定理如果棱锥被平行于底面的平面所截
2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第45讲
)
D．4
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高考总复习（文、理）
[解析]
命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底
面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体．命题②不是真命题，若底面是菱
形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体．命题③也不是真命题
，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是 不能推出侧棱与底面垂直．命题④是真命题，由对角线相等，可得出平
)
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高考总复习（文、理）
解析：∵EF∥AC，EF⊥DE，∴AC⊥DE. 又∵AC⊥DB，∴AC⊥面 ABD. 2 3 ∴VA－ BCD＝VC－ ABD＝ a . 24
答案：B
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高考总复习（文、理）
5．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分侧棱、侧面积 、体积时，相应截面面积为S1、S2、S3，则( )
∴EF⊥BD.又EF⊥D1D，EF⊥平面BDD1B1，
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
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高考总复习（文、理）
(2)证明：连结AH，则AH∥B1E， 又AC∥EF，而AH∩AC＝A，
∴平面AHC∥平面EB1F.
又∵CH⊂平面AHC，∴CH∥平面B1EF. (3)如图所示，在对角面BDD1B1中，作D1M⊥B1G，垂足为M， ∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1＝B1G， ∴D1M⊥平面B1EF，且垂足为M.
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高考总复习（文、理）
(3)∵BD⊥AC，BD⊥PA， ∴BD⊥平面PAC，
又MN∥BD，
∴MN⊥平面PAC. ∴平面PAC⊥平面PMN. 设MN∩AC＝Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN＝PQ.
高二数学教案：棱柱和棱锥(三)
C'B'A'D'DAC C'B'A'D'DA C9.9棱柱和棱锥(三)教学目的：1.了解棱锥、正棱锥的概念，掌握正棱锥的性质.；2.能初步利用棱锥的概念及其性质解决一些简单角与距离的问题.3.灵活运用棱锥的概念及其性质解决有关角与距离问题；4.了解棱锥的侧面积、全面积的概念，能求出有关面积. 教学重点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 教学难点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 授课类型：新授课. 课时安排：4课时.教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入：1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱，则,B C A D C =⊂U ．6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形； （2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.7.平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和.二、讲解新课：1.棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥.其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示.如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 4．棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．已知：在棱锥S AC -中，SH 是高，截面A B C D E '''''平行于底面，并与SH 交于H '， 求证：截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且22A B C D E ABCDE S SH S SH''''''=． 解：因为截面平行于底面，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，… ∴,A B C ABC B C D BCD ''''''∠=∠∠=∠，…又∵平面SAH 分别与截面和底面相交于A H ''和AH ， ∴//A H AH ''，得A B SA SH AB SA SH ''''==，同理B C SH BC SH '''=，… ∴A B B C SH ABBC SH'''''===L ， 因此，截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且2222A B C D E ABCDE S A B SH S AB SH''''''''==． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面.5．正棱锥定义：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形． 6．正棱锥的直观图的画法在过底面中心的垂线——'z 轴上取与底面中心距离等于棱锥高的点就得到了棱锥的顶点．给出了画图的比例尺，要特别注意平行于'y 轴的线段的长度的确定．正棱锥的直观图的画法，在具体画图的关键是：①用斜二测画水平放置的底面的直观图； ②正棱锥的顶点的确定；③画直观图的四个步骤：画轴（建立空间直角坐标系）⇒画底面⇒画侧棱（正棱锥画高线）⇒成图． 三、讲解范例：例1.已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点O '平行于底面的截面A B C '''∆的面积.解：连结,OM OA ，在Rt SOM ∆中，22OM l h =-． ∵棱锥S ABC -是正三棱锥，∴O 是ABC ∆中心， ∴2222tan6023AB AM OM l h ==⋅=-o，222333()ABC S AB l h ∆==-， 由棱锥截面性质得：2214A B C ABC S h S h '''∆∆'==，∴2233()4A B C S l h '''∆=-． 例2．已知A B C '''∆是三棱锥S ABC -的中截面，三棱锥S A B C '''-的侧面积为25cm ，求三棱锥S ABC -的侧面积．解：∵截面//A B C '''底面SBC ，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，∴2214S A B SAB S A B S AB '''∆∆''==，同理：14S B C SBC S S '''∆∆=，14S A C SACS S '''∆∆=， ∴14S A B S B C S A C SAB SBC SAC S S S S S S '''''''''∆∆∆∆∆∆++=++，即三棱锥S ABC -的侧面积是三棱锥S A B C '''-的侧面积的4倍， 所以，三棱锥S ABC -的侧面积为220cm ．点评：一般地，平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于截得棱锥的高与原棱锥高的平方比.例3．四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面PAD 和侧面PDC 所成的二面角为120o，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都为60o，求此棱锥的全面积.EDCBAPGEP D CBA 解：∵侧面PAD ⊥底面AC ，侧面PDC ⊥底面AC ， ∴PD ⊥底面AC ，ADC ∠为二面角A PD C --的平面角，即120ADC ∠=o ，∵四边形为菱形，DBC ∆，取BC 中点E ，连结,PE DE ， 则DE BC ⊥，由三垂线定理知PE BC ⊥，∴PED ∠是侧面PBC 与底面AC 所成的二面角的平面角，60PED ∠=o ，在Rt PDE ∆中，,,PD h DE PE h ===， ∴23sin3DE CD h π==， ∵,PDA PDC PBC PAB ∆≅∆∆≅∆，22PDA PBC ABCD S S S S ∆∆=++Y 全222sin1)33PD CD BC PE AD h π=⋅+⋅+=． 说明：棱锥的侧面积等于各侧面三角形的面积之和，正棱锥的侧面积等于底面周长与斜高之积的一半． 四、课堂练习：1.判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥， （2）正四面体是四棱锥，（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥． 答：（1）错，（2）错，（3）错，（4）对．2．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，90PCA ∠=o ，D 为PA 中点，二面角P AC B --为120o，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成的角，（3）求三棱锥P ABC-的体积．解：（1）取AC 的E ，连结,BE DE ，则//DE PC ， 由PC AC ⊥，知DE AC ⊥，由ABC ∆为正三角形，得BE AC ⊥， 又DE BE E =I ，∵AC ⊥平面DEB ，BD ⊂平面DEB ， ∴AC BD ⊥． （2）作DG BE ⊥，垂足为G ，∵AC ⊥平面DEB ，DG ⊂平面DEB ，DG AC ⊥，DG ⊥平面ABC ，BD 与底面ABC 所成的角DBG ∠， 由DE AC ⊥，BE AC ⊥知DEB ∠是二面角P AC B --的平面角，120DEB ∠=o ，∵112DE PC ==，∴DG =，又∵3BE AB ==， ∴22213213cos12013BD =+-⨯⨯⨯=o∴sin DG DBE DB ∠==，∴BD 与底面ABC 所成的角为arcsin．（3）∵D 为PA 中点，∴P 到平面ABC 的距离2h DG ==，211333P ABC ABC V S h -∆===．五、小结：棱锥、正棱锥的概念，性质；棱锥平行于底面的截面性质结论可适当推广：平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的对应面积（底面，侧面）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比.计算面积时，必须计算对应边上的高，因此要寻找斜高，底面三角形的高，截面三角形的高的相互关系，这种关系应通过棱锥的性质来体现． 六、课后作业： 七、板书设计（略）. 八、课后记：。
立体几何推理及定理
立体几何推理及定理一空间直线和平面9.1平面公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线公理3经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且有一个平面推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面9.2空间直线平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(直角)相等异面直线1如果两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直. 也记作a垂直b 2.和两条异面直线都垂直相交的直线,叫做两条异面直线的公垂线3两条异面直线的公开线在这两要异面直线间的线段(公垂线段)的长度,叫做两条异面直线的距离.9.3直线与平面平行的判定和性质定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们说这条直线和这个平面平行2直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.3直线和平面平行的性质直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.9.4直线与平面垂直的判定和性质1.直线和平面垂直的定义定义:如果一条直线L和一个平面α内的任意一个直线都垂直,我们就说直线L和平面α互相垂直,记作L垂直α直线和平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.从平面外一点引这个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离2.一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.斜线在平面内的射影1.这一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面内的射影.这点与垂足间的经段叫做这个点到这个平面的垂线段.2.一条直线和一个平面相交但不和这个平面垂直时,这条直线就叫做这个平面的斜线.斜线和平面的交点叫做斜足.从平面外一点向平面引斜线.这点与斜线和平面的交点叫做斜足.从平面外一点向平面引斜线,这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段3.从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中1.射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长2.相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长3.垂线段比任何一条斜线段都短直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这个直线和这个平面所成的角可以证明,斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角三垂线定理三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.9.5两个平面平行的判定和性质两个平面的位置关系如果两个平面没有公共点,我们就说这两个平面互相平行.两个平面平行的判定两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线,它夹在这两个平行平面间的部分,叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段都相等,我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离9.6两个平面垂直的判定和性质以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条两射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角.两个平面垂直的判定一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面9.7棱柱棱柱的概念有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面;两个面的公共边叫做棱柱的棱,其中两个侧面的公共边叫做棱柱的棱柱的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点,不在同一个面上的两个顶点在连线叫做棱柱的对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高.侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.直于底面的棱柱叫做直棱柱底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱棱柱的性质1侧棱都相等,侧面是平行四边形;2.两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形3过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形定理:长方体一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.棱锥的性质定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相,并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比.正棱锥有下面一些性质;1各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高.2棱锥的高,斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形;棱锥的高,侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.9.10球1球心和截面圆心的连线垂直于截面2球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系:球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆.定理:半径是R的球的体积.v=（4/3）πR3定理半径是R的球的表面积S=4πR2必修2立体几何知识点复习平面, 空间, 立体几何, 知识点立体几何复习知识点平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围）（直线与直线所成角）（斜线与平面成角）（直线与平面所成角）（向量与向量所成角推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. （或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面）直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×）（平面外一条直线）②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×）（平面外一条直线）③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.。
(精选模板)高中数学说课稿4篇
高中数学说课稿4篇高中数学说课稿篇1一、教材分析：1.教材所处的地位和作用：本节内容在全书和章节中的作用是：《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积》是高中数学教材数学2第一章空间几何体3节内容。
在此之前学生已学习了空间几何体的结构、三视图和直观图为基础，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是在空间几何中，占据重要的地位。
以及为其他学科和今后的学习打下基础。
2.教育教学目标：根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：知识与能力：（1）了解柱体、锥体、台体的表面积.（2）能用公式求柱体、锥体、台体的表面积。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力过程与方法：让学生经历几何体的表面积的实际求法，感知几何体的形状，培养学生对数学问题的转化化归能力。
情感、态度与价值观：通过学习，是学生感受到几何体表面积的求解过程，激发学生探索、创新意识，增强学习积极性。
3.重点，难点以及确定依据：本着新课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下的教学重点、难点教学重点:柱,锥,台的表面积公式的推导教学难点:柱,锥,台展开图与空间几何体的转化二、教法分析1.教学手段：如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标。
在教学过程中拟计划进行如下操作：教学方法。
基于本节课的特点：应着重采用合作探究、小组讨论的教学方法。
2.教学方法及其理论依据：坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，根据学生的心理发展规律，采用学生参与程度高的探究式讨论教学法。
在学生亲自动手去给出各种几何体的表面积的计算方法，特别注重不同解决问题的方法，提问不同层次的学生，面向全体，使基础差的学生也能有表现机会，培养其自信心，激发其学习热情。
有效的开发各层次学生的潜在智能，力求使学生能在原有的基础上得到发展。
启发学生从书本知识回到社会实践。
提供给学生与其生活和周围世界密切相关的数学知识，学习基础性的知识和技能，在教学中积极培养学生学习兴趣和动机，明确的学习目的，老师应在课堂上充分调动学生的学习积极性，激发来自学生主体的最有力的动力。
初一数学知识点初一数学知识点棱锥的性质
初一数学知识点初一数学知识点棱锥的性质
1.棱锥截面性质定理及推论定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。
推论1：如果棱锥被平行与底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等。
推论2：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于它们对应高的平方比，或它们的底面积之比。
2.一些特殊棱锥的性质侧棱长都相等的棱锥，它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心(外心)，同时侧棱与底面所成的角都相等。
侧面与底面的交角都相等的棱锥，它的二面角都是锐二面角，所以顶点在底面内的射影在底多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心(内心)，且各侧面上的斜高相等。
如果侧面与底面所成角为α，则有S底=S侧cosα。
如图画出了射影是外心和内心的情况。
3.棱锥的侧面积及全面积、体积公式
棱锥的侧面积及全面积
S棱锥侧=S1+S2+…+Sn(其中Si，i=1，2…n为第i个侧面的面积)
S全=S棱锥侧+S底
棱锥的体积
棱锥和圆锥统称锥体，锥体的体积公式是：v=1/3sh(s为锥体的底面积，h为锥体的高)。
斜棱锥的侧面积=各侧的面积之和
正棱锥的侧面积：S正棱锥侧=1/2chˊ(c为底面周长，hˊ为斜高)。
棱锥的中截面面积：S中截面=1/4S底面。
1.1.2棱柱、棱锥、棱台的结构特征备用
3、棱台
十、正棱台的性质 1）侧棱、斜高相等，各个侧面都是全等的 等腰梯形； 2）直角梯形 V 把立体图形转 化为平面图形 D' A' D O A B C' B'
C
例3.已知正三棱台上下底面边长分别为2cm和 5cm，侧棱长为5cm，求这个棱台的高.
练习题 已知:正四棱锥S-ABCD中,底面边长为2a, S 侧棱长为2a.
S ABC 3 3 2 l h2 . 4
A M B
B
O
达标练习
1.一棱锥被平行于底面的平面所截, 若截面与底面的面 积这比为1 : 2, 则一条侧棱被分成两部分长度的比 D . 1 1 1 1 A B C D 2 2 2 1 2 1 2.如图, 若正四棱锥底面边长为a, 侧棱与底面成60 0 角.
2）2个重要的直角三角形
１、能保证棱锥是正棱锥的一个条件是 Ａ．底面是正多边形 Ｂ．各侧棱都相等 Ｃ．各侧面是全等的等腰三角形 Ｄ．各侧面和底面是全等的正三角形
例１.设计一个平面图形，使它能够折成一个 侧面与底面都是等边三角形的正三棱锥.
例2.已知正四棱锥V-ABCD，底面面积为16， 一条侧棱长为 2 11，求它的高和斜高. 解：设VO为正四棱锥的高,作OMBC于点M， 连结VM，OB， 则M为BC中点， 则VOOM,VOOB ， V 在RtVOB中： VO＝６ 在RtVOM中 D C (在RtVBM中) O M VM＝2 10 B 即正四棱锥的高为6,斜高为2 10 .
是正四棱柱 4 5）底面是矩形的直棱柱是长方体 ） 直
立体几何和空间向量综合知识点(高中数学)
立体几何与空间向量一．空间几何体的体积与表面积：1.简单几何体的侧面积、体积及相关性质： 棱柱、棱锥、台体的表面积：柱体、椎体、台体的侧面积：h c S h c c S ch S '=''+==21,)(21,锥侧台侧柱侧（其中c c ',分 别为上下底面周长，h 为高，h '为斜高或母线长）圆柱的表面积 ：222r rl S ππ+=； 圆锥的表面积：2r rl S ππ+=；圆台的表面积：22R Rl r rl S ππππ+++=（r,R 分别为上下底面圆的半径）； 球的表面积：24R S π=； 扇形的面积：222121360r lr R n S απ===扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积柱体的体积：h S V ⨯=底；锥体的体积：h S V ⨯=底31； 台体的体积：h S S S S V ⨯+⋅+=)(31下下上上 ；球体的体积：334R V π=。
2.空间几何体直观图斜二测画法要领： 横相等，竖减半，倾斜45°，面积为原来的42，平行关系不变。
3.棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似 相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；4.立体几何中常见模型的性质： 长方体：（1）长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c ，则体对角线长为222c b a ++，全面积为2ab+2abc+2ac ，体积V=abc 。
（2）已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为γβα,,，则有1cos cos cos 222=++γβα或2sin sin sin 222=++γβα。
（3）长方体外接球的直径是长方体的体对角线长222c b a ++。
9数学基础知识与典型例题复习--立体几何2.docx
例31.若平面a 、0耳相垂直，贝9((A)Q 中的任意一条直线垂直于0(C)平行于a 的直线垂直于0(B)a 中有且只有一条直线垂直于0 (D)a 内垂直于交线的直线必垂直于0例32.如图，平面a 丄平面0, aCft=l,人丘0, B",且与/所成的角为60’，A 、B 到/的距离分别为1、V3,则线段AB 的长是() (A)4(B 座(C)巫(D)V333例33.如图，正方体ABCD —A.B^iD,屮，E 是BC 的屮点，连结DiE,则二面角D\_B 、E_C 的正切三面角与面面垂盘］—. ------- .厂)判定定理(map1.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角•如图二而角a —1—p 傕贡定理］二面角的平面角：以二面角a — l — 0的棱/上任意一点o 为端点，在两个半平面弘0 内分别作棱的垂线OA 、0B,这两条射线OA 、0B 所成的角ZAOB 叫做二面角的平面角. 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.两个平面互相垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个一面角及平面与平面垂直平面互相垂直.即二面角a-l-0的平面角ZAOB 为90"=＞仅丄0(1)两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. B|J a u a °丄0 ⑵两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的a 丄0 ,ar\/3 = l\°直线垂直于另一个平面.即 ""丄0ci ua 丄/注:找二面角的平面角的方法主要有：① 定义法：直接在二面角的棱上取一点(待殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得 岀平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性.② 三垂线法:已知二面角其中一个而内一点到另一个而的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平而角.③ 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平血与两个半平面的交线 所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.④ 射影法：利用面积射影公式：cos& = £，其中&为平面角的大小，S'是射影的面积. .S 此方法不必在图中画出平面角來.S 侧二仝亜cos a)值等于()(A)还(B)百(0 2A/5 (D)逅523例34.如图所示，四边形BCDE是正方形,AB丄平面BCDE,则图中互相垂直的平面有(~)(A)4对(B)5 对(C)7 对(D) 8 对②例35. —间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜, 记三种盖法屋顶面积分别为凡、P2、P3•若屋顶斜面与水平面所成的角都是幺则() (A)P3>P2>P\(B)p3 > P?=P\ (C)P3=P2 > P] (D)P3=P2=P1例36.已知平面a、0、Y，直线I、m，且/丄加丄给出下列以个结论：①“丄八②/丄③加丄0；④0丄仅.则其屮正确的个数是() (A)0 (B)l(c)2 (D)3例37.将边长为a的正六边形ABCDEF沿AD折成二面角E—AD—C,使CE=d,则二面角E—AD—C 的大小为_________________________ .例38.将椭圆—+ ^ = 1所在平而沿y = —x折成60°的二面角，则椭圆两个焦点9 4 3F P F2 的距离|F,F2|= ________ .例39.如图，矩形4BEF和正方形ABCD有公共边AB,它们所在平面成60°的二面角,AB=CB=2a,BE=a,则FC= _____________ 。
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然后，就图2-9．请同学们说出具体的线段、面点的名称，也可以说出 棱锥的元素，让学生在图形中找到具体的线段、面或点．
师：棱锥的表示法有两种：其一是用顶点的字母和底面顶点的字母 来表示，如图2-9可表示为：棱锥S-ABCD；也可用顶点的字母和底面一 条对角线两端点的字母表示，如棱锥S-AC．不管哪种表示法都要冠以 “棱锥”．棱锥根据其底面多边形的边数，分为三棱锥、四棱锥、五棱 锥等．如图2-9是四棱锥，图2-10是五棱锥．
问题4：如果一个棱锥的底面既有外接圆，又有内切圆，且侧棱 长都相等，那么它是否是正棱锥？
师：请同学们观察图形，其中∠ABC＝90°，O是AC的中点， 且SO⊥面ABC，请一位同学用这个图形说明问题．
生：因为OC=OA＝OB，且SO⊥面ABC，所以SA＝SB=SC，又 Rt△ABC既有内切圆又有外接圆，问题的条件都符合，但棱锥SABC不是正棱锥．
(通过以上教学，使学生掌握用特例来判断命题的真伪的方 法，从而培养学生探究问题的能力．)
(四)棱锥的一个重要性质 定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底 面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥 的高的平方比．
师：要证两个多边形相似应该去证什么？
生：对应角相等，对应边成比例．
3．正棱锥的性质2揭示了如何把空间问题转化为平面几何问题的奥秘， 通过教学可培养学生棱锥的形象是非常的美，教学过程要注意挖掘图形的美育潜能，给 学生以美感教育。
2．正棱锥的性质2是转化正棱锥计算问题为平面计算问题的桥梁，通 过它使空间问题和平面问题这对矛盾得以统一，教学过程要注意帮助学 生树立统一的辩证唯物主义观点。
三、课时安排
本课题建议安排2课时：
四、教与学过程设计 第一课时 棱锥的概念和性质
(一)引入 师：埃及与我们国家一样堪称世界文明古国．其最具有象征意义的是 金字塔，它是古埃及人民智慧的结晶，它的形状给我们以棱锥的形 象．今天我们学习棱锥，不仅要感受它的形象美，还要探究它的内在 美．(激发学生的学习热情．) (二)棱锥的概念及基本元素 (把画有图2-9、图2-10、图2-11的小黑板挂出)
3．正棱锥侧面积公式的获得，是将空间图形展成平面图形的结果，教 学过程要注意培养学生运用运动变化的观点来分析问题的思维方式。
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：正棱锥的概念及性质和有关平行于底面的截面问题。
2．教学难点：正棱锥的直观图的画法。
3．教学疑点：一般棱锥侧面积的计算，要逐个侧面算出再求和。
生：因为AO=BO＝CO=DO，所以SA=SB=SC＝SD，侧面 三角形是全等的等腰三角形．
师：在正棱锥中我们把侧面等腰三角形底边上的高叫做正棱锥 的斜高．(注意不是正棱锥没有斜高)，即六棱锥的高、斜高、底 面边心距、底面半径、侧棱这五条线段中哪些线段的组合可构成 直角三角形？
生：高、斜高、边心距；高、侧棱、半径．
（三）正棱锥的概念及性质 师；如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的 射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．要注意只有两条件： 第一底面是多边形，第二顶点在底面上的射影是底面的中心同 时满足时，棱锥才叫正棱锥．
一个棱锥若是正棱锥，则它一定具备以上两条特点． 下面请同学们思考以下问题． 问题1：如果图2-9是正四棱锥，那么它的侧棱长有什么关系？ 侧面三角形有何特点？ (引导学生利用射影定理来分析．)
§2．2 棱
锥
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．棱锥的概念及性质．
2．正棱锥的概念及性质．
3．正棱锥直观图的画法．
4．正棱锥的侧面积．
(二)能力训练点
1．在理解并掌握棱锥概念及性质的过程中，努力提高学生观察、抽象和 概括能力。
2．通过正棱锥直观图画法的教学，进一步提高学生作图、识图能力，为 发展学生的空间能力奠定良好的基础。
师：两个相似多边形的面积比等于什么？
生：相似比的平方即边的比的平方．
师：请同学们阅读课本P．61中定理的证明．
(待同学们阅读完后)
师：这个定理的证明，是通过两平行平面的性质定理和等角定理来证明多 边形相似，然后利用相似多边形的性质，把面积比较化为边的比的平方，再 通过平行把边的比的平方传递给高的比的平方，这种转移比例的手段是我们 常用的，大家要好好体会．
由教师板书正棱锥的两条性质．
问题2：正棱锥各侧面与底面所成的角有什么关系？各侧棱与 底面所成的角有什么关系？
生：相等，因为所有由高、斜高、边心距组成的三角形都全等； 所有由高、侧棱、半径组成的三角形都全等．
问题3：如果一个棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，那么它 是否是正棱锥？
师：请同学们注意观察这个图形，显然它不是正三棱锥．
(五)练习 P．62练习1． (六)总结
1．这节课我们学习了一般棱锥和正棱锥的概念，特别是正棱锥的概念大家一定 要注意，两个条件缺一不可．
2．正棱锥的性质对一般棱锥不适用，性质2只阐明两个直角三角形其实应该是三 个．
例1 如图2-14，已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高SM＝l，求经过SO的 中点平行于底面的截面△A'B'C'的面积．
师：因为截面A'B'C'过高SO的中点，所以S△A'B'C'：S△ABC＝1：
是求底面三角形的边长，如何根据已知条件求出AB？ 生：在Rt△SOM中，SM＝l，SO＝h，所以OM可求，又在Rt＝AOM中∠MAO＝ 3O°，故AM可求，即AB可求． 师：从刚才同学的回答中，我们得到启示，联系性质2中两个直角三角的直角三角 形AOM是非常关键的，解题中大家要加以应用．请同学们阅读课本P．62的解题 过程．
师：请同学们注意观察图2-9到图2-11，它们的各个面有什么特点？
生1：有一个面是多边形，其余各面都是三角形．
生2：(补充)三角形的面有一个公共点．
师：棱锥的特点是：有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三 角形．
下面请一位同学来说说什么是棱锥．
生：有一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角形，由这 些面所围成的几何体叫做棱锥．(注意纠正学生的表达．)