实验四 Galton 钉板及二项分布的动画模拟

二项分布课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

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3.二项分布与两点分布有什么关系？
[答案] ①两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件 A 发生 X = 1 或不发
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生 X = 0 ；二项分布是指在 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 X 的分布列，试验次
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所以所求概率为
C41 <m>
×
0.8
×
0.23
×
0.8
=
0.02048
≈
0.02 </m>
.
即恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
方法总结运用 n 重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否
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为 n 重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两
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李某和智囊团解决项目 M 的概率．
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[答案]
李某独自一人解决项目 M 的概率 P = 0.3 ，智囊团研究项目 M ，他们各自独立解 <m>

高尔顿钉板R语言实验

【实验结论】 1．当取定小球数时，概率为 0.5 时整体图像大致为正态分布图，当概率小于 0.5 时图像最高点向左偏移，大于 0.5 时向右便宜。 2．当概率去定时，随着小球数目的增多，图像和正态分布图的拟合程度越来越高，但当小球数超过 10000 时，变化不明显。
高尔顿钉板试验【实验目的】 1、加强对正态分布的理解 2、了解独立同分布的中心极限定理 3、掌握 R 在计算机模拟中的应用【实验要求】 1、了解 R 程序文件的建立和运行，理解循环等控制语句的应用。 2、了解 R 的程序设计，掌握用 R 处理实际问题的能力。【实验内容】高尔顿钉板试验，这个试验是英国科学家高尔顿设计的，具体如下：自板上端放一个小球，任其自由下落。在其下落过程中，当小球碰到钉子时从左边落下的概率为 p，从右边落下的概率为 1-p，碰到下一排钉子又是如此，最后落到底板中的某一格子，因此任意放入一球，则此球落入哪个格子事先难以确定（设横排共有 m=20 排钉子，每一排钉子等距排列，下一排每个钉子恰好在上一排两相邻钉子中间）。（1）分别取 p=0.15,0.5,0.85，自板上端放入 n 个小球，取 n=5000，观察 n 个小球落下后呈现的曲线（直方图）。（2）固定 p=0.3，分别取 n=1000,10000,100000，观察小球落下后呈现的曲线的变化。【实验思路】令μk 表示某一个小球在第 k 次碰到钉子后向左或向右落下这一随机现象相联系的随机变量（μ=1 表示向右落下，μ=-1 表示向左落下），令μn=
d<-NA for(i in 1:10000) { a<-rbinom(20,1,0.3) b<-sum(a) d<-c(d,(b-10)) } hist(d)
d<-NA for(i in 1:100000) { a<-rbinom(20,1,0.3) b<-sum(a) d<-c(d,(b-10)) } hist(d)

[VIP专享]Galton钉板实验

Galton钉板实验一、实验内容某车间有200台车床互相独立的工作，由于经常需要检修、测量、调换刀具等种种原因需要停车，这使每台车床的开工率只有60％。

而每台车床在开动时需耗电1kW，显然向该车间供电200kW可以保证有足够电力供这些车床使用，但是在电力比较紧张的情况下，给这个车间供给电力太多将造成浪费，太少又影响生产。

如何解决这一矛盾？一种解决方案是保证有基本足够的电力供应该车间，比如要求在8小时的生产过程中允许有半分钟的电力不足，半分钟约占8小时的0.1％，用概率论的语言就是：应供应多少电力才能以99.9％的概率保证不会因为电力不足而影响生产？问题：（1）计算分布函数在某些点的取值F(m)，m＝0，1，2，…，200，并将它绘于图上，辅助某些必要的计算，求出问题中所需要的供电功率数。

（2）将8小时按半分钟分成若干时间段，共有8*60*2＝960个时间段。

用二项分布模拟8小时车床运行的情况。

观察已算得的供电功率数是否能基本满足车间正常工作，写出你的结论。

二、实验过程问题（1）编写程序如下：function bin() %200台车床正常工作的台数满足二项分布p=0.6; %正常工作概率n=200; %200次事件x=[0:5:n];f=binocdf(x,n,p);bar(x,f);axis([-1 201 0 1]); %坐标分配end运行结果：将上述程序的取样间隔改为一时，即x=[0:5:n]; 改为x=[0:1:n];结果如下：通过观察上面两幅结果，得出大约在m=140KW时电力才能以99.9％的概率保证不会因为电力不足而影响生产。

问题（2）模拟车床运行情况的函数代码为：function bin1n=200;p=0.6;m=960;rand('seed',3);R=binornd(n,p,1,m); %模拟服从二项分布的随机数,生成1*960的矩阵for i=1:n+1 %开始计数k=[];k=find(R==(i-1)); %找出R中等于(i-1)元素下标，并存于向量k中h(i)=length(k)/m; %计算落在编号i-1的格子的小球频率endx=[0:1:n];Bar(x,h);axis([-1 201 0 1]) ; %画频率图end运行后生成的分布图为：输入以下代码，计算服从n=200,p=0.6的二项分布的随机变量的分布列的理论值：function bin2n=200;p=0.6;x=[0:1:n];f=binopdf(x,n,p);bar(x,f);axis([-1 201 0 1]);end得到理论分布图为：通过对两图的对比可以看出，当进行大量次重复投球后，小球的堆积形状和理论上的分布情况（随机变量的分布列）非常接近。

基于Matlab的Galton钉板问题

基于Matlab的Galton钉板问题黄自力高鹏黄安康摘要在概率论的发展过程中，最早出现的研究对象是一种计算概率的数学模型，称为古典概型。

一般的说，若随机试验满足下列两个条件：（1）它的样本空间只有有限多个样本点;（2）每个样本点出现的可能性相同，称这种实验为有限等可能实验或古典概型，galton钉板实验就是其中之一。

关键词galton顶板二项分布 poisson分布正文在概率论的发展过程中，最早出现的研究对象是一种计算概率的数学模型，称为古典概型。

一般的说，若随机试验满足下列两个条件：（1）它的样本空间只有有限多个样本点;（2）每个样本点出现的可能性相同，称这种实验为有限等可能实验或古典概型，galton钉板实验就是其中之一。

Galton钉板试验是英国生物统计学家Galton设计的。

在一板上钉有n排钉子，如图示，其中n=5。

右图中15个圆点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个各子，分别编号为0，1，2，…，n。

从Galton钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等。

碰到下一排钉子时又是如此。

最后落入底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。

向Galton钉板扔进一个小球，显然不能预测小球回落到哪一个格子，如果不断重复扔进过程，将会发生什么结果呢?关于Galton“高尔顿等人关于回归分析的先驱性的工作，以及时间序列分析方面的一些工作，…是数理统计学发展史中的重要事件.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）高尔顿是英国人类学家、生物统计学家.1822年2月6日生于伯明翰,1911年1月17日卒于萨里郡黑斯尔米尔.高尔顿是生物学家达尔文的表弟.他早年在剑桥学习数学，后到伦敦攻读医学.1860年当选为皇家学会会员，1909年被封为爵士.1845—1852年深入到非洲腹地探险、考察.高尔顿是生物统计学派的奠基人，他的表哥达尔文的巨著《物种起源》问世以后，触动他用统计方法研究智力遗传进化问题，第一次将概率统计原理等数学方法用于生物科学，明确提出“生物统计学”的名词.现在统计学上的“相关”和“回归”的概念也是高尔顿第一次使用的，他是怎样产生这些概念的呢？1870年，高尔顿在研究人类身长的遗传时，发现下列关系：高个子父母的子女，其身高有低于其父母身高的趋势，而矮个子父母的子女，其身高有高于其父母的趋势，即有“回归”到平均数去的趋势，这就是统计学上最初出现“回归”时的涵义.高尔顿揭示了统计方法在生物学研究中是有用的，引进了回归直线、相关系数的概念，创始了回归分析.开创了生物统计学研究的先河.他于1889年在《自然遗传》中，应用百分位数法和四分位偏差法代替离差度量.在现在的随机过程中有以他的姓氏命名的高尔顿─沃森过程（简称G─W 过程）.高尔顿发表了200篇论文和出版了十几部专著，涉及人体测量学，实验心理学等领域，其中数学始终起着重要作用.他在统计学方面也有贡献，高尔顿在1877年发表关于种子的研究结果，指出回归到平均值（regression toward the mean ）现象的存在，这个概念与现代统计学中的“回归”并不相同，但是却是回归一词的起源。

Galton钉板实验

Galton钉板实验一、实验内容某车间有200台车床互相独立的工作，由于经常需要检修、测量、调换刀具等种种原因需要停车，这使每台车床的开工率只有60％。

而每台车床在开动时需耗电1kW，显然向该车间供电200kW可以保证有足够电力供这些车床使用，但是在电力比较紧张的情况下，给这个车间供给电力太多将造成浪费，太少又影响生产。

如何解决这一矛盾？一种解决方案是保证有基本足够的电力供应该车间，比如要求在8小时的生产过程中允许有半分钟的电力不足，半分钟约占8小时的0.1％，用概率论的语言就是：应供应多少电力才能以99.9％的概率保证不会因为电力不足而影响生产？问题：（1）计算分布函数在某些点的取值F(m)，m＝0，1，2， (200)并将它绘于图上，辅助某些必要的计算，求出问题中所需要的供电功率数。

（2）将8小时按半分钟分成若干时间段，共有8*60*2＝960个时间段。

用二项分布模拟8小时车床运行的情况。

观察已算得的供电功率数是否能基本满足车间正常工作，写出你的结论。

二、实验过程问题（1）编写程序如下：function bin() %200台车床正常工作的台数满足二项分布p=0.6; %正常工作概率n=200; %200次事件x=[0:5:n];f=binocdf(x,n,p);bar(x,f);axis([-1 201 0 1]); %坐标分配end运行结果：将上述程序的取样间隔改为一时，即x=[0:5:n]; 改为x=[0:1:n];结果如下：通过观察上面两幅结果，得出大约在m=140KW时电力才能以99.9％的概率保证不会因为电力不足而影响生产。

问题（2）模拟车床运行情况的函数代码为：function bin1n=200;p=0.6;m=960;rand('seed',3);R=binornd(n,p,1,m); %模拟服从二项分布的随机数,生成1*960的矩阵for i=1:n+1 %开始计数k=[];k=find(R==(i-1)); %找出R中等于(i-1)元素下标，并存于向量k中h(i)=length(k)/m; %计算落在编号i-1的格子的小球频率endx=[0:1:n];Bar(x,h);axis([-1 201 0 1]) ; %画频率图end运行后生成的分布图为：输入以下代码，计算服从n=200,p=0.6的二项分布的随机变量的分布列的理论值：function bin2n=200;p=0.6;x=[0:1:n];f=binopdf(x,n,p);bar(x,f);axis([-1 201 0 1]);end得到理论分布图为：通过对两图的对比可以看出，当进行大量次重复投球后，小球的堆积形状和理论上的分布情况（随机变量X的分布列）非常接近。

高尔顿(Galton)

高尔顿钉板
如下图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以 1/2 的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对
1 2
a1，1=（）2= C 2 )0（）2—0 2 (
显然成立。 2．假设 n=k（k≥2）成立（即假设第 n 行每一个数据都成立）。即 ak，i= C ik （）k—i( )i 当 n=k+1 时，ak+1，0=
1 2 1 2 1 2
ak，0=
1 2
1 2
C0 ）k—0 ( )0 k（
ak+1，i= =
1 2
ak，i-1+
1 2
ak，i
1 2 1 2
1 2
C ik-1 （）k-(i-1)( )i-1+
1 2
1 2
C ik （）k-i( )i
1 2
1 2
=（ C ik-1 + C ik ）（）k+1 = C ik 1 （）(k+1)-i（）i ∴在 n=k 成立的条件下，n=k+1 也成立。 3．由 1，2 得，原命题成立。由此可知：做一个小球的高尔顿（钉）板试验落入第 i 个空的概率正好满足二项分布。由大量小球做高尔顿（钉）板试验可知道，小球在各个空格落入的数量关系满足正态分布（已有人发布了试验的动画在此就不做说明）。

高尔顿(Galton)

“回归”名称的由来-――高尔顿的父子身高试验引自汪荣伟主编的《经济应用数学》高尔顿（Frramcia Galton,1882-1911）早年在剑桥大学学习医学，但医生的职业对他并无吸引力，后来他接受了一笔遗产，这使他可以放弃医生的生涯，并与 1850－1852
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高尔顿钉板
如下图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以 1/2 的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对
1 2 1 2
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= C0 ）(k+1)－0 ( )0 k 1 （ ak+1，k+1=

高尔顿板完整推导过程

高尔顿板完整推导过程（最新版）目录1.高尔顿板的概念与背景2.高尔顿板的推导过程3.高尔顿板的应用与意义正文一、高尔顿板的概念与背景高尔顿板（Galton board）是一种用于模拟弹珠落点的实验装置，由英国统计学家弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton）于 1890 年提出。

高尔顿板主要用于研究随机事件的统计规律，尤其是用于验证泊松分布的规律。

在高尔顿板实验中，弹珠从一定高度自由落下，落在木板或金属板上，形成点迹，根据点迹的分布可以推断出事件发生的概率。

二、高尔顿板的推导过程1.建立坐标系首先，在平面上建立一个坐标系，以横坐标表示木板或金属板的长度，纵坐标表示宽度。

2.确定落点将弹珠随机投放在坐标系内的任何一个位置，假设其落点为 (x, y)。

3.计算落点概率根据概率论中的泊松分布原理，弹珠落在某个区域的概率与该区域面积成正比。

因此，我们可以根据落点 (x, y) 计算出其所在区域的面积，然后根据泊松分布的规律计算出落点概率。

4.统计落点分布重复上述步骤，进行多次实验，统计弹珠在不同区域落点的次数，得到落点分布的统计数据。

5.对比理论分布将实验得到的落点分布统计数据与泊松分布理论值进行对比，观察其是否一致。

如果两者一致，说明泊松分布在高尔顿板实验中得到了验证。

三、高尔顿板的应用与意义高尔顿板的应用主要在于验证泊松分布的规律，泊松分布在很多实际问题中都有应用，如排队论、生物统计学、保险数学等。

通过高尔顿板实验，我们可以直观地观察到随机事件的概率分布规律，加深对概率论的理解。

此外，高尔顿板实验还可以作为一种科普手段，向大众普及概率论知识。

总之，高尔顿板作为一种经典的概率论实验装置，既具有理论价值，也有实际应用意义。

实验四 Galton 钉板及二项分布 的动画模拟

二项分布 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

高尔顿钉板R语言实验

[VIP专享]Galton钉板实验

基于Matlab的Galton钉板问题

Galton钉板实验

高尔顿(Galton)

高尔顿(Galton)

高尔顿板完整推导过程

实验四 Galton 钉板及二项分布的动画模拟

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