《振动力学》6多自由度系统振动(b)

2
ω 2 n + a1ω 2 ( n −1) + L + a n −1ω 2 + a n = 0 频率方程
解出 n 个值，按升序排列为：
2 2 0 < ω12 ≤ ω 2 ≤ L ≤ ω n
或特征多项式
ω i ：第 i 阶固有频率
ω1 ：基频
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仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
α1 = 1
α2 = 3
α3 = 4
以 α 1 = 1 为例进行说明
⎡ 2 − 1 0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ 将 α 1 = 1 代入，有： ⎢− 1 1 − 1⎥ ⎢φ 2 ⎥ = 0 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0 − 1 2 ⎥ ⎢φ3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
整理
⎧ 2φ1 − φ 2 = 0 ⎪ ⎨− φ1 + φ 2 − φ3 = 0 ⎪ − φ + 2φ = 0 2 3 ⎩
例：三自由度系统
⎡m 0 0 ⎤ M = ⎢0 m 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 m⎥ ⎣ ⎦
x1 2k m k m
x2 k m
x3 2k
⎡ 3k K = ⎢− k ⎢ ⎢0 ⎣
2
−k 2k −k
0⎤ − k⎥ ⎥ 3k ⎥ ⎦
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ 0 ⎣
2
6
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
k11 − ω m11 k 21 − ω 2 m21 M 2 k n1 − ω mn1
2
k12 − ω m12 k 22 − ω 2 m22 M 2 k n 2 − ω mn 2
2
L k1n − ω m1n L k 2 n − ω 2 m2 n =0 O M 2 L k nn − ω mnn
FM − λI = 0
X ∈ Rn
F = K −1 柔度矩阵
&& 自由振动的位移方程： FMX + X = 0
φ = [φ1 φ2 L φn ]T
λ 特征值
λ = 1/ ω 2
特征根按降序排列： λ1 ≥ λ 2 ≥ L ≥ λ n > 0
λi = 1 / ωi2
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
φ有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零
K −ω2M = 0
特征方程
k11 − ω m11 k 21 − ω 2 m21 M 2 k n1 − ω mn1
2
k12 − ω m12 k 22 − ω 2 m22 M 2 k n 2 − ω mn 2
2
L k1n − ω m1n L k 2 n − ω 2 m2 n =0 O M 2 L k nn − ω mnn
ωi、φ(i ) 代入，有：
( K − ωi2 M ) (i ) = 0 φ
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
( K − ωi2 M ) (i ) = 0 φ
φ(i ) = [φ1(i ) L φn(i ) ]T
当 ω i2 不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有 一个是不独立的
当 ω i 不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一 个不独立
φ 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 (i )的某个元 素（例如 φn(i )）的项全部移到等号右端
i ⎧(k11 − ωi2 m11 )φ1(i ) + … + (k 1,n −1−ωi2 m1,n −1 )φn(−)1 = −(k1n − ωi2 m1n )φn(i ) ⎪ M ⎨ ⎪(k 2 (i ) 2 (i ) 2 (i ) n −1,1 − ωi mn −1,1 )φ1 + … + ( k n −1, n −1 − ωi mn −1, n −1 )φn −1 = −( k n −1, n − ωi mn −1, n )φn ⎩
X ∈ Rn
ω >0
M、K ∈ R n×n
φ∈ Rn
φ 特征值问题： ( K − ω 2 M ) = 0
ω 特征值（固有频率）
n 自由度系统：
φ 特征向量（模态）
ωi
一一对应
i =1~ n
φ(i )
⎡φ1( i ) ⎤ ⎢ ⎥ φ(i ) = ⎢ M ⎥ ∈ R n×1 ⎢φn( i ) ⎥ ⎣ ⎦
m 2 α= ω k
α1 = 1
α2 = 3
α3 = 4
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ω1 = k / m ω2 = 1.732 k / m ω3 = 2 k / m
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的模态（主振型）
&& 正定系统： MX + KX = 0
主振动： X =φa sin(ω t + ϕ )
&&(t ) φT Kφ f − = T = λ = ω2 f (t ) φ Mφ
λ ：常数
M 正定，K 正定或半正定 对于非零列向量 φ ： 令：
φT Mφ > 0
φT Kφ ≥ 0
λ = ω2
ω≥0
对于半正定系统，有 ω ≥ 0
4
对于正定系统必有 ω > 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
可解出 φ1 = 1
φ2 = 2
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
( K − ωi2 M ) (i ) = 0 φ
φ(i ) = [φ1( i ) L φn(i ) ]T
i ⎧(k11 − ωi2 m11 )φ1(i ) + … + (k 1,n −1−ωi2 m1,n −1 )φn(−)1 = −(k1n − ωi2 m1n )φn(i ) ⎪ M ⎨ ⎪(k i − ωi2 mn −1,1 )φ1(i ) + … + (k n −1,n −1 − ωi2 mn −1,n −1 )φn(−)1 = −(k n −1,n − ωi2 mn −1,n )φn(i ) ⎩ n −1,1
φ 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 (i ) 的某个元 (i ) 素（例如 φn ）的项全部移到等号右端
i ⎧(k11 − ωi2 m11 )φ1(i ) + … + (k 1,n −1−ωi2 m1,n −1 )φn(−)1 = −(k1n − ωi2 m1n )φn(i ) ⎪ M ⎨ ⎪(k 2 (i ) 2 (i ) 2 (i ) n −1,1 − ωi mn −1,1 )φ1 + … + ( k n −1, n −1 − ωi mn −1, n −1 )φn −1 = −( k n −1, n − ωi mn −1, n )φn ⎩
⎡ 3k K = ⎢− k ⎢ ⎢0 ⎣
2
−k 2k −k
0 ⎤ − k⎥ ⎥ 3k ⎥ ⎦
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −k
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ − k ⎥ ⎢φ 2 ⎥ = 0 3k − mω 2 ⎥ ⎢φ 3 ⎥ ⎦⎣ ⎦ 0
φn(i ) = 1 为使计算简单，令：
则有： φ
(i )
=φ
[
(i ) 1
φ
(i ) 2
L φ
(i ) n −1
1
]
T
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
⎡m 0 0 ⎤ M = ⎢0 m 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 m⎥ ⎣ ⎦
x1 2k m k m
x2 k m
x3 2k
常数列向量 运动规律的时间函数
f (t ) ∈ R1
X = [ x1
x2 L xn ]T
φ = [φ1 φ2 L φn ]T3
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
&& MX + KX = 0
φT ： 代入，并左乘
X =φf (t )
X ∈ Rn
φ∈ Rn
φT Mφ&&(t ) +φT Kφf (t ) = 0 f
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
&& 正定系统： MX + KX = 0
主振动： X =φa sin(ω t + ϕ ) 将常数a并入 φ 中
X ∈ Rn
ω >0
M 正定，K 正定
φ = [φ1 φ2 L φn ]T
X =φ sin(ω t + ϕ )
2 φ 代入振动方程： ( K − ω M ) = 0
2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程：
&& MX + KX = P (t )
X ∈ Rn
&& 固有振动方程： MX + KX = 0
（自由振动方程）
M、K ∈ R n×n
P (t ) ∈ R n
在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动， 即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的 n 规律都相同的运动。 X ∈R X =φ f (t ) 假设系统的运动为： φ∈ Rn
λ = 1/ ω 2
？
(K − ω M ) = 0 φ
2
K φ = ω Mφ
2
1
ω2
Iφ = K −1 Mφ 1 I) = 0 φ
8
λ = 1/ ω 2
( FM统的自由振动
采用位移方程求解固有频率