四川省汉源县第一中学-高二数学上学期期中考试 理 新人教A版
2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 直线与轴交于点，把 绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2. 下列直线与直线平行的是( )A.B.C.D.3. 在中，为线段的中点，点在边上，且，与交于点，则（ ）A.B.C.D.l :x −y +2=03–√x A l A 45∘m m αcos α=−+6–√2–√4−2–√6–√4+6–√2–√4−6–√2–√4x −2y +1=02x +y −1=0x +2y −1=02x −y −1=0x −2y −1=0△ABC D AC E BC =BE −→−13EC −→−AE BD O =AO −→−+25AB −→−45AC −→−AB +3515AC −→−+15AB −→−35AC −→−+25AB −→−25AC −→−4. （重庆南开中学二诊）已知为椭圆的一个焦点，且该椭圆的焦距为，若是过椭圆中心的弦，则面积的最大值是（ ）A.B.C.D.5. 在坐标平面内，过点且与点距离相等的直线方程是( )A.B.C.D.或6. 已知直线与单位圆相交于，两点，且圆心到的距离为，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 如图，在长方体中，，，，为的中点，则直线与平面所成角的大小是( )A.B.F +=1(0<m <25)y 225x 2m 4AB △FAB 612421−−√221−−√P (−1,2)A (2,3),B (−4,5)x +3y −5=0x +3y −7=0x =−1x +3y −5=0x =−1l O A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2O l 3–√2|+|+|+|x 1y 1x 2y 2[,]6–√26–√[,]3–√6–√[,]6–√23–√[,]2–√3–√ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2AD =1A =A 12–√E C 1D 1BE ABB 1A 1π6π4πC.D. 8. 已知、分别是双曲线：＝的左、右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若（+）•＝，且周长最小值为实轴长的倍，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.9. 过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若的焦点为，则( )A.B.C.D.10. 在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最大值为( )A.B.C.D.11. 已知椭圆的焦距为，则 A.π3π2F 1F 2C 1(a >0,b >0)P y Q 0△P Q F 24C 2(−2，0)23C :=4x y 2M ，N C F ⋅=FM −→−FN −→−5678xOy y =kx −21C :+−8x +15=0x 2y 2k 34233243+=1(m >6)x 26y 2m2m =()37−−√B.C.D.12. 在直角坐标系中，定义两点，之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，，，则为定值；②用表示，两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知，，三点不共线，则必有.(参考公式：) 则说法正确的是( )A.②③B.①④C.①②D.①②④卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知实数，，成等差数列，点在动直线（，不同时为零）上的射影点为，若点的坐标为，则线段长度的最大值是________．14. 设椭圆的焦点为 ，， 点在椭圆上，若 是直角三角形， 的面积为________．15. 在三棱柱中，底面，底面为正三角形，是的中点，若半径为的球与三棱柱的三个侧面以及上、下底面都相切，则________；若直线与球的球面交于两点，，则________．16. 已知点是椭圆 上的一点， 分别为椭圆的左、右焦点，已知 ，且 ，则椭圆的离心率为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知椭圆的长轴长为，且经过点.求椭圆的标准方程.37749P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2d(P,Q)=|−|+|−|x 1x 2y 1y 2P(1,3)Q(x,x)sin 2cos 2x ∈R d(P,Q)|PQ |P Q |PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2O d(P,Q)2–√P Q R d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)+≥(a +b a 2b 212)2a b c P(−3,0)ax +by +c =0a b M N (2,3)MN +=1x 24y 23F 1F 2P △PF 1F 2△PF 1F 2ABC −A 1B 1C 1A ⊥A 1ABC ABC D BC 1O ABC −A 1B 1C 1BC =D A 1O M N MN =P +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2，F 1F 2∠P =F 1F 2120∘|P |=2|P |F 1F 2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b24(1，)32(1)C (2)l :y =k(x −4)C A ，B A设动直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.问：直线是否经过轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.18. 已知点在圆上．求该圆的圆心坐标及半径长；过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．19. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程.20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.求椭圆的标准方程；直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.21. 已知正方形，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为．证明：平面；若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的正弦值．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．(2)l :y =k(x −4)C A ，B A D x BD x (2,−3)C :+−8x +6y +m =0x 2y 2(1)(2)M (−1,1)−43l C A B AB +=1x 227y 236(,4)15−−√C :+=1(a >)x 2a 2y 233–√A 1A 2P C A 1A 2PA 1PA 2−34(1)C (2)l F 2C M N M N A 1l x +=−k M A 1k N A 1k MN |MN|ABCD E F AB CD △ADE DE A −DE −C θ(0<θ<π)(1)BF //ADE (2)△ACD A BCDE G EF θF 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】设的倾斜角为，则，∴由题意知∴故选：．2.【答案】D【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】分别求出各条直线的斜率，然后利用平行直线的斜率关系即可求解.【解答】解：由题意，直线的斜率为，直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故正确.所以与平行的是.故选.1θtan θ=3–√θ=60∘α=θ−=−45∘60∘45∘cos α=cos(−)=cos cos +sin sin sin 60∘45∘60∘45∘60∘45∘45∘=×+×=+122–√23–√22–√22–√44–√C x −2y +1=0122x +y −1=0−2A x +2y −1=0−12B 2x −y −1=02C x −2y −1=012D x −2y +1=0x −2y −1=0D3.【答案】B【考点】向量在几何中的应用【解析】设，，将分别用含有、的算式表示出来，根据向量相等得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，即可表示出【解答】解：依题意，设，，则同理，所以 解得 所以．故选．4.【答案】D=λBO −→−OD −→−=μAO −→−AE −→−||AO −→−λμλμλμAO−→−=λBO −→−BD −→−=μAO −→−AE −→−=μ=μ(+)AO −→−AE −→−AB −→−BE −→−=μ(+)AB −→−14BC −→−=μ[+(−)]=+AB −→−14AC −→−AB −→−3μAB −→−4μ4AC −→−=+=+λAO −→−AB −→−BO −→−AB −→−BD −→−=+λ(−)=+λ(−)AB −→−AD −→−AB −→−AB −→−12AC −→−AB −→−=(1−λ)+AB −→−λ2AC −→− =1−λ,3μ4=,μ4λ2 λ=25μ=45=+AO −→−35AB −→−15AC −→−B椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】由已知得，所以椭圆方程为．设，的横坐标分别为，，则，即当点与点到轴的距离的和最大时，的面积取得最大值，所以当线段为椭圆短轴时，面积最大，此时最大值为，故选．【方法点拨方法点拨】求解本题的关键：一是会用待定系数法求出椭圆的标准方程；二是会转化，把所求的三角形面积的最值问题转化为两动点到轴距离的和的最值．本题考查椭圆的图象和性质、最值问题．5.【答案】D【考点】点到直线的距离公式【解析】当直线为时，满足条件，因此直线方程可以为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，可得，解出即可得出．【解答】解：①当所求直线方程为时，到点距离相等，∴所求直线方程为.②当所求直线的斜率存在时，设所求直线方程为：，整理得：，∴，整理得：，解得：，∴所求直线方程为：，即.综上，所求直线方程为：或．故选．6.c =2,m =25−=2122+=1y 225x 221A B x A x B =|OF|⋅(||+S △FAB 12x A ||)=||+||x B x A x B A B y △FAB AB △FAB |OF||AB|=×12122×2=221−−√21−−√D y l x =−1l x =−1l l y −2=k (x +1)=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k 2−−−−−√x =−1A (2,3)，B (−4,5)x =−1y −2=k (x +1)kx −y +k +2=0=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k2−−−−−√|3k −1|=|3k +3|k =−13y −2=−(x +1)13x +3y −5=0x +3y −5=0x =−1DA【考点】直线与圆相交的性质直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】17.【答案】A【考点】直线与平面所成的角【解析】取的中点，连接，，则为直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的大小．【解答】解：如图，取的中点，连结，，则为直线与平面所成的角．由题意可得，，则，故.即直线与平面所成角的大小是．故选.8.【答案】BA 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A 1BE ABB 1A 1A 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A1EF =AD =1BF ==2+1−−−−√3–√tan ∠EBF ===EF BF 13–√3–√3∠EBF =π6BE ABB 1A 1π6A双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】D【考点】抛物线的性质数量积的坐标表达式直线的一般式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，抛物线的焦点的坐标为，该条直线的方程为，联立得解得两点坐标分别为，所以.故选.10.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系F (1，0)y =x +2343y =x +，2343=4x ，y 2M ，N (1,2)，(4,4)⋅=8FM −→−FN −→−D圆化成标准方程，得圆心为且半径，根据题意可得到直线的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式建立关于的不等式，解之得，即可得到的最大值．【解答】解：由题意，圆的方程为，整理，得，则圆心为，半径．又直线上至少存在一点，使以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以点到直线的距离小于或等于，即，化简，得，解得，故的最大值是．故选．11.【答案】C【考点】椭圆的应用椭圆的定义和性质【解析】【解答】解：依题意可得，则．故选.12.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用进行简单的合情推理两点间的距离公式C C(4,0)r =1C y =kx −22k 0≤k ≤43k C +−8x +15=0x 2y 2(x −4+=1)2y 2C(4,0)r =1y =kx −21C C y =kx −22≤2|4k −0−2|+1k 2−−−−−√3−4k ≤0k 20≤k ≤43k 43D =m −6=1c 2m =7C先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：①若，，则为定值，故①正确；②表示，两点间的“直线距离”，那么，即，故②正确；③已知为直线上任一点，设，，则，表示数轴上的到和的距离之和，其最小值为，故③不正确；④∵，，三点不共线，且，故，故④正确.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】实数，，成等差数列，可得，于是动直线（，不同时为零）化为：，即，利用直线系可得：动直线过定点：．因此点在以为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段的中点：，半径．则线段长度的最大值．【解答】解：∵实数，，成等差数列，∴，∴动直线（，不同时为零）化为：，变形为，令，解得．∴动直线过定点：．∴点在以为直径的圆上，圆心为线段的中点：，半径．∴线段长度的最大值．故答案为：．P(1,3)Q(x,x)(x ∈R)sin 2cos 2d(P,Q)=|1−x |+|3−x |=4−(x +x)=3sin 2cos 2cos 2sin 2|PQ |P Q |PQ =|−+|−≥(|−|+|−||2x 1x 2|2y 1y 2|212x 1x 2y 1y 2)2|PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2P(x,x +2)O(0,0)d(P,Q)=|−|+|−|=|x |+|x +2|x 1x 2y 1y 2x −202P Q R d(Q,R)>0d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)D 5+5–√a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r MN =|CN |+r a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0{2x +y =0y +2=0{x =1y =−2l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r ==+122−−−−−√5–√MN =|CN |+r =+=5++3242−−−−−−√5–√5–√5+5–√14.【答案】【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：当点为椭圆的上顶点时， 最大，根据椭圆的标准方程可求得 ,∴ 不可能是直角；∴只能是 轴，或 轴； 带入椭圆的标准方程可得；．故答案为：．15.【答案】,【考点】点到直线的距离公式多面体的内切球问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过作与垂直的平面与三棱柱的棱，，分别交于点，，，对应圆与相切于点，32P ∠P F 1F 2∠P =F 1F 260∘∠P F 1F 2P ⊥x F 1P ⊥x F 2x =1y =±32=×2×=S △PF 1F 21232323223–√439−−√13(1)O AA 1ABC −A 1B 1C 1AA 1BB 1CC 1A 2B 2C 2O A 2B 2Q在中，因为，，所以，从而；过和作平面与交于点，如图，以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，，，的方程为，设的中点为，则，所以．故答案为：；．16.【答案】【考点】椭圆的离心率【解析】Rt △OQ A 2OQ =1∠O Q =A 230∘Q =A 23–√BC ==2A 2B 23–√AA 1D B 1C 1D 1(2)A AD AA 1x y (0,2)A 1D (3,0)O (2,1)D A 12x +3y −6=0MN G OG ==|2×2+3×1−6|13−−√113−−√MN =2MG =2=1−113−−−−−−√439−−√1323–√439−−√13此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.18.【答案】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y2x 2BDy +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k 23+4k 2BD x (1，0)(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l ==|4×4+3×(−3)+1|，所以弦长．【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：，所以弦长．19.【答案】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．【考点】椭圆的标准方程双曲线的标准方程d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25【解析】【解答】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．20.【答案】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A 2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m 2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m +=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297MN|=|−|=⋅=24故．【考点】椭圆的标准方程斜率的计算公式圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，故．21.|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m+=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247【答案】证明：分别为正方形的边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定【解析】（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面内找到与直线平行的直线就可以了，易证四边形为平行四边形；（2）判断点在平面内的射影是否在直线上，可以从两种角度去思考：方法一：过点作垂直于平面，垂足为，然后证明射影在直线上．方法二：连接，在平面内过点作，垂足为．然后再证明平面，即为在平面内的射影．二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由前面“判断点在(1)E ，F ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4ADE BF EBFD A BCDE G EF A AG BCDE G G EF AF AEF AG'⊥EF G'AG'⊥BCDE G'A BCDE G A BCDE G AG ⊥BCDE G GH平面内的射影是否在直线上”可知：平面，所以过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即【解答】证明：分别为正方形得边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，BCDE G EF AG ⊥BCDE G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ(1)EF ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=02即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。
2022-2023学年人教A版高二上数学期中考试(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 函数的定义域为A.B.C.D.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.A ={x ∈Z||x|<5}B ={x|≥4}2x A ∩B =(2,5)[2,5){2,3,4}{3,4,5}y =12+x −x 2−−−−−−−−−√lg(2x −2)()(1,)∪(,4]3232(1,4][−3,4][−3,)∪(,4]3232434C.D.4. 乔家大院是我省著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图所示的浮雕，很好地展现了我省灿烂辉煌的“晋商文化”．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到．若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为（ ）A.B.C.D.5. 命题：，的否定是( )A.，B.，C.，D.，6. “”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 下列命题中，真命题是（ ）A.函数＝的周期为B.，223(1)(2)12cm 9cm 18c 2–√m 36cm7cm8cm9cm∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x ≤0−x −2≤0x 2∃≤0x 0−−2≤0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2∃>0x 0−−2≤0x 20x 0x <2lg(x −1)<0y sin |x |2π∀x ∈R >2x x 2C.“＝”的充要条件是“”D.函数＝是奇函数 8. 在中，角，，所对的边是，，，若，且，则等于( )A.B.C.D.9. 等比数列中，若，，则其前项的积为( )A.B.C.D.10. 瑞士数学家欧拉（）年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心﹑重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是( )．A.B.C.D.11. ""是"方程 表示的曲线为椭圆"的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件a +b 0y ln△ABC A B C a b c c ⋅cos B =b ⋅cos C cos A =23sin B 6–√63–√2130−−√6{}a n +=a 1a 294+=18a 4a 556481192243LeonhardEuler 1765△ABC A (−4,0),B (0,4)x −y +2=0C (2,0)(0,2)(−2,0)(0,−2)n >m >0+=1x 2m y 2n()D.既不充分也不必要条件12. 在四棱锥中，已知平面平面, 是以为底边的等腰三角形，是矩形，且，则四棱锥的外接球的表面积为 （ A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知异面直线，的方向向量分别为，，若异面直线，所成角的余弦值为，则的值为________.14. 设为等差数列的前项和，，则________，若，则使得不等式成立的最小整数________．15. 已知平面向量， ， ，若，则________．16. 已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．18. 已知向量．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数的值． 19. 在平面四边形中，，，，．P −ABCD ABCD ⊥PAD △PAD AD ABCD AB =AP =2AD =2P −ABCD O )π12415π3115π25615π6415m n =(2,−1,1)a →=(1,λ,1)b →m n 6–√6λS n {}a n n +a 6a 7=1S 12=<0a 7<0S n n==(2,λ)a →=(−3,6)b →=(4,2)c →//a →b →(−)⋅=a →c →b →△ABC B C +=1x 23y 2A BC △ABC xOy O x −y −4=03–√O P(3,2)P O θλABCD ∠BAD =∠BCD =90∘AB =5BC =8AC =7(1)∠ADC求的大小；求的长度．20. 已知两直线：，，当为何值时，与，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直． 21. 已知命题：函数且 在定义域上单调递增；命题：不等式对任意实数恒成立.若为真命题,求实数的取值范围；若为真命题,求实数的取值范围.22. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列．求数列的通项公式；数列满足，求数列的前项和．(1)∠ADC (2)CD L 1(m +3)x +5y =5−3m:2x +(m +6)y =8L 2m L 1L 2p y =(x +1)(a >0，log a a ≠1)q (a −2)+2(a −2)x +1>0x 2x (1)q a (2)“p ∧(¬q)”a {}a n n S n 2a n S n (1){}a n (2){}b n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n {}1b n n Tn参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】据题意，分析可得，，，进而求其交集可得答案．【解答】解：集合，，则．故选．2.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据条件可得解不等式可得结果．【解答】解：由已知可根据条件可得解不等式可得.故选.A ={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|x ≥2}A ={x ∈Z||x|<5}={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|≥4}={x|x ≥2}2x A ∩B ={2,3,4}C 12+x −≥0x 22x −2>02x −2≠112+x −≥0,x 22x −2>0,2x −2≠1,{x |1<x ≤4且x ≠}32A3.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，再求体积即可.【解答】解：由已知中几何体的三视图，可得该几何体为正四棱锥，且底面正方形边长为，高为，所以该几何体的体积为.故选.4.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，求出，再利用烧制前后边长的变化，即可得到答案.【解答】解：设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，解得.∵在烧制的过程中发现，直径为 的作品烧制成功后直径缩小到．那么烧制前正四面体陶坯棱长为.故选.5.【答案】C【考点】21V =×2×2×1=1343A acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a =612cm 9cm 6×=8cm 129C命题的否定【解析】命题 ， 为特称量词命题，其否定为全称量词命题，写出其否定即可.【解答】解：命题，为特称量词命题，所以其否定为全称量词命题，其否定为，.故选.6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由，可得，再利用集合之间的包含关系求充分必要条件即可.【解答】解：由，可得，解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选.7.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】分析函数的周期性，可判断；举出反例＝，可判断；根据充要条件的定义，可判断；分析函数的奇偶性，可判断．【解答】函数＝不是周期函数，故是假命题；当＝时＝，故是假命题；“＝”的必要不充分条件是“”，故是假命题；∃>0x 0−−2>0x 20x 0∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2C lg(x −1)<00<x −1<1lg(x −1)<00<x −1<11<x <2{x|x <2} {x|1<x <2}x <2lg(x −1)<0B A x 2B C D y sin |x |A x 22x x 2B a +b 0C函数＝＝的定义域关于原点对称，且满足＝，故函数是奇函数，即是真命题．8.【答案】D【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式诱导公式半角公式【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式整理后得到，用表示出，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：在中，，利用正弦定理化简得：,即，∴，即，则.故选．9.【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得，解得，又，y f(x)ln (−2,2)f(−x)−f(x)f(x)D B =C A B △ABC c cos B =b cos C sin C cos B =sin B cos C sin C cos B −sin B cos C =sin(C −B)=0C −B =0C =B sin B =sin =cos =π−A 2A 21+cos A 2−−−−−−−−√=30−−√6D ==8+a 4a 5+a 1a 2q 3q =2+=+2=a 1a 2a 1a 1943所以，所以.故选.10.【答案】A,D【考点】三角形五心【解析】此题暂无解析【解答】解：设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为∴，①由重心为，代入欧拉线方程，得，②由①②可得或.故选.11.【答案】A【考点】椭圆的定义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若方程表示的曲线为椭圆，则 ，，且，故" "是“方程"表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.=a 134==×=243a 1a 2a 3a 4a 5a 51q 10()345210D C (x,y),AB y =−x △ABC x −y +2=0y =−x M (−1,1),MC|=,∴+=1010−−√(x +1)2(y −1)2A (−4,0),B (0,4),△ABC (,)x −43y +43x −y +2=0x −y −z =0x =2,y =0x =0,y =−2AD +=1x 2m y 2n m >0n >0m ≠n n >m >0+=1x 2m y 2nA故选.12.【答案】A【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，将四棱锥补为一个三棱柱，∵是以为底边的等腰三角形，，∴的外接圆的半径为，∴球的半径的平方，∴球的表面积为.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角A P −ABCD PAD −QBC △PAD AD AP =2AD =2△PAD 415−−√O =+1=R 216153115O S =4π=R 2124π15A 76【解析】此题暂无解析【解答】略14.【答案】,【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】根据题意，由等差数列的前项和公式和性质可得＝＝，代入数据可得第一空答案，同理可得，即可得第二空答案．【解答】解：因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以.故答案为：；.15.【答案】【考点】平面向量的坐标运算平面向量数量积的运算【解析】根据，求得 ，进而求得的坐标，然后利用数量积求解．【解答】解：因为向量， ，且，613n S 12<0S 13+=1a 6a 7=6(+)=6S 12a 6a 7<0a 7>0a 6{}a n =6>0S 12=13<0S 13a 7=13n min 613−30//a →b →λ−a →c →=(2,λ)a →=(−3,6)b →//a →b →所以，所以.故答案为：．16.【答案】【考点】椭圆的定义【解析】设另一个焦点为，根据椭圆的定义可知，最后把这四段线段相加求得的周长．【解答】解：椭圆中，．设另一个焦点为，则根据椭圆的定义可知，．∴三角形的周长为：．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．【考点】直线与圆相交的性质圆的切线方程−=(−2,−6)a →c →(−)⋅=−30a →c →b →−3043–√F |AB |+|BF |=2a|AC |+|FC |=2a △ABC +=1x 23y 2a =3–√F |AB |+|BF |=2a =23–√|AC |+|FC |=2a =23–√|AB |+|BF |+|AC |+|FC |=43–√43–√+=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0（1）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径的值，可得所求的圆的方程．（2）由题意可得点在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率的值，可得所求切线方程．【解答】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．18.【答案】∵向量，∵这两个向量的夹角为，，则＝＝＝，∴＝．若，则（+）-•-，∴＝．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】..r P k +=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0θθ∈[0cos θθ⋅(λ+(λ−7)λ余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．（2）由（1）知当时，直线与相交；当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由 得，所以时直线与垂直．【考点】两条直线平行的判定两条直线垂直的判定【解析】（1）两直线与相交；（2）两直线与平行；（3）两直线与重合；（4）两直线与垂直．【解答】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2m =−6L 1L 2m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔≠(m ≠0,n ≠0)a m b n ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔=≠(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔==(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔am +bn =0m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由 得，所以时直线与垂直．21.【答案】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数 在定义域上单调递增，所以 ，因为命题为假,由可知， 或 ，所以 即，所以实数的取值范围为 .【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数 在定义域上单调递增，所以 ，因为命题为假,由可知， 或 ，所以 即，所以实数的取值范围为 .22.【答案】解：，，成等差数列，可得，m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)2a n S n 2=a n 2+S n化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．【考点】等差中项数列的求和等比数列的通项公式【解析】（1）由题意可得＝，运用数列的递推式：当＝时，＝，时，＝，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得＝＝，，，由数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．【解答】解：，，成等差数列，可得，当时，，解得，时，，化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．n n n−1n n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +12a n 2+S n n 1a 1S 1n ≥2a n −S n S n−1log 2a n log 22n n =n(n +1)b n 12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1(1)2a n S n 2=a n 2+S n n =1=a 1=S 12−2a 1=a 12n ≥2=a n −=S n S n−12−2−2+2a n a n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +1。
高二数学上学期期中试题理含解析试题 4(共15页)
一中网校2021-2021学年(xuénián)〔上〕期中联考高二理科数学试卷第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 在中，内角的对边分别为，假设，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理有：，据此可得：.此题选择A选项.2. 假设是等差数列，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由等差数列的性质可得：组成一个新的等差数列，该数列的公差为：，据此可得：.此题选择D选项.3. 设，那么以下不等式中恒成立的是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析(jiě xī)】取，那么，选项A错误；取，那么，选项B错误；取，那么，选项D错误；此题选择C选项.4. 以下说法正确的选项是〔〕A. 命题“〞的否认是：“〞B. “〞是“〞的必要不充分条件C. 命题“假设，那么〞的否命题是：假设，那么D. 命题“假设，那么〞的逆否命题为真命题.【答案】D【解析】逐一考察所给命题的真假：A.命题“〞的否认是：“〞，选项A错误B.“〞是“〞的充分不必要条件，选项B错误C.命题“假设，那么〞的否命题是：假设，那么，选项C错误D.命题“假设，那么〞是真命题，那么其逆否命题为真命题，该说法正确. 此题选择D选项.5. 在中，假如，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，即：，此题选择(xuǎnzé)B选项.6. 设等比数列的前项和为，假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】很明显数列的公比，设等比数列的前n项和为，由题意可得：，解得：，据此有：.此题选择C选项.点睛：一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或者q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.7. 设变量满足约束条件，那么目的函数的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】绘制不等式组表示的可行域如下图，结合目的函数的几何意义可得，目的函数在点处获得最小值.此题选择B选项.点睛(diǎn jīnɡ)：求线性目的函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.8. 数列的前项和为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列前n项和公式有：，那么：，那么该数列的前n项和为：.此题选择B选项.9. 假设为钝角三角形，三边长分别为，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】三边组成三角形，那么：，解得：，对三角形的边长分类(fēn lèi)讨论：当最大边长为时，应有：，整理可得：，此时，当最大边长为时，应有：，整理可得：，此时，综上可得：的取值范围是.10. 记为自然数的个位数字，，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】很明显数列是以10为周期的函数，由题意可得：，，，，，，，，，，计算可得：，据此可得：.此题选择C选项.11. ，为正实数，①假设，那么；②假设，那么；③假设，那么；④假设，那么；上述命题(mìng tí)中正确的选项是〔〕A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】D【解析】假设，不妨取，此时；说法②错误，排除AB选项，假设，不妨取，此时；说法③错误，排除C选项，此题选择D选项.12. 如图，在面积为的正内作正，使，以此类推，在正内作正，记正的面积为，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得：，那么,据此有：进而(jìn ér)，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得：，即所作三角形的面积构成以1为项,以为公比的等比数列，据此可得：.此题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜测出数列的一个通项公式；②将递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或者用累加法、累乘法、迭代法求通项．第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13. 不等式的解集是__________.【答案】【解析】不等式即：，分解因式有：结合可得，原不等式的解集为14. 在锐角中，角的对边分别为，假设，那么的值是__________.【答案】【解析】试题分析：∵，∴，，由正弦定理得，．所以．考点：余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)，正弦定理，三角函数的同角关系式．【名师点睛】(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或者等量关系就可以通过约分到达解决问题的目的,在解题时要学会灵敏运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.15. 条件，条件，且是的充分不必要条件，那么的取值集合是__________.【答案】【解析】由题意可得：，对于m的值分类讨论：当时，条件为满足题意，否那么：，那么：或者，解得：或者，综上可得：的取值集合是.16. 实数等成等差数列，成等比数列，那么的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意可得：，那么，当时，，当且仅当时等号成立(chénglì)；当时，，当且仅当时等号成立；综上可得：的取值范围是.点睛：在应用根本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或者和为定值；三相等——等号能否获得〞，假设忽略了某个条件，就会出现错误．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17. .〔1〕假设是充分不必要条件，务实数的取值范围；〔2〕假设“〞是“〞的充分不必要条件，务实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先求得命题和命题的的取值范围. 假设是的充分不必要条件,等价于命题的的取值的集合是命题的的取值的集合的真子集. 〔Ⅱ〕根据原命题与其逆否命题同真假可知“〞是“〞的充分不必要条件等价于是的的取值的集合是命题的的取值的集合的真子集.试题解析：解：：，：⑴∵是的充分不必要条件，∴是的真子集．．∴实数(shìshù)的取值范围为． 6分⑵∵“非〞是“非〞的充分不必要条件，∴是的充分不必要条件．．∴实数的取值范围为． 12分考点：充分必要条件.18. 等差数列中，公差，又.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕记数列，数列的前项和记为，求.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由,可建立关于a1和d的方程，求出a1和d,从而求出数列的通项公式.(2)因为,然后采用裂项求和的方法求和即可.19. 的三个内角(nèi jiǎo)成等差数列，它们的对边分别为，且满足.〔1〕求；〔2〕求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：〔1〕由题为求角，可利用题中的条件A、B、C成等差数列及，，可运用正弦定理，可求出角。
高二第一学期期中考试数学试卷含答案
2022-2023学年第一学期期中试题高二 数学（新人教A 版选择性必修第一册）范围：第一章《空间向量与立体几何》，第二章《直线和圆的方程》一、单项选择题（每小题5分，共40分）1、已知平面αβ，的法向量分别为=(124)=(12)x ---,,,,,a b ，若αβ⊥，则x 的值为（ ）A 、 10B 、 10-C 、12D 、 12-2、直线1l 的斜率为34，且过点（1，12），直线2l ：6870x y --=，则1l 与2l 间的距离为（ ） A.12 B. 35 C. 65D ．1 3、如图，在三棱锥O ABC -中，D 是BC 的中点，若=OA a ，=OB b ，=OC c ，则AD 等于（ ）A 、-++a b cB 、 -+-a b cC 、11+22-+a b cD 、1122---a b c4、若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A ．21B ．19C ．9D ．11-5、在平面直角坐标系中，ABC △三个顶点坐标分别为()22A -，，()66B ，，()06C ，.则边AB 上的高所在直线的方程为（ ）A 、260x y +-=B 、260x y -+=C 、2120x y -+=D 、2120x y +-=6、如图，在棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 中，M ，N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 夹角的余弦值为()A 3B.10 C.25D. 357、点G 在圆()2222x y ++=上运动，直线30x y --=分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则MNG 面积的最大值是（ ） A. 10B.232C.92D.2128、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为（ ）A.3 B.13C.23D.3二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9、已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A 、a +b ，a -2b ，c B 、a -b ， a +3b ，2aC 、a ，2b ，b -cD 、a +c ，a -c ，c 10. 已知M 为圆C ：()2212x y ++=上的动点，P 为直线l ：40x y -+=上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 直线l 与圆C 相切B. 直线l 与圆C 相离C. |PM |的最大值为322 D. |PM |的最小值为2211．设直线l ：()220mx y m m R --+=∈，交圆C ：()()22349x y -+-=于A ，B 两点，则下列说法正确的有（ ）A. 直线l 恒过定点()1,2B. 弦AB 长的最小值为4C. 当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：()()22439x y -+-= D. 过坐标原点O 作直线l 的垂线，垂足为点M ，则线段MC 1312、在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[][]0,1,0,1λμ∈∈，则下列结论正确的是（ ）A . 当1//B P 平面1A BD 时，1B P 可能垂直1CD B . 若1B P 与平面11CCD D 所成角为4π，则点P 的轨迹长度为2π C . 当λμ=时，1||DP A P +的最小值为252+ D . 当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为[62，2]三、填空题（每小题5分，共20分）13、直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是14、如图，在棱长都为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两夹角均为3π，则1AC BD ⋅=________．15、如图，在四面体ABCD 中，其棱长均为1，M ，N 分别为BC ，AD 的中点．若MN xAB yAC z AD =++，则x y z ++=____；直线MN 和CD 的夹角为____．NMB16、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为四 解答题（共6小题，共计70分）17、（10分）已知圆M ：2220x y x +-=与圆N ：2280x y x a +-+=外切.（I ）求实数a 的值；（Ⅱ）若直线20x y --=与圆M 交于A ，B 两点，求弦AB 的长.18．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =， E 为AB 的中点． （Ⅰ）证明：11D E A D ⊥； （Ⅱ）求点E 到平面1ACD 的距离；（Ⅲ）求平面1AD E 与平面1ACD 夹角的余弦值．D 1B 1C 1A 1DB19．（12分）已知直线1:220l x y -+=与直线2:20l x ay --=，a ∈R . （Ⅰ）若12l l ，求a 的值；（Ⅱ）求证：直线2l 与圆224x y +=恒有公共点；（Ⅲ）若直线2l 与圆心为C 的圆22()(1)4x a y -+-=相交于A ，B 两点，且ABC ∆为直角三角形，求a 的值．20、（12分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．21、（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且3AC BC BF ==．（1）证明：平面11A B F ⊥平面1CC E ；（2）若60ABC ∠=︒，12AA AB =，且三棱锥11E A B F -的体积为439，求CE 与平面11A B F 所成角的正弦值．22、（12分）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且C 、E 、D 、G 四点共面.（1）证明：平面BFD ⊥平面BCG ；（2）若平面BDF 与平面ABG 15，求直线DF 与平面ABF 所成角的大小.参考答案1、B2、A3、C4、C5、D6、C7、D8、A 8．解：11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A C D A AC DA ==- 设1(,,),,,0,0,MN x y z MN AC MN DA x y y z y t =⊥⊥+=-+==令 则(,,)MN t t t =-，而另可设(,,0),(0,,),(,,)M m m N a b MN m a m b =--1,(0,2,),21,3m ta m t N t t t t tb t-=-⎧⎪-=+==⎨⎪=⎩，1111113(,,),3339993MN MN =-=++=9、AC 10、BD 11、BC 12、ABD12、【解析】ABD ；A 选项：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，0，1），C （1，1，0），1A （0，0，1），1C （1，1，1），1D （0，1，1），所以()11,0,1CD =-，11B P BC CP =+11B C CD CC λμ=++(),1,1λμ=--，易知平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =，若1B P //平面，则10n B P ⋅=，即λμ=，则当12λμ==时，1110B P CD λμ⋅=+-=，即P 为1CD 中点时，有1B P //平面1A BD ，且11B P CD ⊥，故A 正确；B 选项：若1B P 与平面11CCD D 所成角为4π，则点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆，于是点P 的轨迹长度为2π，故B 正确； C 选项：如图，将平面1CDD 与平面11A BCD 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1DP A P +的最小值，利用余弦定理可知122A D =+，故C 错误；D 选项：正方体经过点1A 、P 、C 的截面为平行四边形1A PCH ，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则A （0，0，0），C （1，1，0），1A （0，0，1），P （0，1，t ），所以()1,0,PC t =-，()11,1,1AC =-，11PC AC t ⋅=+，21PC t =+，13AC =，所以点P 到直线1A C 的距离为2222111||13PC AC t d PC t AC ⎛⎫⋅+⎛⎫ ⎪=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝22223t t -+，于是当12t =时，1PA C ∆的面积取最小值，此时截面面积为62；当0t =或1时，1PA C ∆的面积取最大值，此时截面面积为2，故D 正确．13、2或12 14、0 15、12-；4π 16、6316、【解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，1111(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0),(1,1,1),(0,1,0),(0,1,1)B D A C D B C A ，设(,,)P x y z ，设111(1,1,1)(1,0,1)([0,1])11x B P B C x y z y z λλλλλ=-⎧⎪=⇒---=--∈⇒=⎨⎪=-⎩，即(1,1,1)P λλ--.设平面11AC D 的法向量为000(,,)m x y z =，1(1,0,2)C P λλ=--，所以有0011001100(1,1,1)00x z m DA m DA m y z m DC m DC ⎧⎧+=⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⇒⇒=--⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎪⎪⎩⎩⎩， 直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值为：11(1mC P m C P⋅===⋅因为[0,1]λ∈，所以当1λ=2=，所以直线1C P 与平面11AC D3=。
人教A版高中数学选修一期中考试高二试题(理科).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作期中考试高二数学试题（理科）（考试时间：120分钟，满分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(每小题5分, 共60分)1、“若p ，则q ”为真命题，则p ⌝是q ⌝的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ） A 、 真命题与假命题的个数相同 B 、真命题的个数一定是奇数C 、真命题的个数一定是偶数D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 3、不等式x 2-2x-3<0成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．-1<x<3B ．0<x<3C ．-2<x<3D ．-2<x<14、有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球； （4）所有女生都爱踢足球； 其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是 （ ）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）5、设命题p ：c b a , , 是三个非零向量；命题q ：{}c , b , a 为空间的一组基底，则命题q 是命题p的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）两点，如果x 1+x 2=6，则|AB|的长是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．47、如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a =（1，0，1），b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是（ ）A ．90°B ．30°C ．45°D ．60°8、空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足xyOFBAOC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 ( )A 、平面B 、直线C 、圆D 、线段9、椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）8 10．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，M为双曲线上的点，若MF 1⊥MF 2，∠MF 2F 1 = 60°，则双曲线的离心率为（ ）A ．13-B ．26C ．213+ D ．13+11、直线y = x-a 与抛物线ax y =2交于A 、B 两点，若F 为抛物线焦点，则AFB ∆是（ ）A 锐角三角形。
2021年高二数学上学期期中学业水平测试试题 理 新人教A版
2021年高二数学上学期期中学业水平测试试题理新人教A版一、选择题（每题5分共60分）1.不等式的解集为（）A. B. C. D.2．若a>b>c，则下列不等式成立的是（）Ａ．> Ｂ．< Ｃ．ac>bc Ｄ．ac<bc3.各项均为正数的等比数列中，若，则（）A. 5B. 6C. 7D. 84．数列中，对任意自然数n，，则等于（）A. B. C. D.5.在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，6．，则三角形的形状为（）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形7.已知彼此不等，并且它们的倒数成等差数列，则（）A． B． C． D．8.已知数列的通项公式是，且对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C．D．9.已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=（）A. B. C. D.10.在中，若，则角的值为（）A. B. C.或 D. 或11．若直线上存在点满足约束条件,则实数的最大值为（）A．-1 B．1 C． D．212、设，若( a + b + c ) (+) ≥ k恒成立，则k的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分共20分）13.在中，，，，那么．14.在中，，最大角为，则最大边的长度为________.15．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多一个数)：设是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如8．若=xx，则i，j的值分别为______，________.16．是由实数构成的无穷等比数列，关于数列，给出下列命题：（1）数列中任意一项均不为0；（2）数列中必有一项为0；（3）数列中或者任意一项均不为0，或者有无穷多项为0；（4）数列中一定不可能出现Sn=Sn+2；（5）数列中一定不可能出现Sn=Sn+3；则其中正确的命题是 .（把正确命题的序号都填上）三、解答题（共70分）17. （1）已知解关于的不等式（5分）（2）设，，求的最小值。
2022-2023学年人教A版高二上数学期中考试含答案及解析064336.pdf)
2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO 1，OO 2，OO 3，OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线．α≈16∘．则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为( )A.0∘B.1∘C.2∘D.3∘2. 若命题p:∀x ∈R ， x 2−x >0，则命题p 的否定是( )A.∀x ∈R ，x 2−x ≤0B.∃x ∈R ，x 2−x >0C.∃x ∈R ， x 2−x ≤0D.∃x ∈R ， x 2−x <03. 已知F 是双曲线C:x 2−y 28=1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,6√6)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为( )A.2√6B.4√6C.12√6D.8√64. 设函数f(x)=x 3+ax 2+bx +2，且f(1+x)+f(1−x)=2，则ab =( )A.−1B.2C.−3D.45. 已知抛物线C:y 2＝x ，M 为x 轴负半轴上的动点，MA ，MB 为抛物线的切线，A ，B 分别为切点，则→MA ⋅→MB 的最小值为（ ）A.−14B.−18C.−116D.−126. “直线ax +2y −1=0和直线x +(a +1)y +4=0平行”是“a =1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 过点A(1,4)，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为（ ）A.1B.2C.3D.48. 已知倾斜角为45∘的直线l 过椭圆x 24+y 2=1的右焦点，则l 被椭圆所截的弦长是（）A.25B.45C.65D.859. 已知△ABC 的周长为10，且顶点B(−2,0)，C(2,0)，则顶点A 的轨迹方程( )A.x 29+y 25=1(y ≠0)B.x 25+y 29=1(y ≠0)C.x 26+y 24=1(y ≠0)D.x 24+y 26=1(y ≠0)10. 已知方程x 24−n 2+y 24+n 2=1表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心率e =（ ）A.√66B.√63C.√33D.√3211. 设直线x +2020y −1＝0的斜率为k ，则k ＝（ ）A.2020B.−2020C.12020D.−1202012. 已知双曲线ω：(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线ω上的一点，若∠F 1PF 2＝120∘，且△F 1PF 2外接圆与内切圆的半径之比为8:1，则双曲线ω的离心率为（ ） A. B. C.D.2卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13. （5分） 设F 1，F 2是双曲线x 2−y 2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过F 1作∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 到直线x +y −3√2=0的距离的最大值是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，P 是椭圆C 上任意一点，且点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于√2+1(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，设N 为椭圆上一点，是否存在整数t ，使得t ⋅→ON =→OA +→OB （其中O 为坐标原点）？若存在，试求整数t 的所有取值；若不存在，请说明理由．15. 如图，光线从点 A(−4,1) 出发经过x 轴反射后恰好过点 B(1,4).(1)求反射光线l 所在的直线方程；(2)若反射光线l 与两坐标轴交于C,D 两点，点P 在圆 x 2+y 2−2x =0 上运动，求△PCD 的面积的最大值. 16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−2,1)，P 是动点，且k OP +k OA ＝k PA ．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过A 作斜率为1的直线与轨迹C 相交于点B ，点T(0,t)(t >0)，直线AT 与BT 分别交轨迹C 于点A 1、B 1，设直线A 1B 1的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t ＝λk ，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由． 17. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：y =±√3x ，右顶点为(1,0)．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线y =x +m 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的中点为M(x 0,y 0)．当x 0≠0时，求y 0x 0的值．18. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)经过点P (12,√2) .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)经过点A(−1,0)的直线l 与抛物线C 相切于点B （点B 在第一象限），O 是坐标原点，圆O 与直线l 相切于点E ，设→AE =λ→AB ，求实数λ的值． 19. 已知F 是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M 在椭圆上， MF ⊥x 轴，|MF|=√2，椭圆的短轴长等于4．(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 为直线l:x =3√2上一点，Q 为椭圆C 上一点，且以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求|OP|2−16|OQ|2的取值范围．参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】【解答】解：过O 3作x 轴平行线O 3E ，则∠OO 3E =α≈16∘．由五角星的内角为36∘，可知∠BAO 3=18∘，所以直线AB 的倾斜角为18∘−16∘=2∘．故选C ．2.【答案】C【考点】命题的否定全称命题与特称命题【解析】由全称命题的否定为特称命题，即可得出答案.【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知，命题p:“∀x ∈R ，x 2−x >0"的否定为“∃x ∈R ，x 2−x ≤0”.故选C.3.【答案】C【考点】双曲线的标准方程双曲线的定义【解析】利用双曲线的定义，确定△MNF 周长最小时，N 的坐标，即可求出△MNF 周长最小时，该三角形的面积【解答】解：双曲线C:x 2−y 28=1，∴左焦点为F 1(−3,0)，右焦点为F(3,0)，△APF 周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+(|PF 1|+2a)=|AF|+|AP|+|PF 1|+2a≥|AF|+|AF 1|+2a ，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时，三角形周长最小．此时直线AF 1的方程为y =2√6x +6√6，代入双曲线方程中，可求得的纵坐标为2√6（负值舍去），∴△APF 周长最小时，该三角形的面积为12×6×(6√6−2√6)=12√6．故选C.4.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】无【解答】解：因为f(1+x)+f(1−x)=2，所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx +2的图象关于点(1,1)对称，所以函数f(x)=(x −1)3+k(x −1)+1=x 3−3x 2+(3+k)x −k ，所以a =−3，b =3+k ，−k =2，解得，a =−3，b =1，所以ab =−3．故选C ．5.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0，分别求出A ，B ，M 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0，则A(t 24,t2)，B(t 24,−t2)，将点A 的坐标代入x ＝ty +m ，得m =−t 24，∴M(−t 24,0)，∴→MA ⋅→MB =(t 22,t2)⋅(t 22,−t2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，→MA ⋅→MB 的最小值为−1166.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】本题的关键是弄清两直线平行的等价条件，再结合充分必要条件的判断【解答】解：充分性： 若“直线 ax +2y −1=0与直线 x +(a +1)y +4=0平行”，那么a(a +1)=2×1，所以a =1或a =−2.必要性：若a =1，那么直线x +2y −1=0与直线 x +2y +4=0显然是平行的.故“直线ax +2y −1=0和直线x +(a +1)y +4=0平行”是“a =1”的必要不充分条件.故选B.7.【答案】C【考点】各直线方程式之间的转化直线的截距式方程【解析】当截距为0时，设y ＝kx ，待定系数法求k 值，即得所求的直线方程；当截距不为0时，设 xa +ya =1，或xa +y−a =1，待定系数法求a 值，即得所求的直线方程．【解答】当截距为0时，设y ＝kx ，把点A(1,4)代入，则得k ＝4，即y ＝4x ；当截距不为0时，设 xa +ya =1，或 xa +y−a =1，过点A(1,4)，则得a ＝5，或a ＝−3，即x +y −5＝0，或x −y +3＝0这样的直线有3条：y ＝4x ，x +y −5＝0，或x −y +3＝0．8.【答案】D【考点】椭圆的定义和性质与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】求出椭圆的焦点坐标，根据点斜率式设直线方程，与椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦长．【解答】解：椭圆x 24+y 2=1，a =2，b =1，c =√a 2−b 2=√3，则椭圆的右焦点 (√3,0)，直线倾斜角为45∘，即斜率为1，设直线方程为y =x +m ，代入椭圆右焦点(√3,0)，解得： m =−√3，则直线方程为y =x −√3.设直线与椭圆两交点分别为A (x 1，y 1),B(x 2，y 2)，则{x 24+y 2=1，y =x −√3，整理得：54x 2−2√3x +2=0，由韦达定理可知：x 1+x 2=8√35，x 1x 2=85，由弦长公式可知l 被椭圆所截的弦长为|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√(8√35)2−4×85=85，∴|AB|=85．故选D ．9.【答案】A【考点】椭圆的定义轨迹方程【解析】由椭圆的定义求出a ，b ，再结合当A 与C ，B 共线时，A ，B ，C 三点不能围成三角形，故轨迹不含x 轴上的两点，得到顶点A 的轨迹方程为x 29+y 25=1(y ≠0).【解答】解：由题意知，|BC =4|，所以|AC|+|AB|=10−|BC|=6>|BC|，故动点A 在以B ，C 为焦点的椭圆上，且2a =6，2c =4，所以a =3，c =2，即a 2=9，c 2=4，从而b 2=a 2−c 2=5，当A 与B ，C 共线时，A ，B ，C 三点不能围成三角形，故轨迹不含x 轴上的两点，所以顶点A 的轨迹方程为x 29+y 25=1(y ≠0).故选A ．10.【答案】B【考点】椭圆的定义和性质椭圆的标准方程椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：因为方程x 24−n 2+y 24+n 2=1表示椭圆，所以a 2=4+n 2，b 2=4−n 2，所以c 2=a 2−b 2=4+n 2−(4−n 2)=2n 2，所以c =√2|n|，因为焦距为4，所以2c =2√2|n|=4，解得|n|=√2，所以a =√6，c =2，所以e =ca =2√6=√63，故选B ．11.【答案】D【考点】直线的斜率【解析】将直线方程化为斜截式，可得它的斜率．【解答】将直线方程化为斜截式，y =−12020x +12020，斜率为−12020．12.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】5【考点】双曲线的应用点到直线的距离公式直线与双曲线结合的最值问题直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，延长PF 2与直线F 1M 交于N ，连接OM ，可得|PF 1|=|PN|，|MF 1|=|MN|.又|F 1O|=|OF 2|，所以OM//F 2N ，OM =12F 2N ，所以|OM|=12|F 2N|=12(|PN|−|PF 2|)=12(|PF 1|−|PF 2|)=12×2a =2，故点M 的轨迹为以O 为圆心，2为半径的圆，所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=4，则圆心O 到直线x +y −3√2=0的距离为：d =|−3√2|√1+1=3，所以圆上一点到直线x +y −3√2=0的距离的最大值为：3+2=5，即点M 到直线x +y −3√2=0的距离的最大值是5.故答案为：5.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】（1）由题知离心率为√22，所以a 2＝2b 2．又因为点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于√2+1，所以a +c =√2+1，所以b 2＝1，a 2＝2．故C 的方程为x 22+y 2=1（2）由题意知直线直线AB 的斜率存在．设AB 方程为y ＝k(x −2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x,y)，由y ＝k(x −2)代入x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2＝0．△＝64k 2−4(2k 2+1)(8k 2−2)>0，∴k 2<12． x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2，∵t ⋅→ON =→OA +→OB ，∴(x 1+x 2,y 1+y 2)＝t(x,y)．∴x =8k 2t(1+2k 2)，y =−4kt(1+2k 2)．∵点N 在椭圆上，∴[8k 2t(1+2k 2)]2+2•[−4kt(1+2k 2)]＝2，∴16k 2＝t 2(1+2k 2)，∴t 2=161k 2+2<4，∴−2<t <2．∴整数t 值为−1，0，1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的定义【解析】(Ⅰ)由离心率为√22，可得a 2＝2b 2，代入点(0,−1)，可求解a ，b 的值，则椭圆方程可求；(Ⅱ)设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x 的一元二次方程，由判别式大于0求出k 的范围，利用根与系数关系得到A ，B 两点的横坐标的和与积，代入t ⋅→ON =→OA +→OB 后得到P 点的坐标，把P 点坐标代入椭圆方程后得到t 与k 的关系，由k 的范围确定t 的范围，可得结论．【解答】（1）由题知离心率为√22，所以a 2＝2b 2．又因为点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于√2+1，所以a +c =√2+1，所以b 2＝1，a 2＝2．故C 的方程为x 22+y 2=1（2）由题意知直线直线AB 的斜率存在．设AB 方程为y ＝k(x −2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x,y)，由y ＝k(x −2)代入x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2＝0．△＝64k 2−4(2k 2+1)(8k 2−2)>0，∴k 2<12． x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2，∵t ⋅→ON =→OA +→OB ，∴(x 1+x 2,y 1+y 2)＝t(x,y)．∴x =8k 2t(1+2k 2)，y =−4kt(1+2k 2)．∵点N 在椭圆上，∴[8k 2t(1+2k 2)]2+2•[−4kt(1+2k 2)]＝2，∴16k 2＝t 2(1+2k 2)，∴t 2=161k 2+2<4，∴−2<t <2．∴整数t 值为−1，0，1．15.【答案】解：(1)由题可知：点 A(−4,1) 关于x 轴的对称点为 A ′(−4,−1)，所以直线l 的斜率为 k =1，所以直线l 的方程为 x −y +3=0 ；(2)由(1)可知： C(−3,0),D(0,3),∴|CD|=3√2.将圆 x 2+y 2−2x =0 化为标准方程为 (x −1)2+y 2=1,故圆心 (1,0) 到直线l 的距离为 d =4√2=2√2,所以P 到直线l 的最大距离为 2√2+1,所以 △PCD 的面积的最大值为S =12×3√2×(2√2+1)=12+3√22.【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题可知：点 A(−4,1) 关于x 轴的对称点为 A ′(−4,−1)，所以直线l 的斜率为 k =1，所以直线l 的方程为 x −y +3=0 ；(2)由(1)可知： C(−3,0),D(0,3),∴|CD|=3√2.将圆 x 2+y 2−2x =0 化为标准方程为 (x −1)2+y 2=1,故圆心 (1,0) 到直线l 的距离为 d =4√2=2√2,所以P 到直线l 的最大距离为 2√2+1,所以 △PCD 的面积的最大值为S =12×3√2×(2√2+1)=12+3√22.16.【答案】设P(x,y)，由题意可得k OP ＝，k OA ＝，k PA ＝，而k OP +k OA ＝k PA ．所以-＝，整理可得：x 2＝4y ，所以动点P 的轨迹C 的方程为：x 2＝4y(x ≠0且x ≠−2)；由题意直线AB 的方程为：y −1＝x +2，即y ＝x +3，代入曲线C 中可得x 2−4x −12＝0，解得x ＝6或x ＝−2，所以可得B(6,9)，直线AT 的方程为：y ＝x +t ，代入抛物线的方程：x 2−2(t −1)x −t ＝0，所以−2⋅x ＝−t ，所以x ＝，所以y ＝，所以A 1（，），直线BT 的方程为：y ＝x +t ，与抛物线联立x 2+x −t ＝0，所以6⋅x ＝−t ，所以x ＝-，y ＝，所以B 1(−，），由题意可得k ＝＝，所以t ＝3k ，由题意t ＝λk ，所以λ＝3．所以存在λ＝3满足条件．【考点】轨迹方程【解析】（1）设P 的坐标，可得直线OA ，OP ，PA 的斜率，由题意可得P 的轨迹C 的方程；（2）由题意可得直线AB 的方程，与轨迹C 的方程联立求出B 的坐标，进而求出直线AT ，BT 的方程，分别与曲线C 联立求出A 1，B 1的坐标，求出直线A 1B 1的斜率k 的表达式可得k 与t 的关系，进而可得常数λ的值满足条件．【解答】设P(x,y)，由题意可得k OP ＝，k OA ＝，k PA ＝，而k OP +k OA ＝k PA ．所以-＝，整理可得：x 2＝4y ，所以动点P 的轨迹C 的方程为：x 2＝4y(x ≠0且x ≠−2)；由题意直线AB 的方程为：y −1＝x +2，即y ＝x +3，代入曲线C 中可得x 2−4x −12＝0，解得x ＝6或x ＝−2，所以可得B(6,9)，直线AT 的方程为：y ＝x +t ，代入抛物线的方程：x 2−2(t −1)x −t ＝0，所以−2⋅x ＝−t ，所以x ＝，所以y ＝，所以A 1（，），直线BT 的方程为：y ＝x +t ，与抛物线联立x 2+x −t ＝0，所以6⋅x ＝−t ，所以x ＝-，y ＝，所以B 1(−，），由题意可得k ＝＝，所以t ＝3k ，由题意t ＝λk ，所以λ＝3．所以存在λ＝3满足条件．17.【答案】解：（1）双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：y =±ba x ，则由题意得，ba =√3，a =1，解得b =√3，则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2）联立直线方程和双曲线方程，得到，{y =x +mx 2−y 23=1，消去y ，得2x 2−2mx −m 2−3=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则判别式△=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ，中点M 的x 0=m2，y 0=x 0+m =32m ，则有y 0x 0=3．【考点】圆锥曲线的综合问题双曲线的标准方程【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为：y =±ba x ，得到ba =√3，又a =1，即可得到双曲线的方程；（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y ，得到x 的方程，再由判别式大于0，运用韦达定理，以及中点坐标公式，得到中点的横坐标，再由直线方程得到纵坐标，进而得到答案．【解答】解：（1）双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：y =±ba x ，则由题意得，ba =√3，a =1，解得b =√3，则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2）联立直线方程和双曲线方程，得到，{y =x +mx 2−y 23=1，消去y ，得2x 2−2mx −m 2−3=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则判别式△=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ，中点M 的x 0=m2，y 0=x 0+m =32m ，则有y 0x 0=3．18.【答案】解：(1)由题意，得抛物线C:y 2=2px(p >0)经过点P (12,√2)，则2p ×12=2，解得p =2，故抛物线C 的标准方程为y 2=4x ．(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x +1)，联立{y =k(x +1)，y 2=4x ，整理，得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，又直线l 与抛物线C 相切于点B （点B 在第一象限），则Δ=(2k 2−4)2−4k =0，解得k =1或k =−1（不符合题意，舍去），当k =1时，x 2−2x +1=0，解得x =1，则点B 的坐标为B(1,2)，∴|AB|=2√2．如图，连接OE ，则OE ⊥AB ，且△AOE 为等腰直角三角形，|AE|=|OE|=√22，∴|AB|=4|AE|，∴λ=14．【考点】抛物线的标准方程抛物线的性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线的综合问题抛物线的求解【解析】无无【解答】解：(1)由题意，得抛物线C:y 2=2px(p >0)经过点P (12,√2)，则2p ×12=2，解得p =2，故抛物线C 的标准方程为y 2=4x ．(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x +1)，联立{y =k(x +1)，y 2=4x ，整理，得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，又直线l 与抛物线C 相切于点B （点B 在第一象限），则Δ=(2k 2−4)2−4k =0，解得k =1或k =−1（不符合题意，舍去），当k =1时，x 2−2x +1=0，解得x =1，则点B 的坐标为B(1,2)，∴|AB|=2√2．如图，连接OE ，则OE ⊥AB ，且△AOE 为等腰直角三角形，|AE|=|OE|=√22，∴|AB|=4|AE|，∴λ=14．19.【答案】解：(1)由题意设F(c,0)，则M(c,y 0)，将点M(c,y)带入椭圆方程，解得y 0=b 2a ，则|MF|=|y 0−0|=b 2a =√2，2b =4，解得b =2，a =2√2，故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1．(2)设P (3√2,t )，Q (x 1,y 1)，∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，∴→OP ⋅→OQ =0，即3√2x 1+ty 1=0，联立{3√2x 1+ty 1=0,x21+2y 21=8,得x 21=8t 2t 2+36，y 21=144t 2+36，∴|OP|2−16|OQ|2=18+t 2−16(x 21+y 21)=18+t 2−16(8t 2+144t 2+36)=t 2+2304t 2+36−110=t 2+36+2304t 2+36−146≥96−146=−50，当且仅当t 2+36=2304t 2+36=48，即t =±2√3时等号成立.综上，|OP|2−16|OQ|2≥−50．【考点】椭圆的标准方程基本不等式在最值问题中的应用圆锥曲线的综合问题【解析】无无【解答】解：(1)由题意设F(c,0)，则M(c,y 0)，将点M(c,y)带入椭圆方程，解得y 0=b 2a ，则|MF|=|y 0−0|=b 2a =√2，2b =4，解得b =2，a =2√2，故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1．(2)设P (3√2,t )，Q (x 1,y 1)，∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，∴→OP ⋅→OQ =0，即3√2x 1+ty 1=0，联立{3√2x 1+ty 1=0,x21+2y 21=8,得x 21=8t 2t 2+36，y 21=144t 2+36，∴|OP|2−16|OQ|2=18+t 2−16(x 21+y 21)=18+t 2−16(8t 2+144t 2+36)=t 2+2304t 2+36−110=t 2+36+2304t 2+36−146≥96−146=−50，当且仅当t 2+36=2304t 2+36=48，即t =±2√3时等号成立.综上，|OP|2−16|OQ|2≥−50．。
高二数学上学期期中试题 理新 版新人教版.doc
2019学年度期中考试 高二学年数学试题（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．42.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是( )A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A ．14B ．－14C ．4D ．－4 4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a >15．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的取值是( )A ．209B ．365C ．209或525D ．209或3656．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．37．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是( )A.22 B ．－1 C ．0 D ．－1－228.过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若1u u u r F A ＝u u ur AB ，则双曲线的渐近线方程为A ．3x ±y ＝0B ．x ±3y ＝0C ．2x ±3y ＝0D ．3x ±2y ＝0 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π12 B ．1＋π12 C ．13＋π4 D ．1＋π410.圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝( )A ．2－1或－2－1B ．1或－3C ．1或－ 2D ． 211.设双曲线C 的中心为点O,若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使|A 1B 1|=|A 2B 2|,其中A 1,B 1和A 2,B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.B.C.D.12.如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πB ．32π C ．4π D ．34π 第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．命题“2,-+3>0x R x x ∀∈”的否定是14.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________．15.已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为 16..平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0. q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若u u u r OM ·u u u rON ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形且∠DAB=60°，O 为AD 中点.（Ⅰ）若PA=PD ，求证：平面POB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC 上是否存在点M ，使二面角M —BO —C 的大小为60°，如存在，求错误!未找到引用源。
2021年高二数学上学期期中试题 理 新人教版A版
2021年高二数学上学期期中试题理新人教版A版一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，2.抛物线的准线方程是 ( ).A. B. C. D.3. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）A．20辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆4.双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．5．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D.136．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( )A. B. C. D.7. 已知抛物线，以为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）A. B. C. D.8. 已知动圆与圆和圆都外切,则动圆圆心的轨迹是 ( )A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线的一支9. M为抛物线上一动点，Ｆ是焦点，P(5,4) 是定点，则当取最小值时点M的横坐标是（）A. 2B. 4C. 6D. 810.已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.第II卷（非选择题共100分）（第5题）二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分。
11．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为，则等于 .12．已知椭圆 + =1的两个焦点是F1、F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是.13．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是____________．14．已知：，：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .15．已知两个点M(-5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B 型直线”，给出下列直线：①y=x+1; ②；③y=2；④y=2x+1．其中为“B型直线”的是．（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
四川省汉源县第一中学2011-2012学年高二数学上学期期中考试 理 新人教A版
汉源一中高2013级高二上期理科数学半期试题（测试范围：直线与圆的方程、椭圆的方程）本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷上。
1. 直线y kx=与直线21y x=+垂直，则k等于（）A．2- B．2 C．1 2 -D．132．圆2240x y x+-=的圆心坐标和半径分别为（）A．(0,2),2 B．(2,0),4 C．(2,0),2- D．(2,0),23.方程y＝|x|x2表示的曲线为图中的( )4. 320x y+-=截圆224x y+=得到的弦长为（）A．1 B．23．22．25．如右图，定圆半径为a，圆心为(,)b c，则直线0ax by c++=与直线10x y+-=的交点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象yO x。
限6. 已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形 。
A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在7．点M(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=a 2 (a>0)内不为圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交8．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．139．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 10．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）A ．37-或B ．2-或8C ．0或10D ．1或11二、填空题：（共4小题，每小题5分） 13. 点(2,0)到直线1y x =-的距离为_______.14. 圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是________.15.圆x 2+y 2-2x-2y+1=0上的动点Q 到直线3x+4y+8=0距离的最小值为______.16.若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．三、解答题：（10+10+12+12+12+14＝70分，共6小题）17．（本小题满分10分）已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，求圆C 的方程。
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汉源一中高高二上期理科数学半期试题（测试范围：直线与圆的方程、椭圆的方程）本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷上。
1. 直线y kx =与直线21y x =+垂直，则k 等于（ ） A ．2- B ．2 C ．12-D ．132．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．(0,2),2B ．(2,0),4C ．(2,0),2-D ．(2,0),2 3.方程y ＝|x |x2表示的曲线为图中的()4.20y +-=截圆224x y +=得到的弦长为（ ）A ．1B ．．D ． 2 5．如右图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++= 与直线10x y +-=的交点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形 。
A ．是锐角三角形 B ．是直角三角形 C ．是钝角三角形 D ．不存在7．点M(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=a 2 (a>0)内不为圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交8．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．139．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 10．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y xD. 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+D ．221+ 12．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）A ．37-或B ．2-或8C ．0或10D ．1或11 二、填空题：（共4小题，每小题5分） 13. 点(2,0)到直线1y x =-的距离为_______.14. 圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是________. 15.圆x 2+y 2-2x-2y+1=0上的动点Q 到直线3x+4y+8=0距离的最小值为______.16.若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．三、解答题：（10+10+12+12+12+14＝70分，共6小题）17．（本小题满分10分）已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，求圆C 的方程。
18．(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．19、（本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点(0,1)A ，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2210x y --=，AC 边上的高BH 所在直线的方程为0y =.（1）求ABC ∆的顶点B 、C 的坐标；（2）若圆M 经过不同的三点A 、B 、(,0)P m ，且斜率为1的直线与圆M 相切于点P ，求圆M 的方程.20. (本题满分12分)自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程。
解:21．(本题满分12分)已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长及顶点坐标．22. (本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程； (2)求直线l 的方程． 解：汉源一中高二上期理科数学半期试题答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一二、填空题：（共4小题，每小题5分）13. ___2__ __；14. __ 相交______；15. __ 2 __；16. ___ x ＋2y －4＝0______. 三、解答题：（10+10+12+12+12+14＝70分，共6小题）18、（本小题满分10分）解析： 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32得a ＝2b . |PM |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若b <12，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝7，则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，|PM |2最大，即4b 2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x 24＋y 2＝1.19、（本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点(0,1)A ，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2210x y --=，AC 边上的高BH 所在直线的方程为0y =.（1）求ABC ∆的顶点B 、C 的坐标；（2）若圆M 经过不同的三点A 、B 、(,0)P m ，且斜率为1的直线与圆M 相切于点P ，求圆M 的方程.解：（1）AC 边上的高BH 所在直线的方程为0y =，所以，:0AC x =， 又:2210CD x y --=，所以，1(0,)2C -，设(,0)B b ，则AB 的中点1(,)22b D ，代入方程2210x y --=， 解得2b =，所以(2,0)B .（2）由(0,1)A ，(2,0)B 可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4230x y --=， 注意到BP 也是圆M 的弦，所以，圆心在直线22m x +=上， 设圆心M 坐标为2(,)2m n +， 因为圆心M 在直线4230x y --=上，所以2210m n -+=…………①， 又因为斜率为1的直线与圆M 相切于点P ，所以1MP k =-，即122nm m =-+-，整理得220m n --=…………②，由①②解得3m =-，52n =-，所以，15(,)22M --，半径2MA ==， 所以所求圆方程为22560x y x y +++-=。
20. (本题满分12分)自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程。
解:自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程。
解法一 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1，它关于x 轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1。
设光线L 所在的直线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k 待定），由题设知对称圆的圆心C ′（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d=21|55|k k ++=1。
整理得 12k 2+25k+12=0，解得k= -43或k= -34。
故所求直线方程是y-3= -34(x+3)，或y-3= -34(x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0。
解法二 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1，设交线L 所在的直线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k 待定），由题意知k ≠0，于是L 的反射点的坐标是（-k k )1(3+，0），因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L ′所在直线的方程为y= -k(x+kk )1(3+)，即y+kx+3(1+k)=0。
这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d=21|55|kk ++=1。
以下同解法一。
21．(本题满分12分)解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1.因为m －m m ＋3＝m m ＋m ＋3>0，所以m >mm ＋3.即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝ m m ＋m ＋3.由e ＝32，得 m ＋2m m ＋＝32，解得m ＝1.所以a ＝1，b ＝12，椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 四个顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12)．22. 已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2 (3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |. (1)求椭圆的方程； (2)求直线l 的方程． 解析： (1)∵F 1到直线x ＝－a 23的距离为33， ∴－3＋a 23＝33. ∴a 2＝4.而c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2B |＝3|F 2A |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x 2＋3x 11＋3，0＝y 2＋3y11＋3，⎩⎨⎧x 2＝43－3x 1，y 2＝－3y 1.∵A 、B 在椭圆x24＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 21＝1，3－3x124＋－3y 12＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1033，y 1＝233取正值∴l 的斜率为233－01033－3＝ 2.∴l 的方程为y ＝2(x －3)，即2x －y －6＝0.。