届高考数学一轮复习讲义三角函数模型及其简单应用
解 (1)A＝300，|φ|<π2，
由－9100ω＋φ＝0 1180ω＋φ＝32π
ω＝225π
，解得φ＝π4
.
∴I＝300sin225πt＋π4. (2)由 I＝Asin(ωt＋φ)知：周期 T＝2ωπ. 要在任意一段时间1510 s 内，电流 I 都能取得最大值和最小值， 则必有：T＝2ωπ≤1150.∴ω≥300π.
∴d1·d2∈(0,1]．
[14 分]
批阅笔记
(1)本题的解题关键是建立三角函数的模型，选择适当的角作为 变量．方法比较灵活，突出了对能力的考查． (2)第(2)问是探索性问题，考生找不到问题的突破口是造成失分 的主要原因．另外计算错误也是常见失分原因．
方法与技巧
1．在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定 以角作为变量的三角函数来解决．
到达最高点时，h＝10.4 m. 由 sin3π0t－π2＝1，得3π0t－π2＝π2，∴t＝30， ∴缆车到达最高点时，用的最少时间为 30 秒．
思想与方法
用三角函数解决几何问题
(14 分)l1，l2，l3 是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线． (1)如果 l1 与 l2 间的距离是 1，l2 与 l3 间的距离也是 1，可以把一 个正三角形 ABC 的三顶点分别放在 l1，l2，l3 上，求这个正三 角形 ABC 的边长； (2)如图所示，如果 l1 与 l2 间的距离是 1， l2 与 l3 间的距离是 2，能否把一个正三角 形 ABC 的三顶点分别放在 l1，l2，l3 上， 如果能放，求 BC 和 l3 夹角的正切值，并 求该正三角形边长，如果不能，说明为什么？ (3)如果边长为 2 的正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1，l2，l3 上， 设 l1 与 l2 的距离为 d1，l2 与 l3 的距离为 d2，求 d1·d2 的范围？
探究提高
对数据进行整理分析是新课程标准的要求．本题先根据给出的 数据，确定模拟函数，再利用函数解决实际问题．
变式训练 1
已知电流 I 与时间 t 的函数关系式为 I＝ Asin(ωt＋φ)． (1)如图是 I＝Asin(ωt＋φ) (ω>0，|φ|<π2) 在一个周期内的图象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1510 s 时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能取 得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？
当 sin(2θ－φ)＝1，即 2θ－φ＝π2时，S 最大．
所以，当 θ＝π4＋12(tan φ＝12)时，S 最大，最大值为
5－1 2.
探究提高
三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数 的最值．
变式训练 2
如图为一个缆车示意图，该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点与地面距离为 0.8 m, 60 秒转动一圈，图中 OA 与地面垂直， 以 OA 为始边，逆时针转动 θ 角到 OB， 设 B 点与地面间的距离为 h. (1)求 h 与 θ 间关系的函数解析式； (2)设从 OA 开始转动，经过 t 秒后到达 OB，求 h 与 t 之间的函 数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
解 (1)以圆心 O 为原点，建立如图所示的平
面直角坐标系，则以 Ox 为始边，OB 为终边 的角为 θ－π2，故点 B 的坐标为(4.8cos(θ－π2)， 4．8sin(θ－π2))， ∴h＝5.6＋4.8sinθ－π2.
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0， 故 t 秒转过的弧度数为3π0t， ∴h＝5.6＋4.8sin3π0t－π2，t∈[0，＋∞)．
∴ω 的最小正整数值应为 943.
灵活运用三角知识解决 实际问题
例 2 如图，在直径为 1 的圆 O 中，作一关于 圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中
y>x>0. (1)将十字形的面积表示为 θ 的函数； (2)θ 满足何种条件时，十字形的面积最大？ 最大面积是多少？ 解 (1)设 S 为十字形的面积， 则 S＝2xy－x2＝2sin θcos θ－cos2θ (π4<θ<π2)； (2)S＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－12cos 2θ－12 ＝ 25sin(2θ－φ)－12，其中 tan φ＝12，
②
∴A＝0.5，b＝1.∴振幅为12. ∴y＝12cos π6t＋1.
(2)由题意知，当 y>1 时才可对冲浪者开放．
∴12cos
π6t＋1>1.∴cos
π 6t>0.
∴2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2，k∈Z，
即 12k－3<t<12k＋3，k∈Z.
③
∵0≤t≤24，故可令③中 k 分别为 0,1,2， 得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. 所以在规定时间上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有 6 个小时时 间可供冲浪者运动，即上午 9：00 至下午 15：00.
三角函数模型有关的应用 问题
例 1 已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t (0≤t≤24，单 位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数 据：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Acos ωt ＋b. (1)根据以上数据，求出函数 y＝Acos ωt＋b 的最小正周期 T、 振幅 A 及函数表达式；
一轮复习讲义
三角函数模型及其简单应用
要点梳理
忆一忆知识要点
在生活中的应用 在建筑学中的应用 1．三角函数模型的简单应用在航海中的应用 在物理学中的应用
2．解三角函数应用题的一般步骤： (1)阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言； (2)建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系； (3)讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质； (4)作出结论．
审题视角
(1)注意到 l1∥l2∥l3 且 l1 与 l2 的距离等于 l2 与 l3 的距离，△ABC 为等边三角形，l2 必垂直平分 AC.(2)这是一个探索性问题，应从 能放出发，利用三角函数建立关系，求解．(3)建立 d1d2 的三角 函数式，利用三角函数求最值．
规范解答 解 不妨设 A∈l1，B∈l2，C∈l3. (1)∵A，C 到直线 l2 的距离相等， ∴l2 过 AC 的中点 M.∴l2⊥AC. ∴边长 AC＝2AM＝2.
[4 分]
(2)假设能放，设边长为 a，BC 与 l3 的夹角为 θ，由对称性，不 妨设 0°<θ<60°，∴asin θ＝2，asin(60°－θ)＝1.
两式相除，得
sin θ＝2sin(60°－θ)⇒sin θ＝ 3cos θ－sin θ，
∴2sin θ＝
3cos
θ.∴tan
θ＝
3 2.
∴sin θ＝
(2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请
依据(1)的结论，判断一天内的上午 8：00 时至晚上 20：00 时之
间，有多少小时时间可供冲浪者进行运动？
解 (1)由表中数据，知周期 T＝12. ∴ω＝2Tπ＝21π2＝π6.
由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5.
①
由 t＝3，y＝1.0，得 b＝1.0.
2．理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语 和有关名词．
3．要能根据题意，画出符合题意的图形． 4．对计算结果，可根据实际情况进行处理．
失误与防范
1．建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量． 2．解决应用问题要注重检验，数字问题的解题是否符合题意． 3．选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
3，边长 7
a＝
2 ＝2 3
21 3.
7
(3)d1·d2＝4sin(60°－θ)sin θ
＝4
3 2 cos
θ－12sin
θsin
θ
＝2
3 2 sin
2θ－1－c2os
2θ
＝2sin(2θ＋30°)－1.
[9 分]
∵0°<θ<60°，∴30°<2θ＋30°<150°. ∴12<sin(2θ＋30°)≤1.
高考数学一轮总复习三角函数解三角形第6节 函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用
解析:由题图可知 T=
所以
||
- = (T 为 f(x)的最小正周期),即 T=π,
=π,即ω=±2,又ω>0,故 f(x)=2cos(2x+ ).
点( ,0)可看作“五点法”中的第二个点,故 2× + = ,得 =- ,
则 f(x)=2cos(2x-),所以 f()=2cos(2×-)=- .
t=+2kπ或 t= +2kπ,k∈Z,
由题图可知,ωx2+ -(ωx1+ )= -= ,
即ω(x2-x1)= ,所以ω=4.
因为 f( )=sin( + )=0,所以 + =2kπ,k∈Z,即 =- +2kπ,
[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+ )的物理意义,能画出y=Asin(ωx+ )
的图象,了解参数A,ω, 对函数图象变化的影响.2.会用三角函
数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的
重要函数模型.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.y=Asin(ωx+ )的有关概念
√
D.0,,,,
解析:令x 依次等于 0,,π, ,2π,得 x 依次为 0,π,2π,3π,4π.
故选 C.
3.(必修第一册 P239 练习 T2 改编)为了得到函数 y=sin(x-)的图象,只要把
高考一轮复习专题三角函数(全)详解
高考一轮复习专题——三角函数第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数基础梳理1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝k π，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2πββ.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式是( )．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A．－55B.255C．－255D．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝yr、cos α＝x r 、tan α＝y x分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．【试一试】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin )2(απ-＝cos α，cos )2(απ-＝sin α.公式六：sin )2(απ+＝cos α，cos )2(απ+＝－sin α.诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±344．cos )417(π-－sin )417(π-的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.考向一 利用诱导公式化简、求值【例1】►已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπα++--=f ，求【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则的值为________．考向二 同角三角函数关系的应用)3(πf )29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.【训练2】已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.考向三 三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【训练3】若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．重点突破——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件 【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根， θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.第3讲 三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质 函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：错误!无对称轴对称中心：)0,2(πk(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππkk(k∈Z)；单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22kk(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间)2,2(ππππ+-kk(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos )3(π+x ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数y ＝tan )4(x -π的定义域为( )． A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,42ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)（20πϕω＜，＞）的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在)2,0(π单调递减B ．f (x )在)43,4(ππ单调递减C ．f (x )在)2,0(π单调递增D ．f (x )在)43,4(ππ单调递增4．y ＝sin )4(π-x 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.)0,43(π-C.)0,23(π D.)0,2(π5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一 三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x （4π≤x ）的最大值与最小值．【训练1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域． (2)已知函数f (x )＝cos )32(π-x ＋2sin )4(π-x ·sin )4(π+x ，求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的最大值与最小值．考向二 三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2)4(π-x －1是( )． A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 【训练2】已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．考向三 三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin )2(x -π，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四 三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【训练4】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)（2πϕ＜）的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析． 一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】►(2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (k ∈Z )，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k (k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin )2(πω+x (ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．A．a＝－1，b＝ 3 B．a＝1，b＝－ 3C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1第4讲正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φω错误!错误!错误!ωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤3．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin )42(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（2πϕ＜）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(πω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．35．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)（02-0＜＜，＞ϕπω）的最小正周期为π，且)4(πf ＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】已知函数f (x )＝3sin )421(π-x ，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M )2,32(-π. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π. (1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．重点突破——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角 Φ（2222sin ,cos b a b b a a +=+=φφ），将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin )6(π+x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2(βα+－)2(βα+.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin )4(θπ+＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.【训练1】化简：ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.考向二 三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos )2(βα-＝－19，sin )2(βα-＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】已知α，β∈)2,0(π，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.【训练3】已知α，β∈)2,2(ππ-，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f )3(π的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值．重点突破——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan )4(π+x ＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈)2,0(π.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．A．3 3 B．2 3 C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考向四 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】(2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．重点突破——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a ；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC ＝75°，则B，C间的距离是________海里．考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1.解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题————求解——检验作答；2.三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.。
高考数学一轮总复习第4章三角函数第4节函数y=Asinωx+φ的图象及简单应用教师用书
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及简单应用考试要求：1．结合具体实例，了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义．2．能借助图象理解参数A ，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．一、教材概念·结论·性质重现1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ≥0)振幅周期频率相位初相A T ＝f ＝＝ωx ＋ φ φ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：ωx ＋φ0π2πxy ＝A sin(ωx＋φ)0A 0－A 01．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径：由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( × )(2)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．( × )(3)若函数y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．( √ )(4)函数y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为．( √ ) 2．(2021·常州一模)已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin的图象，只需( )A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度C．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的D．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍B 解析：将f(x)＝2sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为f(x)＝2sin 2x；再将函数f(x)＝2sin 2x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝2sin．3．函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数的单调递减区间是( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)B 解析：由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为(k∈Z)．4．(2021·东城区一模)已知函数f(x)＝A sin(2x＋φ)，其中x和f(x)部分对应值如表所示：x－0f(x)－2－2－222那么A＝________．4 解析：由题意得f(0)＝A sin φ＝－2，f＝－A cos φ＝－2，所以A2(sin2φ＋cos2φ)＝16，因为A＞0，所以A＝4．5．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ ．3 解析：观察函数图象可得周期T＝，故T＝＝，所以ω＝3．考点1 由图象确定y＝A sin ωx＋φ 的解析式——基础性1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则此函数的解析式可以是( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sinC 解析：由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象知，T＝2×＝π，ω＝＝2，由五点法画图知，是函数图象的第三个关键点，即2×＋φ＝π，解得φ＝，所以此函数的解析式是y＝sin．2．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ＝( )A． B．－C． D．－D 解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，结合图象，－＝×，所以ω＝2．结合五点法作图可得，2×＋φ＝，所以φ＝－．3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．－ 解析：由题意可得T＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，所以φ＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1可得φ＝－，据此有f(x)＝2cos，f ＝2cos＝2cos＝－．4．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数T＝A sin(ωt＋φ)＋b，则这段曲线对应的函数解析式为____________．y＝10sin＋20，x∈[6,14] 解析：从题图中可以看出，6～14时是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20．又×＝14－6，所以ω＝．又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．1．由图象求解析式问题，求①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z．考点2 函数y＝A sin ωx＋φ 的图象变换——综合性(1)(2021 ·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )A．sin B．sinC．sin D．sinB 解析：由已知的函数y＝sin逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin．(2)(2021·山西二模)将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度得到y ＝cos 2x的图象，则φ的值可能为( )A． B．C． D．A 解析：将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos＝cos＝cos．若要得到y＝cos 2x的图象，则－2φ－＝2kπ，即φ＝－kπ－，k∈Z．因为φ＞0，所以当k＝－1时，φ＝．本例(1)若改为：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝________．sin 解析：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin＝sin．1．由函数y移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要特别注意这两种情况下平移的单位长度．2．当变换前后解析式三角函数名称不同时，要注意利用诱导公式转化．1．(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C上所有点的( )A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D 解析：函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C 上所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，即可．2．已知函数f(x)＝cos是偶函数，要得到函数g(x)＝sin 2x的图象，只需将函数f(x)的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度C 解析：因为函数f(x)＝cos是偶函数，所以φ－＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝cos 2x，要得到函数g(x)＝sin 2x＝cos的图象，只需将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．考点3 三角函数模型及其应用——应用性(2021·上海模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为( )A．5米B．(4＋)米C．(4＋)米D．(4＋)米D 解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴正方向，以竖直方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一圈．设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)．又T＝12，所以θ＝t，所以f(t)＝3－2cos t，t≥0；风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，θ＝6π＋，P(，1)，所以点P的高度为3－2×＝4(米)．因为A(0，－3)，所以AP＝＝，所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋)米．三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数模型，再利用三角函数的有关知1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M 从点P0处开始运动，OP0与水平面所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是( )A．H＝4sin＋2B．H＝4sin＋2C．H＝4sin＋2D．H＝4sin＋2A 解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t(s) 内转过的角度为t＝t，所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t－，则点M的纵坐标为4sin，所以点M距水面的高度H(m)表示为时间 t(s) 的函数是H＝4sin＋2．2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．6 000 解析：作出函数简图如图：三角函数模型为y＝A sin(ωx＋φ)＋B，由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝．将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，所以φ＝0，故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．所以f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性(1)(多选题)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)，则下列结论正确的是( )A．函数g(x)的图象关于直线x＝对称B．函数g(x)的图象关于点对称C．函数g(x)在上单调递减D．函数g(x)在[0,2π]上恰有4个极值点AD 解析：函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)＝2sin的图象，对于A：当x＝时，g＝2，故A正确．对于B：当x＝时，g＝2sin＝，故B错误．对于C：当x∈时，2x－∈，故函数在该区间上单调递增，故C错误．对于D：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝0,1,2,3时，x＝，，，，正好有4个极值点，故D正确．(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )A． B．(－2,2)C．(－2，－) D．(－2，－1)D 解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈．设2x＋＝t，则t∈，题目条件可转化为＝sin t，t∈，有两个不同的实数根．所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的范围为，故m的取值范围是(－2，－1)．已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________．1≤m＜2 解析：2sin2x－sin 2x＋m－1＝－cos 2x－sin 2x＋m＝－2sin＋m．因为x∈，所以2x＋∈．要使方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则2x＋∈且2x ＋≠，此时2sin∈[1,2)，所以1≤m＜2．1．研究y＝1．(2021·运城模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )A．f(x)＝2sinB．若把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到的函数在[－π，π]上是增函数C．若把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数是奇函数D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称B 解析：由图象可得T＝－2π＝，所以T＝6π，所以ω＝＝．因为f(2π)＝2，所以f(2π)＝2sin＝2，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|＜π，所以φ＝－．所以f(x)＝2sin，故A正确．把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为y＝2sin．因为x∈[－π，π]，所以－≤x－≤，所以y＝2sin在[－π，π]上不单调递增，故B错误．把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数为y＝2sin＝2sin x，是奇函数，故C正确．f(－4π)＝2sin＝2，是最值，故x＝－4π是f(x)的对称轴，故D正确．2．若将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．2 B．C．1 D．A 解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到的y＝2sin的图象关于y轴对称，所以φ＝，函数f(x)＝2sin．因为x∈，所以2x＋∈，则当2x＋＝时，函数f(x)在上的最大值为2．将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．[四字程序]思路参考：构造正弦型函数的解析式．B 解析：y ＝cos x ＋sin x ＝2sin ，函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度，得y ＝2sin 的图象．由x ＋m ＋＝k π＋(k ∈Z )，得函数y ＝2sin 的图象的对称轴为x ＝－m ＋k π(k ∈Z )．因为所得的图象关于y 轴对称，所以－m ＋k π＝0(k ∈Z )，即m ＝k π＋(k ∈Z )，则m 的最小值为．思路参考：构造余弦型函数的解析式．B 解析：函数y ＝cos x ＋sin x ＝2cos 的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到y ＝2cos 的图象．因为此函数图象关于y 轴对称，所以y ＝2cos 为偶函数，易知m 的最小值为．思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．B 解析：由解法1，得y ＝2sin ．因为所得的图象关于y 轴对称，可得当x ＝0时，y ＝±2，进而sin ＝±1，易知m 的最小值为．思路参考：利用函数图象．B 解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝－．由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为．1．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．2．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．0 B．C． D．1D 解析：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图象．根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ．因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin．在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值为1．。
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第六讲函数y=Asinωx+φ的图象及应用课件
【题后反思】函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的 作法
(1)五点法：用“五点法”作 y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是 通过变量代换，令 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π 来求出相 的 x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图象.
(2)图象变换法：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝ A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后 平移”.
第六讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
课标要求
考情分析
结合具体实例，了解y ＝A sin (ωx＋φ)的实际 意义；能借助图象理解 参数ω，φ，A的意义， 了解参数的变化对函数 图象的影响
1.从近几年的高考试题来看，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图 象确定A，ω，φ的值等问题是高考的热点， 复习时，应抓住“五点法”作图和图象的变 换以及性质的应用，通过适量的训练，掌握 解决问题的通法. 2.题型一般是选择题或填空题
故 f(x)的单调递增区间为－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z).
答案：－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z)
2.已知函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图 3-6-4 所示，则 y＝fx＋π6取得最小值时 x 的集合为__________.
图 3-6-4
解析：根据题干所给图象，周期 T＝4×172π－π3＝π， 故 π＝2ωπ，∴ω＝2，因此 f(x)＝sin (2x＋φ)，另外图象经过点
图 3-6-6
由图象得，当 22≤a<1 时，方程 cos 2x－π4＝a 恰好有三个不 同的实数根.
2020年高考文科数学一轮总复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
2020年高考文科数学一轮总复习：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用第6讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( )(2)将y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×(教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π8答案：A函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π且x ≠π2的图象为( )解析：选C.因为|tan x |≥0，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，cos x ≥0，y ≥0， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，cos x ≤0，y ≤0.由图可知，故选C.若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f (x )＝________．解析：函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32五点法作图及图象变换(典例迁移)(2019·济南高三模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)．【解】 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，13π6， 列表如下：[迁移探究1] (变结论)在本例条件下，函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移________个单位得到y ＝f (x )的图象．解析：将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝2sin 2x 的图象，再将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象，综上可得，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到． 答案：π6[迁移探究2] (变问法)在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．解：由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin[2(x －m )＋π6]＝2sin ⎣⎡⎦⎤2x －⎝⎛⎭⎫2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π3，k ∈Z ，又因为m >0，所以m 的最小值为π3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法加减多少值．1．(2018·高考天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减 解析：选 A.把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，令k ＝1，得3π4≤x ≤5π4，即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，故选A.2．(2019·河南周口模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π24解析：选 B.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的图象，再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋5π12的图象，故选B.由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(师生共研)(2019·重庆六校联考)函数f (x )＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＝________．【解析】 由函数的图象可得A ＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－62.【答案】 －62确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．1．(2019·兰州实战考试)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________．解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由0<φ<π，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2，所以f (1)＝－ 3. 答案：－ 32．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象上有一个最高点的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6，0)，则此解析式为________________．解析：由题意得：A ＝2，T 4＝6－2，T ＝16，ω＝2πT ＝π8，又sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，π4＋φ＝π2＋2kπ(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4三角函数模型的简单应用(师生共研)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为________℃.【解析】 因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24， 所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 【答案】 4三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：连接MP (图略)． 依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，所以ω＝π6，所以y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin2π3＝3， 所以M (4，3)．又P (8，0)， 所以|MP |＝（－4）2＋32＝5. 即M ，P 两点相距5 km.函数与方程思想在三角函数中的应用已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．【解析】 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0⇔m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 要使原方程在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同实根， 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6与y ＝m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同交点， 如图，需满足1≤m <2.【答案】 [1，2)本题是将方程根的问题转化为函数y ＝m 和y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6图象的交点，再利用数形结合进行求解，充分体现数学思想．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D.函数f (x )零点个数即为y ＝3sin π2x 与y ＝log 12x 交点个数，如图，函数y ＝3sinπ2x 与y ＝log 12x 有5个交点．[基础题组练]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( )A ．－3B ．33C ．1D ． 3解析：选D.由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 3．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析：选B.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，再将所得图象作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象，故选B. 4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列为f (x )的单调递减区间的是( )A.⎣⎡⎦⎤－5π3，－7π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3C.⎣⎡⎦⎤5π6，πD.⎣⎡⎦⎤π，4π3 解析：选 B.由12T ＝2π3－π6＝π2，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1.因为|φ|<π2，所以φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由图象可得f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ，结合选项可知⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3为f (x )的单调递减区间，选B. 5．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π2，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________．解析：由函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案：2 π36．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω， 所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＋6， 结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x . 答案：y ＝6－cos π2x7．(2019·河北石家庄毕业班模拟)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值． 解：(1)因为函数f (x )的最小值为－1， 所以－A ＋1＝－1，即A ＝2.因为函数f (x )的图象的相邻两个最高点之间的距离为π， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π，所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＋1.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以α－π6＝π6，得α＝π3.8．(2019·湖北八校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．解：(1)T 2＝1112π－512π＝12π，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝1， |φ|<π2，所以φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由正弦函数的性质可得，g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上为增函数，在⎣⎡⎦⎤π12，π4上为减函数， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫π12＝1. 又g (0)＝12，g ⎝⎛⎭⎫π4＝－12，所以g (x )min ＝－12，故函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12. [综合题组练]1．(2019·潍坊统一考试)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选B.由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋kπ，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π2，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.2．(2019·惠州第二次调研)函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|≤π2，A >0的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B.由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，所以2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，所以θ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增，所以选项B 正确．3．(创新型)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．解析：由题图可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N (x N ，－1)， 所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0， 解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. 答案：34．(2019·武汉部分学校调研)已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2，4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2，4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③该函数的最小正周期可以是8.其中是真命题的为________(写出序号即可)．解析：对于①，因为直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，所以结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2，4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2，4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误；对于③，因为函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的最小正周期T ＝2ππω＝2ω，当ω＝14时，T＝8，此时f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ，由⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝a ，f （4）＝a ，解得cos φ＝22，sin φ＝－22，满足|φ|≤π2，故f (x )的最小正周期可以是8，③正确． 答案：③5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得：ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：6．(应用型)如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．解：(1)由图象知A ＝10，12·2πω＝14－6，所以ω＝π8，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫πt8＋φ＋b .① y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20. 当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π4，所以解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14]．(2)由题意得，20－52≤10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4＋20≤20＋52，即－22≤sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4≤22， 所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π4，k ∈Z .即8k －8≤t ≤8k －4，k ∈Z ，因为t ∈[6，14]，所以k ＝2，即8≤t ≤12， 所以最佳营业时间为12－8＝4小时．。
2020年高考数学一轮总复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件理
方法2 数形结合法求解三角不等式、三角方程 【例4】 设f(x)＝sin x(sin x＋cos x)＋2cos2x. (1)求函数f(x)的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f(x)≥32成立的x的取值集合．
[解析] f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋2cos2x ＝32＋12sin 2x＋12cos 2x ＝ 22sin2x＋π4＋32，
[答案] (1)C (2)C
名师点拨 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的思维和步骤 (1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－2 m，b＝M＋2 m. (2)求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝2Tπ.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b
3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(
)
A．5 C．8
B．6 D．10
(2)(2018·咸阳期末)如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数T＝ Asin(ωt＋φ)＋20(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，那么该函数的解析式是( ) A．T＝20sinπ4t＋34π＋20 B．T＝10sinπ4t＋34π＋20 C．T＝10sinπ8t＋34π＋20 D．T＝20sinπ8t＋π4＋20
第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角 函数模型的简单应用
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考情考向分析
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意
以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图 的五点法画图、图象之间的平移伸缩变
高考数学课程一轮复习 第31课时 三角函数的应用及三角函数模型的简单应用
第31课时 三角函数的应用及三角函数模型的简单应用【考点点知】知己知彼，百战不殆三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，新课标都要求：“会用三角函数解决一些简单实际问题”，而且数学建模是新课程所提倡的重要理念和教学方式，因此，三角函数模型作为一种重要的函数模型，在高考中必定加大考查的力度.备考时应掌握基本的三角函数模型，学会建立已知的三角函数模型及用数据建立拟合函数解决实际问题．鉴于三角函数和函建模在高考中的重要地位，三角函数模型的应用将成为2009年高考的热点．考点一: 三角函数的最值问题三角函数最值问题是历年高考重点考查的知识点之一，它不仅与三角自身的常见基础知识如三角函数概念、图象和性质，诱导公式，两角和与差的三角公式等密切相关，而且它与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及一些几何知识等也有结合，这是函数思想的具体体现，有时实际问题中亦有广泛应用．这类考题综合性较强，解法灵活，对能力要求较高．1.y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法.常转化为y =22b a +sin （x +ϕ），其中tan ϕ=ab . 2.y =a sin 2x +b sin x +c 型.常通过换元法转化为y =at 2+bt +c 型.3.y =d x c bx a ++cos sin 型.（1）转化为型1.（2）转化为直线的斜率求解. 考点二: 三角函数模型的应用1.三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定义和性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，由于三角函数和代数、几何知识联系密切，它又是研究其他各类知识的重要工具，因此应重视对知识理解的准确性，加强对三角知识工具性的认识.2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．我们可以利用收集到的数据作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．【小题热身】明确考点，自省反思1.（2009江西卷）若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为 .2.（2009安徽卷）已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 .3.（重庆卷）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经 过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段 弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311coscossinsin3333αααααα++-=____________ .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.已知函数Rxx f πsin 3)(=图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆222R y x =+上，则)(x f 的最小正周期为 .思路透析:由题意知)(x f 的周期r rT 22==ππ,)(x f 最大值是3 结合图形分析知>r 3732.12322,3>⨯≈>r 则,只有42=r 这一种可能即)(x f 的最小正周期为4.点评:本题考查三角函数振幅,周期公式ωπ2=T ,利用数形结合分析可得 r 2的取值,采用排除法 .例 2.已知函数2()4cos2sin 22xf x x a ωω=+-+(0,),()a f x ω>∈R 其中且的图象在y 轴右侧的第一个最高的横坐标为2.（I ）求ω的值；（II ）若)(x f 在区间[8，16]上的最大值为3，求a 的值. 思路透析:（I ）a x x x f ++=ωωsin 2cos 2)(.)4sin(22a x ++=πω. 由题意知，.8,242πωππω==+得（II ）a x x f ++=)48sin(22)(ππ，].49,45[48],16,8[ππππ∈+∴∈x x由图象可知，当9,16,(),844x x f x πππ+==即时最大93,4a π+=由得.1=a点评:通过对已知函数式分解、化简与整理，将所求问题转化为最基本的三角函数最值与单调性问题．这类问题主要考查恒等变换的基本技能和三角函数的基本性质．例3.一半径为4m 的水轮如图所示, 水轮圆心O 距水面2m,已水轮每分钟转动 5圈,如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中 点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z(m)表示为 时间t(s)的函数;(2)点P 第一次到达最高点大约要多少时间?思路透析:解法一 (1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转,如图所示, 建立直角坐标系. 设角ϕ (0)2πϕ-<<是以O x 为始边,OP 0为终边的角.由OP 在ts 内所转过的角为52()606t t ππ⨯=,可知O x 为始边, OP 为终边的角为6t πϕ+,故P 点纵坐标为4sin()6t πϕ+,则4sin()26y t πϕ=++.当0t =时,0y =可得1sin 2ϕ=-.因为02πϕ-<<,所以6πϕ=-,故所求函数关系式为4sin()266y t ππ=-+. (2)令4sin()266y t ππ=-+=6,得sin()166t ππ-=. 取2,662t k k Z ππππ-=+∈, 解得t 的最小值为4.故点P 第一次到达最高点需要4s .解法二(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转.设sin()y A t B ωϕ=++,ϕ∈()22ππϕ-<< .∵水轮上点P 距离水平最大距离为6,最小距离为-2,∴426,4,22,A B A B A B +=+=⎧⇒==⎨-+=-⎩.又水轮每分钟转动5圈,得12秒钟转动一周,即得周期为12秒,得2126T ππωω==⇒=. ∴4sin()26y t πϕ=++.∵点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间. 即当时0t =时0y =, ∴4sin 20ϕ+=,可得1sin 2ϕ=-. 因为22ππϕ-<<,所以6πϕ=-,故所求函数关系式为4sin()266y t ππ=-+. (2)令4sin()266y t ππ=-+=6,得sin()166t ππ-=.取2,662t k k Z ππππ-=+∈, 解得t 的最小值为4.故点P 第一次到达最高点需要4s .点评:三角函数具有较强的渗透力，它可和其它的数学知识综合起来，特别是与向量、几何密切联系．注意三角与几何的综合试题，在几何中引入角度作为自变量建立函数模型或解析几何模型可使问题化难为易，从而获得简捷的解法.例4.如图，四边形ABCD 是一个边长为100米的正方形地皮，其中A TPS 是一半径为90米的扇形小山，其余部分都是平地，P 是弧TS 上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在 BC 与CD 上的长方形停车场PQCR ，求长方形停车场PQCR 面积的最大值.思路透析:求停车场面积，需建立长方形的面积函数. 这里自变量的选取十分关键，通常有代数和三角两种 设未知数的方法，如果设长方形PQCR 的一边长为x （不妨设PR=x ），则另一边长22)100(90100x PQ ---=，这样S PQCR =PQ ·PR=x ·（100－22)100(90x --），但该函数的最值不易求得，如果将∠BAP 作为自变量，用它可表示PQ 、PR ，再建立面积函数，则问题就容易得多，于是可求解如下；延长RP 交AB 于M ，设∠PAB=)900(︒<<︒αα，则AM=90.sin 90100,cos 100,sin 90,cos αααα-=-==PR PQ MP ∴)sin 90100)(cos 90100(αα--=⋅=PR PQ S PQ CR.sin cos 8100)sin (cos 900010000αααα++-= 设ααsin cos +=t ， ∵︒≤≤︒900α∴.21sin cos ],2,1(2-=∈t t αα .950)910(405021810090001000022+-=-⨯+-=t t t S PQCR∴当时2=t ，S PQCR 有最大值.2900014050-答：长方形停车场PQCR 面积的最大值为2900014050-平方米.点评:实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 当y =2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( ) A. －23 B. 23C. －23D. 232.若圆x 2+y 2=r 2(r>0)至少能盖住函数rxx f 2sin30)(π=的一个最大值点和一个最小值点，则r 的取值范围是( )A. [5,)+∞B. ),6[+∞C. [7,)+∞D. [8,)+∞ 3. 如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲 线近似满足函数)20()sin(πϕϕω<≤++=B x A y ， 则温度变化曲线的函数解析式为( ) A. 10sin()2084y x ππ=++ B. 10sin()2082y x ππ=++ C. 20)438sin(10++=ππx y D. 10sin()208y x ππ=++4.已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是关于点( ) 对称. A. (,0),2k k Z ππ+∈ B.(2,0),k k Z π∈ C.(,0),2k k Z π∈ D.(,0),k k Z π∈ 【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1. 设点P 是函数()sin f x x ω=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 . 2. 函数y =log 2（1+sin x ）+log 2（1－sin x ），当x ∈［－6π，4π］时的值域为 . 3. 某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ，其中[0,60]t ∈.4. 函数),52sin(2)(ππ+=x x f 若对任意R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为5. 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．试写出该函数的解析式6.ω是正实数，设})](cos[)(|{是奇函数θωθω+==x x f S ，若对每个实数a ，ωS ∩)1,(+a a 的元素不超过２个，且有a 使ωS ∩)1,(+a a 含有２个元素，则ω的取值范围是___________．二、解答题:7. 已知函数f(x)＝A 2sin ()(000)2x A πωϕωϕ+＞，＞，＜＜，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.(Ⅰ)求ϕ；(Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2008).（I ）以日期在365天中的位置序号x 为横坐标，白昼时间y 为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；（Ⅱ）试选用一个．．．．形如t x A y ++=)s i n (ϕω的函数来近似描述一年中白昼时间y 与日期位置序号x 之间的函数关系.[注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算]（Ⅲ）用（Ⅱ）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.第31课时 三角函数的应用及三角函数模型的简单应用参考答案【小题热身】1. 22. [,],36k k k Z ππππ-+∈3. 12-【即时测评】1. A2. B3. C4. D【课后作业】一、填空题: 1.π 2. ［－1，0］ 3. 10sin60tπ 4. 2 5. 020cos()6y t t π=- 6. πωπ2≤<二、解答题:7.解析：（I ）2sin ()y A x ωϕ=+cos(22).22A Ax ωϕ=-+ ()y f x = 的最大值为2，0A >. 2, 2.22A AA ∴+==又 其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，12()2,.224ππωω∴== 22()cos(2)222f x x πϕ∴=-+1cos(2)2x πϕ=-+.()y f x = 过(1,2)点，cos(2) 1.2x πϕ∴+=-22,,2x k k Z πϕππ∴+=+∈22,,2k k Z πϕπ∴=+∈,,4k k Z πϕπ∴=+∈ 又∵0,2πϕ<<4πϕ∴=.（II ）解法一：4πϕ=， 1c o s ()1s i n .222y x x πππ∴=-+=+(1)(2)(3)(4)f f f f ∴+++21014=+++=.又()y f x = 的周期为4，20084502=⨯，(1)(2)(2008)f f f ∴++⋅⋅⋅+45022008.=⨯=解法二：2()2sin ()4f x x πϕ=+2(1)(3)2sin ()4f f πϕ∴+=+232sin ()2,4πϕ++=2(2)(4)2sin ()2f f πϕ+=+22sin ()2,πϕ++=(1)(2)(3)(4) 4.f f f f ∴+++=又()y f x =的周期为4，20084502=⨯，(1)(2)(2008)f f f ∴++⋅⋅⋅+45022008.=⨯=8. 解析:（I ）画散点图见下面.（Ⅱ）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为t x A y ++=)sin(ϕω， 由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4， 即max min 19.4, 5.4y y ==，由19.4－5.4=14，得A=7；由19.4+5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，.3652πω=∴)14665,365161,730323,7332(730323,23652,172均可等于时当ππππϕπϕπϕπ----⋅-=∴=+=x x),3651.(4.12)7303233652sin(7*∈≤≤+-=∴N x x x y ππ （Ⅲ）,6573032336526.21)7303233652sin(9.15ππππππ<-<∴>->x x y 得由.232112,4323625365432312365≤≤∴+⨯⨯<<+x x ∴该地大约有121天（或122天）白昼时间大于15.9小时.。
届高考数学一轮复习讲义三角函数模型及其简单应用
到达最高点时，h＝10.4 m. 由 sin3π0t－π2＝1，得3π0t－π2＝π2，∴t＝30， ∴缆车到达最高点时，用的最少时间为 30 秒．
思想与方法
用三角函数解决几何问题
(14 分)l1，l2，l3 是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线． (1)如果 l1 与 l2 间的距离是 1，l2 与 l3 间的距离也是 1，可以把一 个正三角形 ABC 的三顶点分别放在 l1，l2，l3 上，求这个正三 角形 ABC 的边长； (2)如图所示，如果 l1 与 l2 间的距离是 1， l2 与 l3 间的距离是 2，能否把一个正三角 形 ABC 的三顶点分别放在 l1，l2，l3 上， 如果能放，求 BC 和 l3 夹角的正切值，并 求该正三角形边长，如果不能，说明为什么？ (3)如果边长为 2 的正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1，l2，l3 上， 设 l1 与 l2 的距离为 d1，l2 与 l3 的距离为 d2，求 d1·d2 的范围？
变式训练 1
已知电流 I 与时间 t 的函数关系式为 I＝ Asin(ωt＋φ)． (1)如图是 I＝Asin(ωt＋φ) (ω>0，|φ|<π2) 在一个周期内的图象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1510 s 时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能取 得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？
2．理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语 和有关名词．
3．要能根据题意，画出符合题意的图形． 4．对计算结果，可根据实际情况进行处理．
失误与防范
1．建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量． 2．解决应用问题要注重检验，数字问题的解题是否符合题意． 3．选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
2023届高考数学一轮复习讲义：第27讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
第27讲 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x －φω π2ω－φω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω y ＝A sin(ωx ＋φ) 0A－A五点法作图的步骤用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T4.3．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法➢考点1 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换[名师点睛]作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ） A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度2．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0,||2πωϕ><)图象的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为712x π=，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度[举一反三]1．（2022·湖北·荆州中学三模）要得到函数2y x =的图象，只需将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位2．（2022·全国·高三专题练习）由函数sin 2y x =的图象经过图象变换得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则这个变换过程为（ ）A ．向左平移π8个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）B ．向左平移π4个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）C ．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π4个单位长度 D ．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π8个单位长度 3．（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数sin 2y x =的图像，只需把函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位D ．向右移4π个单位➢考点2 由图象求解析式确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．[典例]1．（2022·广东茂名·二模）已知函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+< 的部分图象如图所示．将函数()f x 的图象向左平移π12个单位得到()g x 的图象，则（ ）A ． ()3sin(2)6g x x π+）B ．()3sin(2)12g x x 5π+C ．()32g x x =D ．()32g x x =2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[]0,π上的单调递增区间.[举一反三]1．（2022·山东潍坊·模拟预测）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，现将()f x 的图像向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则()g x 的表达式可以为（ ）A ．2sin 2g xxB ．()2cos 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2cos 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则将()f x 的图像向左平移12π个单位后，所得图像的函数解析式为（ ）A ．3sin 446y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．3cos 44y x =C ．3sin 244y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．3cos 44y x =-3．（2022·河北·模拟预测）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两个零点的距离为π.若将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度得到()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为___________.4．（2022·全国·高三专题练习）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 图象上的所有点向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x =___________.➢考点3 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)图象与性质的综合应用[名师点睛]先将y ＝f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题． [典例]1．（多选）（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数()cos(2)1(0,0)f x A x A ϕϕπ=+-><<，若函数|()|y f x =的部分图象如图所示，则关于函数()sin()g x A Ax ϕ=-，下列结论中正确的是（ ）A ．函数()g x 的图象关于直线6x π=对称B ．函数()g x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．函数()g x 的图象可由函数()1y f x =+的图象向左平移6π个单位长度而得到2．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.[举一反三]1．（2022·天津·高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下面四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,]44-上单调递增；③当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x的值域为⎡⎢⎣⎦； ④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·江苏南京·高三开学考试）设函数ln ,0()sin ,04x x x f x x x πωπ+>⎧⎪=⎨⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有5个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．1317[,)44B ．1317(,)44C ．1317(,]44D ．1317[,]443．（多选）（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）若函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()g x 的说法中，错误的是（ ）A ．数()g x 的图象关于直线7π24x =对称 B ．函数()g x 的图象关于点π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 的单调递增区间为ππ2π,2π,412k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数5π12g x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．➢考点4 三角函数模型及其应用[名师点睛]三角函数模型在实际应用中体现的两个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识． [典例]1．（2022·北京东城·三模）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m ，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min .游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，则在转动一周的过程中，高度H 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．()55cos()65030152H t t ππ=-+≤≤B ．()55sin()65030152H t t ππ=-+≤≤ C ．()55cos()65030102H t t ππ=-++≤≤ D ．()55sin()65030102H t t ππ=-++≤≤ 2．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是()()2sin 0,03f x A x A πϕϕπ⎛⎫=+>≤< ⎪⎝⎭，其中的振幅为2，且经过点()1,2.-(1)求该噪声声波曲线的解析式()f x 以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式()g x ；(2)先将函数()f x 图象上各点的横坐标变为原来的3π倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()h x 的图象．若锐角θ满足()1013h θ=-，求sin2θ的值．[举一反三]1．（2022·天津滨海新·高三阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为R 的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当0=t 时，盛水筒M 位于点0(3,33)P -，经过t 秒后运动到点(,)P x y ，点P 的纵坐标满足()y f t =sin()R t ωϕ=+（0t ≥，0>ω，||2ϕπ<），则下列叙述不正确的是（ ）A ．筒车转动的角速度60πω=B ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为23-C ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 和初始点0P 的水平距离为6D ．筒车在(0,60]秒的旋转过程中，盛水筒M 最高点到x 轴的距离的最大值为62．（2022·山东·烟台二中高三期末）武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t 分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时．(1)求小夏与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；(2)在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少253分钟，求t的最小值第27讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x －φω π2ω－φω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω y ＝A sin(ωx ＋φ) 0A－A五点法作图的步骤用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T 4.3．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法➢考点1 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换[名师点睛]作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ） A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度 【答案】D【解析】因为ππ2sin32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin3y x =的图象． 故选：D.2．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0,||2πωϕ><)图象的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为712x π=，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度【答案】D【解析】解：函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为712x π=，所以1274123πππω⨯=-， 所以2ω=. 因为函数()f x 在712x π=时取得最小值， 所以732+=2122k ππϕπ⨯+，Z k ∈， ∴ =23k πϕπ+，Z k ∈∵||2ϕπ<∴3πϕ=∴()sin(2)cos(2)cos(2)3326f x x x x ππππ=+=+-=-根据平移变换规律可知，()f x 向左平移6π个单位，可得函数cos 266y x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 向左平移6π个单位可得()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选：D. [举一反三]1．（2022·湖北·荆州中学三模）要得到函数2y x =的图象，只需将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位【答案】A【解析】22224y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位得：22842y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）由函数sin 2y x =的图象经过图象变换得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则这个变换过程为（ ）A ．向左平移π8个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）B ．向左平移π4个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）C ．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π4个单位长度D ．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π8个单位长度 【答案】A【解析】sin 2y x =的图象经过图象变换得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,可先平移后伸缩：将函数图象向左平移π8个单位长度得ππsin 2()sin(2)84y x x =+=+，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；先伸缩后平移：把所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到1sin 2sin 2y x x =⨯=，再将图象左移π4个单位，得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.故选：A3．（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数sin 2y x =的图像，只需把函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位D ．向右移4π个单位 【答案】D【解析】因为：sin 2sin 224y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以：函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，可得到函数sin 2y x =的图象． 故选:D.➢考点2 由图象求解析式交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．[典例]1．（2022·广东茂名·二模）已知函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+< 的部分图象如图所示．将函数()f x 的图象向左平移π12个单位得到()g x 的图象，则（ ）A ． ()3sin(2)6g x x π+）B ．()3sin(2)12g x x 5π+C ．()32g x x =D ．()32g x x =【答案】D【解析】由图象知，3(0)2f =， ∵π()3)(||)2f x x ϕϕ+<，∴33(0)3,sin 2f ϕϕ===又π||2ϕ<，∴π3ϕ=，∴π()3)3f x x +，∵将函数()f x 的图象向左平移π12个单位得到()g x 的图象， ∴ππ()3)]32123g x x x =++=， 故选：D ．2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[]0,π上的单调递增区间.【解】（1）由图可得函数()f x 的最小正周期为11521212T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 所以，22Tπω==， 552sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22ππϕ-<<，则54363πππϕ<+<，56πϕπ∴+=，则6π=ϕ，所以，()sin 26f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为()10sin162f A A π===，所以，2A =，所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由题意可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，记(),63Z A k k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=+∈，则[]50,0,,36Aππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 因此，函数()g x 在[]0,π上的增区间是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦、5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.[举一反三]1．（2022·山东潍坊·模拟预测）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，现将()f x 的图像向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则()g x 的表达式可以为（ ）A ．2sin 2g xxB ．()2cos 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2cos 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由图像可知：()max 2f x =，2A ∴=；又()02sin 1f ϕ==-，1sin 2ϕ∴=-，又2πϕ<，6πϕ∴=-，772sin 012126f πππω⎛⎫⎛⎫∴=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由五点作图法可知：7126ππωπ-=，解得：2ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭；()2sin 22sin 22cos 2666626g x f x x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+-=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2cos 22cos 233x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则将()f x 的图像向左平移12π个单位后，所得图像的函数解析式为（ ）A ．3sin 446y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．3cos 44y x =C ．3sin 244y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．3cos 44y x =-【答案】B【解析】由题0,0A ω>>，2πϕ<由图34A =，3324432482T T πππππωω⎛⎫=--=⇒==⇒= ⎪⎝⎭，0sin 02466f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫-=⇒-+=⇒=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()3sin 446f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位后，得到333sin 4sin 4cos 44126424y x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B.3．（2022·河北·模拟预测）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两个零点的距离为π.若将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度得到()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为___________. 【答案】()sin g x x =- 【解析】()f x 的相邻两个零点的距离为π，()f x ∴的最小正周期2T π=，1ω∴=；又sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()Z 3k k πϕπ∴+=∈，解得：()Z 3k k πϕπ=-∈，又0ϕπ<<，23πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()()sin sin 3g x f x x x ππ⎛⎫∴=+=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：()sin g x x =-.4．（2022·全国·高三专题练习）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 图象上的所有点向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x =___________.【答案】cos2x【解析】根据函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象，可得1A =，1274123πππω⨯=-，2ω∴=． 再结合五点法作图，可得23πϕπ⨯+=，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π∴=+． 将()f x 图象上的所有点向左平移12π个单位得到函数()sin(2)cos 22g x x x π=+=的图象，故答案为：cos2x ．➢考点3 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)图象与性质的综合应用[名师点睛]先将y ＝f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题． 1．（多选）（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数()cos(2)1(0,0)f x A x A ϕϕπ=+-><<，若函数|()|y f x =的部分图象如图所示，则关于函数()sin()g x A Ax ϕ=-，下列结论中正确的是（ ）A ．函数()g x 的图象关于直线6x π=对称B ．函数()g x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．函数()g x 的图象可由函数()1y f x =+的图象向左平移6π个单位长度而得到 【答案】BC【解析】根据函数图象可得：1311A A +=⎧⎨-=⎩，∴2A =，()2cos(2)1f x x ϕ=+-，又()02cos 12,0πf ϕϕ=-=<<，故23ϕπ=， 所以2()2sin 2,3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对称轴为22326x k x ππππ-=+=，时56k Z =-∉，故A 项错． 22,332k x k x k Z ππππ-==+∈,，∴()g x 关于,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 项对．函数()g x 的单调递减区间为325222,2321212k x k k x k πππππππππ-+<-<-+-+≤≤+， 0k =时()g x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 项对．212cos 22cos2()633f x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫++=++=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 项错．故选：BC.2．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知数2()3sin 2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.【解析】(1)由题意，函数21()3sin()2sin ()1626f x x x ππωω⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦3sin()cos()2sin()2sin 6666x x x x ππππωωωω=+-+=+-=因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，可得2ω=. 故()2sin 2f x x =(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，可得2sin(2)3y x π=-的图象.再把橫坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin(4)3y g x x π==-的图象.当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当432x ππ-=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为2-，当433x ππ-=时，函数()g x 取得最大值，最大值为3，故函数()g x 的值域2,3⎡⎤-⎣⎦.(3)由方程4()3g x =，即42sin(4)33x π-=，即2sin(4)33x π-=，因为4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，设43x πθ=-，其中,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2sin 3θ=，结合正弦函数sin y x =的图象，可得方程2sin 3θ=在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有5个解，即5n =， 其中122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=， 即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-= 解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+=所以m =()()()()1212345233445223220x x x x x x x x x x x x x π=++++++++++++=. 综上，2053n m π==， [举一反三]1．（2022·天津·高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下面四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,]44-上单调递增；③当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x的值域为⎡⎢⎣⎦； ④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】因为1()sin 22f x x =，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，①不正确；令ππ2,22t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，而1sin 2y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以()f x 在ππ[,]44-上单调递增，②正确；因为π2π2,33t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，③不正确； 由于1π1πg()sin(2)sin 22428x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确． 故选：A ．2．（2022·江苏南京·高三开学考试）设函数ln ,0()sin ,04x x x f x x x πωπ+>⎧⎪=⎨⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有5个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．1317[,)44B ．1317(,)44C ．1317(,]44D ．1317[,]44【答案】A【解析】由题，当0x >时，()ln f x x x =+，显然单调递增，且11ln1001010f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()22ln 20f =+>，所有此时()f x 有且只有一个零点，所有当0x π-≤≤时，()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有4个零点，令()0f x =，即,4x k k Z πωπ+=∈，解得4,k x k Zππω-+=∈，由题可得0x π-≤≤区间内的4个零点分别是0,1,2,3k =---，所以π-即在34k k =-=-与之间，即3444πππωπππω⎧--⎪≥-⎪⎪⎨⎪--⎪<-⎪⎩，解得131744ω≤<故选：A3．（多选）（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）若函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()g x 的说法中，错误的是（ ）A ．数()g x 的图象关于直线7π24x =对称 B ．函数()g x 的图象关于点π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 的单调递增区间为ππ2π,2π,412k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数5π12g x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数【答案】ABC【解析】由题意得：()πππ2sin 22sin 2263g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将7π24x =代入()g x 得：7π7πππ2sin 2sin 2241234g ⎛⎫⎛⎫=-=≠± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故A 错误； 将π24x =代入()g x得：ππππ2sin 2sin 241234g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B 错误；令πππ2π22π,232k x k k Z -+≤-≤+∈，解得：π5πππ,1212k x k k Z -+≤≤+∈， 故(g x ）的单调递增区间不是ππ2π,2π,412k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，C 错误；5π5πππ2sin 22sin 22cos 212632g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，为偶函数，D 选项正确.故选：ABC4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．【解】(1)解：由图示得：515+12,322A B -====， 又71212122T πππ=-=，所以T π=，所以22T πω==，所以()2sin(2)3f x x ϕ=++，又因为()f x 过点,512π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以52sin 2312πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，即πsinφ16，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=+∈，又||2ϕπ<，所以3πϕ=，所以()2sin 233f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(2)解：由已知得()2sin 36g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令7,663t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则2sin 32sin 36x t π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭， 令()2sin 3h t t =+，则2sin 3466h ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2sin 3522h ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，332sin 3122h ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，772sin33+333h ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以43+3a ⎡⎤∈⎣⎦，，因为()0h t a -=有三个不同的实数根()123123,,t t t t t t <<，则12312,22t t t t πππ+=⨯==+，所以12324t t t π++=，即12324666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1231023x x x π++=．➢考点4 三角函数模型及其应用[名师点睛]三角函数模型在实际应用中体现的两个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识． [典例]1．（2022·北京东城·三模）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m ，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min .游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，则在转动一周的过程中，高度H 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．()55cos()65030152H t t ππ=-+≤≤B ．()55sin()65030152H t t ππ=-+≤≤ C ．()55cos()65030102H t t ππ=-++≤≤ D ．()55sin()65030102H t t ππ=-++≤≤ 【答案】B【解析】解：根据题意设，()()sin()030H t A t B t ωϕ=++≤≤， 因为某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m ， 所以，该摩天轮最低点距离地面高度为10m ，所以12010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得55,65A B ==，因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min ， 所以，230T πω==，解得15πω=，因为0=t 时，()010H =，故1055sin 65ϕ=+，即sin 1ϕ=-，解得2,Z 2k k πϕπ=-+∈.所以，()()55sin()65030152H t t t ππ=-+≤≤故选：B2．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是()()2sin 0,03f x A x A πϕϕπ⎛⎫=+>≤< ⎪⎝⎭，其中的振幅为2，且经过点()1,2.-(1)求该噪声声波曲线的解析式()f x 以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式()g x ；(2)先将函数()f x 图象上各点的横坐标变为原来的3π倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()h x 的图象．若锐角θ满足()1013h θ=-，求sin2θ的值． 【解】(1)解：由已知可得2A =，()212sin 23f πϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，可得2sin 13πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以，()232Z 32k k ππϕπ+=+∈，得()52Z 6k k πϕπ=+∈， 因为0ϕπ≤<，则56πϕ=，故()252sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()()252sin 36g x f x x ππ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭. (2)解；将函数()f x 图象上各点的横坐标变为原来的3π倍，纵坐标不变，可得到函数52sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得函数图象向右平移6π个单位，可得函数()h x 的图象，则()52sin 22cos 266h x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为()102cos 213h θθ==-，则5cos 213θ=-， 02πθ<<，则02θπ<<，故212sin 21cos 213θθ=-=. [举一反三]1．（2022·天津滨海新·高三阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为R 的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当0=t 时，盛水筒M 位于点0(3,33)P -，经过t 秒后运动到点(,)P x y ，点P 的纵坐标满足()y f t =sin()R t ωϕ=+（0t ≥，0>ω，||2ϕπ<），则下列叙述不正确的是（ ）A ．筒车转动的角速度60πω=B ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为-C ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 和初始点0P 的水平距离为6D ．筒车在(0,60]秒的旋转过程中，盛水筒M 最高点到x 轴的距离的最大值为6【答案】B【解析】A ：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒， 所以212060ππω==，因此本选项叙述正确；B ：因为当0=t 时，盛水筒M 位于点0(3,P -，所以6R ，所以有(0)6sin sin f ϕϕ==-=||2ϕπ<，所以3πϕ=-， 即()6sin()603f t t ππ=-，所以4(100)6sin(100)6sin 6(6033f πππ=⨯-==⨯=- 因此本选项叙述不正确；C ：由B 可知：盛水筒M 的纵坐标为-x ，63x ⇒=±，因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒M 在第三象限，故3x =-，盛水筒M 和初始点0P 的水平距离为3(3)6--=，因此本选项叙述正确； D ：因为50(0,60]6032t x πππ-=⇒=∈，所以筒车在(0,60]秒的旋转过程中，盛水筒M 最高点到x 轴的距离的最大值为6，因此本选项叙述正确，故选：B2．（2022·山东·烟台二中高三期末）武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t 分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时．(1)求小夏与地面的距离y （米）与时间x （分钟）的函数关系式；(2)在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少253分钟，求t 的最小值．【解】(1)如图，以摩天轮最低点的正下方的地面处1O 为原点，以地平面所在直线为x 轴建立平面直角坐标系1xO y ， 摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮的半径为60米，摩天轮的圆心O 到地面的距离为68米．因为每转动一圈需要t 分钟，所以12x O OP tπ∠=． ()126868cos 60cos 680y OA OP O OP x x tπ=-=-∠=-+≥． (2)依题意，可知260cos6898x y t π=-+≥，即21cos 2x t π≤-， 不妨取第一圈，可得22433x t πππ≤≤，233t t x ≤≤， 持续时间为225333t t -≥，即25t ≥，故t 的最小值为25。