例谈圆锥曲线双切线问题的处理方法
巧用“点差法”破解圆锥曲线中点弦和切线问题
巧用 点差法 破解圆锥曲线中点弦和切线问题唐金波(深圳科学高中ꎬ广东深圳５１８１２９)摘㊀要: 点差法 是圆锥曲线中一类非常重要的方法ꎬ代点作差ꎬ模式化强ꎬ计算量少ꎬ能很好地优化解题过程.高中阶段用 点差法 来解决有关圆锥曲线上一点的切线问题易于理解ꎬ且能更好地理解数学的本质ꎬ欣赏到数学之美.关键词:点差法ꎻ中点弦ꎻ切线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００６０－０３收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:唐金波ꎬ男ꎬ湖南省衡阳人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀在处理直线与圆锥曲线相交所得弦的中点和切线的相关问题时ꎬ我们经常会用到 点差法 :设弦的两个端点坐标ｘ１ꎬｙ１()和ｘ２ꎬｙ２()ꎬ代入圆锥曲线的方程后ꎬ把所得的两个方程相减ꎬ得到弦的中点坐标与弦所在直线斜率的关系ꎬ使问题得到解决.此方法巧妙地将中点坐标公式和斜率公式 珠联璧合 ꎬ设而不求ꎬ代点作差ꎬ减少了计算量ꎬ模式化强ꎬ优化了解题过程ꎬ对解决此类问题有很好的效果[１].１ 点差法 的介绍１.１中点弦问题结论１㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为椭圆的离心率).分析㊀设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬＭｘ０ꎬｙ０()ꎬ则ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.所以ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.说明㊀本篇后续例题等直接引用该表达式ꎬ没有给出推导ꎬ正式解题作答时需要给出推导过程.对于双曲线和抛物线可类似推导如下结论ꎬ有兴趣的读者可以自行推导.结论２㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为双曲线的离心率).结论３㊀设点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()(ｘ１ʂｘ２)是抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上两点ꎬ则直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２.１.２切线问题结论４㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０６ｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.分析㊀设Ｑ(ｘ１ꎬｙ１)为椭圆上不同于点Ｐ的任意一点ꎬ则ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１ꎬｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｋＰＱ＝ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ０ｙ１＋ｙ０.过点Ｐ的切线ｌ可以看作割线ＰＱ当ＱңＰ时的极限位置.①若ｙ０ʂ０ꎬ当ｘ１ңｘ０ꎬｙ１ңｙ０时ꎬｋＰＱң－ｂ２ａ２ｘ０＋ｘ０ｙ０＋ｙ０＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.此时切线ｌ的方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０(ｘ－ｘ０).化简得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ并且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.②若ｙ０＝０ꎬ容易验证切线ｌ的方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.综上①②ꎬ可知结论成立.通过利用极限的思想结合 点差法 推导椭圆的切线方程ꎬ有助于更好地理解点差法ꎬ挖掘其本质ꎬ进一步说明点差法为什么能解决与中点弦相关的问题ꎬ对提升数学思维和数学核心素养有很大的帮助.本结论也可以通过点差法推广到双曲线和抛物线ꎬ有兴趣的读者可以自行证明.结论５㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１.结论６㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｙ０ｙ＝ｐ(ｘ０＋ｘ)且ｋｌ＝ｐｙ０.２ 点差法 的应用２.１应用 点差法 解中点弦问题例１㊀(２０２２年新高考Ⅱ卷 １６)如图１ꎬ已知椭圆ｘ２６＋ｙ２３＝１ꎬ直线ｌ与椭圆在第一象限交于ＡꎬＢ两点ꎬ与ｘ轴ꎬｙ轴分别交于ＭꎬＮ两点ꎬ且ＭＡ＝ＮＢꎬＭＮ＝２３ꎬ则直线ｌ的方程为.解析㊀设ＡＢ的中点为Ｅꎬ因为ＭＡ＝ＮＢꎬ所以ＭＥ＝ＮＥ.图１㊀２０２２年新高考Ⅱ卷１６题图由结论１ꎬ有ｋＯＥ ｋＡＢ＝－１２.设直线ＡＢ:ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬｋ<０ꎬｍ>０ꎬ令ｘ＝０得ｙ＝ｍꎬ令ｙ＝０得ｘ＝－ｍｋ.即Ｍ－ｍｋꎬ０æèçöø÷ꎬＮ０ꎬｍ().所以Ｅ－ｍ２ｋꎬｍ２æèçöø÷.即ｋˑｍ/２－ｍ/２ｋ＝－１２.解得ｋ＝－２２或ｋ＝２２(舍去).又ＭＮ＝２３ꎬ即ＭＮ＝ｍ２＋２ｍ()２＝２３ꎬ解得ｍ＝２或ｍ＝－２(舍去).所以直线ＡＢ:ｙ＝－２２ｘ＋２ꎬ即ｘ＋２ｙ－２２＝０.评注㊀由问题中的条件ＭＡ＝ＮＢꎬ借助几何图形的特点ꎬ可自然联想到取线段ＡＢ的中点Ｅꎬ从而利用椭圆中 点差法 的结论ꎬ得到直线斜率和截距的关系式ꎬ进而解决问题.２.２应用点差法 解切线问题例２㊀(２０２２年淮北中学第一次联考 ２１)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的右焦点为Ｆ(１ꎬ１６０)ꎬ离心率为１２.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｆ的直线ｌ交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ线段ＡＢ的中点为Ｍꎬ分别过ＡꎬＢ作Ｃ的切线ｌ１ꎬｌ２ꎬ且ｌ１与ｌ２交于点Ｐ.证明:ＯꎬＭꎬＰ三点共线.解析㊀(１)ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎻ(２)当直线ｌ的斜率不存在时ꎬＯꎬＭꎬＰ三点共线显然成立.当直线ｌ的斜率存在设为ｋ(易知ｋʂ０)ꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ由结论１知ꎬｋ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝－３４ꎬ即ｋＯＭ＝－３４ｋ.由结论２知ꎬｌ１:ｘ１ｘ４＋ｙ１ｙ３＝１ꎬ①ｌ２:ｘ２ｘ４＋ｙ２ｙ３＝１.②由①②ꎬ得ｘ(ｘ１－ｘ２)４＝－ｙ(ｙ１－ｙ２)３.即ｋｏｐ＝ｙｘ＝－３(ｘ１－ｘ２)４(ｙ１－ｙ２)＝－３４ｋ.于是ｋＯＭ＝ｋｏｐꎬ因此ＯꎬＭꎬＰ三点共线.评注㊀上述有关中点弦和曲线上一点的切线问题若借助 点差法 得到直线的斜率与中点到原点的斜率的关系式ꎬ能有效减少计算量.用点差法得到的切线方程也简单易懂ꎬ给我们推导圆锥曲线上一点的切线提供了更为初等的方法ꎬ充分说明了 点差法 的威力ꎬ更能让我们欣赏到数学之美.２.３对 点差法 深入理解例３㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ是否存在过点Ｍ(１ꎬ１)的直线ｌꎬ使ｌ与双曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ且Ｍ是线段ＡＢ的中点?若存在求出ｌ的方程ꎻ若不存在ꎬ说明理由.解析㊀当直线ｌ的斜率不存在时ꎬ显然不合题意.当直线ｌ的斜率存在设为ｋꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ则由结论２ꎬ知ｋ ｋＯＭ＝２ꎬ即ｋ＝２.于是ꎬ直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－１.但若将ｙ＝２ｘ－１代入双曲线ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ消去ｙꎬ整理ꎬ得２ｘ２－４ｘ＋３＝０ꎬ此方程没有实数解.所以满足题意的直线ｌ不存在.评注㊀解答例３的问题时ꎬ在用点差法求出直线方程后ꎬ认为已经 大功告成 ꎬ这就反应出解题过程中理性思维的缺失.此例体现了 点差法 在应用中的特殊性和局限性ꎬ有助于我们对数学更深入地理解.事实上ꎬ(１)当曲线是椭圆或者抛物线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则满足条件的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足条件的直线不存在.(２)当曲线是双曲线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则所求的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足的条件可能存在ꎬ也可能不存在ꎬ此时需要验证判别式.３总结反思点差法 是一种非常典型且简单易学的方法ꎬ但它仍然不是圆锥曲线中的通解通法.从上述例题的解答过程可以看出ꎬ当遇到中点弦㊁切线等条件时ꎬ我们可以尝试该法.对于联立直线与圆锥曲线方程的通法ꎬ该法过程简洁㊁计算量小ꎬ能进一步提高解题效率.对于圆锥曲线上一点的切线问题也能很好地解决ꎬ是高中阶段非常好用㊁易用㊁实用的好方法.但是该法仍然具有其局限性ꎬ我们在平时的学习过程中ꎬ要结合自身掌握知识的程度和对知识本质理解的程度ꎬ选择最优的解题方法.要学会从不同的解法中汲取不同的数学思想ꎬ加深对数学本质的理解ꎬ从而提高自身的数学核心素养.参考文献:[１]苏立标.圆锥曲线的秘密[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２０２１.[责任编辑:李㊀璟]２６。
圆锥曲线的切线方程的三种求法
圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式.此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高.下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的三种方法.一、向量法在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式.在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程.例1.已知圆O的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的圆的切线l的方程.解：设切线l上任意一点N的坐标是（x，y）.由(x-a)2+(y-b)2=r2得点O的坐标是(a,b)，所以OM=(x0-a，y0-b)， MN=(x-x0，y-y0).又因为OM∙MN=0，即[(x-a)-(x0-a)](x0-a)+[(y-b)-(y0-b)](y0-b)=0,所以过圆上的点M(x0,y0)的圆的切线l的方程是：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=[(x0-a)2+(y0-b)2]，所以l的方程：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.由已知圆的方程与圆上一点的坐标，可得出圆心的坐标，再设出切线上任意一点N的坐标，即可得到与切线垂直的向量，根据向量运算便可求得切线的方程.二、导数法我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程.例2.设A，B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4.设M为曲线C：y=x24上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AB⊥BM，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1≠x2，y1=x124，y2=x224，x1+x2=4，于是直线AB的斜率为k=y1-y2x-x=x1+x24=1.由y=x24，得y，=x2.设M(x3,y3)，由题意可知：x32=1，解得x3=2，则M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m，故线段AB的中点为N(2,2-m)，||MN=||m+1，将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当Δ=16()m+1>0，即当m>-1时，x1=2+2m+1或x2=2-2m+1，从而可得||AB=2||x1-x2=42(m+1)，由||AB=2||MN得42(m+1)=2(m+1)，解得m=7，所以直线AB的方程为y=x+7.在求得直线AB的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出M点的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程.三、几何性质法在解答圆锥曲线问题时，我们经常要用到椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质，并结合几何图形，如三角形、梯形、平行四边形的性质来解题.采用几何性质法，关键要根据题意绘制出几何图形，明确各个点、直线、曲线的位置关系，然后运用几何性质来解题.例3.求抛物线C：y2=8x上经过点M（8,8）的切线l的方程.解：由抛物线C：y2=8x可得其焦点F为(2,0)，准线方程为：x=-2，过点M(8,8)作准线的垂线，设垂足为N，则N的坐标为(-2,8)，又设FN的中点为P，则P的坐标为(0,4)，故直线PM的方程为：y=8-48x+4，即x-2y+8=0，所以切线l的方程是：x-2y+8=0.我们根据抛物线的几何性质作出准线，根据图形明确各点、曲线、切线的位置，根据点、直线之间的位置关系以及中点坐标公式建立关系式，求得切线的斜率与方程.相比较而言，几何性质法和导数法比较常用，运用几何性质法和向量法解题过程中的运算量较小.在求圆锥曲线的切线方程时，同学们要结合图形来解题，这样不仅能降低解题的难度，还能提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁中学）周红芹解题宝典40。
圆锥曲线解题方法之方程组联立求解如何通过将两个圆锥曲线的方程组联立解决求交点相切点等问题
圆锥曲线解题方法之方程组联立求解如何通过将两个圆锥曲线的方程组联立解决求交点相切点等问题圆锥曲线是数学中重要的几何概念，它是由一个固定点(焦点)和一个固定直线(准线)确定的曲线。
求解圆锥曲线的交点和切点是解决许多几何问题的关键，其中一个有效的方法是通过将两个圆锥曲线的方程组联立求解。
本文将介绍如何使用这一方法解决圆锥曲线的交点和切点问题。
首先，我们需要确定两个圆锥曲线的方程。
一个常见的圆锥曲线是椭圆，其方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a$ 和$b$ 分别是椭圆的横轴和纵轴的半长轴。
另一个常见的圆锥曲线是双曲线，其方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
在这里，我们以椭圆和双曲线为例进行讨论。
假设我们要求解椭圆和双曲线的交点。
首先，将椭圆的方程记为方程1，双曲线的方程记为方程2。
我们可以将方程1和方程2联立，得到如下方程组：$\begin{cases}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}$接下来，我们可以通过消元法求解方程组。
将方程1减去方程2，可以消除 $x$ 的平方项和 $y$ 的平方项：$\begin{cases}2\frac{y^2}{b^2}=0\\\end{cases}$这意味着 $y=0$，代入方程1可以得到 $x=\pm a$。
因此，椭圆和双曲线的交点为 $(a,0)$ 和 $(-a,0)$。
接下来，我们来求解椭圆和双曲线的切点。
切点是指两个圆锥曲线在某一点处的切线相同。
我们可以通过联立方程组求解切点。
假设我们要求解椭圆和双曲线的切点。
首先，将椭圆的方程记为方程1，双曲线的方程记为方程2。
我们可以将方程1减去方程2，得到如下方程组：$\begin{cases}2\frac{y^2}{b^2}=0\\\frac{y^2}{b^2}=0\end{cases}$这意味着 $y=0$，代入方程1可以得到 $x=\pm a$。
从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理
从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理
圆锥曲线的切割线定理是指，在圆锥曲线上任取一点P，过P
点做曲线的切线，该切线与曲线的交点记为N，则PN称为该
点P的切线斜率，且PN的斜率为该点P的曲率半径。
具体来说，对于椭圆、双曲线和抛物线的某一点P，其切线斜
率k和曲率半径r分别为：
椭圆：k=±(b²/a²-x²/y²)½，r=a²/b
双曲线：k=±(x²/a²-y²/b²)½，r=a²/b
抛物线：k=2ax，r=2a
其中，a和b分别为椭圆和双曲线的半轴长，a为抛物线的参数。
切割线定理的实际应用非常广泛。
例如，在计算圆锥曲线的焦点和直线方程时，常需要用到切割线定理。
此外，在图像处理、建模等领域也经常涉及到切割线定理。
因此，掌握切割线定理对于理解和应用圆锥曲线有重要意义。
圆锥曲线中的双切线题型(学生版)
高级思维技能训练（15）圆锥曲线中的双切线题型(手电筒模型）解题技能一、极点与极线问题（同构）已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点()00,P x y 和直线()()0000l Ax x Cy y D x x E y y F ++++=：++0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x+替换x （另一变量y 同理），即可得到点()00,P x y 的极线方程．例1．教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=.我们将其结论推广：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的点()0,o x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用.已知，直线30x y -+=与椭圆222:1(1)x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A B 、分别作该椭圆的两条切线12l l 、，且1l 与2l 交于点(2,)M m .当m 变化时，求OAB 面积的最大值.【跟踪练习】已知动点P 到直线:2l y =-的距离比到点(0,1)F 的距离大1（1）求动点P 的轨迹M 的方程；（2）A B 、为M 上两点，O 为坐标原点，12OA OB k k ⋅=-，过A B 、分别作M 的两条切线，相交于点C ，求ABC ∆面积的最小值.解题技能二、判别式法（0=∆21k k ,为方程的两根）（1）设切线的斜率为k ，写出切线的方程；（2）将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程；（3）由（2）中方程满足判别式0=∆，建立关于k 的一元二次方程，两切线的斜率21k k ,为方程的两根；（4）结合韦达定理，计算2121k k k k ,+等，并将之用于其他量的计算。
圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义---切线问题
第六章切线切线问题的处理（1）若直线与圆锥曲线相切，那么联立后的一元二次方程△=0，其中二次项系数不为0.（2）遇到抛物线c bx ax y ++=2可以利用导数找切线方程（3）对于直线与圆相切，可以考虑圆心到直线的距离=半径（4）抛物线中有用的结论：pypy x x y x py x pxpx y y y x px y +==+==0000200002 ),(2 ),(2处的切线方程为在②处的切线方程为在①有些题设切点会有出其不意的效果.,22px px yy px y +==拆分为计算上均等拆开，如记忆技巧：对等原则，线的标准方程：同样适用于椭圆于双曲与分别换为然后将其中的,,00x y x y 结论虽好但是不建议直接使用。
下面的了解一下即可：那么若切点为),,(00y x 1120202222=+=+by y a x x b y a x 的切线方程为椭圆200222))(())(()()(r b y b y a x a x r b y a x =--+--=-+-的切线方程为圆对于全国卷的童鞋，熟练运用前3条即可。
当然你知道的越多，你的思路也越开阔.下面给出题目汇总，具体不再一一解析两点交于与直线理】已知曲线全国【N M a a kx y l x y C ,)0(:4:120152>+==处的切线方程；和在点时，分别求N M C k 0)1(=.44:,20172的横坐标之和为与上两点，为曲线全国文】设【B A x y C B A =的斜率；求直线AB )1(求直线平行，且处的切线与直线在上一点，为曲线设,)2(BM AM AB M C C M ⊥.的方程AB H.C ON ,,)0(2:,)0(:20162于点并延长交连接的对称点为关于于点交抛物线轴于点交全国文】直线【N P M P p px y C M y t t y l >=≠=;ON OH)1(求.)2(明理由是否有其他公共点？说与抛物线以外，直线除C MH H ,3),1,0(2011OA MB M y B A ∥点满足上，点在直线新课标理】已知【-=-C M BA MB AB MA 点的轨迹为设,⋅=⋅.点的轨迹方程求M )1(.,)2(距离的最小值点到处的切线，求在为上的动点为l O P C l C P .2OB OA B 2A O ,42C 20142222的位置关系，并证明与圆，判断直线上，且椭圆在上，点在直线为原点，若点设：北京理】已知椭圆【=+⊥==+y x AB C y y x 已上顶点为右顶点为的左右焦点为天津理】设椭圆【,,,,12014212222B A F F by a x =+2123F F AB =知求椭圆的离心率)1(的经过原点为直径的圆经过一点，以线段为椭圆上异于其顶点的设O F PB P ,)2(1.的斜率线直线与该圆相切，求直l ,)2,0(,4:20142A C M y x C 相交于任作一直线与过点物线江西文】如图，已知抛【=DAO y B B 相交于点轴的平行线与直线作两点，过点在定直线上；证明：动点D )1(,,2)2(21N N y l C 于点与第一问的定直线相交相交于点与直线的任意一条切线作=.2122为定值，并求此定值证明：MN MN -.),0,1()0(1:20121122221上在且点的左焦点广东文】已知椭圆【C P F b a by a x C ->>=+的方程；求椭圆1)1(C .4)2(221的方程相切，求直线：和抛物线同时与椭圆设直线l x y C C l =的，抛物线的离心率是山东理】椭圆【y x E b a by a x C 2:23)0(1:201622222=>>=+.的一个顶点是焦点C F 的方程求椭圆C )1(交于不同的两点与处的切线在点象限，上的动点，且位于第一是设C l P E E P )2(.,,,M x P OD D AB B A 轴的直线交于点且垂直于与过直线的中点为线段在定直线上①求证：点M 个端点是的一个焦点与短轴的两四川理】已知椭圆【)0(1:20162222>>=+b a by a x E .33T E x y l 有且只有一个公共点与椭圆：个顶点，直线直角三角形的+-=的坐标的方程及点求椭圆T E )1(的左：分别是椭圆安徽理】如图，点【)0(1)0,(),0,(2012222221>>=+-b a by a x C c F c F 的垂线作直线过点的上半部分于点轴的垂线交椭圆作右焦点，过点221,PF F P C x F .2Q ca x 于点交直线=4,4(的方程；Q),)1(如果点C求此时椭圆的坐标是PQ证明：直线C)2(只有一个交点.与椭圆。
“同构思想”秒杀圆锥曲线双切线问题及蒙日圆
公众：数学其实没那么难
例题剖析:
例 1.已知圆 O： x2 + y2 = 1， 若直线 y=kx+2 上总存在点 P，使得过点 P 作圆 O 的两条切线相互垂
直，则实数 k 的取值范围是______________．
【解析】由前述蒙日圆概念可知,P 点轨迹为圆: x2 + y2 = 2 , 由于点 P 又在直线 y=kx+2 上，即点 P
公众：数学其实没那么难
“同构思想”秒杀圆锥曲线双切线问题
北京大学 钟老师 我们把过一点作圆锥曲线的两条切线的问题叫做圆锥曲线的双切线问题,该点可能
是定点也可能是动点,题目也可能给出两条切线的斜率的关系,此类双切线问题常常采用
同构的思想来解题.
数学中的同构式是指除了变量不同，而结构相同的两个表达式.
1. 若实数 a、b 分别满足 f (a) = 0 和 f (b) = 0 ，则它们呈现同构特征，由此 a、b 可视为方
既在圆上又在直线上，也就是说直线与圆恒有公共点，即直线与圆相切或相交，依据点到直线间的 距离 d≤r 可得 k≥1 或 k≤－1.
例 2.(2014 东北师大附中四模.20)给定椭圆 C:
x2
+
y
2
=
a2 b2
1 (a > b > 0) ,称圆心在原点 O,半径为
a2 + b2 的圆时椭圆 C 的”准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2, 0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离
②
过双曲线
x2 a2
−
y
2
=
b2
1 (a > b > 0) 上任意不同两点 A、B 作椭圆的切线，若切线垂直且相
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法【摘要】圆锥曲线问题是数学中重要的课题之一，本文将深入探讨解决这一问题的几种方法。
首先介绍了圆锥曲线的概念和问题的重要性。
接着分别从几何法、代数法、参数法、向量法和微积分法五个方面展开讨论各种解决问题的方法。
在对各种方法进行了综合比较，并指出它们在不同场景下的适用性。
最后展望未来，提出了关于圆锥曲线问题研究的一些新的思路和方向。
通过本文的阐述，读者将对解决圆锥曲线问题有更深入的认识，同时也对未来的研究方向有了一定的启发。
【关键词】圆锥曲线, 解决问题, 方法, 几何法, 代数法, 参数法, 向量法, 微积分法, 综合比较, 适用场景, 未来展望, 引言, 正文, 结论.1. 引言1.1 圆锥曲线概述圆锥曲线是平面上具有特定几何性质的曲线。
根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为椭圆、双曲线、抛物线和圆。
它们在几何学和代数学中具有广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学中都有着重要的作用。
椭圆是一个闭合的曲线，其定义是所有到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
双曲线是一个开放的曲线，其定义是到两个固定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
抛物线是一个开放的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于到一个固定直线的距离的点的集合。
圆是一个闭合的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
圆锥曲线的研究对于理解几何及代数概念具有重要意义。
掌握不同方法解决圆锥曲线问题将有助于我们更深入地理解这些曲线的性质和特点，从而在实际问题中应用这些知识。
在接下来的内容中，我们将介绍几种不同的方法来解决圆锥曲线问题，希望读者能从中受益。
1.2 问题的重要性圆锥曲线在几何学和数学中具有重要的地位，它们是平面上特殊的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
解决圆锥曲线问题的方法不仅仅是为了解题，更重要的是培养数学思维和逻辑推理能力。
圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，掌握解决圆锥曲线问题的方法可以帮助我们更好地理解这些领域的知识和解决实际问题。