23.1_比例线段(第三课时)
初中数学课件《比例线段》
表示方法
一般使用冒号（:）或者分数形式表示比例。
例子
1:2、3:5、$\frac{4}{7}$
如何求解比例？
1. 交叉乘积法
通过交叉乘积等式求解未知数。
2. 分数的比例关系
根据已知比例的分数关系求解 Biblioteka 知数。3. 比值的乘除关系
根据已知比值的乘除关系求解 未知数。
反比例中，两个量的乘积 保持不变，而正比例中， 两个量成正比。
3 3. 图形特征
反比例关系通常呈现出双 曲线的图形特征，而正比 例关系通常呈现出直线的 图形特征。
如何表示反比例？
1. 使用倒数
利用两个量的倒数之间的关 系表示反比例。
2. 使用分数形式
通过分数形式表示反比例中 的量和关系。
3. 使用符号表示
初中数学课件《比例线段》
欢迎来到初中数学课件《比例线段》。本课件将带您深入了解比例线段的概 念、计算方法和应用场景，希望能让您对这一重要数学概念有更深入的理解。
什么是比例？
在数学中，比例是指两个量或者多个量的相对关系。当两个量之间存在一定的倍数关系时，我们就说它们成比 例。
比例的定义与表示方法
定义
如何判断两个线段是否成比例？
1 1. 使用比例符号
如果两个线段的长度比值相等，我们可以使用比例符号表示它们成比例。
2 2. 比较线段长度
比较两个线段的长度，判断它们是否满足等比例关系。
3 3. 使用比例公式
利用线段的长度比值，可以使用比例公式判断它们是否成比例。
求解比例线段应用举例
举例 1
通过比例线段构造一个等边三角 形。
可以使用符号或字母表示反 比例中的量和关系。
23.1 比例线段
23.1 比例线段讲学稿执笔：李新丰 审核：焦道胜 金峰教学目标1．理解比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项.2．掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例.3．培养学生将比例式看成是关于末知数的方程的观点，利用方程思想来解决问题. 教学重点和难点重点是比例线段的概念及基本性质的应用；难点是应用比例的基本性质进行比例变形.教学过程设计一、复习四个数成比例的有关知识1.四个数a ，b ，c ，d 成比例的定义，比例的项、内项及外项的含义.2.比例的基本性质的内容.二、类比联想、定义比例线段的有关概念 1.复习两条线段的比的有关知识. 投影：如图5-4，矩形ABCD 与矩形A 'B 'C 'D '中，AB=50，CD=25，A 'B '=20，C 'D '=10.求出''''C B B A BC AB 及的值，并回答它们的大小关系. 答：12''''==C B B A BC AB 由此引出比例线段的概念.2.用类比的方法学习比例线段的概念. （1）比例线段的概念.在四条线段中，如果其中两条线段比等于另外两条线段比，那么这两条线段叫做成比例线段，简称比例线段.（2）比例线段的符号表示及有关名称.① 四条线段 a ，b ，c ，d 成比例，记作a :b=c :d .组成比例的项是a ，b ，cd ，其中比例外项为a ，b ，比例内项为b ，c ，d 称为a ，b ，c 的第四比例项. ② 特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同，即a :b=c :d .则线段b 叫a ，c的比例中项.③ （3）教师应强调四条线段才能成比例，而且有顺序关系.如图5-4中，''''BA CB BC AB ≠，即AB ，BC ，B 'C '，A 'B '四条线段不成线段，而AB ，BC ，A 'B ' ,B 'C '四条线段成比例. 三、比例的基本性质的证明及应用教师应指出，将四条线段成比例转化成四条线段的长度成比例，它具有数的成比例的所有性质，本节先学习比例的基本性质对于线段的应用. 1.比例的基本性质的内容及推导.（1） 内容：bc ad d cb a =<=>= （2） 特例：ac b cb b a =<=>=2（3） 说明：①引导学生根据等式的性质从正、反两方面进行证明.②教师强调,它的作用是将等积式与比例式互化,由于线段的长度都是正数,因此由一个等积式可得到八种比例式.2.比例基本性质的应用.应用（1） 判断四条线段是否成比例：将已知四条线段按大小顺序排列，如a >b >c >d ，若最长（a ）和最短（d ）的两条线段长之积等于其余两条线段长（b,c ）之积，则这四条线段a ，b ，c ，d 成比例. 例１ 判断下列四条线段是否成比例.① a=2，b=5,c=15，d=32； ② a=2，b=3, c=2，d=3；③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10.说明：教师示范一个例子，其余请学生来巩固练习. 如第①题排序时，将a 改写成4，d 改写成12 ab ＜b ＜d ＜c ，而ac ＝4×15；bd=5×12，ad=bd ， a ，b ，c ，d 四条线段成比例.答案：②不成比例；③不成比例；④b ，d ，a ，c 四条线段成比例. 应用（2）按要求将等积式改写成比例式.教给学生等积式化比例式的方法.按照分类讨论的思想以及“内项积等于外项积”，同时可写出8个比例式，也可根据需要写出其中某一个比例式，要求学生熟练掌握这种比例变形.〖预习练习〗1． 若互不相等的四条线段的长a,b,c,d 满足a b ＝cd，m 为任意实数，则下列各式中，相等关系一定成立的是（ ） （A ）a ＋mb ＋m ＝c ＋md ＋m （B ）a ＋b b ＝c ＋d c （C ）a c ＝db （D ）a －b a ＋b ＝c －d c ＋d2．如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，则下列等式中不成立的是（ ）（A ） AD ：AB ＝AE ：AC （B ）AD ：DB ＝AE ：EC（C ）AD ：DB ＝DE ：BC （D ）AD ：AB ＝DE ：BC 1． 如图，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ：DF ：FB ＝3：2：1， 则△ADE ，四边形DFGE ，四边形FBCG 的面积比是（ ） （A ）3：2：1（B ）9：4：1（C ）9：16：11（D ）9：25：36 4．已知（－3）：5＝（－2）：（x －1），则x ＝ 5．若x 是3、4、9的第四比例项，则x ＝ ， 又x 是6和y 的比例中项，则y ＝6．已知a b ＝c d ＝e f ＝35 ，b ＋d ＋f ＝50，那么a ＋c ＋e ＝7．如果x y ＝73 ，那么x －y y = ,x ＋y y = , x ＋y x ＋y＝考点训练：1、若3x =x4，则x 等于（ ）(A)12 (B)2 3 (C)- 2 3 (D)±2 3 2、已知y 是3，6，8的第四比例项，则y 等于（ ） (A)4 3 (B)16 (C)12 (D)4 3、若(m+n):n=5:2，则m:n 的值是（ ）(A)5:2 (B)2:3 (C)3:2 (D)2:54、如图，DF ∥AC,DE ∥BC,下列各式中正确的是（ ） (A) AD BD =BF CF (B) AE DE =CE BC (C) AE CE =BD CD (D) AD DE =AB BCADECE(4) (8) 5、把m=abc 写成比例式，且使m 为第四比例项 ;6、若线段a=5cm ，b=10cm,c=4dm,d=2cm,它们是否成比例线段 ;7、已知x y =53，则(x+y):(x-y)= ;8、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AC=7cm,CE=3cm,AB=6cm,则AD= ;9、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC,BD 交于O ，过O 作AD 的平行线交AB于M ，交CD 于N ，若AD=3cm ，BC=5cm,求ON.10、如图，已知平行四边形ABCD 中,G 是DC 延长线上一点，AG 交BD 和BC 于E,F ，求证：AE EF =EGAE解题指导 1、（1）已知a:b:c=2:3:7，且a-b+c=12，求2a+b-3c 的值； （2）已知b+c a =c+a b =a+b c ，求a+bc的值。
九年级数学上册22.1比例线段(第3课时)名师教案(新版)沪科版
第3课时 平行线基本定理教学目标1．理解平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理．2．会利用平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理求一些线段的长．3．了解将已知线段n 等分的方法．教学重难点平行线分线段成比例的几种类型及应用．教学过程导入新课在记录本上任画两条斜线，让这两条斜线与本子上的三条平行线相交，度量这两条斜线被本子上的三条平行线分成的四条线段，它们成比例吗？推进新课一、合作探究【问题1】 如图，过△ABC 的边AB 上任意一点D 作直线DE 平行于BC 交AC 于点E ，分别度量在AB 上截得的两条线段AD 、BD 和在AC 上截得的两条线段AE 、EC 的长度，AD DB 与AE EC相等吗？学生自己画图，再动手测量(要求测量要尽量准确)，看计算AD DB 与AE EC的结果是否大致相等．(结果：大致相等)【问题2】 任意平移DE ，再度量AD ，BD ，AE ，EC 的长度，AD DB 与AE EC 还相等吗？ 度量后回答．(结果仍相等)然后让学生合作探究学习课本上的证明，教师给予指导．【问题3】 如把上面的问题改为：如图，任意画两条直线l 1、l 2，再画三条与l 1、l 2相交的平行线l 3、l 4、l 5，AB BC与DE EF相等吗？让学生试着转化为问题1的类型进行说明．最后师生共同归纳出定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得对应线段成比例．【问题4】 当直线l 1，l 2的位置变化时，如图，直线l 1、l 2分别被三条平行线l 3、l 4、l 5截于点A 、B 、C 和D 、E 、F .问AB BC 与DE EF相等吗？教师引导学生进行证明，引导作出辅助线是关键．证明后得出平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．【问题5】 在问题4中若AB ＝BC ，那么DE 与EF 有何关系？显然AB BC ＝1，又AB BC ＝DE EF ，所以DE EF＝1，故DE ＝EF . 于是得到平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等．二、巩固提高【例】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，写出图形中的比例式，试试你能写出多少个？解：根据平行线分线段成比例定理，有AE EC ＝AD BD ，AD AB ＝AE AC ，AC AE ＝AB AD ，BD AD ＝CE AE等．只要写出的比例式左右对应即可．三、随堂训练已知在∠O 的一边上顺次有A ，B 两点，在另一边上顺次有C ，D 两点，若AC ∥BD ，则正确的是( )．A ．OA OC ＝OB OD B ．OA OC ＝CD AB C ．OB OA ＝OC OD D ．AB OB ＝CD OC本课小结1．平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理．2．利用平行线等分线段定理对线段进行等分、倍分．3．无论是平行线分线段成比例定理，还是平行线等分线段定理，一定至少要有两条平行线．1．对相似多边形的理解两个边数相同的多边形，如果对应角都相等，对应边都成比例，叫做相似形．如果两个多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似．相似具有传递性．因此判断两个边数相同的多边形相似的方法是：首先判断对应边是否成比例，再判断对应角是否相等．两个等边三角形一定相似，两个等腰直角三角形一定相似，两个正方形一定相似，但所有的菱形不一定相似，因为对应角不一定相等．2．相似与全等的联系和区别相似与全等既有联系，又有区别．首先，从它们各自具备的特征来说，(1)它们都具备 “形状相同”的本质特征，对应角都相等．(2)全等形的大小相同，对应边相等；而相似形大小不一定相同，对应边成比例．(3)全等形可以看作是相似形的特殊情况，其相似比k ＝1；反过来，当相似比k ＝1时，两个相似形全等．3．相似符号的起源最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来的，是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以体现．早期人类对几何的兴趣，不只是对圆、三角形、正方形等一系列几何形状的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何知识的运用，几何知识随着人们的实践活动而不断扩展．十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了 “＝”，他在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等，这就是相似符号的起源．4．对“黄金分割”的理解把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比．这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：10.618≈1.618，1－0.6180.618≈0.618. 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．一个很能说明问题的例子是五角星．五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的．正五边形对角线连接后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形．由于五角星的顶角是36°，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin 18°. 黄金分割点是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比约等于0.618∶1.线段上有两个这样的点．利用线段上的两个黄金分割点，可作出正五角星，正五边形．2 000多年前，古希腊雅典学派的欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比．黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”．这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法．其实有关“黄金分割”，我国也有记载．虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度．经考证，欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的．黄金分割(Golden Section)是一种数学上的比例关系．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取3.14一样．黄金矩形(Golden Rectangle)的长、宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的1.618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的帕撒神农庙就是一个很好的例子．达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局．。
2019秋华师大版九年级数学上册课件：第23章 23.1 1.成比例线段
能利用比例的性质求值． 【例 2】已知2xx－－yy＝37，求xy. 【思路分析】根据比例的基本性质得出 x、y 之间的关系，再转化为比例式 即可． 【规范解答】由2xx－－yy＝37，得 7(2x－y)＝3(x－y)，即 11x＝4y.∴xy＝141. 【方法归纳】利用“两内项之积等于两外项之积”，将比例式化成等积式， 再化简整理，最后把等积式变成比例式，从而求出xy的值.
8 5
.
能力点：会利用比例性质求线段长 利用比例性质对已知条件变形，化简求出值． 7．已知 a、b、c 是△ABC 的三边的长，且△ABC 的周长是 60cm，a3＝b4＝5c， 求 a、b、c 的长． 解：∵3a＝b4＝5c，∴a＝35c，b＝54c，∵a＋b＋c＝60，∴35c＋45c＋c＝60，解 得 c＝25，∴a＝15，b＝20.答：略．
8．下列 a、b、c、d 四条线段，不是成比例线段的是( D ) A．a＝2cm，b＝5cm，c＝5cm，d＝12.5cm B．a＝5cm，b＝3cm，c＝5cm，d＝3cm C．a＝30mm，b＝2cm，c＝12mm，d＝0.8cm D．a＝5cm，b＝0.02cm，c＝0.7cm，d＝0.3cm
13．根据图中给出的线段的长度：
(1)求ABBC、CADB、DBCE、CADC； (2)试列举出图中两组成比例的线段(只举出两组即可)． 解：(1)13，21，21，2； (2)CADB＝DBCE，CADB＝CAEC等．
14．如图所示，已知DADB＝EACE，AD＝15，AB＝40，AC＝28.求 AE. 解：∵DADB＝EACE，∴DBA＋DAD＝ECA＋EAE，即AADB＝AACE，∴AE＝28× 4015＝10.5.
15．阅读下面的例题． 已知 a∶b∶c＝4∶3∶2，且 a＋2b－3c＝12.求： (1)a、b、c 的值； (2)3a－2b＋c 的值． 解：(1)∵a∶b∶c＝4∶3∶2，∴a4＝b3＝2c，设4a＝b3＝2c＝k，则 a＝4k，b＝3k， c＝2k，∴a＋2b－3c＝4k＋6k－6k＝4k＝12，∴k＝3，∴a＝12，b＝9，c ＝6； (2)3a－2b＋c＝24. 根据例题做下面的题目：已知△ABC 的三边长为 a、b、c，且(a－c)∶(a＋ b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，试判断△ABC 的形状．
九年级数学上册第23章图形的相似23.1成比例线段23.1.2平行线分线段成比例同步练习华东师大版
23.1.2 平行线分线段成比例知识点 1 平行线分线段成比例1．如图23－1－3，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，根据平行线分线段成比例，可得AB BC ＝()() ，若AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，可得()()＝()()，解得EF ＝________．图23－1－32．如图23－1－4，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD 和BC 上，AB ∥EF ∥DC ，且DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，则FB 的长为( )A.32B.83C ．5D ．6图23－1－43．如图23－1－5，若AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .若AB ＝BC ，则DE 与EF ________(填“相等”或“不相等”)．图23－1－54．如图23－1－6，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上一点，EF ∥BC 交CD 于点F .若AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，则FC ＝________．图23－1－65．如图23－1－7，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .如果AB ＝6，BC ＝10，那么DEDF的值是________．图23－1－76．［教材练习第1题变式］如图23－1－8，直线a ∥b ∥c .(1)若AC ＝6 cm ，EC ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？ (2)若AE ∶EC ＝5∶2，DB ＝5 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？图23－1－8知识点 2 平行线分线段成比例的推论7．［2016·兰州改编］如图23－1－9，在△ABC 中，因为DE ∥BC ，所以AD BD ＝（ ）（ ）.若AD BD ＝23，则AD BD ＝（ ）（ ）＝________．图23－1－98．如图23－1－10，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C ，直线DF 与l 1，l 2，l 3分别交于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝2，GB ＝1，BC ＝5，则DEEF的值为( )A. 12 B ．2 C. 25 D. 35图23－1－109．如图23－1－11，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，则下列比例式不正确的是( )A.ABAD＝ACAEB.ABAC＝ADAEC.ADBD＝AEECD.ABDE＝ACEC图23－1－1110．如图23－1－12，若AB∥DC，AC，BD相交于点E，且AE＝2，EC＝3，BD＝10，则ED ＝________．图23－1－1211．如图23－1－13，在△ABC中，DE∥BC，且DB＝AE.若AB＝5，AC＝10，求AE的长．图23－1－1312．如图23－1－14，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝10，那么BC的长为________．图23－1－1413．如图23－1－15，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝________cm.图23－1－1514. 如图23－1－16，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于点F，则CFAF＝__________．15．如图23－1－17，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝8，求CF的长．图23－1－1716．如图23－1－18，BE平分∠ABC，DE∥BC交AB于点D，AC＝8，AB＝9，CE＝4，求DE的长．图23－1－1817．对于平行线，我们有这样的结论：如图23－1－19①，AB∥CD，AD，BC交于点O，则AODO＝BOCO.请你利用该结论解答下列问题：如图②，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．图23－1－19教师详答1．DE EF 5 10 4 EF 8 2．B [解析] ∵AB ∥EF ∥DC ，∴DE DA ＝CF CB .∵DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，∴35＝4CB ，∴CB ＝203，∴FB ＝CB －CF ＝203－4＝83.故选B.3．相等 [解析] 因为AD ∥BE ∥CF ，所以AB BC ＝DEEF.因为AB ＝BC ，所以DE ＝EF . 4. 214 [解析] 因为AD ∥EF ∥BC ，所以AE EB ＝DF FC .因为AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，所以26＝7－FC FC ，所以FC ＝214. 5 . 38 [解析] ∵AD ∥BE ∥FC ，∴AB BC ＝DE EF.又∵AB ＝6，BC ＝10，∴DE EF ＝35，∴DE DF ＝38.6．解：(1)∵a ∥b ∥c ，∴BD DF ＝ACEC，即8DF ＝64，解得DF ＝163(cm)． 故线段DF 的长度是163 cm.(2)∵a ∥b ∥c ，∴BF DF ＝AE EC ＝52，即5＋DF DF ＝52，解得DF ＝103(cm)． 故线段DF 的长度是103 cm.7．AE EC AE EC 238．D [解析] ∵AG ＝2，GB ＝1，∴AB ＝AG ＋GB ＝3.∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝35.故选D.9．D 10.611．解：∵DE ∥BC ，∴AB DB ＝ACEC，∴5AE ＝1010－AE ，∴AE ＝103. 12． [解析] ∵AB ∥CD ∥EF ，∴BC BE ＝AD AF ，即BC 10＝35，解得BC ＝6.13． 12 [解析] 如图，过点A 作AE BD 于点D .∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴AB BC ＝AD DE ，即4BC ＝26，∴BC ＝12(cm)．14． 2 [解析] 如图，过点D 作∥，交于点G ， 则AF FG ＝AE ED ，FG GC ＝BDDC.又∵E 为AD 的中点，AD 为△ABC 的中线， ∴AE ＝ED ，BD ＝DC ， ∴AF FG ＝AE ED ＝1，FG GC ＝BD DC＝1， ∴AF ＝FG ，FG ＝GC ， ∴CF ＝2AF ，∴CF AF＝2. 15．解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝46＝23. ∵DF ∥AC ，∴AD AB ＝CF BC ＝23，∴CF 8＝23，∴CF ＝163. 16．解：∵DE ∥BC ， ∴AB DB ＝AC CE， ∴9DB ＝84，∴DB ＝92. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE . ∵DE ∥BC ，∴∠CBE ＝∠DEB ， ∴∠ABE ＝∠DEB ，∴DE ＝DB ＝92.17．解：过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E, 则 BD DC ＝ADDE.又∵BD ＝2DC ，AD ＝2, ∴DE ＝1. ∵CE ∥AB ，∴∠AEC ＝∠BAD ＝75°.又∵∠CAD＝30°，∴∠ACE＝75°，∴AC＝AE＝AD＋DE＝3.。
23.1 比例线段(第三课时)
x
2013-7-19
(1)
O –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 –2 L –3 –4 M –5
x
(2)
2
回顾与思考 回顾与思考
从 变化中 的鱼 说起
(2) 如果每个点的横坐标、纵坐标都变成原来的 2倍(如图(2)), 线段CD与HL的比、OA与OF的比、BE与GM的比各是多少? 它们相等吗?
比 例 线 段 的 说起 从 变化中 的鱼定 义
OE AB OM FG
(3) 在图(2)中, 你还能找到比相等的其它线段吗 ?
四条线段a,b,c,d中，如果 a与b的比等于c与d的比, 即 a/b=c/d, 那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段， 简称比例线段.
y
5 4 3 2 1
2 y2 D. x x4
a c e 1 6 5、 已知 , 且a c e 3, 则b d f ____ b d f 2
2013-7-19 11
二、中考题型例析：
题型一：合、等比性质应用
例1 a 2 ，则 若
b
3
2 a ______ 5 ab
例2 bc ac ab 若 k
例 1 如图， (1) 已知 a c 3, 求 a b 和 c d ; b d b d
比例 的 合比性质
(1) a c
b d
ab cd ; b d ab cd . b d
(2) a c b d 可以合写成：
a c ab cd b d b d
特点:分母不变,分子加(或减)分母
5
例题解析
用”设k法”计算新比例
a c a c k ( k为 常 数 ), (2) 如果 b d a b c d 成立吗 ? b d 那么 , b d a c a b c d 成立吗 为什么 (3) 如果 , 那么 ? ? b d b d a 1 31 a b 4 ; 同理 , c d (1) a 3 4 b b b d a c k a b c d ( k 1) ; (2) b d b d a b c d ( k 1) ; (3) a c k b d b d 6 2013-7-19
华师大版九年级数学上册23.1.1 成比例线段(课件)【新版】
得 c 5a . 3 4
3 35
3 ∴原式=
2a 4a 5a 33
a 3 4a
2 4 3
14
5 3
7. 15
3
知2－讲
方法二：设 a b c k, 则a＝3k，b＝4k， 345
c＝5k.
∴原式= 6k 4k 5k 7 . 3k 12k 15
A'B'
B'C '
这样
AB A'B'
与
BC B'C '
之间有什么关系？
知1－讲
1.对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段 的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如 a c
bd
（或a:b=c:d） ，那么，这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段．这里四条线段a，b，c，d是有先后顺 序的． 要点精析： (1)两条线段的长度之比：在同一单位长度下，两条线段 长度的比值叫两条线段的长度之比．
345
a 3b
知2－讲
导引：从分式的角度解答此题：由于分式中a，b，c 的值无法求出，因此需用非常规方法巧解， 先根据已知条件用含一个字母的代数式表示 另外两个字母，然后代入分式中求值；从比 例的角度解决此题：根据条件中多个比值相 等，可设出比值，用比值表示a，b，c，然后 求出分式的值．
解：方法一：由 a b , 得 b 4a . 由 a c ,
4k，然后代入求值．
解法一：由已知得 a 3 b .故：
4
ab ab
3bb 4 3bb
7b 4 1b
7
4 1
7
4
九年级数学上册 23.1 成比例线段 如何判断四条线段成比例素材 (新版)华东师大版
如何判断四条线段成比例我们知道，如果线段a 和b 的比等于线段a 和d 的比，那么，线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段．那么，该如何判断四条线段成比例呢？下面，就给大家简单说明一下．四条线段m 、n 、x 、y 不管各线段排在什么位置，只要满足它们构成的比例式，例如，m ∶n=x ∶y ，那么这四条线段叫做成比例线段．比例式还可以写成另外七种形式：m n =xy ；x m = y n ；n y =m x ；y x = n m ；xy = m n ；y n =x m ；m x =n y ，所以，四条线段只要写成这八个比例式之一，就可以判定它们成比例．由上面八个比例式都可以得到等积式my=nx ，所以四条线段若能写成像前面这样的等积式，也可以判定它们成比例． 另外，还要注意四条线段之间若写出了一个不成比例的关系，例如，n m ≠xy ，我们不能匆忙判定这四条线段不成比例．因为成比例的四条线段有八种排列顺序，而不成比例的排列顺序却有16种，要判定四条线段是否成比例，只要把这四条线段按大小顺序排列好，分别计算前两线段和后两线段的比，若比值相等，就可以判定这四条线段成比例，否则就不成比例；或者分别计算第一、四和第二、三线段的积，等积，则这四条线段成比例，否则就不成比例．例如，线段a 、b 、c 、d 的长度分别为：（1）2cm ，121cm ，541cm ，7cm; (2) 5cm ，32cm ，23cm ，51cm 验证它们可以组成比例线段，并写出它们组成的一个比例．解：（1）先把四条线段的长度按照大小顺序排列起来： b=121cm ，a=2cm ，c=541cm ，d=7cm ，再求第一、二和第三、四两条线段的比： a b =2211=43；d c =7415=43， 所以，a b =d c ，b 、a 、c 、d 是成比例的线段，121∶2=541∶7是所组成的一个比例． （2）先先把四条线段的长度按照大小顺序排列起来： d=51cm ，d =32cm ，c=23cm ，a=5 cm ，再求第一、四和第二、三两条对线段的积： d ·a=51×5=1；b ·c=32×23=1所以，d ·a= b ·c ，可以写成：b d =ac ， 因此，d 、d 、c 、a 为成比例线段，51∶32=23∶5，四所组成的一个比例．。
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a
b
c
则k=________ 2或-1
2013-11-1 12
题型二：比例性质的应用
例3 a 2b 9 ,则a:b=________ 19:13 已知
2a b
5
例4 如果
x yz 9 那么 _______ x yz
2013-11-1 13
x y z 0 2 3 4
CD OA BE 1 HL OF GM 2
y
8 7 6 5 4 3 2 1
F
5 4 3 2 1
O
y A C
H G
B
–1 1 2 3 4 5 6 D –2 E –3
x
2013-11-1
(1)
–1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 –2 L –3 –4 M –5
O
x
(2)
3
回顾与思考 回顾与思考
x
2013-11-1
(1)
O –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 –2 L –3 –4 M –5
x
(2)
2
回顾与思考 回顾与思考
从 变化中 的鱼 说起
(2) 如果每个点的横坐标、纵坐标都变成原来的 2倍(如图(2)), 线段CD与HL的比、OA与OF的比、BE与GM的比各是多少? 它们相等吗?
2013-11-1 7
用用合比性质
例1已知：在下图中的Δ ABC中
求证：1） 2）
2013-11-1
8
超越自己
你能得
2013-11-1
9
想一想
到
比例 的 等比性质
a c e , 那么 a c e a 成立吗? 为什么? b d f bd f b
例 1 如图， (1) 已知 a c 3, 求 a b 和 c d ; b d b d
比例 的 合比性质
(1) a c
b d
ab cd ; b d ab cd . b d
(2) a c b d 可以合写成：
a c ab cd b d b d
特点:分母不变,分子加(或减)分母
推证
（1）
a c b d
a bd c bd b d
ad=bc；
a c . b d
（2） ad=bc
a c b d
ad ÷bd =bc÷ bd
ad=bc； ─比例的基本性质:
2013-11-1
a c . 两内项之积等于两外项之积 ad=bc b d 可以合写成： a c ad bc . b d
3、 已知 3x 4y( x 0), 则下列式子成立的是 B ) (
xy A. 3 4 xy B. 4 3 C. x 3 y 4 D. x 4 3 y
2 y , x 4, 则下列各式不成立的是 ( 4、 已知 C ) x 4
x2 y4 A. x 4 y2 y B. x4 4 2 x y4 C. 2 4
O
y A B C
8 7 6 5 4 3 2 1
F
H
G
–1 1 2 3 4 5 6 D –2 E –3
x
2013-11-1
(1)
–2 1 –3 –4 –5
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 –
x
0
L
4
(2)
M
议一议
比 例 的 基本性质
两条线段的比实际上就是两个数的比. 如果a,b,c,d 四个数满足a/b=c/d, 那么ad=bc 吗？ 反过来，如果ad=bc，那么a/b=c/d 吗？ 与同伴交流。
北 师 大• 八 年 级《 数 学 ( 下 ) 》 课首
23.1
2013-11-1
1
回顾与思考 回顾与思考
从 变化中 的鱼 说起
(1) 线段CD与HL、OA与OF 、BE与GM 的长度 各是多少?
y
8 7 6 5 4 3 2 1
F
5 4 3 2 1
O
y
A C
H G
B
–1 1 2 3 4 5 6 D –2 E –3
5
例题解析
用”设k法”计算新比例
a c a c k ( k为 常 数 ), (2) 如果 b d a b c d 成立吗 ? b d 那么 , b d a c a b c d 成立吗 为什么 (3) 如果 , 那么 ? ? b d b d a 1 31 a b 4 ; 同理 , c d (1) a 3 4 b b b d a c k a b c d ( k 1) ; (2) b d b d a b c d ( k 1) ; (3) a c k b d b d 6 2013-11-1
比 例 线 段 的 说起 从 变化中 的鱼定 义
OE AB OM FG
(3) 在图(2)中, 你还能找到比相等的其它线段吗 ?
四条线段a,b,c,d中，如果 a与b的比等于c与d的比, 即 a/b=c/d, 那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段， 简称比例线段.
y
5 4 3 2 1
题型三：列比例式
例5 已知三个数
1,2, 3 ,请你再添上一个
(只填一个)数,使它们能构成一个比例式,则这
3 2 2 3或 或 个数是_____________. 3 2 3
2013-11-1
14
本节课小结：
通过这节课的学习你有哪些收获？
2013-11-1
15
1、课堂作业:习题 23.1 P63 2、家庭作业:P59 练习
用“设k法”， 设
a c e =k ， b d f
a c m (b d n 0) a c m a b d n b d n b
2013-11-1
10
学以致用──巧用比例性质解题
8 x y 17 x ______; 1、 若 , 则 9 y 9 y 7 2、 若 a 1 , 则 3a b ______; 8 b 4 2b
T1
2013-11-1
16
2013-11-1
17
2 y2 D. x x4
a c e 1 6 5、 已知 , 且a c e 3, 则b d f ____ b d f 2
2013-11-1 11
二、中考题型例析：
题型一：合、等比性质应用
例1 a 2 ，则 若
b
3
2 a ______ 5 ab
例2 bc ac ab 若 k