【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练37含答案
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练30含答案
题组层级快练 (三十 )1．对于非零向量a，b，“a＋b＝ 0”是“a∥b”的 ()A ．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不用要条件答案A剖析若 a＋b＝0，则 a＝－ b，因此 a∥b；若 a∥b，则 a＝λb，a＋b＝0不用然成立，故前者是后者的充分不用要条件．2．设a是任向来量，e是单位向量，且a∥e，则以下表示形式中正确的选项是 () aA ．e＝|a|B．a＝ |a|eC．a＝－ |a|e D．a＝±|a|e答案D剖析对于 A ，当a＝ 0 时，a没有意义，错误；|a|对于 B， C， D 当a＝0 时，选项 B， C，D 都对；当 a≠0时，由 a∥e 可知， a 与 e 同向或反向，选 D.→→→3．(2015 北·京东城期中 )已知 ABCD 为平行四边形，若向量AB＝a， AC＝b，则向量 BD 为()A ．a－b B．a＋bC．b－ 2a D．－a－b答案C→ →→4.以下列图，在正六边形ABCDEF 中， BA＋ CD ＋ EF＝ ()→A ． 0 B.BE→→C.ADD.CF答案D→→→→→→→→→剖析由于 BA＝DE ，故 BA＋ CD＋ EF＝ CD ＋ DE＋EF ＝CF .5．(2015 广·东惠州二中模拟)已知点 O， A， B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，→→→3OA－OB且 OP＝，则()2A．点 P 在线段 AB 上B．点 P 在线段 AB 的反向延长线上C．点D．点答案剖析P 在线段 AB 的延长线上P 不在直线 AB 上B→→ →3→1→ →1→→→1→ →→→3OA－ OB1 OP2＝2OA－2OB ＝ OA＋2(OA－ OB)＝ OA＋2BA，即 OP－ OA ＝ AP＝2＝→BA，因此点P 在线段 AB 的反向延长线上，应选 B.→→6．在△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 均分∠ ACB.若CB＝a，CA ＝b， |a|＝ 1， |b|＝ 2，则→CD＝ ()1221A. 3a＋3bB.3a＋3b3443C.5a＋5bD.5a＋5b答案B剖析由内角均分线定理，得|CA| |AD |→→→→2→→2→→|CB|＝|DB |＝2.∴CD ＝ CA＋ AD＝CA＋3AB＝CA＋3(CB－ CA)＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b.故B正确．→→7．已知向量i与j不共线，且 AB＝i＋ m j，AD ＝n i＋j，若 A， B，D 三点共线，则实数m，n 应该满足的条件是 ()A ． m＋ n＝ 1B． m＋n＝－ 1C． mn＝ 1D． mn＝－ 1答案 C→→剖析由 A， B， D 共线可设 AB＝λAD ，于是有i＋ m j＝λ(n i＋j)＝λn i＋λj.又i，j不共线，λn＝ 1，因此即有 mn＝1.λ＝ m，→ →8．O 是平面上必然点， A，B，C 是该平面上不共线的三个点，一动点 P 满足： OP＝OA ＋→→λ(AB＋ AC)，λ∈ (0，＋∞ )，则直线 AP 必然经过△ ABC 的 ()A ．外心B．内心C．重心D．垂心答案C剖析取BC中点M.→→→ →OP＝ OA＋λ(AB ＋AC)，→→→→OP－ OA＝λ(AB ＋AC)，→→AP＝ 2λAD.∴A， P，D 三点共线，∴ AP 必然经过△ ABC 的重心， C 正确．→→→9．在四边形ABCD 中， AB＝a＋ 2b，BC＝－ 4a－b，CD ＝－ 5a－3b，则四边形ABCD 的形状是 ()A ．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对答案C→→→→→剖析由已知 AD＝ AB＋ BC＋ CD＝－ 8a－ 2b＝ 2(－4a－b)＝ 2BC.→ →→→∴AD ∥BC.又 AB与 CD 不平行，∴四边形 ABCD 是梯形．→10．已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A，C)的充要条件是 AP＝→ →λ(AB＋ AD )，则λ的取值范围是 ()A ．λ∈ (0,1)B．λ∈ (－ 1,0)C．λ∈ (0，2D．λ∈ (－2， 0) 2)2答案A剖析以下列图，∵点 P 在对角线 AC 上 (不包括端点 A， C)，→→→→→→→ →∴AP＝λAC＝λ(AB ＋AD)．由 AP 与 AC同向知，λ>0. 又 |AP|<|AC|，→|AP|＝λ<1，∴λ∈(0,1) ．反之亦然．∴→|AC|→→→11．设 A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同样的四点，若A1 A3＝λA1A2(λ∈R)，A1A4→1＋1＝ 2，则称 A3，A4调停切割 A1， A2.已知平面上的点＝μA1 A2(μ∈R )，且C， D 调停切割点λ μA， B，则以下说法正确的选项是()A ． C 可能是线段AB 的中点B． D可能是线段AB 的中点C． C，D可能同时在线段AB 上D．C，D不可以能同时在线段AB的延长线上答案D剖析若 A 成立，则λ＝ 1，而 1＝ 0，不可以能；同理 2 μB 也不可以能；若C 成立，则0<λ<1，且 0<μ<1，1＋ 1>2，与已知矛盾；若λ μC，D同时在线段AB 的延长线上时，λ>1，且μ>1，1＋1λ μ<2，与已知矛盾，故C，D 不可以能同时在线段AB 的延长线上，故 D 正确．12.以下列图，以下结论不正确的选项是________．→33①PQ ＝2a＋2b；→3 3②P T ＝－2a－2b；→31③PS＝2a－2b；→3④PR＝a＋b.2答案②④2→→33剖析由 a＋b＝3PQ，知PQ＝2a＋2b，①正确；由→33→ →PT＝2a－2b，从而②错误；PS＝PT＋→ 3 1→ → 3 1b，故PS＝2a－2b，③正确；PR＝PT＋2b＝2a＋2b，④错误．故正确的为①③.→ →13.以下列图，已知∠B＝ 30°，∠ AOB＝ 90°，点 C 在 AB 上， OC⊥AB，用 OA和 OB来表示→→向量 OC，则 OC等于 ________．答案剖析3→1→4OA＋ OB4→→→→1→→1→→ 3→1→OC＝ OA＋ AC＝ OA＋4AB＝ OA＋4(OB－ OA)＝4OA＋4OB.→→→14．设a和b是两个不共线的向量，若AB＝ 2a＋k b， CB＝a＋b， CD＝ 2a－b，且 A， B，D 三点共线，则实数 k 的值等于 ________．答案－ 4→ →→→ → →剖析∵A， B，D 三点共线，∴ AB∥BD .∵AB＝ 2a＋ k b， BD＝ BC＋ CD ＝a－ 2b，∴k＝－ 4.故填－ 4.→→→15．已知 O 为△ ABC 内一点，且 OA＋ OC＋ 2OB＝ 0，则△ AOC 与△ ABC 的面积之比是________．答案1∶ 2剖析以下列图，取 AC 中点 D.→→→∴OA＋OC＝ 2OD.→→∴OD＝ BO.∴O 为 BD 中点，∴面积比为高之比．16．已知向量a＝ 2e1－ 3e2，b＝ 2e1＋ 3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－ 9e2.问可否存在这样的实数λ，μ，使向量 d＝λa＋μb 与 c 共线？答案当λ＝－ 2μ时共线剖析∵d＝λ(2 e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2 λ＋ 2μ)e1＋ (－ 3λ＋ 3μ)e2.要使 d 与 c 共线，则应有实数k，使d＝ k c.即(2 λ＋ 2μ)e1＋ (－ 3λ＋ 3μ)e2＝ 2k e1－ 9k e2.2λ＋ 2μ＝2k，即得λ＝－ 2μ.－ 3λ＋ 3μ＝－ 9k，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－ 2μ，就能使 d 与 c 共线．17．以下列图，已知点G 是△ ABO 的重心．→→→(1)求 GA＋ GB＋GO；→→→→(2)若 PQ 过△ ABO 的重心 G，且 OA＝a，OB＝b， OP＝m a， OQ＝ n b，求证：m 1＋1n＝ 3.→→→答案(1)GA＋ GB＋ GO＝ 0 (2)略剖析(1) 以下列图，延长OG 交 AB 于 M 点，则M 是AB的中点．→→→∴GA＋GB＝ 2GM.∵G 是△ABO 的重心，→→∴GO＝－ 2GM .→→→∴GA＋GB＋ GO＝ 0. (2)∵M 是 AB 边的中点，→ 1 →→1∴OM ＝2(OA ＋ OB)＝2(a＋b)．→ 2→1又∵G 是△ABO 的重心，∴ OG＝3OM＝3(a＋b)．→→→111∴PG＝OG－ OP＝3(a＋b) －m a＝(3－ m)a＋3b.→→→而PQ ＝OQ － OP＝ n b－ m a，∵P， G， Q 三点共线，→→∴有且只有一个实数λ，使得PG＝λPQ.∴(1－m)a＋1 ＝λn－λm 33bba.∴(1－m＋λm)a＋ (1－λn)b＝0.3313－ m＋λm＝ 0，1 ＋1＝ 3.∵a 与 b 不共线，∴消去λ，得1m n3－λn＝ 0.。
2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练29Word版含答案
题组层级快练(二十九)1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1 千米 B ．2sin10° 千米 C ．2cos10° 千米 D ．cos20° 千米 答案 C解析 由题意知DC ＝BC ＝1，∠BCD ＝160°， ∴BD 2＝DC 2＋CB 2－2DC ·CB ·cos160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°) ＝2＋2cos20°＝4cos 210°. ∴BD ＝2cos10°.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )A ．5 海里/时B ．5 3 海里/时C ．10 海里/时D ．10 3 海里/时 答案 C解析 如图，A ，B 为灯塔，船从O 航行到O ′，OO ′BO ＝tan30°，OO ′AO＝tan15°，∴BO ＝3OO ′，AO ＝(2＋3)OO ′.∵AO －BO ＝AB ＝10，∴OO ′·[(2＋3)－3]＝10. ∴OO ′＝5.∴船的速度为512＝10海里/时．4．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B ，C 间的距离为( )A.16B.17C.18D.19解析∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝19.5．某人在地上画了一个角∠BDA＝60°，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为()A．14米B．15米C．16米D．17米答案 C解析如图，设DN＝x米，则142＝102＋x2－2×10×x cos60°，∴x2－10x－96＝0.∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16或x＝－6(舍去)．∴N与D之间的距离为16米．6.如图所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是()A．10米B．10 2 米C．10 3 米D．10 6 米答案 D解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，∵BCsin45°＝CDsin30°，∴BC＝CD sin45°sin30°＝10 2.在Rt△ABC中，tan60°＝ABBC，∴AB＝BC tan60°＝10 6 米．7．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m解析 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.8．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.答案 30 2解析 如图所示，依题意有：AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理，得60sin45°＝BM sin30°.解得BM ＝302(km)．9．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．答案 0.6解析 在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°， CD ＝106，由正弦定理，得BC ＝CD sin45°sin30°＝20 3.在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin60°＝203×32＝30(米)． 所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒)．10．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？答案 缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船思路 本例考查正弦、余弦定量的建模应用．如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC 中求出BC ，再在△BCD 中求∠BCD .解析 设缉私船用t h 在D 处追上走私船， 则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝ 6.且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22.∴∠ABC ＝45°.∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．11.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414)答案 (1)7米 (2)小李的设计建造费用低，86 600元 解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理，得 cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5.①在△ABD 中，由余弦定理，得 cos D ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D ，得cos C ＝cos D . ∴AB ＝7，∴AB 长为7米．(2)小李的设计建造费用较低，理由如下： S △ABD ＝12AB ·BD ·sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C .∵AD ·BD >AC ·BC ，∴S △ABD >S △ABC . 故选择△ABC 建造环境标志费用较低．∵AD ＝BD ＝AB ＝7，∴△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°.∴S △ABC ＝103＝10×1.732＝17.32.∴总造价为5 000×17.32＝86 600(元)．12．(2015·盐城一模)如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?答案 当设计∠AMN ＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小 解析 设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AM sin (120°－θ).因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)． 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3. 所以设计∠AMN ＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小．1.为了测量两山顶M ，N 之间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量．A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如图所示)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．解析 方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1，B 点到M ，N 的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理，得AM＝d sinα2sin(α1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理，得AN＝d sinβ2sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理，得MN＝AM2＋AN2－2AM×AN cos(α1－β1).方案二：①需要测量的数据有：A到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理，得BM＝d sinα1sin(α1＋α2)；第二步：计算BN.由正弦定理，得BN＝d sinβ1sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理，得MN＝BM2＋BN2＋2BM×BN cos(β2＋α2).2．要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．答案40米解析如图设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°.即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米．。
高考调研数学答案2016
高考调研数学答案2016【篇一：【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练82】>(第二次作业)3273a．0 c．2 答案 c111263111111532333692．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次实验成功，则在30次实验中成功次数x的均值是( )55a. 650 3答案 c114555解析至少有一枚5点或一枚6点的概率为1－(1－)(1－)＝1.∴x～b(30)，∴e(x)＝30339999＝5033．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )1a.481 12答案d解析设投篮得分为随机变量x，则x的分布列为6当且仅当3a＝2b时，等号成立．4．设等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，则d＝________.12416403d．10 b．1 d．31答案 2解析 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的均值为 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7a4，则7?a1－a4?2＋?a2－a4?2＋?＋?a7－a4?2711＝4d2＝1，d＝225．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．1答案 252p＋1－p22126．某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶211段，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为，334(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；答案 (1) (2)99解析(1)记“该选手通过初赛”为事件a，“该选手通过复赛”为事件b，“该选手通过决赛”为事211件c，则p(a)p(b)＝，p(c)＝.33421433214339212399953111211212.1515515338．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量x(单位：mm)对工期的影响如下表：求： (1)工期延误天数y的均值与方差；(2)在降水量x至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 6答案 (1)均值为3，方差为9.8 7解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有：p(x300)＝0.3，p(300≤x700)＝p(x700)－p(x300)＝0.7－0.3＝0.4，p(700≤x900)＝p(x900)－p(x700)＝0.9－0.7＝0.2，p(x≥900)＝1－p(x900)＝1－0.9＝0.1. 所以y的分布列为(2)由概率的加法公式，得p(x≥300)＝1－p(x300)＝0.7. 又p(300≤x900)＝p(x900)－p(x300)＝0.9－0.3＝0.6，由条件概率，得p(y≤6|x≥300)＝p(x900|x≥300)＝p?300≤x900?0.66＝. 0.77p?x≥300?6故在降水量x至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 79．为提高学生学习语文的兴趣，某地区举办了中学生“汉语听写比赛”．比赛成绩只有90分，70分，60分，40分，30分五种，将本次比赛的成绩分为a，b，c，d，e五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：(1)1人，其成绩等级为“a或b”的概率；(2)根据(1)的结论，若从该地区参加“汉语听写比赛”的学生(参赛人数很多)中任选3人，记x表示抽到成绩等级为“a或b”的学生人数，求x的分布列及数学期望e(x)．1答案 (1) (2)1346解析 (1)根据统计数据可知，从这30名学生中任选1人，其成绩等级为“a或b”的频率为＝3030101. 3031故从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取1人，其成绩等级为“a或b”的概率约为3(2)由已知得，随机变量x的可能取值为0,1,2,3， 10238故随机变量x的分布列为279927讲评新课标高考的数学试题对概率与统计内容的考查已经悄然发生了变化，其侧重点由以往的概率及概率分布列的问题，变为统计与概率及分布列知识的综合，包括统计案例分析．书．现某人参加这个选修课的考试，他a级考试成绩合格的概率为，b级考试合格的概率为.假设各级考32试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；答案 (1)33解析设“a级第一次考试合格”为事件a1，“a级补考合格”为事件a2；“b级第一次考试合格”为事件b1，“b级补考合格”为事件b2.(1)不需要补考就获得合格证书的事件为a1b1，注意到a1与b1相互独立， 2113231故该考生不需要补考就获得该选修课的合格证书的概率为3即该考生参加考试的次数的期望为3【篇二：2016届浙江省高三调研考试数学(理)试题】>数学(理科)姓名______________ 准考证号______________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮温习题组层级快练15含答案
题组层级快练(十五)1．y ＝ln(－x )的导函数为( ) A ．y ′＝－1xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln(x )D ．y ′＝－ln(－x )答案 B2．若曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1)答案 C解析 y ′＝3x 2，∴3x 2＝3.∴x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.3．已知函数y ＝x ln x ，则那个函数在点x ＝1处的切线方程是( ) A ．y ＝2x －2 B ．y ＝2x ＋2 C ．y ＝x －1 D ．y ＝x ＋1 答案 C解析 ∵y ′＝ln x ＋1，∴x ＝1时，y ′|x ＝1＝1. ∵x ＝1时，y ＝0，∴切线方程为y ＝x －1.4．(2015·济宁模拟)已知f (x )＝x (2 014＋ln x )，f ′(x 0)＝2 015，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln2 D ．e 答案 B解析 由题意可知f ′(x )＝2 014＋ln x ＋x ·1x ＝2 015＋ln x .由f ′(x 0)＝2 015，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.5．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 知足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.6．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的极点在第四象限，则函数f ′(x )的图像是( )答案 A解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b2＞0，4c －b24＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，b 2＞4c .又f ′(x )＝2x ＋b ，∴f ′(x )的图像为A.7．f (x )与g (x )是概念在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )知足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )知足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数 答案 C8．若P 为曲线y ＝ln x 上一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上一动点，则|PQ |min ＝( ) A ．0 B.22C. 2 D ．2答案 C解析 如图所示，直线l 与y ＝ln x 相切且与y ＝x ＋1平行时，切点P 到直线y ＝x ＋1的距离|PQ |即为所求最小值．(ln x )′＝1x ，令1x ＝1，得x ＝1.故P (1,0)．故|PQ |min ＝22＝ 2.故选C.9．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12C ．－22 D.22答案 B解析 ∵y ′＝1(sin x ＋cos x )2·[cos x (sin x ＋cos x )－sin x ·(cos x －sin x )]＝1(sin x ＋cos x )2，∴y ′|x ＝π4＝12，∴k ＝y ′|x ＝π4＝12. 10．(2015·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x (－12≤x ≤12)图像上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6 B.3π4 C.π4 D.π6答案 B解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，又∵tan α<0，所以α的最小值为3π4，故选B.11．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)12．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，所以f (π4)的值为________．答案 1解析 因为f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，所以f ′(π4)＝－f ′(π4)sin π4＋cos π4，所以f ′(π4)＝2－1.故f (π4)＝f ′(π4)cos π4＋sin π4＝1.13．(2013·江西文)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线通过坐标原点，则α＝________.答案 2解析 由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2. 14．(2015·广东肇庆一模)曲线f (x )＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为________．答案 2x ＋y ＋1＝0解析 按照题意可知切点坐标为(0，－1)，f ′(x )＝(x －1)(e x )′－e x (x －1)′(x －1)2＝(x －2)e x(x －1)2，故切线的斜率为k ＝f ′(0)＝(0－2)e 0(0－1)2＝－2，则直线的方程为y －(－1)＝(－2)(x －0)⇒2x ＋y ＋1＝0，故填2x ＋y ＋1＝0.15．(2015·河北邯郸二模)曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．答案 12log 2e解析 ∵y ′＝1x ln2，∴k ＝1ln2.∴切线方程为y ＝1ln2(x －1)．∴三角形面积为S △＝12×1×1ln2＝12ln2＝12log 2e.16．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上的一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好于坐标原点，则实数c 的值为________．答案 4解析 ∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4.17．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)若是曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案 (1)y ＝13x －32 (2)切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14解析 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率为k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4.∴x 0＝±1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.18．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．答案 (1)f (x )＝x －3x(2)定值为6解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1．若曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线是直线y ＝12x ＋b ，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln2＋1C ．ln2－1D ．ln2答案 C解析 ∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，∴1x ＝12，解得x ＝2.∴切点为(2，ln2)．将其代入直线y＝12x ＋b ，得b ＝ln2－1. 2．下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)＝( )A.13 B ．－13C.73 D ．－13或53答案 B解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝(x ＋a )2－1，∴y ＝f ′(x )是开口向上，以x ＝－a 为对称轴，(－a ，－1)为极点的抛物线． ∴(3)是对应y ＝f ′(x )的图像．∵由图像知f ′(0)＝0，对称轴x ＝－a >0， ∴a 2－1＝0，a <0，∴a ＝－1. ∴y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋1.∴f (－1)＝－13，选B.3．y ＝x 2sin x 2cos x2的导数为________．答案 y ′＝x sin x ＋12x 2cos x .。
2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练37Word版含答案
题组层级快练(三十七)1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C2．在等比数列{a n }中，若公比q ＝2，S 4＝1，则S 8的值为( ) A ．15 B ．17 C ．19 D ．21答案 B3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．－1 D ．1答案 A解析 方法一：列方程求出首项和公比，过程略； 方法二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q .4．(2015·安徽芜湖五联考)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案 C解析 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，②②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝3. 整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.5．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 B解析 由a n a n ＋1＝16n ，得a n ＋1·a n ＋2＝16n ＋1.两式相除得，a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝16n ＋116n ＝16，∴q 2＝16.∵a n a n ＋1＝16n ，可知公比为正数，∴q ＝4.6．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5答案 C解析 因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12.a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.7．(2015·河北唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( ) A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1答案 D解析 ∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54.②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2. ∴a n ＝2×(12)n －1＝42n .∴S n ＝2×[1－(12)n ]1－12＝4(1－12n )．∴S na n ＝4(1－12n )42n＝2n －1，选D. 8．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2答案 B 解析 因为a 3·a 9＝2a 25，则由等比数列的性质有：a 3·a 9＝a 26＝2a 25，所以a 26a 25＝2，即(a 6a 5)2＝q 2＝2.因为公比为正数，故q ＝ 2.又因为a 2＝1，所以a 1＝a 2q ＝12＝22.9．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7答案 D解析 设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q 3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，a 10＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7. 10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A.12B ．－12C ．1或－12D ．1或12答案 C解析 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，符合题意；当q ≠1时，由题可得⎩⎨⎧a 3＝a 1q 2＝32，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝92，解得q ＝－12.故q ＝1或q ＝－12.11．(2015·浙江湖州一模)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝( )A ．－8B ．5C ．8D ．15答案 B解析 ∵在等比数列{a n }中，8a 2－a 5＝0，∴公比q ＝2.∴S 4S 2＝a 1(1－24)1－2a 1(1－22)1－2＝5，故选B.12．(2015·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为( )A.158或4 B.4027或4C.4017D.158答案 C解析 设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列{1a n }的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. 答案 －2解析 由S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2.14．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.答案 －2,2n －1－12解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.15．(2014·广东理)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析 因为{a n }为等比数列，所以由已知可得a 10a 11＝a 9a 12＝a 1a 20＝e 5. 于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2a 3…a 20)． 而a 1a 2a 3…a 20＝(a 1a 20)10＝(e 5)10＝e 50， 因此ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝lne 50＝50.16．(2015·广州综合测试)已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，且数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，则常数p ＝________.答案 2或3解析 由数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，得(c 3－pc 2)2＝(c 2－pc 1)(c 4－pc 3)，即(35－13p )2＝(13－5p )(97－35p )．解得p ＝2或p ＝3.17．已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．答案 略证明 由已知得2a 1q 6＝a 1＋a 1q 3，即2q 6－q 3－1＝0，得q 3＝1或q 3＝－12.当q 3＝1即q ＝1，{a n }为常数列，S 62S 3＝S 12－S 6S 6命题成立．当q 3＝－12时，S 62S 3＝1－q 62(1－q 3)＝14. S 12－S 6S 6＝1－q 121－q 6－1＝14.∴命题成立． 18．(2015·山西大同质检)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．答案 (1)b n ＝5×2n －3 (2)略解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1×22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54×2n －1＝5×2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5×2n －2－54，即S n ＋54＝5×2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5×2n －15×2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，以2为公比的等比数列．1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12答案 C解析 a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝q ·q 2·q 3·q 4＝q 10＝a 1q 10，所以m ＝11. 2．在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20a 10等于( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．－1或3答案 A解析 由a 2a 6＝16，得a 24＝16⇒a 4＝±4.又a 4＋a 8＝8，可得a 4(1＋q 4)＝8，∵q 4>0，∴a 4＝4.∴q 2＝1，a 20a 10＝q 10＝1.3．(2015·浙江金丽衢十二校二联)在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析 由题意可得q 3＝8，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝84.4．(2015·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m＋1＝21，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m －1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.5．(2013·江西理)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列，知(3x ＋3)2＝x ·(6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.6．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.答案 4n －1解析 由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以通项公式为a n ＝4n －1.。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练69含答案
【⾼考调研】2016届⾼三理科数学⼀轮复习题组层级快练69含答案题组层级快练(六⼗九)1．到两定点A (0,0)，B (3,4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．AB 所在的直线 C ．线段AB D ．⽆轨迹答案 C解析∵|AB |＝5，∴到A ，B 两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB .2．若点P 到点F (0,2)的距离⽐它到直线y ＋4＝0的距离⼩2，则P 的轨迹⽅程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y 答案 C解析由题意知P 到F (0,2)的距离⽐它到y ＋4＝0的距离⼩2，因此P 到F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹⽅程为x 2＝8y .3．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹⽅程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3) C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析∵|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，∴|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.∴点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．⼜B 是三⾓形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹⽅程为x 24＋y 23＝1，且y ≠0.4．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答案 D解析连接MF ，由中垂线性质，知|MB |＝|MF |.即M 到定点F 的距离与它到直线x ＝－1距离相等．∴点M 的轨迹是抛物线．∴D 正确．5．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( )A ．双曲线B ．⼀个圆C ．两个圆D ．两条抛物线答案 C解析由|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得到|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是两个圆．6．经过抛物线y 2＝2px 焦点的弦的中点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．直线答案 A解析点差法 k AB ＝2p y 1＋y 2＝2p 2y＝k MF ＝yx －p 2化简得抛物线．7．(2015·北京朝阳上学期期末)已知正⽅形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且|OD |＝|BE |，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹⽅程是( )A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)C ．y ＝x 2(0≤x ≤1)D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1) 答案 A解析设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的⽅程为x ＋yλ＝1(0≤x ≤1)，线段OE 的⽅程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联⽴⽅程组x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝(1－λ)x ，0≤x ≤1，(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹⽅程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)，故A 正确．8．(2015·衡⽔调研卷)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)实轴的两个顶点为A ，B ，点P 为双曲线M 上除A ，B 外的⼀个动点，若QA ⊥P A 且QB ⊥PB ，则动点Q 的运动轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 C解析 A (－a,0)，B (a,0)，设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a ，k AQ ＝yx ＋a ，k BQ＝y x －a ，由QA ⊥P A 且QB ⊥PB ，得k AP k AQ ＝y 0x 0＋a ·y x ＋a ＝－1，k BP k BQ ＝y 0x 0－a ·y x －a＝－1.两式相乘即得轨迹为双曲线．9．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满⾜AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹⽅程________．答案 x 2＋14y 2＝1解析设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9.⼜C (x ，y )，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )．即x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ，即?a ＝3x ，b ＝32y ，代⼊a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋14y 2＝1.10．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平⾏四边形MONP ，则点P 的轨迹⽅程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析设直线⽅程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由?y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，联⽴得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.y ＝y 1＋y 2＝4kk2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．11．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹⽅程为________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析⽅法⼀：直接法．设A (x ，y )，y ≠0，则D (x 2，y2)．∴|CD |＝(x 2－5)2＋y 24＝3. 化简，得(x －10)2＋y 2＝36.由于A ，B ，C 三点构成三⾓形，所以A 不能落在x 轴上，即y ≠0. ⽅法⼆：定义法．如图，设A (x ，y )，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E .∵|CD |＝3，∴|AE |＝6，则E (10,0)，∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆⼼，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36.⼜A ，B ，C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0，故A 点轨迹⽅程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．12．已知抛物线y 2＝nx (n <0)与双曲线x 28－y 2m＝1有⼀个相同的焦点，则动点(m ，n )的轨迹⽅程是________．答案 n 2＝16(m ＋8)(n <0)解析抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n4)2，n <0，即n 2＝16(m ＋8)(n <0)．13.如图所⽰，直⾓三⾓形ABC 的顶点坐标A (－2,0)，直⾓顶点B (0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线⽅程；(2)M 为直⾓三⾓形ABC 外接圆的圆⼼，求圆M 的⽅程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆⼼N 的轨迹⽅程．答案 (1)y ＝22x －22 (2)(x －1)2＋y 2＝9 (3)49x 2＋45y 2＝1 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ，∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C (4,0)．∴圆⼼M (1,0)．⼜∵|AM |＝3，∴外接圆的⽅程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P (－1,0)，M (1,0)，∵圆N 过点P (－1,0)，∴PN 是该圆的半径．⼜∵动圆N 与圆M 内切，∴|MN |＝3－|PN |，即|MN |＋|PN |＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆．∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54. ∴轨迹⽅程为49x 2＋45y 2＝1.14．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的⽅程； (2)讨论轨迹C 的形状．答案 (1)x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1) (2)略解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ. 整理，得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中⼼在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1<λ<0时，轨迹C 为中⼼在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆⼼，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)；④当λ<－1时，轨迹C 为中⼼在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 15．(2014·福建⽂)已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离⽐它到直线y ＝－3的距离⼩2. (1)求曲线Γ的⽅程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发⽣变化？证明你的结论．答案 (1)x 2＝4y (2)线段AB 长度不变，证明略思路 (1)由题意判断曲线是抛物线，⽤定义求曲线⽅程；(2)先求出切线⽅程，联⽴⽅程得出A ，M 的坐标，⽤勾股定理表⽰AB 的长度．解析⽅法⼀：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意⼀点，依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的⽅程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的⽅程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20.由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0.所以切线l 的⽅程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由 y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A 12x 0，0. 由y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M 12x 0＋6x 0，3. ⼜N (0,3)，所以圆⼼C14x 0＋3x 0，3，半径r ＝12|MN |＝14x 0＋3x 0. ∴|AB |＝|AC |2－r 2 ＝12x 0－14x 0＋3x 02＋32－14x 0＋3x 02＝ 6. 所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．⽅法⼆：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意⼀点，则|y －(－3)|－(x －0)2＋(y －1)2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上⽅，所以y >－3. 所以(x －0)2＋(y －1)2＝y ＋1. 化简，得曲线Γ的⽅程为x 2＝4y . (2)同⽅法⼀．16．(2014·湖北)在平⾯直⾓坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离⽐它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的⽅程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有⼀个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．答案 (1)y 2＝?4x ，x ≥0，0，x <0. (2)略思路 (1)根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列⽅程求解轨迹⽅程，注意分x ≥0，x <0两种情况讨论，最后写成分段函数的形式；(2)先求出直线l 的⽅程，然后联⽴直线l 与抛物线的⽅程，消去x ，得到关于y 的⽅程，分k ＝0，k ≠0两种情况讨论；当k ≠0时，设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)进⽽按Δ，x 0与0的⼤⼩关系再分情况讨论．解析 (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1. 化简整理，得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的⽅程为y 2＝?4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的⽅程为y －1＝k (x ＋2)．由⽅程组?y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0. ①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代⼊轨迹C 的⽅程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有⼀个公共点14，1. 当k ≠0时，⽅程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③若?Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1，或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有⼀个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有⼀个公共点．若 Δ＝0，x 0<0，或Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈－1，12，或－12≤k <0.即当k ∈?－1，12时，直线l 与C 1只有⼀个公共点，与C 2有⼀个公共点．当k ∈－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈－12，0∪?－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．若Δ>0，x 0<0，由②③解得－12.即当k ∈－1，－12∪0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有⼀个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈(－∞，－1)∪12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有⼀个公共点；当k ∈－12，0∪?－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈?－1，－12∪0，12时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练34含答案
题组层级快练(三十四)1．若(x ＋i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝( ) A ．±1 B ．2 C ．－1 D ．1答案 A解析 (x ＋i)2＝x 2－1＋2x i ，因为(x ＋i)2是纯虚数，所以x ＝±1. 2．(2014·湖北)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i答案 A解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1，选A.3．(2014·辽宁)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i答案 A解析 利用方程思想求解复数并化简．由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.4．(2015·皖北协作区联考)已知集合A ＝{1,2z 2，z i}，B ＝{2,4}，i 为虚数单位，若A ∩B ＝{2}，则纯虚数z 为( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i答案 D解析 ∵A ∩B ＝{2}，且z 为纯虚数，∴z i ＝2，∴z ＝－2i ，故选D.5．(2014·江西理)z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i 答案 D6．(2014·安徽理)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i答案 C解析 先根据z 求出z 及zi，结合复数的运算法则求解．∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋ii＝1－i.∴zi＋i·z ＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C. 7．若复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于( )A. 2B.23 C ．－23D ．2答案 C 解析2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2－2b －(4＋b )i5，由题意得2－2b 5－4＋b 5＝0，得b ＝－23.8．在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3(i 是虚数单位)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 因为π2<3<π，所以cos3<0，sin3>0，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数z ＝cos3＋isin3对应的点位于第二象限．9．(2015·吉林普通高中期末联考)设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z1＋i ＝2－i 成立，则点P (a ，b )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 z ＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ，对应的点在第一象限．10．已知复数z ＝(tan θ－3)i －1i ，则“θ＝π3”是“z 是纯虚数”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当θ＝π3时，z 是纯虚数；反之不成立．故“θ＝π3”是“z 是纯虚数”的充分不必要条件．11.(2015·湖北黄冈期末)复数z 1，z 2在复平面内分别对应点A ，B ，z 1＝3＋4i ，将点A 绕原点O 逆时针旋转90°得到点B ，则z －2＝( )A ．3－4iB ．－4－3iC ．－4＋3iD ．－3－4i答案 B解析 由题意知A (3,4)，B (－4,3)，即z 2＝－4＋3i ，z －2＝－4－3i.12．(2015·湖北武汉调研)复数m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 因为m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，设复数m (3＋i)－(2＋i)所对应的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －2，y ＝m －1.消去m ，得x －3y －1＝0.因为直线x －3y －1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.13．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |答案 D 解析 |z |＝x 2＋y 2≤x 2＋2|xy |＋y 2＝(|x |＋|y |)2＝|x |＋|y |，D 正确，易知A ，B ，C 错误．14．i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 015的值是________． 答案 －1解析 原式＝i (1－i 2 015)1－i ＝i (1－i 3)1－i ＝i (1＋i )1－i＝i·i ＝－1.15．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.答案 2 2解析 由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB →|＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2.16．(2015·山东青岛一模)已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 答案 1解析 因为a ＋2i i ＝b ＋i ，所以2－a i ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a＋b ＝1.17．(2015·福建厦门质检)若复数z 满足(1＋2i)z ＝|3＋4i|(i 为虚数单位)，则复数z 等于________．答案 1－2i解析 ∵(1＋2i)z ＝|3＋4i|＝5，∴z ＝51＋2i ＝5(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－2i.18．i 是虚数单位，(21－i )2 014＋(1＋i 1－i )6＝________.答案 －1－i 解析 原式＝[(21－i )2]1 007＋(1＋i 1－i )6＝(2－2i)1 007＋i 6＝i 1 007＋i 6＝i 4×251＋3＋i 4＋2＝i 3＋i 2＝－1－i.19．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC→＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．答案 5解析 由OC →＝xOA →＋yOB →，得(3－2i)＝x (－1＋2i)＋y (1－i)＝(－x ＋y )＋(2x －y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝3，2x －y ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5. 20．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若 z －1＋z 2是实数，求实数a 的值． 答案 a ＝3解析 z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝(3a ＋5＋21－a )＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z －1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.1．(2014·广东文)对任意复数ω1，ω2，定义ω1]2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1]( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 先理解透新定义，再结合复数的运算性质求解．由题意得(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z 3＝z 1 z 3＋z 2 z 3＝z 1])＝z 1 z 2＋z 1z 3＝(z 1] z 3，而z 1]，故③错误；z 1]，而z 2]，故④不正确，故选B.2．(2014·江苏)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．答案21解析复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.3．(2014·山东文)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－b i，则(a＋b i)2＝() A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3i答案 A解析由a＋i＝2－b i，可得a＝2，b＝－1，则(a＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮温习题组层级快练40含答案
题组层级快练(四十)1．(2014·天津文)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6. ∵S 22＝S 1S 4，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)． ∴4a 21－4a 1＋1＝4a 21－6a 1⇒a 1＝－12.2．在等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 D解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，b 6·b 8＝b 27＝16，故选D.3．已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－2C ．3＋2 2D ．3－22答案 C解析 记等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0， 则有a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，q 2－2q －1＝0，q ＝1± 2. 又q >0，因此q ＝1＋ 2.所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 7q 2＋a 8q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.选C.4．已知{a n }，{b n }均为等差数列，且a 2＝8，a 6＝16，b 2＝4，b 6＝a 6，则由{a n }，{b n }的公共项组成的新数列{c n }的通项公式c n ＝( )A ．3n ＋4B ．6n ＋2C ．6n ＋4D ．2n ＋2答案 C解析 设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2， 则d 1＝a 6－a 26－2＝84＝2，d 2＝b 6－b 26－2＝124＝3. ∴a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2n ＋4，b n ＝b 2＋(n －2)×3＝3n －2.∴数列{a n }为6,8,10,12,14,16,18,20,22，…，数列{b n }为1,4,7,10,13,16,19,22，…. ∴{c n }是以10为首项，以6为公差的等差数列． ∴c n ＝10＋(n －1)×6＝6n ＋4.5．已知数列{a n }，{b n }知足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64答案 D解析 依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1.两式相除，得a n ＋2a n＝2. 所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列． 而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32. 又因为a n ＋a n ＋1＝b n ， 所以b 10＝a 10＋a 11＝64.6．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A.1 C ．3 D ．4答案 A解析 由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316.故a ＋b ＋c ＝1，故选A.7．数列{a n }是等差数列，若a 1，a 3，a 4是等比数列{b n }中的持续三项，则数列{b n }的公比为________．答案 12或1解析 设数列{a n }的公差为d ，由题可知，a 23＝a 1·a 4，可得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，整理得(a 1＋4d )d ＝0，解得d ＝0或a 1＝－4d .当d ＝0时，等比数列{b n }的公比为1；当a 1＝－4d 时，a 1，a 3，a 4别离为－4d ，－2d ，－d ，所以等比数列{b n }的公比为12.8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．答案 13解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，即3q 2－q ＝0.∴q ＝13.9．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是－x ，另一个是x ＋3.设第n 次生成的数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________；若x ＝1，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为T n ，则T 4＝________.答案 2n－1,10解析 由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故S n ＝1－2n1－2＝2n－1.当x ＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1,4，第3次生成的数为1,2；－4,7，第4次生成的数为－1,4；－2，5；4，－1；－7,10.故T 4＝10.10．(2015·吉林实验中学一模)在直角坐标平面内，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22)，P 3(3,23)，…，P n (n,2n)，….若n 为正整数，则向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为________．答案 23(4n－1)解析 P k P k ＋1＝(k ＋1－k,2k ＋1－2k )＝(1,2k)，于是P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为2＋23＋25＋…＋22n －1＝21－4n1－4＝23(4n－1)． 11．在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8.{a n }的前10项和S 10＝55. (1)求a n 和b n ；(2)现别离从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的大体事件，并求这两项的值相等的概率．答案 (1)a n ＝n ，b n ＝2n －1(2)29解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8， 解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)别离从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，取得的大体事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的大体事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.12．(2014·湖北)已知等差数列{a n }知足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是不是存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．答案 (1)a n ＝2或a n ＝4n －2 (2)当a n ＝2时，不存在，当a n ＝4n －2时，存在，n 最小值为41解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )．化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800， 现在不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋4n －2]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)．现在存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在知足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在知足题意的n ，其最小值为41.13．某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a 亩，以后每一年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每一年植树面积都比上一年减少a 亩．(1)求该林场第6年植树的面积；(2)设前n (1≤n ≤10且n ∈N )年林场植树的总面积为S n 亩，求S n 的表达式． 答案 (1)该林场第6年植树的面积为80a 亩 (2)S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32a [32n－1]，1≤n ≤5，n ∈N ，211a ＋166a －nan －52，6≤n ≤10，n ∈N解析 (1)该林场前5年的植树面积别离为16a,24a,36a,54a,81a . ∴该林场第6年植树的面积为80a 亩． (2)设第n 年该林场植树的面积为a n 亩， 则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32n －1×16a ，1≤n ≤5，n ∈N ，86－n a ，6≤n ≤10，n ∈N .∴当1≤n ≤5时，S n ＝16a ＋24a ＋…＋(32)n －1×16a＝16a [1－32n]1－32＝32a [(32)n－1](亩)．当6≤n ≤10时，S n ＝16a ＋24a ＋36a ＋54a ＋81a ＋80a ＋…＋(86－n )a ＝211a ＋80a ＋…＋(86－n )a ＝211a ＋[80a ＋86－n a ]n －52＝211a ＋166a －nan －52(亩)．∴所求S n 的表达式为 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32a [32n－1]，1≤n ≤5，n ∈N ，211a ＋166a －nan －52，6≤n ≤10，n ∈N .14．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n . 答案 (1)a n ＝n ＋1 (2)略 (3)略解析 (1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1. (2)∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴{b n }是以23为首项，以13为公比的等比数列．(3)由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n .∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)] ＝23n ＋1(－2n －1)<0.∴c n ＋1<c n .1．若正项数列{a n }知足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 013，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 013·1010B ．2 013·1011C ．2 014·1010D ．2 014·1011答案 A解析 由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }为公比是10的等比数列．因为(a 2 001＋…＋a 2 010)·q 10＝a 2 011＋…＋a 2 020，所以a 2 011＋…＋a 2 020＝2 013·1010，选A.2．气象局用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起持续利用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，利用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指利用的这台仪器的平均耗资最少)，一共利用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天答案 B解析 由第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，能够得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的值．设一共利用了n 天，则利用n 天的平均耗资为3.2×104＋5＋n ＋4910n2n ＝3.2×104n＋n20＋9920，当且仅当3.2×104n ＝n 20时取得最小值，现在n ＝800，故选B. 3．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了2个伙伴；第二天3只密蜂飞出去，各自找回了2个伙伴，…，若是那个找伙伴的进程继续下去且都能找回2个伙伴，第五天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案 243解析 第一天有1＋2只，第二天有a 2＝3a 1＝9只，第三天有a 3＝3a 2＝27只，……，故第n 天为a n ＝3n ，则a 5＝35＝243只．4．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．答案 10 100解析 由x 2－x <2nx (n ∈N *)，得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝100×2＋2002＝10 100.5．为了增强环保建设，提高社会效益和经济效益，郑州市计划用若干年改换10 000辆燃油型公交车，每改换一辆新车，则淘汰一辆旧车，改换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每一年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每一年比上一年多投入a 辆．(1)求通过n 年，该市被改换的公交车总数S (n )；(2)若该市计划用7年的时刻完成全数改换，求a 的最小值． 答案 (1)S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋nn －12a (2)147解析 (1)设a n ，b n 别离为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量， 依题意知，数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，数列{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列．所以数列{a n }的前n 项和S n ＝128×[1－32n]1－32＝256[(32)n－1]．数列{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n n －12a .所以通过n 年，该市被改换的公交车总数 S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋n n －12a .(2)若用7年的时刻完成全数改换，则S (7)≥10 000，即256×[(32)7－1]＋400×7＋7×62a ≥10 000，即21a ≥3 082，所以a ≥3 08221.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.。
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题组层级快练(三十七)1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C2．在等比数列{a n }中，若公比q ＝2，S 4＝1，则S 8的值为( ) A ．15 B ．17 C ．19 D ．21答案 B3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．－1 D ．1答案 A解析 方法一：列方程求出首项和公比，过程略； 方法二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q .4．(2015·安徽芜湖五联考)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案 C解析 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，②②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.5．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 B解析 由a n a n ＋1＝16n ，得a n ＋1·a n ＋2＝16n ＋1.两式相除得，a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝16n ＋116n ＝16，∴q 2＝16.∵a n a n ＋1＝16n ，可知公比为正数，∴q ＝4.6．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5答案 C解析 因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12.a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.7．(2015·河北唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( ) A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1答案 D解析 ∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54.②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2. ∴a n ＝2×(12)n －1＝42n .∴S n ＝2×[1－(12)n ]1－12＝4(1－12n )．∴S na n ＝4(1－12n )42n＝2n －1，选D. 8．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2答案 B 解析 因为a 3·a 9＝2a 25，则由等比数列的性质有：a 3·a 9＝a 26＝2a 25，所以a 26a 25＝2，即(a 6a 5)2＝q 2＝2.因为公比为正数，故q ＝ 2.又因为a 2＝1，所以a 1＝a 2q ＝12＝22.9．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7答案 D解析 设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q 3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，a 10＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7. 10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A.12B ．－12C ．1或－12D ．1或12答案 C解析 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，符合题意；当q ≠1时，由题可得⎩⎨⎧a 3＝a 1q 2＝32，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝92，解得q ＝－12.故q ＝1或q ＝－12.11．(2015·浙江湖州一模)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝( )A ．－8B ．5C ．8D ．15答案 B解析 ∵在等比数列{a n }中，8a 2－a 5＝0，∴公比q ＝2.∴S 4S 2＝a 1(1－24)1－2a 1(1－22)1－2＝5，故选B.12．(2015·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为( )A.158或4 B.4027或4C.4017D.158答案 C解析 设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列{1a n }的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. 答案 －2解析 由S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2.14．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.答案 －2,2n －1－12解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.15．(2014·广东理)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析 因为{a n }为等比数列，所以由已知可得a 10a 11＝a 9a 12＝a 1a 20＝e 5. 于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2a 3…a 20)． 而a 1a 2a 3…a 20＝(a 1a 20)10＝(e 5)10＝e 50， 因此ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝lne 50＝50.16．(2015·广州综合测试)已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，且数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，则常数p ＝________.答案 2或3解析 由数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，得(c 3－pc 2)2＝(c 2－pc 1)(c 4－pc 3)，即(35－13p )2＝(13－5p )(97－35p )．解得p ＝2或p ＝3.17．已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．答案 略证明 由已知得2a 1q 6＝a 1＋a 1q 3，即2q 6－q 3－1＝0，得q 3＝1或q 3＝－12.当q 3＝1即q ＝1，{a n }为常数列，S 62S 3＝S 12－S 6S 6命题成立．当q 3＝－12时，S 62S 3＝1－q 62(1－q 3)＝14. S 12－S 6S 6＝1－q 121－q 6－1＝14.∴命题成立． 18．(2015·山西大同质检)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．答案 (1)b n ＝5×2n －3 (2)略解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1×22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54×2n －1＝5×2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5×2n －2－54，即S n ＋54＝5×2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5×2n －15×2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，以2为公比的等比数列．1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12答案 C解析 a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝q ·q 2·q 3·q 4＝q 10＝a 1q 10，所以m ＝11. 2．在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20a 10等于( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．－1或3答案 A解析 由a 2a 6＝16，得a 24＝16⇒a 4＝±4.又a 4＋a 8＝8，可得a 4(1＋q 4)＝8，∵q 4>0，∴a 4＝4.∴q 2＝1，a 20a 10＝q 10＝1.3．(2015·浙江金丽衢十二校二联)在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析 由题意可得q 3＝8，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝84.4．(2015·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m＋1＝21，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m －1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.5．(2013·江西理)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列，知(3x ＋3)2＝x ·(6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.6．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.答案 4n －1解析 由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以通项公式为a n ＝4n －1.。