广东省广州市2011年普通高中毕业班综合测试(一)数学理(WORD版)

试卷类型:A2011年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学 （理 科） 2011.3本试卷共4页，21小题， 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面面积,h 为锥体的高. 球的表面积公式24S R π=, 其中R 为球的半径．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}{220A x x x =-≤，}{11B x x =-<<, 则A B =A ．}{01x x ≤<B ．}{10x x -<≤ C ．}{11x x -<< D ．}{12x x -<≤ 2. 若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为A B C ．5 D ．13 4. 函数ln xy x=在区间()1,+∞上 A ．是减函数 B ．是增函数 C ．有极小值 D ．有极大值NMD 1C 1B 1A 1DCBA图3(度)1501401101005. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为. A ．2 B ．3 C ．4 D ．56. “a b >” 是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的A ．充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, A ．96 B ．114C ．128D ．136图1 8. 如图2所示,已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2, 长 为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为 A ．4π B ．2π C ．π D ．2π图2 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图3所示, 若月均用电量在 区间[)110,120上共有150户, 则月均用电量在区间[)120,150上的居民共有 户.D 10. 以抛物线2:8C y x=上的一点A为圆心作圆，若该圆经过抛物线C的顶点和焦点，那么该圆的方程为.11. 已知数列{}n a是等差数列, 若468212a a a++=, 则该数列前11项的和为.12.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知3,,3c Cπ==2a b=, 则b的值为 .13. 某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名, x和y须满足约束条件25,2,6.x yx yx-≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师最多是名.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. (几何证明选讲选做题)如图4, CD是圆O的切线, 切点为点A、B在圆O上，1,30BC BCD︒=∠=，则圆O15. (坐标系与参数方程选讲选做题)在极坐标系中，若过点(极轴垂直的直线交曲线4cosρθ=于A、B两点，则AB图4三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x=+(x∈R).(1)当x取什么值时,函数()f x取得最大值,并求其最大值;(2)若θ为锐角，且83fπθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求tanθ的值.DC 1A 1B 1CBA某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润 （单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2. 若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.表1 表2 (1) 求,a b 的值；(2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.18.（本小题满分14分）如图5，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点, 12A A AB ==.(1) 求证：1//AB 平面1BC D ；(2) 若四棱锥11-B AAC D 的体积为3, 求二面角1--C BC D 的正切值.图5已知直线2y =-上有一个动点Q ,过点Q 作直线1l 垂直于x 轴,动点P 在1l 上,且满足 OP OQ ⊥(O 为坐标原点),记点P 的轨迹为C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线2l 是曲线C 的一条切线, 当点()0,2到直线2l 的距离最短时,求直线2l 的方程.20.（本小题满分14分）已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式； (2) 求函数()g x 的单调区间；(3) 研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.21.（本小题满分14分）已知函数y =()f x 的定义域为R , 且对于任意12,x x ∈R ,存在正实数L ,使得 ()()1212f x f x L x x -≤-都成立. (1) 若()f x =求L 的取值范围；(2) 当01L <<时，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，1,2,n = .① 证明：112111nk k k a a a a L+=-≤--∑； ② 令()121,2,3,k k a a a A k k ++== ，证明：112111nk k k A A a a L +=-≤--∑.2011年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 说明：第10小题写对一个答案给3分. 9. 325 10. ()(2219x y -+±= 11. 3312. 13. 1014.π15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 1分2222x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 3分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x 取得最大值,…… 5分 (2)解法1:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 6分∴1cos 23θ=. …… 7分 ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 2θ==…… 8分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 9分∴22tan 1tan θθ=-…… 10分2tan 0θθ+-=.∴)(1tan 0θθ-+=.∴tan 2θ=或tan θ=不合题意,舍去) …… 11分∴tan 2θ=. …… 12分解法2: ∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分 ∴212cos 13θ-=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<,∴cos 3θ=. …… 9分∴sin 3θ==. …… 10分∴sin tan cos 2θθθ==…… 12分解法3:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 2θ==…… 8分 ∴sin tan cos θθθ=…… 9分 22sin cos 2cos θθθ= …… 10分sin 21cos 2θθ=+2=. …… 12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查数学期望、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：设1件产品的利润为随机变量ξ，依题意得ξ的分布列为：…… 2分 ∴ 60.6540.1 4.9E a b ξ=⨯++⨯-=,即50.9a b -=. …… 3分 ∵ 0.60.20.11a b ++++=, 即0.3a b +=, …… 4分 解得0.2,0.1a b ==.∴0.2,0.1a b == . …… 6分 (2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都 是一等品或2件一等品，1件二等品. …… 8分故所求的概率P =30.6+C 2230.60.2⨯⨯0.432=. …… 12分18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明: 连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,GFEODC 1A 1B 1CBA∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线,∴ 1//OD AB . …… 2分 ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . …… 4分 (2)解: 依题意知，12AB BB ==，∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =.作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ……6分 设BC a =，在Rt △ABC中，AC =AB BC BE AC ==， ∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+126=a =. …… 8分依题意得，3a =，即3BC =. …… 9分 (以下求二面角1--C BC D 的正切值提供两种解法)解法1:∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ， ∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点F ，连接DF ，则DF //AB ,且112DF AB ==. ∴DF ⊥平面11BB C C .作1FG BC ⊥，垂足为G ，连接DG ， 由于1DF BC ⊥，且DF FG F = ，∴1BC ⊥平面DFG . ∵DG ⊂平面DFG , ∴1BC ⊥DG .∴DGF ∠为二面角1--C BC D 的平面角. …… 12分 由Rt △BGF ～Rt △1BCC ,得11GF BFCC BC =,得113213BF CC GF BC ⨯=== ,在Rt △DFG 中, tan DF DGF GF ∠==∴二面角1--C BC D…… 14分 解法2: ∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .以点1B 为坐标原点,分别以11B C ,1B B ,11B A y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系1B xyz -. 则()0,2,0B ,()13,0,0C ,()0,2,2A ,3,2,12D ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴()13,2,0BC =- ,3,0,12BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面1BC D 的法向量为n (),,x y z =,由n 10BC = 及n 0BD = ,得320,30.2x y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令2x =,得3,3y z ==-.故平面1BC D 的一个法向量为n ()2,3,3=-, …… 11分又平面1BC C 的一个法向量为()0,0,2AB =-,∴cos 〈n ,AB 〉= ⋅n AB n AB200323⨯+⨯+-⨯-==…… 12分 ∴sin 〈n ,AB 〉==…… 13分 ∴tan 〈n ,AB 〉= 3.∴二面角1--C BC D …… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:设点P 的坐标为(),x y ,则点Q 的坐标为(),2x -. ∵OP OQ ⊥,∴1OP OQ k k =- .当0x ≠时,得21y x x-=-,化简得22x y =. …… 2分 当0x =时, P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故0x ≠.∴曲线C 的方程为22x y =()0x ≠. …… 4分 (2) 解法1:∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴直线2l 的斜率存在.设直线2l 的方程为y kx b =+, …… 5分 由2,2,y kx b x y =+⎧⎨=⎩ 得2220x kx b --=. ∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴2480k b ∆=+=,即22k b =-. …… 6分点()0,2到直线2l 的距离d =212= …… 7分12⎫= …… 8分12≥⨯…… 9分=…… 10分=，即k =.此时1b =-. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 解法2：由22x y =，得'y x =， …… 5分 ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中21112y x =， 则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得211102x x y x --=. …… 6分 点()0,2到直线2l的距离d =212= …… 7分12⎫=+ …… 8分12≥⨯…… 9分=…… 10分=，即1x =. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 解法3：由22x y =，得'y x =， …… 5分 ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中211102y x =>， 则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得110x x y y --=. …… 6分点()0,2到直线2l的距离d ==…… 7分12⎫= …… 8分12≥⨯…… 9分=…… 10分=11y =时，等号成立,此时1x =……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解：∵()00f =，∴0c =. …… 1分 ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. …… 2分 又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立， ∴0a >,且∆()210b =-≤． ∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+． …… 4分(2) 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩…… 5分① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增； …… 6分若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．…… 7分 ② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<， 则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减． …… 8分 综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； …… 9分当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． …… 10分(3)解：① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增， 又()()010,1210g g λ=-<=-->，故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …… 11分 ② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥，此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； …… 12分 （ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 13分 综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 证明：对任意12,x x ∈R ，有 ()()12f x f x -===. …… 2分由()()1212f x f x L x x -≤-,12L x x ≤-.当12x x ≠时,得L ≥.12,x x >>且1212x x x x +≥+，12121x x x x +<≤+. …… 4分∴要使()()1212f x f x L x x -≤-对任意12,x x ∈R 都成立,只要1L ≥. 当12x x =时, ()()1212f x f x L x x -≤-恒成立.∴L 的取值范围是[)1,+∞. …… 5分 (2) 证明：①∵()1n n a f a +=，1,2,n = ,故当2n ≥时，()()111n n n n n n a a f a f a L a a +---=-≤-()()21212112n n n n n L f a f a L a a L a a -----=-≤-≤≤- . …… 6分∴112233411nkk n n k aa a a a a a a a a ++=-=-+-+-++-∑()21121n L L La a -≤++++- …… 7分1211nL a a L-=--. …… 8分 ∵01L <<, ∴112111nk k k a a a a L+=-≤--∑(当1n =时,不等式也成立). …… 9分 ②∵12kk a a a A k++=,∴1212111k k k k a a a a a a A A k k ++++++++-=-+ ()()12111k k a a a ka k k +=+++-+()()()()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +=-+-+-++-+()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +≤-+-+-++-+ . …… 11分 ∴1122311nkk n n k AA A A A A A A ++=-=-+-++-∑ ()()122311111121223123341a a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫≤-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯+⨯⨯+⎝⎭⎝⎭()()34111113344511n n a a n a a n n n n +⎛⎫+-+++++-⨯ ⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭ 1223112111111n n n a a a a a a n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤12231n n a a a a a a +-+-++- 1211a a L≤--. ……14分。