得直线l ：y x m =-+且1m >-，联立直线与椭圆方程得2258440x mx m -+-=，求得1m -<<OCPD 为平行四边形，则OP OC OD =+，即()()34342,1,x x y y =++，推出矛盾即可得结论.【详解】（1）由抛物线2C 经过点()2,1P ，得42p =，2p ∴=，故抛物线方程为24x y =．抛物线2C ：24x y =的焦点为()0,1F ，1b ∴=．又椭圆1C的离心率c e a ====解得：2a =所以椭圆1C 的标准方程为2214xy +=．（2）四边形OCPD 不是平行四边形，理由如下：将y kx m =+代入24x y =，消去y 并整理得：2440x kx m --=由题意知，216160k m ∆=+>，即2m k >-设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k因为直线PF 平分APB ∠，所以120k k += 设()11,A x y ，()22,B x y ，则121211022y y x x --+=-- FP FQ FPEQ EΓ25P ⎛ ⎝⎭又2114x y =，2224x y =，则22121212114440224x x x x x x --+++==--，124x x ∴+=- 2212121212124414ABx x y y x x k x x x x --+∴====---，所以直线l ：y x m =-+且1m >- 由2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 并整理得：2258440x mx m -+-= 由题意知()()2226445441650m m m ∆=-⨯⨯-=->解得：m <<1m -<<设()33,C x y ，()44,D x y ，则3485m x x +=，()3434225my y x x m +=-++=若四边形OCPD 为平行四边形，则OP OC OD =+，即()()34342,1,x x y y =++825215mm ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，显然方程组无解，所以四边形OCPD 不是平行四边形．【点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．3．（2021·湖南长沙市高三月考）如图，椭圆2222x y C :1(a b 0)a b +=>>的离心率e=2，且椭圆C 的短轴长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P M N ，，椭圆C 上的三个动点.（i ）若直线MN 过点D 10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，且P 点是椭圆C 的上顶点，求PMN ∆面积的最大值；（ii ）试探究：是否存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 椭圆C 的方程是22 1.4x y +=()()i 2PMN ∆()()ii 2不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.【分析】(1) 利用离心率以及短轴长,求出椭圆中a b c 、、.即可求椭圆C 的方程;()()i 2由已知,直线MN 的斜率存在,设直线MN 方程，联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,弦长公式,推出面积的表达式,通过换元,利用导数求出面积的最大值.()()ii 2假设存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.()1当P 在y 轴上时,推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.()2当P 在x 轴上时,推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.()3当P 不在坐标轴时，推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.故得解.【详解】（1）由已知得22222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ，所以椭圆C 的方程是22 1.4x y +=()2i （）由已知可知直线MN 的斜率定存在，设直线MN 的方程为12y kx =-，()()1122,,,M x y N x y ，由221.412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2214430k x kx +--=，所以122122414314k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 所以()()22212121224163414k x x x x x x k+-=+-=+，又32PD =，所以()12212214PMN S PD x x k ∆=⋅-=+，令22316m m k -=≥=，所以2361321416PMN m S m m m ∆==⎛⎫-++⋅ ⎪⎝⎭， 令())1,g m m m m =+∈+∞，则()2'221110m g m m m-=-=> 所以()g m在)+∞上单调递增，所以当m 时，此时0k =，()g m此时PMN S ∆有最大值2.故得解. ()2ii （）不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.理由如下： 假设存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.()1当P 在y 轴上时,P 的坐标为()0,1,则,M N 关于y 轴对称,MN 的中点Q 在y 轴上.又O 为PMN ∆的中心,所以2PO OQ =,可知1110,,,222Q M N ⎛⎫⎛⎫⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭,从而2MN PM ==即MN PM ≠.所以与PMN ∆为等边三角形矛盾. ()2当P 在x 轴上时,P 的坐标为()2,0,则,M N 关于x 轴对称,MN 的中点Q 在x 轴上.又O 为PMN ∆的中心,所以2PO OQ =,可知()1,0,1,,1,22Q M N ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而MN PM ==,即MN PM ≠.所以与PMN ∆为等边三角形矛盾. ()3当P 不在坐标轴时,设()00,P x y ,MN 的中点为Q ,则0OP y k x =, 又O 为PMN ∆的中心,则2PO OQ =,可知00,22x y Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设()()1122,,,M x y N x y ,则12012022Q Q x x x x y y y y +==-⎧⎨+==-⎩, 又222112244,44x y x y +=+=,两式相减得01212121201144MN xy y x x k x x y y y -+==-⋅=-⋅-+,从而MN k =0014x y -⋅，所以000011144PO MN y x k k x y ⎛⎫⋅=⋅-⋅=-≠- ⎪⎝⎭, 所以OP 与MN 不垂直,与等边PMN ∆矛盾. 综上所述,不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形. 【点睛】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想,属于难度题.4．（2021·四川绵阳市·（文））已知椭圆，直线交椭圆于两点，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；（2）若，试问椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在， 22:12x C y +=:l y x m =+C ,A B O l C F AOB (0)OM tOB t =>C P OAPM t 23(0,2)【分析】（1）根据直线过右焦点求出直线方程，联立直线与椭圆方程，求出或，利用面积公式即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，根据四边形为平行四边形，且.又，，求出点的坐标为，代入椭圆方程，结合韦达定理计算求解.【详解】（1）设.直线过椭圆的右焦点，则，直线的方程为.联立得，解得或.的面积为. （2）联立得，，解得.由韦达定理得，. . 四边形为平行四边形，，且. 又，，点的坐标为.又点在椭圆上，即， 整理得.又，，即，，即. ，，综上所述，的取值范围是.113y =21y =-121||2S OF y y =-OAPM OP OA OM =+(0)OM tOB t =>()1212,OP OA tOB x tx y ty =+=++P ()1212,x tx y ty ++()()1122,,,A x y B x y l C F 1m =l 1x y =+2222,1,x y x y ⎧+=⎨=+⎩23210y y +-=113y =21y =-AOB ∴121112||1(1)2233S OF y y =-=⨯⨯--=2222,,x y y x m ⎧+=⎨=+⎩2234220x mx m ++-=()22(4)12220m m ∴∆=-->203m <1243m x x +=-212223m x x -=()()()221212121223m y y x m x m x x m x x m -∴=++=+++=OAPM 0m ∴≠OP OA OM =+(0)OM tOB t =>()1212,OP OA tOB x tx y ty ∴=+=++∴P ()1212,x tx y ty ++P ()()22121222x tx y ty +++=()()222221122121222242x y txy tx x ty y +++++=221122x y +=222222x y +=12122x x y y t +=-22222233m m t --∴+⨯=-2643m t -=20,03t m ><<02t ∴<<t (0,2)【点睛】此题考查根据直线与椭圆关系求三角形面积，将几何关系转化为代数关系，利用点的坐标结合韦达定理求解，综合性强.题型3 探究长度、面积（周长）相关问题1．（2020·山西高三月考（理））已知中心为坐标原点的椭圆C的一个焦点为)F，且经过点1,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）若不经过点F 的直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切，试探究ABF 的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y += ；（2）ABF 的周长为定值4 . 【分析】（1）由椭圆的定义可知'42MF MF a +==，可得2a =，因为c =222b a c =-，所以1b =可得答案；（2）因为直线l 与圆相切，可得m 与k 的关系，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理可得弦长公式AB ，再利用两点间的距离公式可得AF 12x =-，22BF x =，所以AF BF AB ++可得答案.【详解】（1）设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由题可知另一个焦点为()'F .由椭圆的定义可知'42MF MF a +===，所以2a =，因为c =222b ac =-，所以1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）是定值，理由如下：因为直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得 ()222418440kx kmx m +++-=，所以()2221641480k m k ∆=-+=>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，所以AB ====，又221m k =+，所以241AB k -=+.由于0,0k m <>，所以1202,02x x <<<<，因为AF =122x ==-，同理22BF x =，所以()1242AF BF x x +=-+2284424141km k k =+⨯=+++，所以44AF BF AB ++=+=，故ABF 的周长为定值4. 【点睛】本题考查了直线与圆、直线与椭圆的位置关系，第二问的关键点是利用韦达定理可得AB 和AF BF +，考查了分析问题、解决问题的能力.2．（2021·山西运城市·高三期末（理））已知A ，B 是椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，C 为E 的上顶点，3AC BC ⋅=-．（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N ，P 是椭圆E 上不同的三点，且坐标原点O 为MNP △的重心，试探究MNP △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）MNP △ 【分析】（1）分别写出点,,A B C 三点的坐标，求出AC 、BC 的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解； （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率不存在时计算MNP △的面积，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214xy +=联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得12x x +，12x x ，计算弦长||MN ，点P 到直线MN 的距离d ，计算1||2MNPS MN d =⋅即可求解. 【详解】（1）(,0),(,0),(0,1)A a B a C -，则(,1),(,1)AC a BC a ==-，因为3AC BC ⋅=-，所以213a -+=-，得24a =．所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x x =，设()11,M x y ，则()11,N x y -，因为O 为MNP △的重心，所以()12,0P x -．由M ，N ，P 在椭圆上，所以221114x y +=且21414x =，解得221131,4x y ==．易知1232MNPS =⨯=， 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2214x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+， ()121222241m y y k x x m k +=++=+．因为O 为MNP △的重心，所心2282,4141kmm P k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 因为P 在椭圆上，故2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22441m k =+．||MN =点P 到直线MN 的距离d 等于O 到直线MN距离的3倍，所以d =，所以11||22MNPSMN d =⋅=26|42m m ==，综上，MNP △的面积为定值2． 【点睛】本题解题的关键点是设直线MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，计算弦长||MN ，点P 到直线MN 的距离d ，计算1||2MNPSMN d =⋅，注意计算直线MN 的斜率不存在时，MNP △的面积. 3．（2021·河北保定市·高三二模）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、22:13y C x -=1F 2F P C 128PF PF +=P C PA与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1（2）是，且定值为.【分析】（1）求出点、的坐标，计算出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积；（2）设点，求出点的坐标，计算出点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式化简可得结果.【详解】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，又因为，，， 因为，所以，，轴，点的横坐标为，所以，，，可得，即点，过点且与渐近线平行的直线的方程为，PB A B OAPB ()2222:10,0x y C a b ab'-=>>P 'C 'P 'C 'P A ''P B ''A 'B 'OA P B '''a b 12ab P B B OP OAPB ()00,P x y 'B 'B 'OP 'd 22:13y C x -=122PF PF -=128PF PF +=15PF ∴=23PF =124F F ==2222121PF F F PF +=2PF x ∴⊥∴P 2P x =22213P y -=0P y >3P y =()2,3P P y =)32y x -=-联立，解得，即点，直线的方程为，点到直线的距离为， 且，因此，四边形的面积为； （2）四边形的面积为定值，理由如下： 设点，双曲线的渐近线方程为，则直线的方程为， 联立，解得，即点， 直线的方程为，即， 点到直线的距离为，且因此，（定值）. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．（2020·安徽淮南市·高三二模）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到定点的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于，两点，线段的中)32y y x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩132x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩312B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭OP 320x y -=B OP d ==OP =OAPB 22OAPBOBP S S OP d ==⋅=△OA P B '''12ab ()00,P x y '22221x ya b-=b y x a =±P B ''()00by y x x a-=--()00b y y x x a b y x a ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00002222x a x y b y b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩0000,2222x y a b B y x ba ⎛⎫++ ⎪⎝⎭'OP '0y y x x =000y x x y -=B 'OP 'd ==22==OP '=22OA P B OB P abSS OP d ''''''==⋅=△xOy P 4x =(1,0)F 2P E F E A B AB垂线与交于点，与直线交于点，设直线的方程为，请用含的式子表示，并探究是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）；存在； 【分析】（1）设，动点到直线的距离与到定点的距离之比为，列出方程求解即可；（2）设，联立，消去，得，利用韦达定理，结合弦长公式，求出，，然后求解即可. 【详解】（1）设，动点到直线的距离与到定点的距离之比为，化简整理得.动点的轨迹的方程为. （2）设，联立，消去x ，得，根据韦达定理可得：，， ，又，于是，令，解得存在，使. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决，属于难题.题型4 探究角度相关问题1．（2020·江苏省苏州高三月考）已知双曲线的方程22:21C x y -=．（1）求点(0,1)P 到双曲线C 上的点的AB C 4x =-D AB 1x my =+m AB CDm 35ABCD =m 22143x y +=AB CD =0m =(,)P x y P 4x =(1,0)F 2()()1122,,,A x y B x y 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()2234690m y my ++-=AB CD (,)P x y P 4x =(1,0)F 2∴2=22143x y +=∴P E 22143x y +=()()1122,,,A x y B x y 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my ++-=122634m y y m +=-+122934y y m =-+∴()212212134m AB y y m +=-==+2243,3434m C m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()(22435434m CD m +=-=+∴ABCD =35AB CD ==0m =∴0m =35AB CD =距离的最小值；（2）已知直线:l y kx t =+与圆22:1M x y +=相切，①求k 和t 的关系②若l 与双曲线C 交于A 、B 两点，那么AOB ∠是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）（i ）221t k =+；（ii ）AOB ∠为定值90︒． 【分析】（1）设(,)Q a b 为双曲线上的点，代入双曲线的方程，结合两点的距离公式和二次函数的最值，可得最小值；（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由直线和圆相切可得221t k =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立双曲线的方程，消去y 可得x 的二次方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算可得AOB ∠为定值．【详解】解：（1）设()00,Q x y 为双曲线上的点，则220021-=x y ，则||===PQ 当023y =时||PQ 最小，且为6，所以点(0,1)P 到从曲线C 上点的距离的最小值为6； （2）①设直线线l 的方程为y kx t =+，由直线l与圆相切，可得1==d ，即221t k =+，②设()()1122,,,A x y B x y ，联立得()22222221021y kx t k x ktx t x y =+⎧⇒----=⎨-=⎩， 则222121222221220,,222++-≠+==-=----kt t k k x x x x k k k， 所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t 222222222222222222222--++--+===---k t k k t t k t t k k k k k， 所以2212122222022++⋅=+=-+=--k k OA OB x x y y k k，所以AOB ∠为定值90︒． 【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，以及直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和向量的坐标运算，考查方程思想和运算能力、推理能力．2．（2021·湖南高三三模）已知椭圆的右焦点为，离心率．（1）若为椭圆上一动点，证明到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出该定值；（2）设，过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴始终平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；定值；（2）存在；． 【分析】（1）根据两点距离公式，结合已知进行证明即可；（2）根据求出椭圆的方程，将直线方程与椭圆方程联立得到一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数关系，结合直线的斜率公式进行求解即可.【详解】解：（1）设点，则．因为， 点到直线的距离，所以， 即到的距离与到直线的距离之比为定值．（2）因为，，所以，的方程为．假设存在这样的一点，设，直线，联立方程组，消去得，． 设，，则，．因为轴平分，所以直线与的斜率互为相反数， 即，2222:1(0)x y C a b a b+=>>(c,0)F 12e =P C P F P 2a x c=1c =(0,)c k l C M N y Q y MQN ∠Q 12(0,3)Q 1c =()00,P x y 2200221x y a b+=||PF ===0c a x a=-P 2a x c =20a d x c =-020||12c a x PF c a e a d a x c-====-P F P 2a x c=121c =12e =2a =b =C 22143x y +=Q (0,)Q t :1l y kx =+221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()2234880k x kx ++-=()296210k ∆=+>()11,M x y ()22,N x y 122834k x x k -+=+122834x x k-=+y MQN ∠QM QN 121211QM QN kx t kx t k k x x +-+-+=+()1212122(1)0kx x t x x x x +-+==所以， 因为与无关，所以．故在轴上存在一点，使得轴始终平分．【点睛】由轴平分，得到直线与的斜率互为相反数，这是解题的关键. 3．（2021·天津高三二模）已知抛物线：与离心率为的椭圆：的一个交点为，点到抛物线的焦点的距离为2.（∴）求与的方程；（∴）设为坐标原点，在第一象限内，椭圆上是否存在点，使过作的垂线交抛物线于点，直线交轴于点，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（∴），；（∴）不存在点. 【分析】（∴）由抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，代入准线方程可求出值，从而求出抛物线方程；代入抛物线方程可求出点坐标，代入椭圆方程，结合离心率联立可解出，从而求出椭圆方程；（∴）直线与轴交于点，因为，且有，可得出，，即为线段中点，则有，设直线的方程为：，求出直线的方程，分别与椭圆和抛物线联立，求出点坐标，代入求解即可.【详解】解：（∴）因为抛物线方程为，则准线方程为：，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以有，解得：，抛物线方程为：. 则或，且点在椭圆上，有，又椭圆离心率为，即，即，联立求解：，所以椭圆方程为. （∴）由题意，直线斜率存在且大于0，设直线的方程为：，因为，则有22882(1)3434k k t k k --⋅+-⋅++22168(1)8(3)03434k k t k t k k----===++8(3)0k t -=k 3t =y (0,3)Q y MQN ∠y MQN ∠QM QN 1C ()220y px p =>22C ()222211x y a b a b+=>>()1,P t Р1C 1C 2C O 2C A O OA 1C B AB y E OAE EOB ∠=∠A 21:4C y x =222:1992x y C +=A p P ,a b AB x D OAE EOB ∠=∠90OAB EOD ∠=∠=OAD DOA ∠=∠DOB DBO ∠=∠D AB A B y y =-OA ()0y kx k =>OB ()220y px p =>2px =-()1,P t 122p+=2p =24y x =()1,2P ()1,2P -P 22141a b +=22212c a =2212b a =22992a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩221992x y +=OA OA ()0y kx k =>OA OB ⊥直线的方程为：， 由得：，即； 由得：，即. 设直线与轴交于点，因为在第一象限内，满足，又，所以有，，所以，即为线段中点，所以，无解，所以不存在点的坐标使得.【点睛】（1）抛物线经常利用定义转化，将到焦点的距离转化为到准线的距离，减少变量求解；（2）直线与圆锥曲线的问题，经常将所求问题转化为与根有关的问题，此题中将转化为，联立解出点坐标，代入等式可判断是否存在.4．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆，是的下焦点，过点的直线交于、两点，（1）求的坐标和椭圆的焦距；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；（3）在轴上是否存在定点，使得恒成立若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），焦距为；（2），此时直线的方程为；（3）存在定点，使得恒成立．【分析】（1）利用椭圆方程求出，，然后求解，即可得到结果．（2）设直线，与椭圆方程联立．利用判别式以及韦达定理，结合弦长公式点到直线的距离公式，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可推出直线方程．（3）由（2）得，，推出直线系方程，然后求解定点坐标．验证当直线的斜率不存在时，直线也过定点，即可．【详解】（1）椭圆，可得，，所以，焦距为；OB xy k=-221992x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A ⎛⎫241y xy xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩244x k y k ⎧=⎨=-⎩()24,4B k k -AB x D OAE EOB ∠=∠90OAB EOD ∠=∠=OAD DOA ∠=∠DOB DBO ∠=∠AD OD BD ==D AB A B y y =-4k =314=<A OAE EOB ∠=∠OAE EOB ∠=∠A B y y =-22:1126y x Γ+=F Γ()0,6R l ΓM N F ΓMNF l y S RSM RSN π∠+∠=S (0,F 2c =MNF l 6y =+()0,2S RSM RSN π∠+∠=a b c :6l y kx =+122122kx x k -+=+122242x x k =+l l (0,2)S 22:1126y x Γ+=a =b =c =(0,F 2c =（2）由题意得直线的斜率存在，设直线，由得，所以，故， 设，，则，， 所以(或用） 点到直线的距离所以，令，则， 所以，当且仅当时取等号，所以，此时直线的方程为；（3）当直线的斜率存在时，由（2）得，， 因为，所以，即，所以， 所以，所以， 所以，因为，所以，所以， 当直线的斜率不存在时，直线也过定点，故轴上存在定点，使得恒成立．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，解决本题的关键点是将l :6l y kx =+2211266y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()22212240k x kx +++=()()2221449624840k k k ∆=-+=->240k ->()11,M x y ()22,N x y 122122kx x k -+=+122242x x k =+12MN x =-=====MN =F l d =)21622MNFS MN d k =⋅==+△0t =>))216666MNF tS t t t==++△6MNF S ≤=△k =MNF l 6y =+l 122122kx x k -+=+122242x x k =+RSM RSN π∠+∠=0MS NS k k +=12120y t y tx x --+=()()21120x y t x y t -+-=()()2112660x kx t x kx t +-++-=()()1212260kx x t x x +-+=()()2222412122620222k kkt t k k k -+-=-=+++0k ≠2t =()0,2S l l ()0,2S y ()0,2S RSM RSN π∠+∠=。
对于高中数学中圆锥曲线知识重要性的探讨-最新教育资料
对于高中数学中圆锥曲线知识重要性的探讨圆锥曲线对于高中生而言是一个新的概念，是一个较为陌生的图形。
尽管在初中时期学习函数时听过过或者了解过抛物线、双曲线等等的名词，当时都是停留在初步直观的感受上，没有真正的了解和学习过。
学生对于什么样的点的轨迹是抛物线、什么样的点的轨迹是双曲线都是一知半解，只有在经过系统的学习和理解之后，才会对圆锥曲线形成一个全面、正确的认识。
[1]一、高中数学中圆锥曲线知识的重要性。
1.提高学生的综合解决问题的能力对于高中生而言，学习直线与圆锥曲线的内容需要学生具有较为夯实的基础，对之前所学习的知识内容掌握得十分的透彻。
同时，直线与圆锥曲线所包含的知识十分的广博，试题的涉及面广、综合性很强、题型变化多端。
因此，学生在学习和解决实际问题的过程中需要运用到多方面的知识，与其他解题的思路融合起来，解决问题。
故此，高中数学的教学中圆锥曲线知识能在一定程度上提高学生的学习能力、综合能力、实际解决问题的能力。
[2]2.有利于提高学生的思维能力高中数学不仅是一门重点学科，同时也是一门难点学科，许多学生在学习数学时感到无从下手，十分的苦楚。
原因就在于高中数学是一门逻辑性较强的学科，内容十分的抽象、难以理解。
但与此同时，数学学科抽象难以理解的内容恰恰能促使学生动脑思考，激发学生的思维能力，提高学生的逻辑性。
而圆锥曲线的知识内容，相对其他内容而言较为难理解，在学习和解题的过程中需要多加思考，从而提高学生的思维能力。
二、提高圆锥曲线教学有用性的方法策略1.设立情境，激发学生的学习兴趣数学学科的内容较为抽象，难以理解，学生在学习的过程中极易产生厌学心理。
同时，数学学科的教学不像其他学生具有较强的趣味性，学生在学习时简易感到枯燥无味。
因此，在圆锥曲线的教学中，将圆锥曲线的内容与生活情境结合起来，激发学生的学习兴趣，让学生积极主动的参与到圆锥曲线知识的教学活动中，引导学生从情境中学习知识内容，学习解决问题的思路、方法。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略在高中数学的学习中，圆锥曲线定点问题是一个比较复杂且应用范围较广的问题。
解决这类问题需要掌握一定的基本知识和解题策略。
以下是解决圆锥曲线定点问题的一些策略。
一、掌握基本概念在解决圆锥曲线定点问题时，需要首先掌握圆锥曲线的基本概念，如圆锥曲线的方程、焦点等。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线等，它们的方程有所不同。
例如，椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中$a$和$b$分别是椭圆的长轴和短轴。
对于椭圆，其焦点可以通过以下公式计算得出：$$\sqrt{a^2-b^2}$$同样的，双曲线和抛物线的方程也有所不同，需要掌握不同曲线的特点和方程。
二、通过变点法解题在解决圆锥曲线定点问题时，可以采用变点法来解决。
所谓变点法，就是将曲线上的点看作是参数，通过变化不同的参数来求解定点。
例如，对于抛物线，可以将其方程表示为：$$y=ax^2+bx+c$$将其看作是一个三次方程，可以用代数方法求出其两个根，即为两个定点的横坐标。
对于椭圆和双曲线，同样可以采用变点法来解决问题。
例如，对于椭圆，可以将其方程表示为：三、利用对称性解题在解决圆锥曲线定点问题时，还可以利用曲线的对称性来解决问题。
对称性分为轴对称和中心对称两种，分别适用于不同类型的曲线。
对于轴对称的曲线，可以通过轴对称的性质来求出定点。
例如，对于抛物线，可以利用其轴对称的特点，将横坐标取反后解出定点的纵坐标。
对于中心对称的曲线，可以将中心点作为定点，并将问题转化为距离中心点相等的两点。
例如，对于椭圆和双曲线，可以找到曲线的中心点，并将问题转化为距离中心点相等的两点的问题。
四、结合几何意义解题在解决圆锥曲线定点问题时，还可以结合几何意义来解决问题。
例如，对于椭圆和双曲线，可以将其看作是一个椭圆形或双曲线形的水池，定点则表示水池壁上的水龙头。
通过观察水龙头的位置和水池的形状，可以计算出水龙头离水池壁的距离以及水龙头的相对位置，从而求得定点。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究1. 引言1.1 背景介绍高中数学中的圆锥曲线是一个重要且复杂的知识点，对学生来说常常是一个难点。
在数学学习过程中，学生往往会遇到各种困难和挑战，尤其是在学习圆锥曲线这一部分内容时更是如此。
由于圆锥曲线涉及到多个不同的图形和方程形式，学生往往会感到困惑和无从下手。
随着教育教学改革的深入进行，如何更好地教授和学习圆锥曲线成为当前高中数学教学中一个亟待解决的问题。
针对这一情况，本文将对高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧进行探究和总结，以期为教师和学生提供一些可操作的建议和参考。
通过对圆锥曲线的概述、教学方法的探究、解题技巧的分享、实例分析和学习建议的讨论，将帮助学生更好地掌握这一知识点，提高数学学习的效果和质量。
1.2 研究意义高中数学中的圆锥曲线是一门重要且复杂的知识点，对学生来说具有很高的挑战性。
研究圆锥曲线的教学方法及解题技巧，有助于提高学生的学习效率和成绩。
通过深入探究圆锥曲线的相关知识，可以帮助学生更好地理解和掌握这一部分内容，提升数学学习的整体水平。
研究圆锥曲线的教学方法及解题技巧具有重要的意义。
通过对教学方法的探究，可以找到更有效的方式帮助学生理解圆锥曲线的概念和性质，提高他们的学习兴趣和积极性。
合理的教学方法不仅可以提升教学效果，还可以激发学生学习数学的热情，促进他们对数学的深入探索。
解题技巧在学习圆锥曲线时尤为重要。
掌握一些解题技巧可以帮助学生更快地解决问题，提高解题的准确性和速度。
通过分享一些实用的解题技巧，可以让学生在考试中更加游刃有余，取得更好的成绩。
研究圆锥曲线的教学方法及解题技巧，对于提高学生的数学学习水平具有重要的意义。
希望通过本文的探讨，能够为相关领域的研究和实践提供一些有益的借鉴和启示。
1.3 研究目的研究目的是为了探究高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧，帮助学生更好地掌握这一重要知识点。
通过研究，我们可以深入了解圆锥曲线的特性和性质，探讨最有效的教学方式，提高学生的学习效果。
高中生圆锥曲线的理解困难及对策研究
高中生圆锥曲线的理解困难及对策研究引言圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在学习圆锥曲线的过程中，很多高中生都会遇到一些困难，导致他们对这一部分知识的理解和掌握有所不足。
本文将探讨高中生在学习圆锥曲线时常见的理解困难，并提出一些应对策略，以帮助学生更好地理解和掌握这部分知识。
一、理解困难的来源1. 抽象概念理解困难圆锥曲线的概念相对抽象，而且在学习的过程中需要运用一些几何、代数、解析几何等知识，这就使得学生在理解过程中面临一定的困难。
椭圆是一个平面上动点到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的动点轨迹，这种抽象的概念对于一些学生来说很难理解和把握。
2. 数学思维能力不足学习圆锥曲线需要一定的数学思维能力，比如对线性方程的理解、图形变换的分析能力等。
而一些学生在这方面的能力有所欠缺，导致对圆锥曲线的理解和掌握存在一定的困难。
3. 缺乏实际应用背景圆锥曲线的学习往往缺乏实际应用背景，学生很难将其与实际生活或者其他学科联系起来，这就使得学习的动力和兴趣减弱，影响了学生对知识的理解和掌握。
二、对策研究1. 强化基础知识在学习圆锥曲线之前，需要巩固和强化数学基础知识，包括代数、几何、三角函数等，这样可以为学生在学习圆锥曲线时提供更好的知识基础和学习条件。
2. 提供生动形象的示例在教学中可以通过生动形象的例子来讲解圆锥曲线的概念和性质，比如通过动画、实物模型、幻灯片等形式，让学生更直观地理解圆锥曲线的特点和变化规律。
3. 联系实际应用在教学中可以将圆锥曲线与实际生活或其他学科进行联系，比如通过天体运动、电磁波传播、工程建筑等实际应用，让学生了解圆锥曲线在现实生活中的应用和意义，增强学生对知识的兴趣和理解。
4. 引导学生主动思考在教学中引导学生进行问题解决、思考讨论等形式，让学生主动思考和参与到学习过程中来，培养他们的数学思维能力和分析能力。
5. 多角度的教学方法教师在教学过程中可以采用多种教学方法，比如讲授、示范、讨论、实验等，以满足不同学生的学习方式和需求，提高教学的灵活性和有效性。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究圆锥曲线是高中数学中的重要内容，学好圆锥曲线不仅可以帮助学生提高数学分析能力，还可以为后续的高等数学学习打下基础。
下面将探究高中数学圆锥曲线的教学方法和解题技巧。
一、教学方法：1. 提前引导：在开始学习圆锥曲线之前，可以通过引入相关的实际问题，例如运动问题、工程问题等，引起学生的兴趣，激发学生对圆锥曲线的学习积极性。
2. 形象化教学：在讲解圆锥曲线的性质和特点时，可以通过几何图形、实物模型等形象化工具进行展示，帮助学生更好地理解和记忆。
3. 实例分析：在讲解圆锥曲线的解题方法时，可以选择一些具体实例进行分析，通过具体问题的讲解，引导学生掌握解题的思路和方法。
4. 综合应用：在学习圆锥曲线时，可以将圆锥曲线与其他数学知识相结合，例如函数、导数等，通过综合应用的方式来解决问题，培养学生的数学思维能力。
二、解题技巧：1. 注意曲线的方程形式：圆锥曲线有四种常见的方程形式，即圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程。
学生在解题时需要根据曲线的方程形式来选择相应的解题方法。
2. 利用对称性质解题：圆锥曲线具有一些特殊的对称性质，例如椭圆和双曲线的中心对称性、抛物线的轴对称性等。
在解题时，可以利用这些对称性质简化问题，减少计算量。
3. 利用关系式和性质解题：学生可以通过研究圆锥曲线的性质和关系式来解题，例如利用椭圆的离心率和焦点之间的关系，或者利用双曲线的渐近线方程等。
4. 应用微积分解题：在一些特殊情况下，可以利用微积分的知识来解决圆锥曲线的问题。
例如通过求导来确定曲线的切线方程、确定曲线的极值点等。
高中数学圆锥曲线的教学应注重形象化教学和实例分析，通过引导学生掌握解题的思路和方法，培养学生的数学思维能力。
学生在解题时需要注意曲线的方程形式，利用对称性质和关系式，以及适时应用微积分的知识来解决问题。
高三数学解题教学的若干思考——以圆锥曲线为例
高三数学解题教学的若干思考———以圆锥曲线为例祝敏君（福建师范大学数学与信息学院，３５０１１７） 高三是高考复习备考的重要阶段，有别于新授课的解题教学是高三数学复习的重要环节．高考是通过数学题来考学生，“工欲善其事，必先利其器”，想要成为解题高手自然需要解题训练．许多教师将数学复习课的重心放在解题教学上，这样的选择自然无可厚非．可是大量的事实表明，教师不辞辛劳地加班加点，学生在题海中苦苦挣扎，并没有带来正比的收益．要如何提高高三数学解题教学的效率，是数学教师需要考虑的问题．圆锥曲线是高考数学重要的考查内容，也是教学中典型的低效复习内容．本文以圆锥曲线内容为例，对解题教学中存在的问题进行思考，希望能够得出一些有价值的结论．１ 数学解题教学是要题量还是要精讲高中数学学习内容多、时间跨度大，高考考查的知识点分布广，题型灵活多变．在实践中，大多数学校采用“两年新课，一年复习”的教学方式，普遍进行三轮的高三数学复习．由于高考数学题的难度普遍高于课本中的习题，学生对已经学过的知识有大量的遗忘，教师希望通过高强度的解题训练，力求覆盖所有的高考题型．数学学习心理学的研究表明，大量的机械训练对数学学习的操作性技能的掌握有促进的作用，但是对数学学习的心智性技能是不利的．大量的模式化训练对应试教育有一定的效果，学生通过模仿习得，可以获得对基础知识技能的覆盖和熟悉题型的解题经验．尤其在解析几何的解题教学中，一节课讲解十几道题目，通常只能蜻蜓点水似地给出解题的思路，具体计算过程就此略过．学生普遍感觉不求甚解，老师一讲就会，自己一做就错．解析几何是几何与代数融合的产物，是几何代数化和代数几何化思维的交汇点，着重考查学生直观想象、逻辑推理和数学运算的素养．解题过程不仅涉及比较复杂的代数式化简计算，还需要通过几何直观与代数运算的随时转化，才能够真正解决问题，这就要求学生具备较高层次的数学思维．也对教师提出了挑战，不仅要讲清解题思路，还要讲清算法算理，更重要的是要进一步讲清思想方法．教师在面对内容与时间安排的矛盾时，不妨考虑将重心从题量转向精讲，少讲一点，讲精一点．让学生有足够的时间模仿、沉淀、内化与理解，这才是提高课堂效率的着力点．２ 数学解题教学是要通法还是要技巧在我国，应试教育的思想深入人心，同时数学这门学科在高考中的重要作用不言而喻．历经恢复高考以来几十年的沉淀及数学试题命制技术的发展，精妙的数学试题层出不穷，同时也有人总结出了许多题型的“秒杀”技巧．以２０１７年数学高考全国理科Ⅰ卷第１０题为例．题１ （２０１７全国Ⅰ理１０）已知Ｆ为抛物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ的焦点，过Ｆ作两条互相垂直的直线ｌ１，ｌ２，直线ｌ１与Ｃ交于Ａ、Ｂ两点，直线ｌ２与Ｃ交于Ｄ、Ｅ两点，则｜ＡＢ｜＋｜ＤＥ｜的最小值为（ ）（Ａ）１６ （Ｂ）１４ （Ｃ）１２ （Ｄ）１０解析：｜ＡＢ｜＋｜ＣＤ｜＝２ｐｓｉｎ２θ＋２ｐｓｉｎ２θ＋π()２＝２ｐ（ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ）ｓｉｎ２θ·ｃｏｓ２θ＝１６ｓｉｎ２２θ≤１６．本解法只是利用了抛物线的焦点弦公式，绕开解析法计算的过程，利用三角函数的最值来解决问题．若教师在课堂上给出这种“秒杀”的解法，足以让学生佩服并纷纷效仿．殊不知这只是圆锥曲线问题众多的二级结论之一，而所有的二级结论都有其特定的使用范围，需要学生通过大量时间进行记忆才能保证不混淆．在功利主义和实用主义思想的驱使下，许多人将这样的解题技巧奉为秘籍，仿佛掌握了技巧便可以轻松解决数学题．可是这种解法是否真的比通法更简单呢？解析（通法）：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｄ（ｘ３，·１１·ｙ３），Ｅ（ｘ４，ｙ４），易知ｌ１垂直于ｘ轴不符合题意．设ｌ１，ｌ２的斜率分别为ｋ１，ｋ２，则有ｋ１·ｋ２＝－１，直线ｌ１方程为ｙ＝ｋ１（ｘ－１），联立方程ｙ２＝４ｘ，ｙ＝ｋ１（ｘ－１{）得ｋ２１ｘ２－２ｋ２１ｘ－４ｘ＋ｋ２１＝０．∴ｘ１＋ｘ２＝－－２ｋ２１－４ｋ２１＝２ｋ２１＋４ｋ２１．同理得ｘ３＋ｘ４＝２ｋ２２＋４ｋ２２．由抛物线定义可知：｜ＡＢ｜＋｜ＣＤ｜＝２ｋ２１＋４ｋ２１＋２ｋ２２＋４ｋ２２＋４＝４ｋ２１＋４ｋ２２＋８≥２１６ｋ２１ｋ槡２２＋８＝１６．当且仅当ｋ１＝－ｋ２＝１（或－１）时，取得等号．以上解法利用的是抛物线的定义以及联立方程组解题的方法，通过几何代数化的思维转化为代数式求最值的问题．利用两条直线间的垂直关系，建立代数计算形式上的关系．从现有知识出发，易于使学生理解与内化，有助于逐级提高学生的思维水平．从有效教学的角度来看，通法更适合作为解题教学的课堂教学内容．３ 数学解题教学是要过程还是要结果现代教学理念强调教学的过程性与课堂的生成性，解题教学也不例外．数学课堂不同形式的课型应当都只有一个目的，即为学生理解而教．题２ 已知点Ｐ是双曲线ｘ２８－ｙ２４＝１上的动点，Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线的左右焦点，Ｏ为坐标原点，则｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜的取值范围是（ ）（Ａ）［０，６］ （Ｂ）（２，槡６］（Ｃ）１２，槡６(]２（Ｄ）０，槡６[]２本题是以双曲线为背景的值域问题，根据图象的对称性，可以考虑点Ｐ在双曲线右支上的情形．不妨设Ｐ（ｘ，ｙ），其中ｘ２≥８，根据双曲线的焦半径公式可得：｜ＰＦ１｜＝ｅｘ＋ａ，｜ＰＦ２｜＝ｅｘ－ａ，则有｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ｅｘ，故｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝槡６ｘｘ２＋ｙ槡２．代入消元，可得｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝槡６３２－４ｘ槡２∈（２，槡６］，即得出答案．甚至可以根据“极端法”判断，当Ｐ点是双曲线右支的顶点时，｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜槡＝６，就可以选择出答案（Ｂ）．若用解题教学仅以得到结果为目的，教学环节戛然而止，本题的教学意义只是一道训练题，根本谈不上教学的有效性．上述解法用到双曲线的焦半径公式，推证是要通过圆锥曲线的第二定义进行，这又是一个教材中没有学习过的内容．根据双曲线定义知｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ，则｜ＰＦ１｜＝２ａ＋｜ＰＦ２｜．所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ＋２｜ＰＦ２｜槡＝４２＋２（ｘ槡－２３）２＋ｙ槡２槡槡＝４２＋２（３槡ｘ－４）槡２槡＝６ｘ．可见，使用最普通的消元方式，通过代数式化简，同样能够不太费力地得到焦半径公式的结果．从熟悉的情境中入手解题，可以最大限度地避免学生的认知冲突，有利于调动学生高层次的数学思维．学生在运用代数运算的同时，也调动了几何的直观能力．在教学过程中，许多学生提出可以利用｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜的几何意义来思考，可以简化解答的过程，减少计算量．所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝槡６ｘ｜ＯＰ｜槡＝６ｃｏｓ∠ＰＯＦ２∈（２，槡６］，其中ｃｏｓ∠ＰＯＦ２∈１，２槡[)６．注重过程性的解题教学，可以充分调动学生的积极性，增加教师与学生的交流时间，往往会碰撞出许多新的解答思路．对提高学生数学思维的灵敏度，扩大数学思维的广度都有积极的作用，最终指向的还是课堂教学的有效性．４ 数学解题教学是教做法还是教解法数学解题教学离不开数学试题，不论例题还是习题都是教学的素材和内容，以考试为目的的解题教学自然离不开试题解答过程的教学．在信息发达的今天，（下转第１５页）·２１·本图形是了解的，所以从研究什么及为什么要研究作为探究路径创设情境，先引导学生通过实例了解几何图形的背景，如，通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用．再围绕研究方法引导，通过观察实验，动手操作，引发思考等环节，充分发挥学生的主动性，给学生话语权，并引导学生开展深层次的交流．４．２ 依据学情分析，真实探究教学中，教师、学生及教学内容建立了较为复杂的三个联系．其中，教师处于核心地位，教师的行为最终决定了课堂中会发生什么？教师在课堂中可以关注到学生的思维与教学内容的进展，但更困难的是如何有效、及时的对学生与教学内容的动态过程进行调控．而数学是简捷的，必须通过语言、文字、符号、图形等形式呈现出来，形成数学模型．本节课所涉及的三种曲线，分别采用分组、独立、课后三种形式完成探究，就是让学生“把看见的画出来，把发现的说出来，把理解的写出来”，学生体会每一个数学概念的出现，新知识、新方法的产生，都是自然而成的，促使学生养成仔细观察、潜心探索、主动概括、自觉交流、精确表达的习惯．４．３ 融入数学文化，反思探究《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》中明确指出，数学文化融入课程内容．数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，同时数学在形成人的理性思维、科学精神和促进智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用．课堂中适当的渗透数学文化，不仅要重视数学学科本身的文化价值，还应注重学生的数学认知特点，充分挖掘教材所蕴含的数学文化内容，让学生潜移默化地感受、了解数学的发展，从而以更广阔的视角透视数学、领悟数学的文化意义，更好地理解、把握数学的本质，同时了解过程也是对探究的再次反思与校正，有效的提升数学抽象能力与逻辑推理能力．要使学生真正成为主动的探究者，真实地经历探究的过程，教师必须重视学情分析，深入学生的生活，了解学生的特点．关注教材设计和学生已有认知，充分挖掘教材和生活资源，创设具有创新价值和人文情怀的问题情境，为探究教学奠定基础，让学生通过各种形式的探究活动，建构知识，形成技能檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸．（上接第１２页） 学生可以通过不同的方式直接得到标准答案，每道试题的标准答案都有详细的解答过程，有的还提供不同的解法．学生自己能看明白的不需要教师教，而教试题的解法，不外乎是将解答过程完整地呈现一遍．因此，课堂教学最应该教的是学生自己看不明白的部分．数学解题教学应该教给学生什么？众所周知，许多标准答案只是形式上的完美答案，无法体现解题的思维过程．教师最应该在课堂上呈现的是做法，把如何思考的全过程呈现在学生的面前，可以沿着一系列问题逐步深入，例如看到这道试题我是如何想的？能够有几种不同的思路？哪些方向是可行的？为什么可以这么想？……等等．课堂中将真实的做题过程示范给学生看，有助于学生模仿习得，构建灵动的课堂，在无形之中还能够增强学生学习数学的自信．５ 总结随着以“立德树人”为根本任务，以核心素养为导向的课程改革的推进，高考的考查内容也有新的要求．具体体现为减少单纯死记硬背的知识性考查，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力．为了破解僵化的应试教育困局，针对高三复习模式化严重的问题，２０１９年高考数学的考查上体现出“去模式化”的决心，旨在引领高中育人方式的改革．数学学习再不能只追求解题技巧，而应当努力提高运用知识的能力，发现与提出问题的能力，分析和解决问题的能力，切实提升数学核心素养．以高考为目标的高三数学解题教学应该有所改变，建议教学中尽力做好以下几点：（１）用有意义的教学代替大量的模式化训练，把教师和学生从题海中解放出来．（２）强调解题通法的教学，弱化解题技巧．在教授解题技巧时，必须要讲清该技巧的来龙去脉和适用范围，同时尽量减少记忆性知识的讲授．（３）重视解题教学的过程性，不能单纯追求结果的达成．要有“过程做好了，结果自然不会太差”的自信．（４）解题教学的课堂多讲做法，切实提高学生的运用知识解决问题的能力．参考文献：［１］连春兴，孙泰．对数学高考复习效率问题的思考及对策［Ｊ］．中国数学教育，２０１８，１９２（１２）：４９－５３．［２］鲍建生，周超．数学学习的心理基础与过程［Ｍ］．上海：上海教育出版社，２０１６：１５１．［３］祝敏君，陈清华．规避模式缩小差距明确导向弘扬文化———对２０１９年高考数学卷全国卷Ⅰ的研究［Ｊ］．福建教育，２０１９．２７：４０－４２．·５１·。
高中数学圆锥曲线解题技巧
高中数学圆锥曲线解题技巧解答数学圆锥曲线试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整。
下面店铺给你分享高中数学圆锥曲线解题技巧，欢迎阅读。
高中数学圆锥曲线解题技巧1.充分利用几何图形的策略解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，往往能减少计算量。
例：设直线3x+4y+m=0与圆x+y+x-2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值。
2.充分利用韦达定理的策略我们经常设出弦的端点坐标但不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
例：已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+1相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=，求此椭圆方程。
3.充分利用曲线方程的策略例：求经过两已知圆C:x+y-4x+2y=0和C:x+y-2y-4=0的交点，且圆心在直线l：2x+4y-1=0上的圆的方程。
4.充分利用椭圆的参数方程的策略椭圆的参数方程涉及正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题。
这也就是我们常说的三角代换法。
例：P为椭圆+=1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。
5.线段长的几种简便计算策略(1)充分利用现成结果，减少运算过程。
求直线与圆锥曲线相交的弦AB长：把直线方程y=kx+b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax+bx+c=0的方程，方程的两根设为x，x，判别式为△，则|AB|=•|x-x|=•，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。
例：求直线x-y+1=0被椭圆x+4y=16所截得的线段AB的长。
(2)结合图形的特殊位置关系，减少运算。
在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。
高中生圆锥曲线的理解困难及对策研究
高中生圆锥曲线的理解困难及对策研究高中生在学习数学时，经常会遇到许多困难和挑战，尤其是在学习曲线和几何图形的时候。
圆锥曲线是数学中的一个重要部分，许多学生在学习圆锥曲线时会遇到困难。
本文将探讨高中生在学习圆锥曲线时的困难及对策，并提出一些解决困难的建议。
一、高中生在学习圆锥曲线时的困难1. 抽象性：圆锥曲线是一种抽象的数学概念，它并不是直观的物体，因此对于许多高中生来说，很难理解它的意义和性质。
2. 数学基础不扎实：学习圆锥曲线需要对数学的基本知识有很好的理解和掌握，包括代数、几何和三角学等方面的知识。
许多学生在这些方面并不扎实，导致他们在学习圆锥曲线时感到困难。
3. 缺乏实际应用：在日常生活中，学生很难看到圆锥曲线的实际应用，这也使得他们对这一概念的理解产生困难。
4. 数学推理能力不足：学习圆锥曲线需要具备一定的数学推理能力，能够从已知信息推断出未知信息。
许多学生在这方面仍然不够成熟，导致他们在学习圆锥曲线时遇到困难。
二、对策研究1. 创设情境：为了帮助学生理解圆锥曲线的抽象概念，可以设计一些与现实生活相关的情境，让学生通过观察、实验和讨论来理解圆锥曲线的性质和意义。
2. 强化基础知识：学校应该在教学中重视数学基础知识的教育，如代数、几何和三角学等方面的知识，帮助学生夯实基础，为学习圆锥曲线打下坚实的基础。
3. 引导学生思考：教师在教学中可以引导学生思考圆锥曲线在现实生活中的应用，让学生通过实际问题的解决来理解圆锥曲线的意义和作用。
4. 提高数学推理能力：教师可以通过一些有趣的数学推理题目来提高学生的数学推理能力，让他们在解决问题的过程中提高对圆锥曲线的理解。
5. 多种教学手段：在教学中尽量采用多种教学手段，如实物演示、图形展示、数学软件等，帮助学生通过多种角度来理解圆锥曲线的概念。
三、解决困难的建议1. 个性化教学：教师应根据学生的不同程度和学习特点，采用个性化教学方法，满足学生的学习需求，提高学生的学习兴趣和主动性。
高中圆锥曲线教学现状分析及其研究
高中圆锥曲线教学现状分析及其研究引言圆锥曲线作为高中数学的重要内容之一，在数学教学中占有重要地位。
然而，目前高中圆锥曲线教学存在一些问题，例如学生对于圆锥曲线的理解不深入，学习兴趣不高等。
因此，有必要对高中圆锥曲线教学现状进行分析，并进行相关研究以提高圆锥曲线教学的质量。
圆锥曲线教学现状分析学生对圆锥曲线理解不深入目前，学生对圆锥曲线的理解常常停留在书本上的定义层面，对于其几何、代数以及应用方面的认识不够深入。
在解题过程中，学生经常依赖记忆和机械运算，缺乏对问题的整体把握和归纳总结能力。
高中教师教学方法不够灵活许多高中教师在圆锥曲线教学中仍然采用传统的教学方法，如黑板讲解、例题讲解等，缺乏灵活多样的教学手段。
教师往往只关注内容的传递，忽视了培养学生的创新思维和问题解决能力。
学生学习兴趣不高由于传统的教学方法和学习方式，学生对于圆锥曲线的学习兴趣常常不高。
对于抽象的数学知识，学生缺乏实际应用的感受，导致学习的动力不足。
高中圆锥曲线教学研究为了改善上述现状，需要从教学内容、教学方法以及教师培养等方面进行研究。
教学内容方面的研究应该根据学生的学习能力和实际需求，对圆锥曲线的内容进行适当调整。
可以引入一些实际应用的例子，让学生在解决实际问题的过程中体会到圆锥曲线的重要性与实用性。
教学方法方面的研究在教学方法方面，可以采用更多样化的教学手段，如小组讨论、展示、探究等，激发学生的学习兴趣和主动性。
同时，也应该注重启发式教学，引导学生主动思考和独立解决问题的能力。
教师培养方面的研究教师是圆锥曲线教学中的重要角色，应该注重教师的专业培训和发展。
教师需要不断提高自己的教学能力和掌握新的教学方法，以更好地引导学生。
此外，还应该鼓励教师参与教学研究，不断完善教学内容和教学方法。
结论高中圆锥曲线教学现状分析表明，目前存在学生对圆锥曲线理解不深入、教师教学方法不够灵活和学生学习兴趣不高等问题。
为了提高圆锥曲线教学的质量和效果，需要在教学内容、教学方法以及教师培养等方面进行深入研究和改进。