往复弯曲统一曲率定理及其试验验证

和反向弯曲弹复的塑性变形过程。根据小曲率平面 弯曲弹复方程[1]，由于待矫条材或板材各截面初始 曲率分布不同，将其各截面加载到同一弯曲曲率， 各截面所需弯矩不同，则回弹量不同，残余曲率仍 然不同，即一次弯曲达不到曲率统一的效果。然而 多次往复弯曲可以湮没初始曲率的差异，最终使曲 率统一到同一方向、同一数值，本文将这种原理称
月 2016 年 9 月
于高潮等：往复弯曲统一曲率定理及其试验验证
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c 截面处在曲梁的负曲率部分，即 K c 0 为负值。
引入曲梁截面应变的线性分布假设，三个截面 上质点的初始当量应变[1]分别为
式中，M a 、M b 和 M c 分别为截面 a、 b 和 c 的弯矩。 根据上述推导得出的式(14)、(15)和(16)可知， 三个截面的弯矩与弯曲曲率的函数关系特征相同， 仅由于初始曲率的差异，发生了不同程度的平移。 所以，采用图解法分别分析三个截面往复弯曲弹复 后曲率的变化规律。在稳定金属材料往复弯曲过程 中，考虑到形变硬化、Baushinger 效应和循环软化 形变硬化，未考虑 Baushinger 效 应和循环软化，a、b 和 c 三个截面往复弯曲变形过 程如图 2 所示。即假设材料拉伸和压缩过程中应力 应变函数关系、屈服应力和弹性模量均未随往复弯 曲而改变，材料具有拉压一致特性。所以，弹性极 限弯矩满足如下关系
(1. 先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室(燕山大学) 秦皇岛 066004； 2. 燕山大学机械工程学院 秦皇岛 066004)
摘要：辊式矫直工艺和辊式矫圆工艺均通过往复弯曲方式达到统一曲率的目的，辊式矫形过程中的往复弯曲变形规律是确定 矫形工艺参数的理论依据。针对往复弯曲变形过程，建立一套符号系统，将弯曲曲率和弯矩矢量化。基于小曲率平面弯曲弹 复方程和应变叠加原理，引入初始当量应变和当量应变的概念，采用图解法对往复弯曲弹复过程进行分析，在考虑稳定金属 材料往复弯曲过程中的形变硬化、Baushinger 效应和循环软化，分三种情形证明往复弯曲可以湮灭初始曲率的差异，最终使 曲率统一到同一方向、同一数值，提出往复弯曲统一曲率定理。进而，设计模压往复弯曲试验装置，选用不同初始形状、不 同材料的板坯进行往复弯曲试验，讨论残余曲率半径和拟合圆弧偏差随弯曲次数的变化规律，验证往复弯曲统一曲率定理的 正确性，为辊式矫直和辊式矫圆工艺方案和控制策略的制定奠定了理论基础。 关键词：平面曲梁；往复弯曲；统一曲率；矫直；矫圆 中图分类号：TG306
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为往复弯曲统一曲率定理。 在矫形工程应用中，辊式矫直工艺和辊式矫圆 工艺均通过往复弯曲方式达到统一曲率的效果，如 二辊矫直工艺[2-4]、多辊矫直工艺[2-3, 5-7]和三辊矫圆 工艺[8]等。前者是将条材或板材长度方向各截面的 不同初始曲率统一为零，后者是将管坯周向方向各 截面的不同初始曲率统一为名义曲率。敖列伟等[2] 研究了二辊矫直过程变形机理以及辊形曲线与矫直 精度的关系。崔甫[3-4]采用理想弹塑性材料模型，建 立了金属条材弹塑性弯曲变形与应力、曲率、弯矩 和能耗的关系，并阐述了平行辊矫直机和斜辊矫直 机的工作原理。管奔等[5]对辊式矫直连续反弯过程 中的应力遗传与反弯特性的耦合关系进行了研究， 解释了小变形原则在生产现场应用效果不佳的原 因。YIN 等[6]以矩形截面型钢为例，通过理论计算 型钢多次反弯变形过程， 解释了多辊矫直工艺机理， 进一步给出了矫直原则。刘东治等[7]研究了塑性强 化材料在平行辊式矫直过程中一次反弯与二次反弯 特性函数关系，揭示了强化材料矫直过程的截面 弯曲特性函数关系。张子骞等[8]基于 Bazier 效应 研究了薄壁管材在连续矫直过程中的截面扁化。 赵非平等[9]提出了三辊矫圆机的矫圆工艺，即管坯 周向的各管壁微梁段经历了多次往复弯曲加载过 程，使之达到统一曲率的目的。 另外， 在往复弯曲过程中材料往复弯曲加载卸 载，涉及形变硬化、Baushinger 效应和循环软化等 问题。KLESNIL 等[10-12]对低碳钢和中碳钢进行循 环加载试验，探究了循环载荷造成材料软化的原 因。YOSHIDA[13]提出了一种粘塑性本构模型，较 准确地描述了循环软化塑性行为。MUTRUX 等[14] 采用等向 -随动混合强化材料模型预测了中碳钢棒 材二辊矫直后的循环软化效应。 CHEN 等[15]提出了 一种非饱和硬化模型描述了高强钢的循环加载特 性。 本文 对稳定金属材料往复弯曲特性研究时 主 要考虑了材料的形变硬化、Baushinger 效应和循 环软化。 近年来，笔者较为系统地建立了小曲率平面弯 曲弹复方程 [1] ，并提出了纯弯曲过弯矫直等价原 理[16]和平面曲梁纯弯曲等价定理[17]。本文拟在平面 曲梁弯曲弹复方程和应变叠加原理的基础上，采用 图解法研究往复弯曲统一曲率的变形过程，提出往 复弯曲统一曲率定理，并进行模压往复弯曲验证试 验，验证该定理的正确性，不仅可以拓展小曲率平 面弯曲弹复理论， 而且能够揭示辊式矫形工艺机理， 为辊式矫直和辊式矫圆工艺参数的优化及工艺装备 设计提供理论依据。
1 对称截面平面曲梁纯弯曲弹复方程
考虑到本文中平面曲梁往复纯弯曲属于小变形 问题，引入以下常规基本假设。 (1) 平截面假设，即平面曲梁的任意截面弯曲 变形后仍保持为平面，且截面不发生畸变。 (2) 中性层重合假设，变形过程中应变中性层、 应力中性层与曲梁截面几何中心层始终保持重合。 (3) 单向应力状态假设，即平面曲梁截面上任 意质点的应力状态为单向拉伸或压缩。 (4) 常规弹塑性材料模型假设，即平面曲梁是 连续均质的弹塑性体，且弹性变形为线弹性，符合 Hooke 定律；塑性流动符合稳定材料条件和经典弹 塑性理论的卸载规律。 根据小曲率平面弯曲弹复方程[1]，对称截面平 面曲梁纯弯曲的几何方程和弹复方程分别为 K p K Ke K0 (1) (2)
图1
曲梁示意图
在对称截面曲梁上取 a、 b 和 c 三个具有代表性 截面，如图 1 所示。三个截面在曲梁中对应的初始 曲率分别为 K a 0 、 K b 0 和 K c 0 ，其中 a 截面处在曲梁 正曲率向负曲率过度的极值点，即 K a 0 为无穷小(直 梁)；b 截面处在曲梁的正曲率部分，即 K b 0 为正值；
第 52 卷第 18 期 2016 年 9 月
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Vol.52 Sep.
No.18 2016
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
DOI：10.3901/JME.2016.18.057
往复弯曲统一曲率定理及其试验验证*
于高潮 1, 2 赵 军 1, 2 马 瑞 1, 2 翟瑞雪 1, 2
Uniform Curvature Theorem by Reciprocating Bending and Its Experimental Verification
YU Gaochao1, 2 ZHAO Jun1, 2 MA Rui1, 2 ZHAI Ruixue1, 2
(1. Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science(Yanshan University), Ministry of Education of China, Qinhuangdao 066004; 2. College of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004)
Kp K
M EI
式中，K 为加载后曲梁的中性层曲率；K e 为反向弹 性加载后曲梁中性层曲率；K 0 为曲梁中性层的初始 曲率； K p 为卸载后曲梁微段中性层曲率；E 为弹性 模量；I 为曲梁截面惯性矩。
2 往复弯曲统一曲率定理
首先定义符号系统如下：曲梁几何中心层的法 线方向为 w 坐标轴，切线方向为 v 坐标轴，且向上 的方向为 w 坐标轴的正向，如图 1 所示。曲梁凸向 w 坐标轴正向其曲率为正，反之为负；弯曲曲率变 大的弯曲为正向弯曲，反之为反向弯曲；正向弯曲 加载弯矩为正，反向弯曲加载弯矩为负。这样，弯 曲曲率和弯矩均为矢量。
Abstract：In the roller-type straightening process and setting round process, the initial curvature is unified by means of the reciprocating bending. The deformation law of reciprocating bending is the theoretical basis for determining the process parameters. In the reciprocating bending process, a set of symbol system is established, and the bending curvature and moment are both vector. The small curvature plane bending springback equation and strain superposition principle are the theoretical basis. The initial equivalent strain and equivalent strain are introduced. Considering the deformation hardening, Baushinger effect and cyclic softening, the reciprocating bending springback process is analyzed by using the graphic method. It shows that the reciprocating bending eliminates the difference of initial curvatures and makes the curvatures be in the same direction and have same value. The uniform curvature theorem by reciprocating bending is presented. The bending test device is designed. The different material plates that has different initial shape are used to carry out the reciprocating bend test. The variation of residual curvature and the deviation of fitting arc are discussed. The correctness of the uniform curvature theorem is proved. It lays the theoretical foundation for the development of process plan and control strategy in the roller-type straightening and setting round process. Key words：plane curved beam；reciprocating bending；uniform curvature；straightening process；setting round process