人教A版高中数学必修一：第一章知识框架

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新教材人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语知识点考点汇总及解题方法规律提炼

第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合的概念 (1)1.1.2集合的表示 (4)1.2集合间的基本关系 (8)1.3.1并集与交集 (13)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (17)1.4.1充分条件与必要条件 (20)1.4.2充要条件 (24)1.5.1全称量词与存在量词 (28)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (32)1.1.1集合的概念要点整理1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．常用的数集及其记法题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．对集合含义的理解给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．题型二元素与集合的关系【典例2】(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个 B．2个 C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故①②③正确，选C．(2)当x＝0时，63－0＝2；当x＝1时，63－1＝3；当x＝2时，63－2＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.[答案] (1)C (2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．题型三集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．[解析] 若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.综上所述a＝－1.[答案] －1[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．(2)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？[解] (1)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；若a2＝2，则a＝2或a＝－2，符合元素的互异性．所以a的取值为2，2，－ 2.(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．1.1.2集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．题型一用列举法表示集合【典例1】用列举法表示下列集合：(1)方程x (x －1)2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的非负偶数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合．[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么，还要弄清集合中的元素个数．[解] (1)方程x (x －1)2＝0的实数根为0,1，故其实数根组成的集合为{0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．题型二用描述法表示集合【典例2】用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；(4)不等式3x －2<4的解集．[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．(4)不等式3x－2<4可化简为x<2，所以不等式3x－2<4的解集为{x|x<2}．用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．题型三集合表示方法的应用【典例3】(1)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( )A．1 B．4 C．0 D．0或1(2)已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．[思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征．[解析] (1)①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}；②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数a的值为0或1.故选D．(2)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求a的取值范围．(2)本例(2)中条件“－2∈A ”改为“－2∉A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] (1)由题意可知方程ax 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．∴⎩⎨⎧ a ≠0，Δ＝64－64a >0，解得a <1，且a ≠0.(2)∵－2∉A ，∴－2k ＋2≤0，得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)与方程ax 2－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视a ＝0的情况．集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】用列举法表示下列集合：(1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．子集的概念温馨提示：“A是B的子集”的含义是：对任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B 且B⊆A，则A＝B.3．真子集的概念温馨提示：在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x ∈B，但x∉A.4.空集的概念题型一集合间关系的判断【典例1】判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路导引] 集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的．[解] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.判断集合间关系的3种方法(1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．(2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．(3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．题型二有限集合子集、真子集的确定【典例2】(1)填写下表，并回答问题原集合子集子集的个数∅________________{a}________________{a，b}________________{a，b，c}________________由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？(2)求满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M.[解] (1)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(1)求解有限集合子集问题的3个关键点①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)与子集、真子集个数有关的3个结论假设集合A 中含有n 个元素，则有： ①A 的子集的个数为2n 个； ②A 的真子集的个数为2n －1个； ③A 的非空真子集的个数为2n －2个．【典例3】已知集合A ＝{x |－3<x <4}，B ＝{x |1－m <x ≤2m －1}，且A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[思路导引] A ⊆B ，即集合A 中的数在集合B 中，特别注意A ＝∅的情况． [解] 由A ⊆B ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示，则⎩⎨⎧1－m ≤－3，1－m <2m －1，4≤2m －1，解得m ≥4.故m 的取值范围是{m |m ≥4}．[变式] (1)本例中若将“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，求m 的取值范围．(2)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{3，m 2}，B ＝{1,3,2m －1}，其他条件不变，求实数m 的值．[解] (1)由B ⊆A ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示．∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，1－m ≥2m －1，解得m ≤23；当B ≠∅时，有⎩⎨⎧2m －1>1－m ，2m －1<4，1－m ≥－3，解得23<m <52.综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <52. (2)由A ⊆B ，按m 2＝1和m 2＝2m －1两种情况分类讨论． ①若m 2＝1，则m ＝－1或m ＝1.当m ＝－1时，B 中元素为1,3，－3，适合题意；当m ＝1时，B 中元素为1,3,1，与元素的互异性矛盾． ②若m 2＝2m －1，则m ＝1，由①知不合题意．综上所述，m ＝－1.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．1.3.1并集与交集1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．3．并集、交集的运算性质【典例1】(1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}(2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}[思路导引] 由并集的定义，结合数轴求解．[解析] (1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.(2)在数轴上表示两个集合，如图．∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.[答案] (1)A (2)C求集合并集的2种方法(1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．(2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．题型二交集的运算【典例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}[思路导引] 既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，∴A∩B＝{2}．选A.[答案] (1)A (2)A求集合交集的2个注意点(1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．题型三由集合的并集、交集求参数【典例3】 (1)设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．(2)已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |2－k ≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[思路导引] (1)画出数轴求解．(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ；若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .[解] (1)如下图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .若B ＝∅，则2－k >2k －1，得k <1；若B ≠∅，则⎩⎨⎧2－k ≤2k －1，2－k >－3，2k －1≤4，解得1≤k ≤52.综上所述，k ≤52.[变式] 本例(2)若将“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∴⎩⎨⎧2－k ≤－3，2k －1≥4，解得k ≥5.由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点(1)策略：当题目中含有条件A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A ∩B ＝A 转化为A ⊆B ，A ∪B ＝B 转化为A ⊆B .(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(3)注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．1.3.2补集及集合运算的综合应用要点整理1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集温馨提示：∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________________.[思路导引] 借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案] (1){x|x<－3或x＝5} (2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－U3<x≤－2或x＝3}．解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．U[思路导引] 理清集合间的关系，分类求解．[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，得∁U A＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁U A)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.[变式] (1)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解] (1)由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁U A＝{x|x<－m}，又(∁U A)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，∁U B＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁U B)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．[针对训练]5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}．(1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁R B)，求实数a的取值范围．[解](1)∵B＝{x|1<x<3}，B＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁R因而要使A∪(∁R B)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.(2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁R B)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.1.4.1充分条件与必要条件要点整理1．命题及相关概念2．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：(1)两个全等三角形的对应高相等；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．[解] (1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步：分析定理的条件和结论；第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？(1)p：x>1，q：x2>1；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．[思路导引] 判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．[解] (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p 的必要条件；②如果命题：“若p ，则q ”为假命题，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．显然，p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p ⇒q ，只是说法不同而已．题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】 (1)已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m 2，q ：0<x <3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．(2)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围．[思路导引] p 是q 的充分条件转化为对应集合A ⊆集合B ，q 是p 的必要条件转化为集合A ⊆集合B .[解] (1)记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}，若p 是q 的充分条件，则A ⊆B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论：①若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2，解得m ≤0，此时A ⊆B ，符合题意； ②若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2，解得m >0，要使A ⊆B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≥0，3＋m 2≤3，m >0，解得0<m ≤3. 综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)由已知可得 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y | y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以－2m ≤－54，所以m ≥58，即m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m ≥58. [变式] 本例(1)中若将“若p 是q 的充分条件”改为“p 是q 的必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}，若p 是q 的必要条件，则B ⊆A .应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≤0，3＋m 2≥3，解得m ≥3.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≥3}．(1)利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．(2)从集合角度看充分、必要条件：设命题p 、q 分别对应集合A 、B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件．1.4.2充要条件要点整理充要条件如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q .此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．④若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(2)“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p 是s的充要条件．题型一充要条件的判断【典例1】在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[思路导引] 判断是否p⇒q，q⇒p.[解] (1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p 是q的充要条件．[变式] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？[解] 作出“⇒”图，如右图所示，。

【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第一章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

人教版高中数学必修一第一章知识点

第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

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第一章集合与函数概念〖1.1 〗集合【1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N 或N 表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象 a 与集合M 的关系是a M ，或者a M ，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{ x| x 具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集( ).【1.1.2 】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图A B(1)A A子集B （或A)A 中的任一元素都属于B(2) A(3)若A B且B C ，则A C(4)若A B且B A ，则A BA(B)B A或真子集A B（或B A ）A B，且 B 中至少有一元素不属于 AA（A为非空子集）（1）(2)若A B且B C ，则A CB A集合相等 A B A 中的任一元素都属于B，B 中的任一元素都属于 A(1)A B(2)B AA(B)n 个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子集，（7）已知集合 A 有n(n 1) 个元素，则它有 2n 它有2 2非空真子集.（8）交集、并集、补集1【1.1.3 】集合的基本运算名称记号意义性质示意图A B 交集{ x |x A, 且（1）A A A（2）AA B（3）A B Ax B}A B BA B 并集{ x |x A, 或（1）A A A（2）A AA B（3）A B Ax B}A B B1 A (e U A)2 ( )A e A UU补集e U A {x|x U ,且x A} 痧U (A B) ( U A) (?U B)痧U (A B) ( U A) (?U B)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集| x|a(a 0) { x | a x a}| x|a(a 0) x | x a 或x a}把ax b 看成一个整体，化成| x | a ，|ax b | c,| ax b | c(c 0)| x | a(a 0) 型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式2 4b ac0 0 0二次函数2 ( 0)y ax bx c aO 的图象一元二次方程2 0( 0) ax bx c a x1,22b b 4 a c2abx x1 2 2a无实根（其中x1 x2 )2 0( 0) ax bx c a的解集b{ x|x x 或x x2} { x | x }12aR 22 0( 0) ax bx c a的解集{ x | x x x }1 2〖1.2 〗函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（1）函数的概念①设A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合 A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A到B 的一个函数，记作 f : A B．②函数的三要素: 定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设a,b 是两个实数，且 a b，满足a x b的实数x 的集合叫做闭区间，记做[a,b] ；满足a x b的实数x 的集合叫做开区间，记做(a,b) ；满足a x b，或a x b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[ a,b) ，(a,b] ；满足x a, x a, x b, x b 的实数x 的集合分别记做[a, ),( a, ),( , b],( ,b) ．注意：对于集合{ x | a x b} 与区间(a, b) ，前者a 可以大于或等于 b ，而后者必须a b．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f (x) 是整式时，定义域是全体实数．②f (x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f (x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤y tan x 中，( )x k k Z ．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f (x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f (x) 的定义域为[ a, b] ，其复合函数 f [ g( x)]的定义域应由不等式 a g(x) b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数y f ( x) 可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2a( y) x b( y) x c( y) 0 ，则在a(y) 0时，由于x, y 为实数，故必须有b y a yc y ，从而确定函数的值域或最值．2 ( ) 4 ( ) ( ) 0④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B的对应法则 f ）叫做集合A到B 的映射，记作 f : A B ．②给定一个集合 A 到集合B 的映射，且a A,b B ．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素 a 叫做元素b的原象．〖1.3 〗函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于属于定义域I 内某（1）利用定义个区间上的任意两个自变量的值x 2 , 当x．1、x1．<．x．2．时，都y y=f(X)f(x )2（2）利用已知函数的单调性有f．(x．．．)．<．f(．x．．．)．，那么就说1 2f(x) 在这个区间上是增函数．．．．f(x )1（3）利用函数图象（在某个区间图o x1 x 2x 象上升为增）函数的（4）利用复合函数单调性（1）利用定义如果对于属于定义域I 内某y y=f(X)（2）利用已知函数的个区间上的任意两个自变量11、x ．<．x．的值x2，当x．2．时，都有f．(x．．12．)．，那么就说f(x )1f(x )2单调性（3）利用函数图象（在某个区间图f(x) 在这个区间上是减函数．．．．o x x1 2x 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数y f [ g( x)] ，令u g( x) ，若y f (u)为增，u g( x)为增，则y f [ g (x)]为增；若y f (u)为减，u g( x)为减，则y f [ g (x)]为增；若y f (u) 为增，u g( x)为减，则y f [ g( x)]为减；若y f (u)为减，u g(x)为增，则y y f [ g (x)]为减．a （2）打“√”函数( ) ( 0)f x x ax 的图象与性质f (x)分别在( , a]、[ a,) 上为增函数，分别在ox [ a, 0) 、(0, a]上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数y f (x) 的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）（2）存在x I ，使得 f (x0) M ．那么，我们称M 是函数 f (x) 的最大值，记作0f max (x) M ．5②一般地，设函数y f (x) 的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x I ，都有f (x) m ；（2）存在x0 I ，使得 f ( x0 ) m ．那么，我们称m 是函数f (x) 的最小值，记作f max (x) m ．【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于函数f(x) 定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有．f(．－．x．．)=．－．判断定义域是否关于f(x)．．．．,那么函数f(x) 叫做奇．函．原点对称）数．．（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数f(x) 定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有f(－．x．．)=．f．(x．)．．,．．判断定义域是否关于那么函数f(x) 叫做偶．函．数．．原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数 f (x)为奇函数，且在x 0处有定义，则f (0) 0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换y f x y f x h( ) h 0, h ( )左移个单位右移| 个单位 h0, h|y f x y f x k( ) k k ( )0,上移个单位下移| 个单位 k0, k|伸y f (x) y f ( x)1,缩6y f x y Af x( ) 0 A 1,缩( )A 1,伸③对称变换x轴y f (x) y轴y f ( x) y f (x) y f (x)原点直线 1y xy f (x) y f ( x) y f ( x) y f (x)去掉轴左边图象yy f (x) y f (| x |)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留轴上方图象y f x y f x( ) x | ( ) |将轴下方图象翻折上去x（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．7。

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新人教A版高中数学教材目录（必修+选修）必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业小结复习参考题第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4 基本不等式小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4．1 流程图4．2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质思考题二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告选修4-9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告。

人教A版高中数学必修1知识点总结

人教A版高中数学必修1知识点总结Chapter 1: Concepts of Sets and nsLesson 1: XXX1.Meaning of Sets: A set is the n of XXX are aware of。

and XXX.2.The general object of study is collectively called elements。

and a n of some elements is called a set。

abbreviated as set。

3.Three characteristics of XXX:1) Determinacy of elements: If a set is determined。

then it is certain whether an element belongs to this set or not: belongs or does not belong。

Example: the highest mountain in the world。

the four ancient beauties of China。

all the people in the classroom。

2) Uniqueness of elements: The elements in a given set are unique and cannot be repeated。

Example: the set composed of the letters of the word "HAPPY" {H。

A。

P。

Y}.3) Unorderedness of elements: The n of elements in a set can be changed。

and changing the n does not affect the set。

高中必修一数学知识点总结 (2019新教材人教A版)

高中数学必修 1 知识梳理（新教材）第一章集合与常用逻辑用语一、集合的概念1.集合的定义：某些指定的对象集在一起就构成一个集合，集合中的每个对象叫集合的元素。

2.元素的性质：(1)确定性。

给定一个集合，集合中的元素是确定的；(2)互异性。

集合里不允许有相同的元素重复出现；(3)无序性。

集合里的元素构成与元素的顺序无关。

3.元素与集合的关系：属于“∈”与不属于“∉”的关系。

4.集合的表示方法：(1)列举法。

把集合中的元素一一列举出来。

(2)描述法。

集合中的元素公共属性描述出来。

(3)图示法。

①Venn 图：用一条封闭的曲线的内部来表示的一个集合。

如用V enn 图表示A包含于B。

AB②数轴法。

5.集合的分类(1)有限集。

含有有限个元素的集合；(2)无限集。

含有无限个元素的集合；(3)空集∅。

不含任何元素的集合。

6.常用集合(1)N：非负整数集 (或自然数集)(2)N*或N+：正整数集(3)Z：整数集(4)Q：有理数集(5)R：实数集二、集合间的基本关系1.包含关系：（1）子集：对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)。

规定：①任何一个集合是它本身的子集。

对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。

②空集是任何集合的子集；空集是是任何非空集合的真子集。

（2）真子集：如果集合 A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合 A 是集合 B的真子集，记作 A⊊ B2.相等关系：例如：A={4,1, 2,3} , B={1, 2,3, 4}，记作：{A⊆BB⊆A⟺A=B。

即A，B中的元素是一样的。

3.关于子集的结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n - 1个，其非空真子集数为2n - 2 个，其非空子集数为2n - 1个。

特别地，空集的子集个数为 1，真子集个数为 0。

三、集合的基本运算1. 交集：由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与B 的交集，记作 A∩B 。

新课标人教A版高一数学必修知识点总结

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：〔1〕元素确实定性；〔2〕元素的互异性；〔3〕元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是公平的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比拟它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 〔1〕用大写英文字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 〔2〕集合的表示方法：列举法与描述法。

〔Ⅰ〕列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

〔Ⅱ〕描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①言语描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} 〔3〕图示法〔文氏图〕： 4、常用数集及其记法：非负整数集〔即自然数集〕记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于〞的概念集合的元素通常用小写的英文字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a ∉A 6、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合二、集合间的根本关系 1.“包含〞关系———子集对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B注意：有两种可能〔1〕A 是B 的一局部，；〔2〕A 与B 是同一集合。

人教A版高一数学必修一第一章综合复习 PPT课件图文

必修1 第一章集合与函数的概念
栏目导引
2．函数及其表示
(1)本节是函数部分的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时考查实际问题中的建模能力．
(2)以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要．特别是函数的表达式，对以后函数应用起非常重要的作用．
必修1 第一章集合与函数的概念
必修1 第一章集合与函数的概念
栏目导引
(2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
②在具体情境中，了解全集与空集的含义．
(3)集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1 或 x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：
1－x≥0， x≥0
⇔0≤x≤1.故选 D.
答案： D
必修1 第一章集合与函数的概念
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3．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R 有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( )
当 x＜0 时，函数 f(x)＝(x＋1)2－2 的最小值为－2，
最大值为 f(－3)＝2.故函数 f(x)的值域为[－2,2]．
必修1 第一章集合与函数的概念
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1．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且
A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是( )

A．a≥2
B．a＜1
C．a≤2
解析：假设存在x，使得B∪(∁AB)＝A，即B A.
①若x＋2＝3，则x＝1，此时A＝{1,3，－1}，B＝ {1,3}，符合题意．

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