新人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 小结 构建知识体系》课件_10
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第17章勾股定理小结课(课时1)-2024-2025学年初中数学八年级下册(人教版)上课课件
∴∠1=∠3， △ACE≌△BCD.
∴AE=BD， ∠4=∠E=∠5= 45〫.
E
A
5
12
C
D
4
3
B
∴∠4+∠5= 90〫，∴∠ADB=90〫
在Rt△ADB中，由勾股定理得： E
2 = 2 + 2 = 2 + 2 .
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
2 = 2 + 2 = 2 2 .
A
2
2
2
2
∴ − = − . ①
又∵AB+CD=AC+BD. ∴ AB-BD=AC-CD,
由①②得：AB+BD=AC+CD,
由②③得：AB=AC.
②
③
B
┌
D
C
3.如图，在Rt△ABC中， ∠C=90 〫，AM 是中线，
MN⊥AB，垂足为 N，求证： 2 − 2 = 2 .
1
1 (h)，
3
乘城际列车方案需时间t2 ≈
92
180
∵ t 1 > t 2,
∴小明应该选择城际列车方案.
+
20
40
=
1
1 (h).
90
DE 上. 求证： 2 + 2 = 2 2 .
分析：连接BD，利用等腰直角
E
A
D
三角形的性质和全等三角形的性
质可以得到AE=BD.再利用角的
关系和勾股定理即可得到结论.
C
B
证明：连接BD，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CE=CD，
CA=CB.
∴∠ECD=∠ACB=90〫，
∴AE=BD， ∠4=∠E=∠5= 45〫.
E
A
5
12
C
D
4
3
B
∴∠4+∠5= 90〫，∴∠ADB=90〫
在Rt△ADB中，由勾股定理得： E
2 = 2 + 2 = 2 + 2 .
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
2 = 2 + 2 = 2 2 .
A
2
2
2
2
∴ − = − . ①
又∵AB+CD=AC+BD. ∴ AB-BD=AC-CD,
由①②得：AB+BD=AC+CD,
由②③得：AB=AC.
②
③
B
┌
D
C
3.如图，在Rt△ABC中， ∠C=90 〫，AM 是中线，
MN⊥AB，垂足为 N，求证： 2 − 2 = 2 .
1
1 (h)，
3
乘城际列车方案需时间t2 ≈
92
180
∵ t 1 > t 2,
∴小明应该选择城际列车方案.
+
20
40
=
1
1 (h).
90
DE 上. 求证： 2 + 2 = 2 2 .
分析：连接BD，利用等腰直角
E
A
D
三角形的性质和全等三角形的性
质可以得到AE=BD.再利用角的
关系和勾股定理即可得到结论.
C
B
证明：连接BD，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CE=CD，
CA=CB.
∴∠ECD=∠ACB=90〫，
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习说课稿
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下可能出现的问题或挑战：
1.部分学生对勾股定理的理解不够深入，可能在应用时出现错误。
2.学生在小组合作过程中可能出现分工不均、讨论效率低下等问题。
应对策略：
1.针对学生理解不足的问题，及时进行个别辅导，强化勾股定理的知识点。
2.在小组合作中，加强组织和引导，确保每个学生都能积极参与。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将在教学中采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
2.设计有趣的数学游戏和小组竞赛，激发学生的学习积极性，培养学生的合作意识。
3.鼓励学生主动参与课堂讨论，引导学生发现勾股定理的规律，提高学生的自主学习能力。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，具备的前置知识有：勾股定理的基本概念、证明方法以及一些简单的应用。可能存在的学习障碍有：
1.对勾股定理的理解不够深入，无法灵活运用勾股定理解决问题。
2.勾股数的辨识能力较弱，容易与其他三角形的三边关系混淆。
3.在解决实际问题时，不能将问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解。
4.创设问题情境，引导学生通过探究、合作交流等方式解决问题，让学生在解决问题中体验成功，增强学习信心。
5.结合学生的年龄特点和兴趣，运用多媒体教学手段，直观展示勾股定理的图形和实例，提高学生的学习兴趣和动机。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括：启发式教学法、探究式教学法和小组合作学习法。
（三）互动方式
我计划设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
1.师生互动：教师提问，学生回答；教师引导学生进行探究，给予指导和反馈。
在教学过程中，我预见到以下可能出现的问题或挑战：
1.部分学生对勾股定理的理解不够深入，可能在应用时出现错误。
2.学生在小组合作过程中可能出现分工不均、讨论效率低下等问题。
应对策略：
1.针对学生理解不足的问题，及时进行个别辅导，强化勾股定理的知识点。
2.在小组合作中，加强组织和引导，确保每个学生都能积极参与。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将在教学中采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
2.设计有趣的数学游戏和小组竞赛，激发学生的学习积极性，培养学生的合作意识。
3.鼓励学生主动参与课堂讨论，引导学生发现勾股定理的规律，提高学生的自主学习能力。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，具备的前置知识有：勾股定理的基本概念、证明方法以及一些简单的应用。可能存在的学习障碍有：
1.对勾股定理的理解不够深入，无法灵活运用勾股定理解决问题。
2.勾股数的辨识能力较弱，容易与其他三角形的三边关系混淆。
3.在解决实际问题时，不能将问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解。
4.创设问题情境，引导学生通过探究、合作交流等方式解决问题，让学生在解决问题中体验成功，增强学习信心。
5.结合学生的年龄特点和兴趣，运用多媒体教学手段，直观展示勾股定理的图形和实例，提高学生的学习兴趣和动机。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括：启发式教学法、探究式教学法和小组合作学习法。
（三）互动方式
我计划设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
1.师生互动：教师提问，学生回答；教师引导学生进行探究，给予指导和反馈。
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
人教版数学八年级下册第十七章《勾股定理》习题课件第十七章《勾股定理》章末小结
△ACD是直角三角形
×5×12－ ×3×4
＝24(m2)
专题解读
9.如下图，AD⊥BC，垂足为 D.CD＝1，AD＝2，BD＝4. 求证：∠BAC＝90°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°； 由勾股定理可得 AC2＝AD2＋CD2＝5， AB2＝AD2＋BD2＝22＋42＝20； ∴AC2＋AB2＝25； ∵BC2＝(BD＋CD)2＝52＝25；
利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
专题解读
专题训练三
8.如下图所示的一块地，AB
＝3，CB＝4，∠ABC＝90°，
CD＝13，AD＝12.求这块 地的面积．
连接AC，由勾股定理可知AC＝ 又∵AC2＋AD2＝169，CD2＝169， ∴AC2＋AD2＝CD2，∴ 故所求面积＝S△ACD－S△ABC＝ ＝5，
否构成直角三角形．
专题解读
【答案】解：(1)由条件得： a－2 ＝0，b－3＝0，c－ ＝0.
∴a＝2
(2)∵b2＋c2＝32＋(
，b＝3，c＝
；
) 2＝20，a2＝20，
∴b2＋c2＝a2，
∴以a，b，c为边能构成直角三角形． 【点拔】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形 的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就 是直角三角形．也考查了非负数的性质，正确求出a，
章末小结
1
知识网络 ……………..…
2
专题解读 ……………..…
知识网络
专题解读
专题一：勾股定理 【例1】长方形纸片ABCD中， AD＝4 cm，AB＝10
cm，按如右图方式折
叠，使点B与点D重合， 折痕为EF，求DE的长．
专题解读
【解析】在折叠的过程中，BE＝DE ．从而设BE＝ DE＝x，则AE＝10－x ．在Rt 定理列方程即可求解． －x ．在Rt
人教版八年级数学下册17.1 勾股定理课件 (共84张PPT)
3 . AC=＿＿＿ 6.在一个直角三角形中, 两边长分别为3,4,则
5 或 7 第三边的长为________.
7.蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了____厘米.（小方 格的边长为1厘米）
A
3
G
4
B
12
E 5 C 6
8
F
答案：28
D
· ·
· ·
· ·
·
·
3.如图所示，一棵大树在一 次强台风中离地面5米处折 断倒下，倒下部分与地面 成30°角，则这棵大树在 折断前的高度和AB的长分 别为（ ） B.15米， 125米 D.15米， 75 米 A.10米， 75 米 C.10米， 125米
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理(第1课时)
1.掌握勾股定理的内容. 2.理解勾股定理的证明.
3.应用勾股定理进行有关计算与证明.
星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游 玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:凌峰 山主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主 峰A处向地面B处架了一条缆车路线,已知山底端C处与 地面B处相距1200米, ACB 90 ,请问缆车路线AB长 应为多少？
2ab+（b² -2ab+a² ）=c²
赵爽弦图
∴a² +b²=c²
结论： 直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边 的平方. B
在Rt△ABC中，∠C=90°， 边BC，AC，AB所对应的边 勾 分别为a，b，c，则存在下 C 列关系 a2+b2=c2 b
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b， a 2 + b 2 = c 2. 斜边长为c，那么 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方. ∵ ∠C＝90°
5 或 7 第三边的长为________.
7.蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了____厘米.（小方 格的边长为1厘米）
A
3
G
4
B
12
E 5 C 6
8
F
答案：28
D
· ·
· ·
· ·
·
·
3.如图所示，一棵大树在一 次强台风中离地面5米处折 断倒下，倒下部分与地面 成30°角，则这棵大树在 折断前的高度和AB的长分 别为（ ） B.15米， 125米 D.15米， 75 米 A.10米， 75 米 C.10米， 125米
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理(第1课时)
1.掌握勾股定理的内容. 2.理解勾股定理的证明.
3.应用勾股定理进行有关计算与证明.
星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游 玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:凌峰 山主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主 峰A处向地面B处架了一条缆车路线,已知山底端C处与 地面B处相距1200米, ACB 90 ,请问缆车路线AB长 应为多少？
2ab+（b² -2ab+a² ）=c²
赵爽弦图
∴a² +b²=c²
结论： 直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边 的平方. B
在Rt△ABC中，∠C=90°， 边BC，AC，AB所对应的边 勾 分别为a，b，c，则存在下 C 列关系 a2+b2=c2 b
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b， a 2 + b 2 = c 2. 斜边长为c，那么 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方. ∵ ∠C＝90°
八年级数学下册 第十七章 勾股定理章末小结与提升课件下册数学课件
C.①②④ D.①②③④
12/12/2021
第四页，共十四页。
类型
类型
(lèixíng)1
(lèixíng)2
类型3
类型4
2.如图,P为等腰△ABC内一点,过点P分别作三条边的垂线,垂足分别为D,E,F,已知
AB=AC=10,BC=12,且PD∶PE∶PF=1∶3∶3,则AP的长为( B )
4
3
20
第九页，共十四页。
.
类型
(lèixíng)1
类型
(lèixíng)2
类型3
类型4
勾股数
1.若3,4,a和5,b,13是两组勾股数,则a+b的值是 17 .
2.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数
组:( 3,4,5 ),( 5,12,13 ),( 7,24,25 ),….分析上面勾股数组可以发
(lèixíng)1
类型
(lèixíng)2
类型3
类型4
【针对训练】
1.下列命题:①若 >1,则a>b;②若a+b=0,则|a|=|b|;③等边三角形的三个内角都相等;④底角相等的
两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的有( A )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12/12/2021
第十二页，共十四页。
类型3
类型4
【针对训练】
1.在△ABC中,a=3,b=7,c2=58,则S△ABC=
10.5 .
2.已知在△ABC中,AD⊥BC于点D,若AB=13,AC=8,则BD2-DC2=
105
3.如图,在△ABC中,D为边BC的中点,AB=5,AD=6,AC=13.求证:AB⊥AD.
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第四页，共十四页。
类型
类型
(lèixíng)1
(lèixíng)2
类型3
类型4
2.如图,P为等腰△ABC内一点,过点P分别作三条边的垂线,垂足分别为D,E,F,已知
AB=AC=10,BC=12,且PD∶PE∶PF=1∶3∶3,则AP的长为( B )
4
3
20
第九页，共十四页。
.
类型
(lèixíng)1
类型
(lèixíng)2
类型3
类型4
勾股数
1.若3,4,a和5,b,13是两组勾股数,则a+b的值是 17 .
2.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数
组:( 3,4,5 ),( 5,12,13 ),( 7,24,25 ),….分析上面勾股数组可以发
(lèixíng)1
类型
(lèixíng)2
类型3
类型4
【针对训练】
1.下列命题:①若 >1,则a>b;②若a+b=0,则|a|=|b|;③等边三角形的三个内角都相等;④底角相等的
两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的有( A )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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第十二页，共十四页。
类型3
类型4
【针对训练】
1.在△ABC中,a=3,b=7,c2=58,则S△ABC=
10.5 .
2.已知在△ABC中,AD⊥BC于点D,若AB=13,AC=8,则BD2-DC2=
105
3.如图,在△ABC中,D为边BC的中点,AB=5,AD=6,AC=13.求证:AB⊥AD.
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如图：在 RtABC中，C 900 , B 300.
情形3：已知BC 3，求AC，AB.
解：设AC x 在RtABC 中，C 900, B 300 AB 2AC 2x 根据勾股定理得： AC.2 BC 2 AB2 即：x2 32 (2x)2 解得：x 3
情形2：已知AB 4，求AC，BC.
解：在RtABC中，C 900 , B 300
AC 1 AB 1 4 2
2
2
.
根据勾股定理得：
BC AB2 BC2 42 22 12 2 3
AC 2, AB 2 3
第一类：有一个锐角为300 的直角三角形.
典例精讲:
实际模型抽象出几何图形 注意间接条件
AC A在数量关系 （和差倍分关系），若已知不存在数量关系 的第三边，可设存在数量关系的其中一边为 x，利用数量关系用含有x的式子表示另一边， 再用勾股定理把三边用方程构建起来，解方 程即可.
根据勾股定理得： AC2 BC2 AB2
52 (x 1)2 x2 解得：x 13
D
A
C
B
课后循环练习：
1.在RtABC中，C 900,如果A 300，a 4,则b 4 3
2.在RtABC中，C 900,如果A 450，a 3,则c 3 2
趁热打铁:
1.如图，在RtABC中， C 900，A 300，AC 3，求BC的长.
解：设BC x 在RtABC中，C 900, A 300 AB 2BC 2x 根据勾股定理得： AC 2 BC 2 AB2 即：32 x2 (2x)2 解得：x 3
趁热打铁:
有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形， 在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如 果把这跟芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端
恰好到达边的水面，这根芦苇的长度是多少？
根据题意可得： AC 5,CD 1, BC CD AB
设芦苇的长度，即AB BD x尺 则BC x 1
BC 1, AB 2
第二类：有一个锐角为450 的直角三角形.
如图：在 RtABC中，C 900 , B 450.
情形2：已知BC 2，求AC，AB.
解：在RtABC中，C 900, B 450 AC BC 2 根据勾股定理得： . AB AC2 BC2 22 22 8 2 2
品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，
BC 3
变式: 把该题的条件"A 300"改为"A 450",其他不变.
探究2:勾股定理在一般直角三角 形中的应用——（知一求二）.
例：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离 竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？ （这是我国古代数学著作《九章算术》中的一 个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺.）
AC 3, AB 2 3
第二类：有一个锐角为450 的直角三角形.
如图：在 RtABC中，C 900 , B 450.
情形1：已知AC 1，求BC，AB.
解：在RtABC中，C 900, B 450 BC AC 1 根据勾股定理得： . AB AC2 BC 2 12 12 2
方程思想渗透于勾股定理
知识回顾——勾股定理
如图：在RtABC中，C 900，则a2 b2 c2.
已知RtABC 中的任意两的任意两边第三边（. 简称知二求一）
a c2 b2 , b c2 a2 , c a2 b2 . 小试牛刀：如图，已知 a 1,c 3,则b 2 2
探究1：勾股定理在特殊直角 三角形中的应用——（知一求二）
第一类：有一个锐角为 300 的直角三角形 .
第二类：有一个锐角为 450 的直角三角形 .
第一类：有一个锐角为300 的直角三角形.
如图：在 RtABC中，C 900 , B 300.
情形1：已知AC 1，求BC，AB.
解：在RtABC中，C 900, B 300 AB 2AC 2 根据勾股定理得：
.
BC AB2 BC 2 22 12 3
BC 3, AB 2
第一类：有一个锐角为300 的直角三角形.
如图：在 RtABC中，C 900 , B 300.
3.如图所示，有一根高为16 m的电线杆BC在A处断裂，电线 杆顶部C落在地面离电线杆底部B点8 m远处的地方，求电 线杆断裂处A离地面的距离. 6 m
能力提升：
如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，
DA AB于A，CB AB于B，已知DA 15km,
CB 10km,现在要在铁路 AB上建一个土特产
AC 2, AB 2 2
第二类：有一个锐角为450 的直角三角形.
如图：在 RtABC中，C 900 , B 450.
情形3：已知AB 2，求AC，BC.
解：设AC x
在RtABC 中，C 900, B 450
BC AC x
根据勾股定理得：
.
AC
2
BC 2
AB 2
即：x2 x2 22
解得：x 2
AC 2, BC 2
小结：
（1）在特殊直角三角形中，有两边存在数量 关系（相等或倍数关系），若已知存在数量 关系两边的其中一边，抓住关系可求另一边， 再用勾股定理求第三边。
（2）在特殊直角三角形中，有两边存在数量关 系（相等或倍数关系），若已知不存在数量关系 的第三边，可设存在数量关系的其中一边为x ， 利用数量关系用含有x的式子表示另一边，再用 勾股定理把三边用方程构建起来，解方程即可。
情形3：已知BC 3，求AC，AB.
解：设AC x 在RtABC 中，C 900, B 300 AB 2AC 2x 根据勾股定理得： AC.2 BC 2 AB2 即：x2 32 (2x)2 解得：x 3
情形2：已知AB 4，求AC，BC.
解：在RtABC中，C 900 , B 300
AC 1 AB 1 4 2
2
2
.
根据勾股定理得：
BC AB2 BC2 42 22 12 2 3
AC 2, AB 2 3
第一类：有一个锐角为300 的直角三角形.
典例精讲:
实际模型抽象出几何图形 注意间接条件
AC A在数量关系 （和差倍分关系），若已知不存在数量关系 的第三边，可设存在数量关系的其中一边为 x，利用数量关系用含有x的式子表示另一边， 再用勾股定理把三边用方程构建起来，解方 程即可.
根据勾股定理得： AC2 BC2 AB2
52 (x 1)2 x2 解得：x 13
D
A
C
B
课后循环练习：
1.在RtABC中，C 900,如果A 300，a 4,则b 4 3
2.在RtABC中，C 900,如果A 450，a 3,则c 3 2
趁热打铁:
1.如图，在RtABC中， C 900，A 300，AC 3，求BC的长.
解：设BC x 在RtABC中，C 900, A 300 AB 2BC 2x 根据勾股定理得： AC 2 BC 2 AB2 即：32 x2 (2x)2 解得：x 3
趁热打铁:
有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形， 在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如 果把这跟芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端
恰好到达边的水面，这根芦苇的长度是多少？
根据题意可得： AC 5,CD 1, BC CD AB
设芦苇的长度，即AB BD x尺 则BC x 1
BC 1, AB 2
第二类：有一个锐角为450 的直角三角形.
如图：在 RtABC中，C 900 , B 450.
情形2：已知BC 2，求AC，AB.
解：在RtABC中，C 900, B 450 AC BC 2 根据勾股定理得： . AB AC2 BC2 22 22 8 2 2
品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，
BC 3
变式: 把该题的条件"A 300"改为"A 450",其他不变.
探究2:勾股定理在一般直角三角 形中的应用——（知一求二）.
例：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离 竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？ （这是我国古代数学著作《九章算术》中的一 个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺.）
AC 3, AB 2 3
第二类：有一个锐角为450 的直角三角形.
如图：在 RtABC中，C 900 , B 450.
情形1：已知AC 1，求BC，AB.
解：在RtABC中，C 900, B 450 BC AC 1 根据勾股定理得： . AB AC2 BC 2 12 12 2
方程思想渗透于勾股定理
知识回顾——勾股定理
如图：在RtABC中，C 900，则a2 b2 c2.
已知RtABC 中的任意两的任意两边第三边（. 简称知二求一）
a c2 b2 , b c2 a2 , c a2 b2 . 小试牛刀：如图，已知 a 1,c 3,则b 2 2
探究1：勾股定理在特殊直角 三角形中的应用——（知一求二）
第一类：有一个锐角为 300 的直角三角形 .
第二类：有一个锐角为 450 的直角三角形 .
第一类：有一个锐角为300 的直角三角形.
如图：在 RtABC中，C 900 , B 300.
情形1：已知AC 1，求BC，AB.
解：在RtABC中，C 900, B 300 AB 2AC 2 根据勾股定理得：
.
BC AB2 BC 2 22 12 3
BC 3, AB 2
第一类：有一个锐角为300 的直角三角形.
如图：在 RtABC中，C 900 , B 300.
3.如图所示，有一根高为16 m的电线杆BC在A处断裂，电线 杆顶部C落在地面离电线杆底部B点8 m远处的地方，求电 线杆断裂处A离地面的距离. 6 m
能力提升：
如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，
DA AB于A，CB AB于B，已知DA 15km,
CB 10km,现在要在铁路 AB上建一个土特产
AC 2, AB 2 2
第二类：有一个锐角为450 的直角三角形.
如图：在 RtABC中，C 900 , B 450.
情形3：已知AB 2，求AC，BC.
解：设AC x
在RtABC 中，C 900, B 450
BC AC x
根据勾股定理得：
.
AC
2
BC 2
AB 2
即：x2 x2 22
解得：x 2
AC 2, BC 2
小结：
（1）在特殊直角三角形中，有两边存在数量 关系（相等或倍数关系），若已知存在数量 关系两边的其中一边，抓住关系可求另一边， 再用勾股定理求第三边。
（2）在特殊直角三角形中，有两边存在数量关 系（相等或倍数关系），若已知不存在数量关系 的第三边，可设存在数量关系的其中一边为x ， 利用数量关系用含有x的式子表示另一边，再用 勾股定理把三边用方程构建起来，解方程即可。