二次根式的加减3
21.3.3二次根式的加减
21.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）×解：（）÷÷-例2．计算32（1））（（2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1））（2（2））=）2-2=10-7=3三、巩固练习课本P 20练习1、2．四、应用拓展例3．已知=2-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，））=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=+x b a-x a b -=+ =（x+1）=4x+2∵=2- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2∴（a+b ）x=（a+b ）2∵a+b ≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 1、8、9．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》作业设计2(1)x x +-2(1)x x+-x b a-x a b -一、选择题1．的值是（ ）． A ．．C ．．2）．A ．2B ．3 C．4 D ．1二、填空题1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________． 2．（）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，a 2b-ab 2=_________．三、综合提高题1．化简 2．当时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识20323232031221．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．ACD2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如与也是互为有理化因式．________；_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1；（2）； （3（44．其它材料：如果n=________=_______．答案:一、1．A 2．D二、1．．-24 3．2 4．三、1．原式＝==-）2=== 2（2x+1）∵+1 原式＝2（+3）+6.=22222(1)()21x x xx+++⨯+2(1)(1)1x x xx++++。
二次根式的加减3
（1）满足下列两个条件的二次根式， 满足下列两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式 最简二次根式： 叫做最简二次根式： 被开方数不含分母； ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式； 或因式； （2）几个二次根式化成最简二次根 ） 式后，如果被开方数相同， 式后，如果被开方数相同，那么这 几个二次根式叫做同类二次根式 同类二次根式。 几个二次根式叫做同类二次根式。
1 1+ 2
1 3+ 2
1 5+2 =
=
1 × ( 2 − 1) ( 2 + 1)( 2 − 1)
= 3− 2
= 2 −1
= 3− 2
( 3 + 2)( 3 − 2)
5−2
( 5 + 2)( 5 − 2)
1 6
= 5−2
试求：（1 试求：（1） 7 + ：（ （2）3 （ 3）
1 2 + 17
1 n +1 + n
二次根式的运算： 二次根式的运算：
二次根式乘法法则 二次根式除法法则
二次根式的加减： 二次根式的加减： 类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
a× b =
a = b
ab (a ≥ 0 , b ≥ 0)
(a ≥ 0 , b > 0)
a b
二次根式的混合运算： 二次根式的混合运算：
例5.将多项式 2 x 2 − 1 在实数范围内因式 分解的结果为（ ）
A.
(2 x + 1)(2 x − 1)
( 2 x + 1)( 2 x − 1)
B.
2( x + 1)( x − 1)
九年级数学二次根式的加减3
微小V https://
有关急性扁桃体炎最常见的并发症是A.咽后脓肿B.咽旁脓肿C.急性中耳炎D.扁桃体周脓肿E.急性肾炎 常见的农业气象灾害有几种？ 社会主义初级阶段是个长期的历史进程，至少需要A.100年B.150年C.200年D.300年 [单选,共用题干题]女，47岁，平时月经周期规律。近2个月有接触性出血。妇科检查：宫颈见菜花样赘生物，触之易出血最可靠的确诊方法是。A.宫颈碘试验B.阴道B型超声检查C.阴道镜检查D.分段刮宫E.宫颈活组织检查 肾阴虚型外阴瘙痒的主症是。A.阴部皮肤溃疡、疼痛B.阴部干涩C.带下量多，色黄如脓D.外阴变白、皲裂E.阴部萎缩、平坦 诊断气胸最重要的检查方法是。A.X线胸片检查B.肺功能检查C.胸部CTD.胸腔内测压E.支气管镜 雄黄使用时应注意。A.内服宜慎，不可过量、久服B.月经期忌用C.孕妇忌用D.切忌火煅E.肾阳虚忌用 产后4天的产褥妇女，有下列主诉，何项不是正常产褥现象A.出汗多B.低热C.乳房胀痛，双腋窝硬结D.腹部阵发性绞痛，伴呕吐E.阴道流血量少于月经 最早的工作绩效考评系统出现在。A.经验管理时期B.科学管理时期C.近代管理时期D.现代管理时期 胸部平片上的Kerley’sB线是指A.宽约1mm，多见于上叶的条状影B.宽约1mm，位于肋膈角上方与胸壁或膈肌垂直的条状影C.肺野内细而短的网状影D.宽约0.5～1mm，中肺野横形条状影E.以上都不是 中国人民银行有权对金融机构以及其他单位和个人的下列行为进行检查监督。A.与中国人民银行特种贷款有关的行为B.执行有关黄金管理规定的行为C.执行有关银行间同业拆借市场、银行间债券市场管理规定的行为D.执行有关外汇管理规定的行为E.执行有关人民币管理规定的行为 反刍动物瘤胃积食在不产气时叩诊呈A.清音B.半浊音C.浊音D.过清音E.金属音 婴幼儿接触开放型肺结核患者后做PPD皮试最合适的时间是。A.1周B.4周C.8周D.12周E.2周 成年人血压正常范围是多少？何种情况下应测双上肢血压和／或双下肢血压？ 根据我国的规定，船舶型宽是指。A．在船长中点处，由一舷的肋骨外缘量至另一舷的肋骨外缘之间的水平距离B．在船长中点处，由一舷的肋骨内缘量至另一舷的肋骨内缘之间的水平距离C．在船舶最大宽度处，由一舷的外板量至另一舷的外板之间的水平距离D．在船舶最大宽度处，由一舷的肋骨 触按疮疡局部，肿处烙手而压痛者，病属A.实寒证B.实热证C.虚寒证D.虚热证E.气血虚证 饲养标准 患者，男性，上腹部痛2月余；胃镜发现胃窦部胃癌，并未发现其他部位肿瘤。该患者拟行手术，则手术消毒部位不包括以下哪个部位。A.双侧乳头B.脐部C.双侧腹股沟D.双侧肩部E.耻骨联合 下列中药不需要单独粉碎的是A.牛黄B.蟾酥C.雄黄D.熟地E.磁石 由器质性病变导致的长期开口困难称为()A．癔症性牙关紧闭B．咀嚼肌群痉挛C．颞下颌关节强直D．破伤风后牙关紧闭E．关节盘移位 一氧化碳中毒患者当吸入3个大气压的纯氧时，由HbCO释放出CO半量的时间为A.6小时B.4小时C.2小时D.30～40分钟E.20分钟 检查粪便原虫包囊，常用的染色方法是A.碘染色B.巴氏染色C.H-E染色D.苏丹Ⅲ染色E.复红染色 井控设备必须能在钻井过程中对、地层流体、钻井主要参数、钻井液参数等进行监测和预报。A、地层压力B、井喷C、钻井液密度 什么是工作秘密？ 在施工过程中，人工费的控制主要是通过来解决。A．控制支出和按实签证B．开源节流C．控制支出和提高效率D．节省用工 不常用于乳腺癌诊断的肿瘤标志物是()A．CA549B．CA15-3C．MCAD．CA27-29E．AFP 某项目部在北方地区承担某城市主干路道路工程施工任务，设计快车道宽11.25m,辅路宽9m。项目部应业主要求，将原计划安排在次年4月初施工的普通沥青混凝土面层，提前到当年11月上、中旬，抢铺出一条快车道以缓解市区交通沥青混凝土按矿料最大粒径可分为。A.粗粒式B.中粒式C.细砂式D 下列因素中，不属于急性胃炎的病因是A.急性应激B.非甾体类消炎药C.胆汁反流D.幽门螺杆菌感染E.自身免疫异常 患者青霉素皮试后2分钟，出现胸闷气促，皮肤瘙痒，面色苍白，出冷汗，脉搏细速，血压下降，烦躁不安。患者出现何种情况()A．血清病．青霉素毒性反应 [多选,案例分析题]男性，25岁，反复发作性呼吸困难5年，每年春季发作，可自行缓解，此次再次突然发作2天，伴胸闷、咳嗽，症状持续不能缓解。查体：双肺满布哮鸣音，心率95次／分，心律齐，心脏各瓣膜区未闻及病理性杂音。该患者治疗可以选择的药物。A.沙丁胺醇雾化吸入B.糖皮质激 文明生产就是创造一个布局合理、的生产和工作环境，人人养成和严格执行工艺操作规程的习惯。 皮质类固醇是哪类肌病的治疗药物首选A.包涵体肌炎B.强直性肌营养不良症C.线粒体肌病及线粒体脑肌病D.肌营养不良症E.多发性肌炎、皮肌炎 关于急性扁桃体炎，下列说法中哪项是不正确的A.急性单纯性扁桃体炎隐窝内及扁桃体实质有明显的炎症改变B.急性隐窝性扁桃体炎隐窝表面有时可有连成一片假膜的渗出物C.急性滤泡性扁挑体炎炎症侵及扁桃体实质内的淋巴滤泡D.急性单纯性扁桃体炎多为病毒引起E.急性单纯性扁桃体炎的全身 新上岗人员医院感染知识的岗前培训，时间不得少于学时，经考试合格后方可上岗。 对个人转让自用5年以上，并且是家庭唯一生活用房取得的所得，。A.免征个人所得税B.减按5%征收个人所得税C.减半征收个人所得税D.全额征收个人所得税 单位客户申请办理单位结算卡需与主账户开户行签订《交通银行单位结算卡服务协议》并由指定持卡人至主账户开户行柜面提交以下材料。A.《交通银行单位结算卡法人授权委托书》B.《交通银行单位结算卡业务申请书》C.持卡人及法人身份证件。D.以上都是 不属于PKI认证中心（CA）的功能。A.接收并验证最终用户数字证书的申请B.向申请者颁发或拒绝颁发数字证书C.产生和发布证书废止列表（CRL），验证证书状态D.业务受理点LRA的全面管理 示指占全手功能的百分比为。A.60%B.40%C.30%D.20%E.10% 细胞内液最主要的阳离子是A.Na+B.K+、Mg2+Ca2+D.K+E.Mg2+ 下述哪种甲状腺疾病禁忌手术A.甲亢B.甲状腺腺瘤C.桥本病D.甲状腺乳头状腺癌E.结节性甲状腺肿
二次根式的加减
二次根式的加减二次根式是代数中常见的一种形式，它可以表达为√n的形式，其中n是一个非负实数。
在代数学中，我们常常需要对二次根式进行加减运算。
本文将探讨二次根式的加减规则以及一些实际问题的应用。
一、二次根式的加法对于两个相同的二次根式√n的相加运算，我们可以简化为2√n。
例如，√3 + √3 = 2√3。
对于两个不同的二次根式√m 和√n 的相加运算，我们需要考虑它们的根数是否相同。
如果根数相同，即两个二次根式的根数都为m，那么它们可以合并为(√m + √n)。
例如，√5 + √5 = 2√5。
如果根数不同，我们无法直接合并它们。
在这种情况下，我们可以先将它们的根数调整为相同的形式，然后再进行合并。
例如，√2 + √3，我们可以通过乘以一个1的形式来调整根数，即(√2 + √3) * (1) = (√2 + √3) * (√3/√3) = (√2 * √3 + √3 * √3) / √3 = (√6 + 3) / √3 = (√6/√3 + 3/√3) = (√6/√3 + 3√3/√3) = (√6 + 3√3) / √3 = (√6/√3 + 3√3/√3) = (√6 + 3√3) / √3 = (√6/√3 + 3√3/√3) = √6/√3 + 3√3/√3 = (√6 + 3√3) / √3。
二、二次根式的减法对于两个相同的二次根式√n的相减运算，我们可以简化为0。
例如，√4 - √4 = 0。
对于两个不同的二次根式√m 和√n 的相减运算，我们的方法与二次根式的加法类似。
我们需要调整它们的根数，使它们变为相同的形式，然后再进行运算。
例如，√7 - √3，我们可以通过乘以一个1的形式来调整根数，即(√7 - √3) * (1) = (√7 - √3) * (√7/√7) = (√7 * √7 - √3 * √7) /√7 = (7 - √21) / √7。
三、二次根式的应用二次根式在实际问题的求解中经常出现。
16..3二次根式的加减法(教案)
3.培养学生的数学建模和数学应用能力，通过实际问题的引入，使学生能够将二次根式加减法应用于现实情境中，提高解决实际问题的能力。
在教学过程中，关注学生个体差异，引导学生主动参与、积极探究，培养学生独立思考、合作交流的良好习惯，全面提升学生的数学核心素养。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对二次根式加减法的概念和应用有了初步的理解，但同时也暴露出一些问题。在讲解理论知识时，我注意到部分学生对于如何合并同类二次根式感到困惑，尤其是在涉及到根号内含有不同数字的情况下。为了帮助学生克服这个难点，我采用了更多的例题进行演示，并强调了化简根式时的关键步骤。
教学内容将围绕以下例题和练习展开：
（1）计算下列各式的值：
$$ \sqrt{3} + \sqrt{5} $$
$$ \sqrt{12} - \sqrt{2} $$
$$ 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} $$
$$ 5\sqrt{3} - 3\sqrt{2} $$
（2）化简下列各式：
$$ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}} $$
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调同类二次根式的合并和含有不同根号的二次根式的化简这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和步骤讲解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式加减法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用纸片拼凑不同形状的图形，并计算其面积，从而演示二次根式加减法的基本原理。
九年级数学二次根式的加减3
[判断题]国务院反洗钱行政主管部门设立反洗钱信息中心，负责大额交易和可疑交易报告的接收、分析，并按照规定向国务院反洗钱行政主管部门报告分析结果，履行国务院反洗钱行政主管部门规定的其他职责。A.正确B.错误 [问答题,案例分析题]某建设项目的工程费由以下内容构成：（1）主要生产项目1500万元，其中建筑工程费300万元，设备购置费1050万元，安装工程费150万元。（2）辅助生产项目300万元，其中建筑工程费150万元，设备购置费110万元，安装工程费40万元。（3）公用工 [单选]外阴瘙痒最常见原因()A．滴虫阴道炎B．维生素缺乏C．糖尿病D．药物过敏E．尿液刺激 [单选,A1型题]下列哪项脾虚泄泻的特点错误（）。A.食后作泻，时泻时止B.久泻不愈C.肌肉消瘦D.面色红润E.神疲倦怠 [单选]以下哪项不符合肥厚型心肌病超声表现A.左心室扩大B.室间隔增厚，常>15mmC.SAM现象D.左室流出道湍流频谱E.主动脉瓣收缩中期关闭现象 [单选]船舶对水航速VL，对地航速VG，船速VE，如果VG＜VL＜VE，则船舶航行在（）情况下。A．顺风顺流B．顶风顶流C．顺风顶流D．顶风顺流 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于股骨颈骨折的描述不正确的是（）A.囊内的头下型骨折固定不好极易形成股骨头缺血坏死B.好发于老年女性C.患肢多呈短缩、外旋、内收畸形，大转子上移D.根据病情可选择保守治疗或手术治疗E.内收型骨折较稳定、愈合率高 [单选]铁路旅客运输合同是明确承运人与（）之间权利义务关系的协议。A.托运人B.收货人C.旅客D.押运人 [单选]下列哪项可诊断为子宫性闭经？（）A.孕激素试验阳性B.孕激素试验阴性C.雌孕激素序贯试验阳性D.雌孕激素序贯试验阴性E.垂体兴奋试验阳性 [单选,A1型题]砒石的功效不包括（）A.攻毒B.杀虫C.逐水通便D.截疟E.敛疮 [单选]（）是在交易所办理标准仓单交割、交易、转让、质押、注销的凭证，受法律保护。A．标准仓单持有凭证B．标准仓单C．标准仓单注册申请表D．交割预报表 [多选]甲氧氯普胺的临床应用包括（）A.药物引起的呕吐B.消化不良和恶心C.晕车D.用于十二指肠插管E.糖尿病性胃瘫 [填空题]园林植物枝条大致可分为：直立生长、（）、匍匐生长。 [单选]行政诉讼所要解决的行政争议，是（）之间发生的法律争议。A.行政机关B.行政机关与行政机关工作人员C.国有企业事业单位与职工D.行政主体和行政相对人 [单选,A1型题]以下不是放射性核素示踪技术主要特点的是（）。A.灵敏度高B.方法相对简便、准确性较好C.合乎生理条件D.定性、定量与定位研究相结合E.具有较大辐射效应 [单选]木瓜的道地产区是（）A.广东B.广西C.安徽D.新疆E.辽宁 [单选]方位投影大都是透视投影，视点在球心的方位投影称为（）。A．心射投影B．极射投影C．日晷投影D．A和C [单选]下列不同环境中，相同的起火物最容易起火的为（）。A、富氧区B、缺氧区C、正常的室内环境D、真空区 [多选]下列哪几项属于上海期货交易所的期货交易品种?（）A．铜B．大豆C．白糖D．天然橡胶 [多选]招标采购项目实施的检查内容比较复杂，主要检查的内容包括（）。A．招标文件的使用情况B．招标采购方案内容及其相关影响因素C．招标采购工作进度的符合性D．招标采购工作的人员专业水平E．招标采购过程的相关方信息反馈 [单选]关于以下毒性弥漫性甲状腺肿合并周期性麻痹的描写正确的是（）A.大量钾离子从尿中排出B.大量钾离子从肠道排出C.大量出汗，钾离子从皮肤丧失D.血中钾离子向细胞内转移E.甲亢高代谢，而钾的摄入不足 [单选,A1型题]111IN和113mIn互为（）A.同位素B.同中子素C.同质异能素D.同量异位素E.同分异构体 [填空题]网站是互联网（Internet）各种业务活动的（） [单选]以下哪一条不符合喉癌的CT表现（）。A.前联合厚度超过2cm应考虑肿瘤侵犯的可能B.喉癌的诊断主要是临床和病理，CT的作用主要是确定病变的范围C.经声门癌是原发于喉室内的癌，是比较早期的肿瘤D.前联合的喉癌很容易侵犯甲状软骨和环甲膜E.声带固定、增厚 [多选]左心室收缩功能评价包括（）。A.左房室瓣环位移B.心肌应变C.心室扭转D.收缩同步性评价E.顺应性评价 [单选]下列关于吸收直接投资特点的说法中，不正确的是（）。A.能够尽快形成生产能力B.容易进行信息沟通C.有利于产权交易D.筹资费用较低 [单选]学龄前期易患疾病，下列哪项不正确()A．缺铁性贫血B．龋齿C．外伤D．维生素D缺乏性佝偻病E．寄生虫病 [单选]下列关于乳痈威因的论述，哪项是正确的？（）A.邪壅经络，郁闭不通B.气血两虚，邪毒内陷C.营卫不和，火毒内生D.肝气郁结，胃热壅滞E.以上都不是 [单选]对急性脑梗死病人，下列哪种情况不适于溶栓治疗（）。A.发病6小时以内B.CT证实无出血灶C.病人无出血素质D.出凝血时间正常E.头部CT出现低密度灶 [单选]纳税人在办理增值税一般纳税人资格认定时，主管税务机关应提示纳税人（）等事项。A、申请税控系统的流程。B、办理税务登记C、领购发票D、纳税申报 [单选]中国药典制剂通则包括在下列哪一项中A、凡例B、正文C、附录D、前言E、具体品种的标准中 [单选]《农村土地承包法》规定，农民集体所有的土地依法属于村农民集体所有的，由村集体经济组织或者（）发包。A.村民小组B.村民委员会C.乡镇政府D.县政府 [填空题]绿色蔬菜加工时为保持蔬菜绿色人们常用（）、（）、（）、（）等进行护色。 [判断题]《出口玩具质量许可证》的有效期为3年。（）A.正确B.错误 [填空题]钢轨探伤中，为了及时发现较小的螺孔裂纹应将37°探头灵敏度尽量（）。 [单选]某患者腰部伸展时疼痛，并会伴有下肢放射痛，屈曲时疼痛缓解，初步怀疑腰椎滑脱，应选择以下哪种检查确诊（）A.X线B.CTC.MRID.造影E.穿刺 [单选]在稀溶液凝固点降低公式△tf＝Kfb中，b表示的是溶液的。A.摩尔分数B.质量摩尔浓度C.物质的量浓度D.质量分数 [单选]从我国现行法律规定来看，以以下财产设立信托时无需进行信托登记的是（）。A.著作权、商标权B.股票、股权C.船舶、航空器等交通工具D.动产 [问答题]实行公务卡改革试点前，有些预算单位已与银行合作办理了信用卡，这种情况仍需办理公务卡吗？ [单选]冰区航行，船舶应尽可能从冰区的（）方向接近冰区，并尽量选择在冰块的（）处用慢速直角驶入。A．上风；凹陷B．上风；突出C．下风；凹陷D．下风；突出
二次根式的加减3
复习引入
计算: （1） 80 20 5 ; （2） 3 40
2 1 2 5 10
探索新知
探究
要 焊接一个如图 21.3-1 所示的钢架,大约需要 多少米钢材（精确到 0.01m）?
B
2m
A
4m
D 1m C
图21.3-1
范例点击 范例
例 1．如 图 所 示 的 Rt△ ABC 中 ，∠ B=90°， 点 P 从 点 B 开 始 沿 BA 边 以 1 厘 米 /•秒 的 速 度 向 点 A 移 动 ；同 时 ，点 Q 也 从 点 B 开 始 沿 BC 边 以 2 厘 米 /秒 的 速 度 向 点 C 移 动 ． 问 ： 几 秒 后 △ PBQ 的 面 积 为 35 平 方 厘 米 ？ PQ 的 距 离 是 多 少 厘 米 ？ 结 （ 果用最简二次根式表示）
(1)说出 2 5 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
练习4下列计算正确的是（B） A. 2x 3 x 5 x B.2a x 3b x (2a 3b) x C.4 5 5 5 20 5 14a 22b D. 7 a 11b 2
（1 ）数学来源于生活,应用于生活,因此我们应该热 爱生活,热爱数学; （2）将实际问题转化为数学问题,只要审清题意弄明 白,就一定可以做出来.
小结作业
作业
教材P21 习题21.3
第6、8题
双基演练
1．已 知 直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 的 长 分 别 为 5 和 5，那 么 斜 边 的 长 应 为 （ ） ． （ •结 果 用 最 简 二 次 根 式 ） A． 5 2 B． 50 C． 2 5 D． 以 上 都 不 对 2． 小 明 想 自 己 钉 一 个 长 与 宽 分 别 为 30cm 和 20cm 的 长 方 形 的 木 框 ， • 为 了 增 加 其 稳 定 性 ，他 沿 长 方 形 的 对 角 线 又 钉 上 了 一 根 木 条 ，木 条 的 长 应 为 （ ）米．（结果用最简二次根式表示） A． 13 100 B． 1300 C． 10 13 D． 5 13 3． 地 有 一 长 方 形 鱼 塘 ， 知 鱼 塘 的 长 是 宽 的 2 倍 ， 的 面 积 是 1600m2， 某 已 它 •鱼 塘 的 宽 是 _______m． （ 结 果 用 最 简 二 次 根 式 ） 4 ． 已 知 等 腰 直 角 三 角 形 的 直 角 边 的 边 长 为 2 ， •那 么 这 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 周 长 是 ________． （ 结 果 用 最 简 二 次 根 式 ）
二次根式运算法则
二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。
掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。
一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。
例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。
需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。
例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。
例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。
常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。
例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。
一般按照先乘除后加减的原则进行。
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练习2计算：
5
（1） 80 20 5
（2） 18 （ 98 27） 10 2 3 3
1 3 6 2 4
1 （3）( 24 0. 5) ( 6) 8
1 1 (4) 32 3 10 0.08 48 4 2 3 3 2
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
把下列各根式化简
(1) 12
(2) 48
(3) 18
(4) 50
2 3
1 (5) 2
4 3
(6) 32
3 2
5 2
1 (7) 45 (8) 1 3
2 2
4 2
3 5
2 3 3
下列3组根式各有什么特征?
2 (1) 2， 3 2， 2 2， 15 2， 2 3 2 (2) 3 ,5 3 ,6 3 ,17 3 , 3 13
1 (3) 2 , 8 ,5 18, 32, 2
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式.
75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
3.
9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
计算:
8 18 4 2
如何合并 同类二次 根式?
2 23 24 2 2 3 4 2 9 2
1 2 x 3 3 1 3 2 5 x33 5 2 . 12 20 4 32 3 2 3 12 1 . 2 12 6 48 314 x3 x x 2 3. 9 x 6 3 2 x 52 3 4 x
解：
3 3 5
例3：
强调： 先化简，
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3
再合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式，
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
例 题 解 析
例1: 下列各式中,哪些是同类二 次根式?
2
75
1 27
1 50
3
2 3 8ab 3
6b
a 2b
解： 75 Байду номын сангаас 5 3 5 3
2 1 50 1 27 2 3
1 5 2 1 3 3 3
要进行二次根式加减运算,它们 具备什么特征才能进行合并？同类二次根式
(1)说出 2 5 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
练习4下列计算正确的是（B） A. 2x 3 x 5 x B.2a x 3b x (2a 3b) x C.4 5 5 5 20 5 14a 22b D. 7 a 11b 2
8 18 4 2
运用以前所学知识进行总结
例1计算： （1） 12 75 （2） 80 45 （3） 9a 25a
解：
比较二次根式的加减 与整式的加减，你能 得出什么结论？ 二次根式的加减实质是 合并同类二次根式． 整式的加减的实质是合 并同类项．
1. 12 2. 80
如图，两个圆的圆心相同，它们的面 积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度 d( 两圆半径之差).
R-r
练习1： (1) 18 8 2
(2) 75 27 8 3 1 (3) 48 6 6 3 3
(4)下列计算正确的是（Ｄ ） A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2 C.4 5 5 4
(3)几个二次根式相加减先把各个二次 根式化成最简二次根式,再把同类二次 根式分别合并.
同类二次根式合并： 把根号外系数或字母相加减,根指 数和被开方数不变
注意:不是同类二次根式的二次根式
(如
2 与 3 )不能合并
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