数学湘教版必修1练习：第一章 集合与函数 1.2.7 含解析

1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值
[学习目标] 1.了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值．
[知识链接]
1．函数y ＝x 2－2x －3的对称轴为x ＝1，该函数的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(－∞，1)．
2．函数y ＝x 2的最小值为0.
[预习导引]
二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0，x ∈R)，当a ＞0(a ＜0)时，在区间(－∞，－b 2a ]上递减(递增)，在[－b 2a
，＋∞)上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x ＝－b 2a 处取到最小(大)值f(－b 2a )＝－Δ4a ，这里Δ＝b 2－4ac.点(－b 2a ，－Δ4a
)叫作二次函数图象的顶点.
要点一 求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式．
解 方法一 利用二次函数一般式．
设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．
则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，①a －b ＋c ＝－1，②4ac －b 24a ＝8.③
由①②得b ＝－a ，则2a ＋c ＝－1，即c ＝－2a －1.
代入③整理得a 2＝－4a ，
解得a＝－4，或a＝0(舍去)．
∴b＝4，c＝7.
因此所求二次函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 方法二利用二次函数顶点式．
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线对称轴为x＝2＋(－1)
2
＝
1
2
，即m＝
1
2
.
又根据题意函数有最大值为n＝8，
∴y＝f(x)＝a(x－1
2
)2＋8，
∵f(2)＝－1，∴a(2－1
2
)2＋8＝－1.
解之得a＝－4.
∴f(x)＝－4(x－1
2
)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三利用两根式．
由已知f(x)＋1＝0的两根为x
1＝2，x
2
＝－1.
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，
∴4a(－2a－1)－a2
4a
＝8.
解之得a＝－4.
∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
规律方法用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即
f(x)＝ax2＋bx＋c(一般式)、f(x)＝a(x－x
1)·(x－x
2
)(两根式)、f(x)＝a(x－m)2
＋n(顶点式)．
跟踪演练1 已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x.求f(x)的解析式．
解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x ＋1)＝a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c ，
f(x －1)＝a(x －1)2＋b(x －1)＋c ，
又f(x ＋1)＋f(x －1)＝2x 2＋4x ，
∴2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2＋4x ，
∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，
2b ＝4，
2a ＋2c ＝0，∴⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝2，c ＝－1，
∴f(x)＝x 2＋2x －1.
要点二 二次函数的增减性
例2 f(x)＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m 的取值范围．
解 函数的顶点横坐标为x ＝m 8
， 又函数在区间[－2，＋∞)上是递增函数，
∴m 8
≤－2，即m ≤－16， 故m 的取值范围是{m|m ≤－16}．
规律方法 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)在(－∞，－b 2a ]上是递减函数，在[－b 2a
，＋∞)上是递增函数．
跟踪演练2 已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．
(1)当a ＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，
f(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，
x ∈[－5,5]，1∈[－5,5]．
∴当x ＝1时，f(x)min ＝1；
当x ＝－5时，f(x)max ＝37.
(2)f(x)＝(x ＋a)2＋2－a 2，
其顶点横坐标为x ＝－a.
∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，
∴－a ≤－5或－a ≥5.。