北师大版高中数学必修2课时练习-空间直角坐标系中点的坐标

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高中数学课时作业242.3空间直角坐标系北师大版必修21130446

课时作业空间直角坐标系基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．点(－)与()的中点的坐标是( )．(－)解析：所求中点坐标为，即.答案：．在空间直角坐标系中，已知点(，，)，过作平面的垂线，则垂足的坐标为( ) ．(，，) ．(，，)．(，) ．(，，)解析：根据空间直角坐标系的概念知，平面上点的坐标为，坐标、坐标与点的坐标，坐标分别相等，∴(，，)．答案：．已知(，－)，记到轴的距离为，到轴的距离为，到轴的距离为，则( )．>> ．>>．>> ．>>解析：借助长方体来思考，、、分别是三条面对角线的长度．∴＝，＝，＝.答案：．已知点坐标为()，()，点在轴上，且＝，则点坐标为( )．() ．()．() ．()解析：设()，＝，＝，由＝，得＝.答案：．已知(－－，)，(，，)，则，两点距离的最小值为( )解析：＝＝＝≥.答案：二、填空题(每小题分，共分)．如图，长方体－中，已知(，)，(，)，则点的坐标为．解析：由题中图可知，点的横坐标和竖坐标与点的横坐标和竖坐标相同，点的纵坐标与点的纵坐标相同，所以点的坐标为(，，)．答案：(，，)．已知点(，－)关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则点的坐标为．解析：点(，－)关于坐标平面的对称点的坐标为()，点关于坐标平面的对称点的坐标为(－)，点关于轴的对称点的坐标是(，－)．答案：(，－)．已知四边形为平行四边形，且()，(，－)，(，－)，则顶点的坐标为．解析：由平行四边形中对角线互相平分的性质知，的中点即为的中点，的中点，设(，，)，则＝，＝，－＝，∴＝，＝，＝－，故(，－)．答案：(，－)三、解答题(每小题分，共分)．如图，正四棱锥－中，底面边长为，侧棱长为，，分别为，的中点，以为原点，射线，，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．若，分别为，的中点，求，，，，，的坐标．解析：∵正四棱锥－中，底面边长为，侧棱长为，∴＝，＝＝＝，∴由上可得(，－)，()，(－)，(－，－)，()．又∵，分别为，的中点，∴由中点坐标公式可得，.．已知在直三棱柱－中，＝＝，∠＝°，＝，，分别是，的中点，求的长．。

高一数学北师大版必修二第二章解析几何初步3.2空间直角坐标系中点的坐标3.3空间两点间的距离

1．(2012·福建泉州高一期末)点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上解析：∵点(2,0,3)中y 轴上坐标为0， ∴点在平面xOz 上．答案：C2．(2012·南阳高一检测)已知空间直角坐标系中一点A (－3,1，－4)，则点A 关于x 轴对称点的坐标为( ) A ．(－3,4，－1) B ．(－3，－1,4) C ．(3,1,4)D ．(3，－1，－4)解析：关于谁对称，谁的坐标不变，其它是相反数，∴A (－3,1，－4)关于x 轴对称的点为(－3，－1,4)．答案：B3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1)B ．(2,2，23)C ．(2,2，13)D ．(2,2，43)解析：∵|EB |＝2|EB 1|， ∴|EB |＝23|BB 1|＝43.又E 在B 1B 上， ∴E 的坐标为(2,2，43)．答案：D4．(2012·天津耀华中学模拟)已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )两点，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析：|AB |＝ (x －1)2＋(5－x －x －2)2＋(2x －1－2＋x )2＝14(x －87)2＋3549.∴当x ＝87时，|AB |取得最小值．答案：C5．已知A (－1,2,7)，B (－3，－10，－9)，则线段AB 中点关于原点对称的点的坐标是________．解析：线段AB 的中点为M (－2，－4，－1)，则M 关于原点对称的点的坐标为M ′(2,4,1)．答案：(2,4,1)6．已知A (1,1,1)，B (3,3,3)，点P 在y 轴上且|PA |＝|PB |，则P 点坐标为________．解析：设P (0，y,0)，∵|PA |＝|PB |， ∴1＋(1－y )2＋1＝ 32＋(3－y )2＋32，∴y ＝6.∴P 点坐标为(0,6,0)．答案：(0,6,0)7．V －ABCD 为正四棱锥O 为底面中心，若AB ＝2，VO ＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标．解：以底面中心O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系． ∵V 在z 轴正半轴上，且|VO |＝3，它的横坐标与纵坐标都是0， ∴点V 的坐标是(0,0,3)．而A 、B 、C 、D 都在xOy 平面上， ∴它们的z 坐标都是0，又|AB |＝2，∴A (1，－1,0)，B (1,1,0)，C (－1,1,0)，D (－1，－1,0)．8．如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1) 当点P 为对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值；(2) (2)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值. 解：设正方体的棱长为a .(1)当点P 为对角线AB 的中点时，点P 的坐标是(a 2，a 2， a2)．∵点Q 在线段CD 上，设Q (0，a ，z )． ∴|PQ |＝(a 2)2＋(a 2－a )2＋(z －a 2)2 ＝(z －a 2)2＋12a 2.当z ＝a 2时，|PQ |的最小值为22a .即点Q 在棱CD 的中点时，|PQ |有最小值22a .(3) 当Q 为CD 的中点时Q (0，a ，a2)，设P 的坐标为 (x ，y ，z )，则由三角形相似可得za ＝2a －2x 2a，(4) 则z ＝a －x .(5) ∴|PQ |2＝x 2＋(x －a )2＋(a2－x )2＝3x 2－3ax ＋54a 2＝3(x －a 2)2＋a 22.当x ＝a 2时，|PQ |最小为22a ，此时P (a 2，a 2，a 2)为AB 的中点．。

高中数学第二章3.2空间直角坐标系中点的坐标课时训练北师大版必修2

第二章解析几何初步第3.2节空间直角坐标系中点的坐标1. 在空间直角坐标系中, 点)3,2,1(P 关于x 轴对称的点的坐标为（） A ．(-1,2,3)B ．(1,-2,-3)C ．(-1, -2, 3)D ．(-1 ,2, -3)2．在空间直角坐标系中, 点)1,0,1(A 与点)1,1,2(-B 之间的距离为（）A ．6B ． 6C ．3D ． 23．在空间直角坐标系中, 点)5,4,3(P 关于yoz 平面对称的点的坐标为____________. 4．在空间直角坐标系中,点)2,3,1(-P 在xoz 平面上的射影为'P ，'P 则关于原点的对称点P/的坐标为_____________.5．点)3,4,1(-P 与点)5,2,3(-Q 的中点坐标是______________.6．在长方体1111D C B A ABCD -中，若)3,0,5(),0,4,5(),0,0,5(),0,0,0(1A B A D ，则对角线1AC 的长为______________.7．以)3,4,2(),9,1,4(),6,1,10(C B A -为顶点的三角形的面积为______________.8．已知点),,21,1(x x x A -- 点),2,1(x x B -, 则A 与B 两点间距离的最小值为____________.9．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是______________.10. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，且边长为a 2，棱PD ⊥底面ABCD ，b PD 2=，取各侧棱PD PC PB PA ,,,的中点H G F E ,,,，试建立空间直角坐标系，并写出点H G F E ,,,的坐标．参考答案：1.命题意图：本题主要考察关于各坐标轴对称的两点，其坐标分量的关系。

【教育专用】2017_2018学年高中数学课时作业242.3空间直角坐标系北师大版必修2

解析：∵正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为，
∴OB＝，OP＝＝＝2，
∴由上可得A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0∵E，F分别为PA，PB的中点，
∴由中点坐标公式可得E ，F .
10．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求MN的长．
解得z＝0或z＝－4.
答案：0或－4
13．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
解析：由题意，得点B与点A关于xOz平面对称，
故点B的坐标为(－2,3，－1)；
点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)；
C．c>a>bD．b>c>a
解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．
∴a＝，b＝，c＝5.
答案：C
4．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为()
A．(0,0,6) B．(6,0,1)
C．(6,0,0) D．(0,6,0)
解析：AB＝
＝，
AC＝
＝，
BC＝
＝，
因为BC>AB，所以，若A，B，C三点共线，有BC＝AC＋AB或AC＝BC＋AB，
若BC＝AC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，
此方程无解；
若AC＝BC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程也无解．
所以不存在实数a，使A、B、C共线．

北师大版高中数学必修2课件2.3空间直角坐标系中点的坐标课件(数学北师大必修二)

例 1．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、D1B1 的中点，棱长为 1，建立空间直角坐标系，
二、知识应用：题型二对称问题 B
） A．（－2，1，－4） C．（2，－1，4） A．（－2，1，－4） C．（2，－1，4） B．（－2，－1，－4） D．（2，1，－4）
2.空间直角坐标系中对称点的坐标
特殊点的坐标：原点 0, 0, 0 ； x, y , z 轴上的点的坐标分别为 x, 0, 0 , 0, y, 0 , 0, 0, z ；坐标平面 xOy, yOz, xOz 上的点的坐标分别为 x, y, 0 , 0, y, z , x, 0, z . 在空间直角坐标系中，点 P x, y, z ，则有点 P 关于原点的对称点是 P 1 x, y , z ；点 P 关于横轴(x 轴)的对称点是 P2 x, y, z ；点 P 关于纵轴(y 轴)的对称点是 P3 x, y, z ；点 P 关于竖轴(z 轴)的对称点是 P4 x, y, z ；点 P 关于坐标平面 xOy 的对称点是 P5 x, y, z ；点 P 关于坐标平面 yOz 的对称点是 P6 x, y, z ；点 P 关于坐标平面 xOz 的对称点是 P7 x, y, z .
二、知识应用：题型一空间直角坐标系中的中点坐标求法
求点 E、F 的坐标解.
解：法一：以 A 为坐标原点，以 AB，AD，AA1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，点 E 在 xOy 面上的投影为 B（1，0，0），∵点 E 竖坐标为 1 ，
2
例 1．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、D1B1 的中点，棱长为 1，建立空间直角坐标系，

2.3.2【同步练习】《空间直角坐标系中点的坐标》(北师大版)

《空间直角坐标系中点的坐标》
同步练习
1.在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,5,6)，则点M关于y轴对称的点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为__________。

2.已知点A(－2,4,0)，B(3,2,0)，则线段AB的中点坐标是________。

3.如图，长方体OABC－D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝4，|OD′|＝5，B′D′与A′C′交于P，则点P的坐标为________。

4.点)3
1
2
(
-，
，
M关于坐标原点的对称点的坐标为。

1.如图，在正方体OABC－O
1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为( )
A．(2,2,1) B．（，）
C（，）D．（，）
2.已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则( )
A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a
3.空间直角坐标系中，到坐标平面xOy, xOz，yOz的距离分别为2,2,3的点有( )
A．1个B．2个C．4个D．8个
4.点M(4，－3,5)到x轴的距离为（）
A．4 B．C．D．
1.已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，求点D的坐标。

2.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点。

试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H
的坐标。

高中数学第二章解析几何初步 3 空间直角坐标系练习(含解析)北师大版必修2-北师大版高中必修2数

空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式填一填1.空间直角坐标系的特征⎩⎪⎨⎪⎧①三条轴两两相交；②三条轴两两垂直；③有相同的单位长度.2．空间直角坐标系中点的坐标空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．3．空间两点间的距离公式空间两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)间的距离|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.判一判1.空间直角坐标系中，y 轴上的点的坐标满足z ＝0，x ＝0.(√) 2．空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．(√) 3．长方体的对角线长度都相等．(√)4．空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．(×)5．将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．(×)6．空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式．(√)7．关于坐标平面yOz 对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(√) 8．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是(2,1,1)．(√)想一想1.在空间直角坐标系中求空间一点P 的坐标的步骤是什么？提示：2．求空间两点间距离的关键及方法是什么？提示：关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．3．求空间对称点的方法是什么？提示：空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．4．两点间距离公式在几何中的两个应用是什么？提示：(1)求立体几何中线段长度问题①建系：将立体图形放在空间直角坐标系中．②定坐标：在空间直角坐标系中，根据条件确定有关的点的坐标． ③定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长． (2)判断三角形形状①利用两点间距离公式求三边长．②结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状．思考感悟：练一练1.点Q (0,0,3)的位置是( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在z 轴上D ．在面xOy 上答案：C2．点A (－3,1,5)，点B (4,3,1)的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，－2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，3 C ．(－12,3,5) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，2 答案：B3．已知点A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为( ) A ．(－1，－2，－7) B ．(－1，－2,7) C ．(1，－2，－7) D ．(1,2，－7) 答案：A4．已知点A (2,3,5)，B (－2,1,3)，则|AB |等于( ) A. 6 B ．2 6 C. 2 D ．2 2 答案：B5．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线长为6，且底面是边长为4的正方形，则该长方体的高为( )A ．9 B.92C ．4D ．2 答案：D知识点一空间中点的坐标及其位置1.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 1的坐标是( ) A ．(1,0,0) B ．(1,0,1) C ．(1,1,1) D ．(1,1,0)解析：点B 1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C. 答案：C 2.如图所示，已知四棱锥P －ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的等边三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，G 是棱PB 的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点P ，A ，B ，C ，D ，G 的坐标．解析：如图所示，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O .连接PE .因为AD ⊥PB ，PO ⊥AD ，PO ∩PB ＝P ，所以AD ⊥平面POB ，所以AD ⊥OB .因为PA ＝PD ，所以OA ＝OD . 于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD .所以以垂足O 为原点，以OB ，OP 及在底面ABCD 内过O 且垂直于OB 的直线分别为y 轴、z 轴、x 轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题意可得∠PEB ＝120°，∠PEO ＝180°－120°＝60°. 又等边三角形PAD 的边长等于2，所以AE ＝ED ＝1，PE ＝ 3.所以在Rt△POE 中，OE ＝PE ·cos 60°＝32，PO ＝PE ·sin 60°＝32.又底面ABCD 为菱形，所以AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2.所以在Rt△AEB 中，BE ＝AB 2－AE 2＝3，所以OB ＝OE ＋BE ＝332.所以所求坐标分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，332，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，332，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，0. 又因为G 是棱PB 的中点，所以由中点坐标公式可得G ⎝⎛⎭⎪⎫0，334，34.知识点二空间中点的对称问题3.在空间直角坐标系中，若P (3，－2,1)，则P 点关于坐标平面xOz 的对称点坐标为( )A ．(－3，－2，－1)B ．(3,2,1)C ．(－3,2，－1)D ．(3，－2，－1)解析：设所求的点为Q (x ，y ，z )，因为点Q (x ，y ，z )与点P (3，－2,1)关于平面xOz 对称，所以P ，Q 两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，即x ＝3，y ＝2，z ＝1，得Q 点坐标为(3,2,1)，故选B.答案：B4．点P (1,3,5)关于坐标原点对称的点P ′的坐标是( ) A ．(－1，－3，－5) B ．(1，－3,5) C ．(－1，－3,5) D ．(－1,3,5)解析：把点P (1,3,5)的横坐标、纵坐标、竖坐标均变为原来的相反数即可，故点P ′的坐标为(－1，－3，－5)．答案：A知识点三空间两点间的距离5.已知空间中两点A (1,2,3)，B (4,2，a )，且|AB |＝10，则a 的值为( )A ．2B ．4C ．0D ．2或4解析：由空间两点间的距离公式得|AB |＝4－12＋2－22＋a －32＝10，即9＋a 2－6a ＋9＝10，所以a 2－6a ＋8＝0，所以a ＝2或a ＝4.故选D. 答案：D6．在空间直角坐标系中，给定点M (2，－1,3)，若点A 与点M 关于xOy 平面对称，点B 与点M 关于x 轴对称，则|AB |等于( )A ．2B ．4C ．2 5D ．37解析：由题可知，A (2，－1，－3)，B (2,1，－3)，所以|AB |＝2－22＋1＋12＋－3＋32＝2.故选A. 答案：A7．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析：|AB |＝x －12＋3－2x 2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，|AB |最小．答案：C知识点四距离公式的综合应用8.在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)和B (1,0，－3)． (1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标．解析：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |，设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32，显然，此式对任意y ∈R 恒成立．这就是说，y 轴上所有点都满足|MA |＝|MB |. (2)假设在y 轴上存在点M (0，y,0)，使△MAB 为等边三角形．由(1)可知，对y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，所以只要|MA |＝|AB |就可以使得△MAB 是等边三角形．因为|MA |＝3－02＋0－y 2＋1－02＝10＋y 2，|AB |＝1－32＋0－02＋－3－12＝20，于是10＋y 2＝20，解得y ＝±10，故在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).综合知识空间直角坐标系9.点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．27解析：点A 关于平面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，故|BC |＝1－12＋2＋22＋1－12＝4.答案：B10．已知ABCD 为平行四边形，且A (1,2,3)，B (2，－5,1)，C (－3,2，－1)，求D 点坐标．解析：设D (x ，y ，z )，A 、C 的中点坐标(－1,2,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22＝－1y －52＝2z ＋12＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝9z ＝1∴D 点坐标为(－4,9,1)基础达标一、选择题1．若A (1,3，－2)，B (－2,3,2)，则A ，B 两点间的距离为( ) A.61 B ．25 C ．5 D.57解析：|AB|＝1＋22＋3－32＋－2－22＝5.答案：C2．空间直角坐标系O－xyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内的射影是点Q，则点Q的坐标为( )A．(1,2,0) B．(0,0,3)C．(1,0,3) D．(0,2,3)解析：因为空间直角坐标系O－xyz中，在xOy平面内的点的竖坐标是0，所以点Q的坐标为(1,2,0)．答案：A3．在空间直角坐标系中，点M(－5,3,1)关于x轴的对称点的坐标为( )A．(－5，－3，－1) B．(5,3，－1)C．(5，－3,1) D．(5，－3，－1)解析：关于x轴的对称点的坐标中，横坐标不变，其余坐标变为相反数，故点M关于x 轴的对称点的坐标为(－5，－3，－1)．答案：A4．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点间的距离为( )A．10 B.10C.38 D．38解析：由于A，B关于xOy平面对称，则A，B的横、纵坐标相等，竖坐标互为相反数，故点B的坐标为(2，－3，－5)，所以|AB|＝2－22＋－3＋32＋5＋52＝10.答案：A5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( ) A．(6,0,0) B．(6,0,1)C．(0,0,6) D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝x－12＋1＋1，|PB|＝x－32＋9＋9，由|PA|＝|PB|得x＝6，故选A.答案：A6．在空间直角坐标系中，已知三点A(1,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，则三角形ABC是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析：由题|AB|＝1－12＋0－12＋0－12＝2，|AC|＝0－12＋1－02＋1－02＝3，|BC|＝0－12＋1－12＋1－12＝1，所以AC2＝AB2＋BC2，所以三角形ABC是直角三角形．答案：A7．已知点A(1,2,2)，B(1，－3,1)，点C在yOz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为( )A．(0,1，－1) B．(0，－1,6)C．(0,1，－6) D．(0,1,6)解析：由题意设点C的坐标为(0，y，z)，所以1＋y－22＋z－22＝1＋y＋32＋z－12，即(y－2)2＋(z－2)2＝(y＋3)2＋(z－1)2.经检验知，只有选项C满足．答案：C二、填空题8．点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是________________________________________________________________________．解析：设点P 与点Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.所以中点坐标是(2,1,1)．答案：(2,1,1)9．已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.解析：AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2，|PC |＝3. 而⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －－2]2＝3，解为z ＝0，或z ＝－4. 答案：0或－410．已知平行四边形ABCD 中，A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3，7，－5)，则点D 的坐标为________．解析：设平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为点P ，则P 为AC ，BD 的中点．由A (4,1,3)，C (3,7，－5)，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1.又点B (2，－5,1)，所以点D 的坐标为(5,13，－3)．答案：(5,13，－3)11．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′点关于原点的对称点的坐标是________．解析：点M (－2,4，－3)在平面xOz 上的射影M ′(－2,0，－3)，M ′关于原点的对称点的坐标是(2,0,3)．答案：(2,0,3)12．三棱锥P －ABC 各顶点的坐标分别为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,3)，则三棱锥P －ABC 的体积为________．解析：由A ，B ，C ，P 四点的坐标，知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC ，PA ⊥底面ABC .由空间两点间的距离公式，得|AB |＝1，|AC |＝2，|PA |＝3，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13Sh ＝13×12×1×2×3＝1. 答案：1 三、解答题13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长．解析：如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz .则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，设点E 的坐标为(x ，y,0)，在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0，又DE ⊥AC ，直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45，0.∴|B 1E |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－42＋0－22＝6105，即B 1E 的长为6105.14．已知正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若|CM |＝|BN |＝a (0<a <2)．(1)求|MN |的长；(2)当a 为何值时，|MN |的长最小．解析：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB ，BC ，BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G ，H ，连接NG ，易证NG ⊥AB . ∵|CM |＝|BN |＝a ，∴|CH |＝|MH |＝|BG |＝|GN |＝22a ，∴以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0.(1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222＋12.(2)由(1)得，当a ＝22时，|MN |最短，最短为22，这时M ，N 恰好为AC ，BF 的中点.能力提升15.已知三点A (－1,1,2)，B (1,2，－1)，C (a,0,3)，是否存在实数a ，使A 、B 、C 共线？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析：AB ＝－1－12＋1－22＋2＋12＝14，AC ＝－1－a 2＋1－02＋2－32＝a ＋12＋2，BC ＝1－a 2＋2－02＋－1－32＝a －12＋20，因为BC >AB ，所以，若A ，B ，C 三点共线，有BC ＝AC ＋AB 或AC ＝BC ＋AB ，若BC ＝AC ＋AB ，整理得：5a 2＋18a ＋19＝0，此方程无解；若AC ＝BC ＋AB ，整理得：5a 2＋18a ＋19＝0，此方程也无解．所以不存在实数a ，使A 、B 、C 共线． 16.如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当2|DQ |＝|QC |时，求|PQ |；(2)当点P 为对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值； (3)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值．解析：设正方体的棱长为a .(1)当点P 为对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2. 由2|DQ |＝|QC |，易知|QC |＝23a ，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，23a 从而|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－02＋a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－23a 2＝196a . (2)∵点Q 在线段CD 上，设Q (0，a ，z ) ∴|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 22＋12a 2. 当z ＝a 2时，|PQ |的最小值为22a .即点Q 在棱CD 的中点时，|PQ |有最小值22a . (3)如图，当Q 为CD 的中点时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，设P 的坐标为(x ，x ，z )，则由三角形相似可得z a ＝2a －2x 2a，则z ＝a －x . ∴|PQ |2＝x 2＋(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－x 2＝3x 2－3ax ＋54a 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 22.当x ＝a 2时，|PQ |有最小值为22a ，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2为AB 的中点．。

高中数学第二章第33课时空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标作业课件北师大版必修2

A．(－2,2,3) B．(－2，－2，－3) C．(－2，－2,3) D．(2,2，－3)
解析：关于x轴对称的两个点应该是x坐标相等，y坐标、z坐标互为相反数，得点(－2,2,3)关于x轴对称的点的坐标是(－2，－2，－3)．
5．设x，y为任意实数，相应的所有点P(x，y，－1)表示的图形是( C )
2．长方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则平面DD1C1C上的点的坐标形式是( B )
A．(0，－2，－1) B．(x，－2，z) C．(－3，－2，－1) D．(－3，y，z)
解析：平面DD1C1C平行于平面xOz，且与平面xOz的距离为 2，平面DD1C1C上任意一点的纵坐标都是－2，而横坐标和竖坐标可取任意实数．
③点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；
④点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．
其中正确说法的个数是( A )
A．2
B．3
C．4
D．1
解析：①显然正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故②错误；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－ 2，－3)，故③错误；④显然正确．
A．一定在xOy平面上 B．一定在yOz平面上 C．一定在xOz平面上 D．可能在xOz平面上
解析：因为x>y>z且x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0，y有可能为 0，所以M点可能在xOz平面上．
7．关于空间直角坐标系O－xyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：
①OP的中点坐标为12，1，32； ②点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
第二章解析几何初步
§3 空间直角坐标系第33课时空间直角坐标系的建立、空间直角

高中数学 2.3.1 3.2空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标课时提能演练北师大版必修2

"【世纪金榜】高中数学 2.3.1 3.2空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标课时提能演练北师大版必修2 "一、选择题（每小题4分，共16分）1.点A(-3,0,0)位于( )(A)x轴上 (B)y轴上(C)xOz平面内 (D)xOy平面内2.点P(-3,6,-2)与Q(3,6,-2)的位置关系为( )(A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称(C)关于yOz平面对称 (D)关于xOz平面对称3.（2012·渭南高一检测)点A(-1,3 ,2)在xOz平面的投影点的坐标为( )(A)(-1, -3, 2) (B)(-1, 0, 2)(C)(1, 3, -2) (D)(0, 3, 0)4.以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为( )（A）（12，1，1） (B)（1，12，1）（C）（1，1，12）（D）（12，12，1）二、填空题（每小题4分，共8分）5.（2012·邯郸高一检测)在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于yOz平面的对称点的坐标是__________.6.空间直角坐标系中，点A（a，3，4）和点B（-1，b，c）关于点C（1，-3，2）对称，则a+b+c=_________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.（2012·杭州高一检测)如图，在空间直角坐标系中，BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（31，，022），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，求点D的坐标.8.（易错题）如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，|PA|=|AC|=12|AB|=4，N为AB上一点，|AN|=14|AB|，M，S分别为PB，BC的中点.试建立适当的空间直角坐标系，求点M，N，S 的坐标.【挑战能力】（10分）如图所示，有一个棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1，以点D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，DC，DD1的长度为单位长，建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，从而建立起一个空间直角坐标系O -xyz,一只小蚂蚁从点A出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长.请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置.答案解析1.【解析】选A.因为点A的y坐标，z坐标都等于0,所以点A位于x轴上.2.【解析】选C.因为两点的x坐标互为相反数,另外两个坐标相同,故两点关于yOz平面对称.3.【解析】选B.由题意知,点A(-1,3 ,2)在xOz平面的投影点与原来的点的坐标相比,x坐标与z坐标不变,y坐标变为0.故选B.4.【解题指南】先写出点C，C1的坐标,然后利用中点坐标公式求解即可.【解析】选C.由题可知点C（1，1，0），C1（1，1，1），∴棱CC1中点坐标为（1，1，12）.5.【解析】点关于yOz平面的对称点的坐标只需让x坐标变为原来的相反数,y,z坐标不变，故P(1,2,3)关于yOz平面的对称点的坐标为（1，-2,-3).答案：(-1,2,3)【变式训练】求点P(1,2,3)关于x轴的对称点的坐标.【解析】点关于x轴的对称点的坐标只需保持x坐标不变,y,z坐标变为原来的相反数即可,故点P(1,2,3)关于x轴的对称点的坐标为(1,-2,-3).6.【解析】由中点坐标公式，得a11，2a3，3b3，解得b9，2c0，4c2，2-⎧=⎪=⎧⎪+⎪⎪-==-⎨⎨⎪⎪=⎩+⎪=⎪⎩故a+b+c=-6.答案：-67.【解析】过点D作DE⊥BC，垂足为E. 在Rt△BCD中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=3，∴ DE=CDsin30°=32，OE=OB-BE=OB-BDcos60°=1-12=12,∴点D的坐标为(0,-12,32).8.【解析】由线面垂直的性质可知AB，AC，AP三条直线两两垂直，如图，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B（8，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4）.因为M，S分别为PB，BC的中点，由中点坐标公式可得，M（4，0，2），S（4，2，0）．因为N在x轴上，|AN|=2，所以N（2，0，0）．【方法技巧】巧建坐标系轻松解题（1）建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单，便于计算，一般是要使尽量多的点在坐标轴上.(2)对长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键.【挑战能力】【解题指南】小蚂蚁爬行的方向不同，位置也不同，故要分类讨论.【解析】小蚂蚁由点A出发可从六条路线中任选一条前进，最后到达点C或点B1或点D1中某一个点的位置. 小蚂蚁沿着A-B-C或A-B-B1或A-D-C或A-D-D1或A-A1-B1或A-A1-D1任一条路线爬行，其终点为点C或B1或D1.点C在y轴上，且DC=1，则其纵坐标为1，横坐标与竖坐标均为0，所以点C的坐标是(0,1,0);点B1在xOy平面上的投影是点B，点B在xOy平面上的坐标是（1，1，0），且|B1B|=1,则B1的竖坐标为1，所以点B1的坐标是(1,1,1);仿照点C的求法，可知点D1的坐标是(0,0,1).。

(北师大版)高中数学必修2检测2.3.1-2空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标 Word版含解析

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．下列说法：①在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定可记为(，，)；②在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定可记为(，，)；③在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定可记为(，)；④在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定可记为(，)．其中，正确的个数是( )．．．．解析：由定义可知，在轴上的点(，，)，有＝＝，所以点的坐标可记为()，故①错，②③④正确，故选.答案：.如图，在空间直角坐标系中，点(，，)，过点作平面的垂线，则垂足的坐标为( )．(，，)．(，，)．(，，)．(，)解析：点在平面上，＝，其余不变，∴(，，)．答案：．在空间直角坐标系中()，(－)两点的位置关系是( )．关于平面对称．关于轴对称．以上都不对．关于坐标原点对称解析：∵、两点对应的横坐标互为相反数，∴、关于平面对称．答案：．如图，在正方体－中，棱长为，是上的点，且＝，则点的坐标为( )．．()．解析：∵＝，∴＝＝.又在上，∴的坐标为.答案：二、填空题(每小题分，共分)．在空间直角坐标系中，点的坐标是()，则点关于轴对称的点在坐标平面上的射影的坐标为．解析：点关于轴对称点为(－，－)，在上的射影的坐标为，即(－，－)．答案：(－，－)．以正方体－的棱、、所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱中点坐标为．答案：三、解答题(每小题分，共分)．已知－为正四棱锥，为底面中心，＝，＝，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．解析：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以为原点，互相垂直的对角线、所在直线为轴、轴，为轴建立如图所示坐标系．∵正方形边长＝，∴＝＝＝＝，又∵＝.∴(，－，)，(，)，(，，)，(－，)，()．．已知为平行四边形，且()，(，－)，(，－)，求点的坐标．解析：∵为平行四边形，且()，(，－)，∴线段的中点坐标为.设点的坐标为(，，)，则对角线的中点坐标也为.∴(\\((＋)＝(),(－)＝,(＋)＝－))，解得(\\(＝＝＝－)).。

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课时练习(二十三) 空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于z 轴对称
D ．关于原点对称
B [由A ，B 两点的坐标可知关于y 轴对称．]
2．空间直角坐标系O -xyz 中的点P (1,2,3)在xOy 平面内的射影是点Q ，则点Q 的坐标为( )
A ．(1,2,0)
B ．(0,0,3)
C ．(1,0,3)
D ．(0,2,3)
A [因为空间直角坐标系O -xyz 中，在xOy 平面内的点的竖坐标是0，所以点Q 的坐标为(1,2,0)．]
3．在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4)关于xOy 平面的对称点的坐标是( )
A ．(－2,1，－4)
B ．(－2，－1，－4)
C ．(2，－1,4)
D ．(2,1，－4)
A [过点P 向xOy 平面作垂线，垂足为N (图略)，则N 就是点P 与它关于xOy 平面的对称点P ′连线的中点，又N (－2,1,0)，所以对称点为P ′(－2,1，－4)，故选A.]
4．以棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，
AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则
正
方形AA 1B 1B 的对角线交点的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12
B [A (0,0,0)，B 1(1,0,1)，所以AB 1的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12
，0＋02，0＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 0，12.] 5．设z 为任一实数，则点(2,2，z )表示的图形是( )
A ．z 轴
B ．与平面xOy 平行的一直线
C ．平面xOy
D ．与平面xOy 垂直的一直线
D [(2,2，z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线，即与平面xOy 垂直的直线．]
二、填空题
6．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． (－4,1，－2) [空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．]
7．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称的点的坐标是________．
(2,0,3) [点M 在xOz 上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)．]
8．在空间直角坐标系中，点M (4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 平面的距离为n ，则m 2＋n ＝________.
39 [由题意得m 2＝(－3)2＋52＝34，n ＝5，
∴m 2＋n ＝39.]
三、解答题
9．已知点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A 1，A 1关于xOz 平面的对称点为A 2，A 2关于z 轴的对称点为A 3，求线段AA 3的中点M 的坐标．
[解] 因为点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点A 1的坐标为(4，－2，－3)，点A 1(4，－2，－3)关于xOz 平面的对称点A 2的坐标为(4,2，－3), 点A 2(4,2，－3)关于z 轴的对称点A 3的坐标为(－4，－2，－3)，所以AA 3中点M 的坐标为(－4,0,0)．
10．如图所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有的棱长均为2，侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当的坐标系写出各顶点的坐标．
[解]取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，可
得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴，y轴，
z轴，建立空间直角坐标系．
因为三棱柱各棱长均为2，
所以OA＝OC＝1，OB＝3，
可得A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0，1,0)，A1(0，－1,2)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)．
1．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()
A．7B．－7C．－1D．1
D[点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.]
2．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的主视图和俯视图分别为()
A．①和②B．③和①
C．④和③D．④和②
D[由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的主视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故主视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②.故选D.]。