脉冲系统与脉冲控制综述

脉冲系统与脉冲控制及其应用1 导论在现实世界中，存在许多实际的工程和自然系统，在某些时间区间连续渐变，而又由于某种原因，在某些时刻内会系统状态会遭到突然的改变。

由于变化时间往往非常短，其突变或跳跃过程可以视为在某时刻瞬间发生的。

我们把这种现象称为脉冲现象。

这些系统不能单靠传统的连续系统或单靠离散系统能解决的，可以找到许多具有这种现象的例子，如，生态学中的种群增长[1-3] ，传染病防治[4-6] ，数字通信系统[7-9] ，金融[10] ，经济学中优化控制问题[11] 等等都具有这种脉冲现象。

这种例子在很多领域中也能找到，如，自动控制，计算机网络、供应链系统以及通信系统等等。

这种状态在某些瞬间发生突然变化的系统是不能用单用连续动力系统或者离散动力系统来描述的，这就很很自然的人们就提出了脉冲系统来描述这类具有脉冲现象的动力系统。

一般来说，一个脉冲系统包括三个元素[12] ：（1） 一个连续的常微分系统，控制系统在脉冲或重置事件间的动态行为。

（2） 一个离散的差分系统，在脉冲或重置事件发生的时候，状态瞬间改变的情况。

（3） 一个判据，决定什么时候发生重置事件。

通常连续时间非线性脉冲系统可以描述为()()(),(), , {1,2,}(,), , {1,2,}.k k k x t f x t u t t t k x C t x t t k =≠∈⎧⎪⎨∆==∈⎪⎩ （1） 其中脉冲时间123{,,,}t t t 是一个严格递增的时间序列，n x R ∈为系统状态变量，u 为系统控制输入,()()k k x x t x t +-∆=-。

类似的离散时间脉冲系统可以描述为()(1)(),(), , {1,2,},(1)(,), ,{1,2,},k k k k x t f x t u t t t k x t C t x t t k +=≠∈⎧⎪⎨+==∈⎪⎩（2） 其中t Z +∈，Z +代表非负整数。

2 国内外研究现状脉冲系统的研究最早可以追溯到上世纪60时年代Miliman, VD ，Myshkis, A D[13] 。

近些年来，脉冲系统作为一个非常活跃的研究方向，吸引了一大批来自不同领域的学者进行研究。

其理论日趋成熟，下面从以下几个方面来介绍脉冲系统近几年的研究现状：2.1脉冲系统稳定性研究的现状稳定性是动力系统的一个重要的性质，近几年来，在过去的脉冲系统研究的基础上[12] ，运用Lyapunov 稳定理论与脉冲系统的比较原理，结合现实工程当中的应用，将时间滞后、参数不确定、耗散性无源性、随机等因素被考虑到脉冲系统模型中来，并考虑脉冲系统的输入状态稳定问题， 极大的丰富了经典的脉冲系统稳定性理论。

1）脉冲系统的输入状态稳定研究系统的稳定性问题，一个很重要的方面就是刻画外部输入对系统的影响。

由此，引入了input-to-state stability (ISS) 和 integral-input-to-state stability (iISS)。

2008年 João P. Hespanha , Daniel Liberzon, Andrew R. Teel [14] 在Automatica 上发表了一篇长文，在一般连续系统和切换系统ISS 与iISS 基础上引入了脉冲系统ISS 的概念。

定义 1 假设{}k t 是一个给定序列。

假设存在一个函数KL β∈和K γ∞∈, 使得，对任意初值和每个输入u ，相应的(1)的解全局满足()[]()0000,()(), t t x t x t t t ut t βγ≤-+∀≥ （3） 其中J u 是J 间隔上的上确界范数，我们说脉冲系统（1）是输入状态稳定（ISS ）。

定义2 假设{}k t 是一个给定序列。

假设存在一个函数KL β∈和,K αγ∞∈, 使得，对任意初值和每个输入u ，相应的(1)的解全局满足()()()00000[,]()(),()() k t k t t t x t x t t t r u s ds u t t t αβγ-∈≤-++∀≥∑⎰ （4）， 则脉冲系统（1）是 integral input-to-state stable （iISS ）。

以上两个定义都是定义在一个特定的脉冲序列{}k t 的基础上，如果（3）和 (4) 对于属于脉冲序列集合θ上任意一个脉冲序列都成立，那么我们说脉冲系统在θ上统一ISS 和统一iISS 。

为了刻画脉冲频繁程度与ISS 的关系，引入了类似于切换系统驻留时间的定义，给出了由驻留时间表达的脉冲系统（1）ISS与iISS的充分条件。

1）如果脉冲系统（1）的连续部分是ISS的，但是控制脉冲序列的离散事件系统不是ISS，系统是ISS，如果脉冲发生不是很频繁。

2）如果脉冲系统（1）的连续部分不是ISS的，但是控制脉冲序列的离散事件系统是ISS，那么脉冲间隔足够短的话，脉冲系统（1）是ISS。

3）如果连续部分和离散部分都是ISS的，那么任意脉冲间隔都将使得脉冲系统（1）ISS。

在此基础上，Chen, Wu-Hua 和Zheng, Wei Xing[15] 又将以上结论推广到脉冲时滞系统。

2）脉冲时滞系统的稳定性问题脉冲时滞系统是比经典时滞系统和脉冲常微分系统更加广泛和复杂的一类系统，对这类系统的研究是在时滞系统和脉冲常微分系统的基础上发展起来。

近几年来，也有不少的研究成果。

脉冲时滞系统的连续系统部分通常是一个时滞微分系统。

最早的一篇关于脉冲时滞系统的研究开始于1986年Anokhin。

关于此类系统的研究，有了一些结果，但相对传统的脉冲系统来说还刚刚起步。

近些年来，关于脉冲时滞系统取得了很大的进展[3, 16-28] 。

研究时滞系统比研究不带时滞的动态系统要有挑战的多。

许多工具，如Lyapunov函数方法、Razumikhin技术，和比较原理等等都成功的应用于脉冲时滞系统。

最近，一批关于脉冲时滞系统统一渐进稳定性的结论被得到，放松了一些关于Lyapunov的导数的限制。

如2001年，Liu Xinzhi和G.Ballinger [29] 利用Lyapunov函数法结合Razumkhin条件建立了脉冲时滞系统的稳定型条件，这些条件保证了有脉冲作用下，系统能保持原来的稳定性，甚至可以使一个原来不稳定的系统在脉冲的作用下而稳定化。

因此突出了脉冲效应和脉冲时刻对系统稳定性的影响，如一个无脉冲效应的不稳定的时滞系统，在适当的时刻加以适当的脉冲效应，原来系统可以变成渐进稳定的，这些结果对于利用脉冲对一个系统进行镇定具有较大意义。

这类脉冲系统一直没有得到指数稳定的充分条件，直到最近才得到此类脉冲时滞系统的指数稳定的条件[26, 30] 。

Yang, Z C 和Xu, D Y [30] ，研究了一类非线性脉冲时滞系统，其中，连续时滞系统部分是一个多重时滞的系统，利用参数变异法给出了系统指数稳定的条件，给出了系统的收敛速度，并给出了脉冲控制设计步骤，可以调整脉冲间隔来调整收敛速度。

Chen, Wu-Hua 和Zheng, Wei Xing [31] 研究了一类带有不确定参数的脉冲时滞系统，其中不确定参数是时变且有界的。

分三种情况的讨论了此类脉冲系统：稳定的连续动力系统不稳定的离散系统，不稳定的连续系统和稳定的离散系统，连续的和离散的部分都不稳定的。

Liu, B和Hill, D J[32] 研究了离散脉冲时滞系统，并建立了离散脉冲系统和离散时滞脉冲系统的比较原理，并且分析估计了这些系统的吸引区域。

并且应用比较原理分析了几类（线性、仿射和非线性）离散脉冲系统的稳定性。

并推广到离散脉冲时滞大系统[33] 。

3）随机脉冲系统的稳定性问题目前所谓随机脉冲的系统大致有两种情况，第一种是连续演化部分是一个由随机微分方程描述的系统。

Liu, B[34]通过构造类Lyapunov 函数和伊藤积分，运用脉冲系统的比较原理，建立了随机脉冲系统的稳定性充分条件。

随机脉冲系统的稳定属性可以由一个确定性的脉冲系统的稳定性结果导出。

Xu, L G 和Xu, D Y[35]带时变时滞的脉冲控制随机系统，通过参数便依法和估计Cauchy 矩阵，得到了一些均方指数稳定的条件，并给出了收敛速度的估计值。

这个结论可推广于用脉冲控制镇定不稳定的随机系统。

Li, C G 、Chen.L 和 Aihara, K [36]也用比较原理讨论了这种脉冲随机系统的稳定性问题，并将它推广到同步带有扰动的混沌系统和带有扰动的随机神经网络上。

Zhang, H 和Guan, Z H[37, 38] 讨论了一类带有马尔科夫跳变、参数不确定、脉冲效应的脉冲随机系统。

另一种是具有随机脉冲时刻的脉冲系统[39] ，即{}12,,,k t t t 是一组随机序列。

在实际问题中脉冲发生的时刻是全是确定的，而常常是随机的，也就是说，脉冲时刻是随机变量。

由于脉冲时刻是随机的，具有随机脉冲时刻的微分方程的所有解均为随机过程，这与传统的确定性脉冲时刻的微分方程解的性质相差甚远，一般的确定性脉冲时刻的脉冲系统的解是一个分段函数。

无论是时间依赖的脉冲系统还是状态依赖的脉冲系统，其共同特征是脉冲时刻是确定的。

4) 脉冲神经网络为了进一步扩大神经网络的适用范围，Guan ZH 和Chen GR[40] 在1990年提出了脉 冲神经网络，也就是在传统的Hopfield 神经网络中引入脉冲扰动。

在这个工作中，作者研究了两个基本问题：脉冲神经网络全局指数稳定性，平衡点的存在唯一性。

最近，文献[41-49] 报告了脉冲时滞神经网络的稳定性的一些新的研究成果。

Liu, X Z 、Teo, K L 和Xu, B J[47] 考虑了一类脉冲高阶Hopfield 时滞神经网络的指数稳定，并估计了其指数收敛率问题。

Liu, X Z 和Wang, Q[41] 通过Lyapunov-Razumikhin 方法研究了一类高阶Hopfield 时变时滞神经网络全局指数脉冲镇定问题，可以通过脉冲控制它的指数收敛速度。

Li, C D 、Feng, G 和Huang, T W[42]提出了亦能混杂切换Hopfield 神经网络。

利用切换Lyapunov 函数和广义Halanay 不等式，得到了一些任意切换脉冲和受限切换脉冲的渐进指数稳定的判据。

Song, Q K 和Cao, J D[44] 研究了一类模糊Cohen-Grossberg 时变时滞神经网络的稳定性问题，给出了一些指数稳定的条件，不仅讨论了稳定的系统在脉冲扰动的情况，页讨论了不稳定的系统利用脉冲效应达到稳定。

2.2脉冲控制研究现状脉冲控制[50, 51] 在很多具体工程应用中广泛存在，而且作为一种典型的混杂系统，是目前工程和控制界研究的热点之一。