专题跟踪突破二规律探索型问题
初中数学真题详解及考点各个击破跟踪基础过关能力提升检测 专题二_规律探索型问题
【点拨】连接 AC，BD，根据菱形和矩形及三角形的中位 线定理可得， 矩形 A1B1C1D1 的周长为 2(5＋5 3)， 菱形 A2B2C2D2 的周长为 20，矩形 A3B3C3D3 的周长为 5＋5 3，菱形 A4B4C4D4 5＋5 3 的周长为 10，矩形 A5B5C5D5 的周长为 ，菱形 A4B4C4D4 2 的周长为 5， ……所以四边形 A2 013B2 013C2 013D2 013 的周长即为第 25＋5 3 5＋5 3 1 007 个矩形的周长为 .故填 20， 1 005 . 21 006 2 5＋5 3 【答案】 20， 1 005 2
新课标初中升学考试数学过教材系列
一点点建议：
心要明、路要准、
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出错、记错、要知错，
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专题二
规律探索型问题
升学考试真题详解
考点一 数字类规律探索问题 例 1 (2013· 日照 )如图，下列各图形中的三个数之 间均具有相同的规律．根据此规律，图形中 M 与 m，n 的关系是 ( )
11．(2013· 衡阳)观察下列按顺序排列的等式：a1＝ 1 1 1 1 1 1 1 1－ ，a2＝ － ，a3＝ － ，a4＝ － ，…，试猜想第 3 2 4 3 5 4 6 1 1 n 个等式(n 为正整数)an＝ － n n＋2 .
解析：观察可得，等式右边分数的分子都是 1，被 减数的分母比减数的分母小 2，且被减数的分母与左边 1 1 a 的序号相同，所以第 n 个等式 an＝ － . n n＋2
2
5．已知整数 a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1 依次类推，则 a2 014 的值为( A．－1 005 C．－1 007 C )
中考数学复习 专题2 规律探索型问题数学课件
2．解图形规律探索题的方法： 第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后 一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化， 然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数； 函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数 看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组 数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图 形外格点的数目．
[对应训练] 4．在由 m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小 正方形个数 f， (1)当 m，n 互质(m，n 除 1 外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
[对应训练] 2．(2015·咸宁)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规 律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计算 a1＋ a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算 a399＋a400＝__1.6×105 或 160_000__．
1．(2015·德州)一组数 1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的 两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15 2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，
二轮专题复习课件专题规律探索型问题
《二轮专题复习ppt课件专题规律探索型问题》xx年xx月xx日contents •专题概述•专题基础知识梳理•专题解题方法与技巧•专题规律探索与实战演练•总结与展望目录01专题概述规律探索型问题在数学中占据重要地位，涉及的知识面广泛，解题方法灵活多变，是历年高考的重点和难点。
在二轮复习阶段，学生已经具备了一定的数学基础和解题经验，但仍然需要进一步提高对规律探索型问题的理解和解题能力。
专题背景介绍1专题复习目标23通过对规律探索型问题的系统复习，使学生全面掌握这一类问题的解题思路和方法。
提高学生的思维能力和创新能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。
帮助学生掌握解题技巧，提高解题速度和准确率。
重点掌握规律探索型问题的基本特点和解题思路，熟悉常见的解题方法和技巧。
难点如何灵活运用所学知识解决实际问题，如何培养学生的创新思维和分析问题的能力。
专题重点难点分析02专题基础知识梳理回顾初中数学的基础知识，包括代数、几何、概率等。
强调初中数学的重要概念和公式，例如因式分解、二次函数、三角形全等和相似等。
针对学生的薄弱环节进行有针对性的复习，提高学生对基础知识的掌握程度。
基础知识回顾重点知识精讲重点讲解初中数学的重点知识，包括方程、函数、圆等。
针对重点知识进行深入的剖析和讲解，使学生能够深入理解和掌握重点知识。
通过例题和练习题使学生能够熟练运用重点知识解决实际问题。
03通过练习题和模拟题进行实战演练，使学生能够更好地掌握易错易混知识点。
易错易混知识点解析01总结初中数学中的易错易混知识点，例如分式方程的解法、二次函数的图像和性质等。
02对易错易混知识点进行详细的解析和辨析，帮助学生避免在考试中犯错。
03专题解题方法与技巧解题方法总结在解决规律探索型问题时，首先要明确问题的定义域，即确定问题的范围和所涉及的概念、对象等。
定义域优先原则对于涉及数量关系的问题，可以采用数形结合的方法，将数量关系转化为图形关系，以更直观地解决问题。
探索型问题
中考冲刺二：探索性问题一、热点分析探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍.初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件——演绎——结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律.通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：1.条件探索型结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目.2.结论探索型给定条件但无明确结论或结论不唯一，而需探索发现与之相应的结论的题目.3.存在探索型在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.4.规律探索型在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目.由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律.2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.3.分类讨论法.当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证.以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.二、经典例题透析类型一：条件探索型1．(呼和浩特市)在四边形中，顺次连接四边中点，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形.这个条件是__________.解：或四边形是等腰梯形(符合要求的其它答案也可以).举一反三：【变式1】(荆门市)将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1.(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________.(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________.(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________.(图3、图4用于探究)解：(1)是，此时AD BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2)是，在平移过程中，始终保持AB C1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(3)，此时∠ABC1=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形.，此时点D与点B1重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【变式2】(广东)如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合.连结CP，过点P作PD交AB于点D.(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标.解：(1)过C作CF⊥OA于F，BE⊥OA于E则△OCF≌△ABE，四边形CDEB为矩形∴OF=AE，CF=BE∵OC=AB=4，∠COA=60°∴CF=，OF=2∴CB=FE=3∴OE=OF+FE=5∵BE=CF=∴B(5，)；(2)若ΔOCP为等腰三角形，∵∠COP=60°，此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形若ΔOCP为等边三角形，OP=OC=PC=4，且点P在x轴的正半轴上，∴点P的坐标为(4，0)若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形，则点P在x轴的负半轴上，且OP=OC=4∴点P的坐标为(-4，0)∴点P的坐标为(4，0)或(-4，0)；(3)∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°∴∠OPC+∠DPA=120°又∵∠PDA+∠DPA=120°∴∠OPC=∠PDA∵∠COP=∠A=60°∴△COP∽△PAD∴∵，AB=4∴∴即∴得OP=1或6∴P点坐标为(1，0)或(6，0).类型二、结论探索型2．(云南省)已知：如图，四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足为F. 请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明.解：经探求，结论是：DF=AB.证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB.∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，∵AE=AD ，∴△ABE≌△DFA.∴AB=DF.举一反三：【变式1】(北京市)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；(2)如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，.请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；(3)在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.解：(1)回答正确的给1分(如平行四边形、等腰梯形等).(2)答：与相等的角是(或). 四边形是等对边四边形.(3)答：此时存在等对边四边形，是四边形.证法一：如图1，作于点，作交延长线于点.∵，为公共边，∴.∴.∵，，∴.可证.∴.∴四边形是等边四边形.证法二：如图2，以为顶点作，交于点.∵，为公共边，∴.∴，.∴.∵，，∴.∴.∴.∴.∴四边形是等边四边形.说明：当时，仍成立.只有此证法，只给1分.【变式2】(山东滨州)如图1所示，在中，，，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动.(1)点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置.若不能，请说明理由.(2)当时，设，，求与之间的函数解析式，写出的取值范围.(3)在满足(2)中的条件时，若以为圆心的圆与相切(如图2)，试探究直线与的位置关系，并证明你的结论.解：如图，(1)点移动的过程中，能成为的等腰三角形.此时点的位置分别是：①是的中点，与重合.②.③与重合，是的中点.(2)在和中，，，.又，..，，，.(3)与相切.，..即.又，..点到和的距离相等.与相切，点到的距离等于的半径.与相切.类型三、存在探索型存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在.3．(山东省威海市)抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)过点A(1，-3)，B(3，-3)，C(-1，5)，顶点为M点.(1)求该抛物线的解析式；(2)试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90°.若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标.解：(1)y=x2-4x(2)易求得顶点M的坐标为(2，-4).设抛物线上存在一点P，使OP⊥OM，其坐标为(a，a2-4a).过P作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，则∠POE+∠MOF=90°，∠POE+∠EPO=90.∴∠EPO=∠FOM.∵∠OEP=∠MFO=90°，∴Rt△OEP∽Rt△MFO.∴OE：MF=EP：OF.即(a2-4a)：2=a：4.解得a1=0(舍去)，.故抛物线上存在一点P，使∠POM=90°，P点的坐标为.举一反三：【变式1】(武汉市)已知：二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1，0)、B(x2，0)两点，交y轴正半轴于点C，且x12+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；(2)是否存在过点的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E 对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.解：(1)依题意，得x1x2=m，x12+x22=10，∵x1+x2=m+1，∴(x1+x2)2-2x1x2=10，∴(m+1)2-2m=10，m=3或m=-3，又∵点C在y轴的正半轴上，∴m=3.∴所求抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)假设存在过点的直线与抛物线交于两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称.∵M、N两点关于点E对称，∴. 设直线MN的解析式为：.由得∴k(k+4)-5=0，∴k=1或k=-5.当k=-5时，方程的判别式，∴k=1，∴直线MN的解析式为.∴存在过点的直线与抛物线交于M、N两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称.【变式2】(乐山)如图，在矩形中，，.直角尺的直角顶点在上滑动时(点与不重合)，一直角边经过点，另一直角边交于点.我们知道，结论“”成立.(1)当时，求的长；(2)是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.解：(1)在中，由，得，由知，.(2)假设存在满足条件的点，设，则由知，，解得，此时，符合题意.类型四、规律探索型规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题.4．(湖南衡阳)观察算式：1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52 ；……用代数式表示这个规律(n为正整数)：1+3+5+7+9+…+(2n-1)=______________________.解：由以上各等式知，等式左端是从1开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.填n2.举一反三：【变式1】(吉林省)如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖数为___________.解：根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论.第1个图案有白色瓷砖5(即2+3×1)块；第2个图案有白色瓷砖8(即2+3×2)块；第3个图案有白色瓷砖11(即2+3×3)块. 由此可得，第n个图案有白色瓷砖(2+3n)块. 填3n+2.【变式2】(资阳)设a1=32-12，a2=52-32，…，a n=(2n+1)2-(2n-1)2 (n为大于0的自然数).(1)探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数(不必说明理由) .解：(1) ∵，又n为非零的自然数，∴a n是8的倍数.这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数.(2) 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256.n为一个完全平方数的2倍时，a n为完全平方数.。
中考数学二轮复习专题2 规律探索问题课件
B.(－1，－2) D.(3，－2)
9．(2021·阜新)如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在(0，2)．将弓 形沿 x 轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为 2021π 时，圆心的横 坐标是( D )
A.2020π C.2021π
B.1010π＋2020 D.1011π＋2020
10．(2021·毕节)如图，在平面直角坐标系中，点 N1(1，1)在直线 l：y＝x 上，
[点评] 本题考查了规律型中的数式变化规律，解题的关键是找出等式左右 两边的数的变化规律，熟练掌握二次根式的运算．
1.(2021·济宁)按规律排列的一组数据：12，35，□，177，296，3171，…，其中□
内应填的数是( D )
A.23
B.151
C.59
D.12
2．(2021·十堰)将从 1 开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于 第 4 行第 3 列的数为 27，则位于第 32 行第 13 列的数是( B )
图形规律型 ☞示例 2 (2016·益阳)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第 1 个图案有 1 枚棋子，第 2 个图案有 3 枚棋子，第 3 个图案有 4 枚棋子，第 4 个图案有 6 枚棋子，…，那么第 9 个图案的棋子数是 13 枚．
[解析] 设第 n 个图形有 an 个棋子， 观察，发现规律：a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝3＋1＝4，a4＝4＋2＝6， a5＝6＋1＝7，…，a2n＋1＝3n＋1，a2n＋2＝3(n＋1)(n 为自然数)． 当 n＝4 时，a9＝3×4＋1＝13. 故第 9 个图案的棋子数是 13 枚．
[点评] 本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变化规律 “a2n＋1＝3n＋1，a2n＋2＝3(n＋1)(n 为自然数)”．本题属于基础题，难度不 大，解决该题型题目时，找出部分图形的棋子数目 ，根据数的变化找出变 化规律是关键．
中考备战策略 2017中考数学(人教)复习：第二部分 专题突破 专题二 规律探索型问题
【解析】第 1 个圆和第 2 个圆之间的阴影部分的 面积为 (2 － 1 )π＝ 3π；第 3 个圆和第 4 个圆之间的阴 影部分的面积为 (4 － 3 )π＝ 7π；第 5 个圆和第 6 个圆 之间的阴影部分的面积为 (6 － 5 )π＝ 11π； …；第 19 个圆和第 20 个圆之间的阴影部分的面积为(20 － 19 )π ＝ 39π.∴ 阴影部分的面积为 3π＋ 7π＋ 11π＋ 15π＋ 19π ＋ 23π＋ 27π＋ 31π＋ 35π＋ 39π＝ 210π.故选 B． 【答案】 B
3 3 即正六边形 A3B3C3D3E3F3 的边长为 ＝ 3－ 2 ， …， 2 2 正六边形 AnBnCnDnEnFn 3) ( 的边长为 2
n－ 1
( )
3－ 1
n－ 2
，∴当 n＝
10－ 1
10 时，正六边形 A10B10C10D10E10F10 3) × ( ＝
8
3) ( 的边长为 2
10－ 2
2 2 2 2 2 2 2 2
二、填空题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 9．(2016· 南宁 )观察下列等式： 【导学号 90280410】 第 1层 第 2层 第 3层 第 4层 1＋ 2＝ 3 4＋ 5＋ 6＝ 7＋ 8
9＋ 10＋ 11＋ 12＝ 13＋ 14＋ 15
16＋ 17＋ 18＋ 19＋ 20＝ 21＋ 22＋ 23＋ 24
2．如图，正方形 ABCD 的边长 为 2， 其面积标记为 S1， 以 CD 为斜 边作等腰直角三角形，以该等腰直 角三角形的一条直角边为边向外作 正方形，其面积标记为 S2， ……按 照此规律继续下去，则 S2 017 的值为( 2 A． 2 2 014 2 B． 2 2 015 )
规律探索型问题
2 1 1
第 5 个等式： ＝ ＋ ，
9 5 45
…
按照以上规律，解决下列问题：
2 1 1
(1)写出第 6 个等式： 11＝6＋66
；
(2)写出你猜想的第 n 个等式：
2
1
1
＝ ＋
2n－1 n n（2n－1）
(用含 n 的等式表示)。
二
数式规律型
1．[2019·云南]按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，…第 n 个单项式是
∴第 2 019 个图形中共有 1＋3×2 019＝6 058 个〇
三
图形变化归纳型
1.通过观察图形搜集数据；
思路
总结
2.运用数据分析发现事实并进行猜想；
3.通过数据的结构分析进行验证或证明；
4.基于直觉和图形的几何结构创造性地
理解事实， 通过数形的结合，最后给出
问题的解答。
四
几何方法归纳型
例题4.如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD, 对角线AC和 BD相交于点O,若AC⊥BD,BO=2AO，
625
第 20 行第 19 个数是__________.
解：观察可知第一行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3 个数，…
则前 20 行共有
1＋2＋3＋…＋19＋20＝210 个数，
∴第 20 行第 20 个数是 1＋3×(210－1)＝628，
∴第 20 行第 19 个数是
628－3＝625.
一
三
图形变化归纳型
例题 3.[2019·曲靖]观察下图，它们是按一定规律排列的，照此规律，第 n 个图形
中“ ”的个数是(
A．4n＋4
C
2020年中考数学热点专题二 规律探究问题解析版
2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。
探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。
学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。
创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题.归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。
它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.结合2019年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳.考向1 数字类规律探究型问题1. (2019·海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______.2.（2019·黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043L L L L则第20行第19个数是_____________________．3.（2019·武威）已知一列数a，b，a b+，35+，⋯⋯，按照这个规律写下去，第9a ba b+，2a b+，23个数是．4.（2019·云南）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（）A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）n x2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）n x2n＋15. (2019·聊城) 数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A n(n≥3，n是整数)处，那么线段A n A的长度为________(n≥3，n是整数).6．（2019·安顺）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是．7.（2019·永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a＋b)n的展开式(按b的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15的展开式按x的升幂排列得：(s＋x)15=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15．依上述规律，解决下列问题：(1)若s=1，则a2= ．(2)若s=2，则a0＋a1＋a2＋…＋a15= ．考向2几何图形类规律探究型问题1．（2019·毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方2.（2019·天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．3.（2019·甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n __________．4. (2019·大庆)归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n个"T"字形需要的棋子个数为______.5.（2019·龙东地区）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第三个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面积分别为S1，S2，S3…，如此下去，则S2019=________．6. （2019 ·扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++⋯++++⋯+=__________．考向3 点的坐标变化的规律探究型问题1.（2019 ·河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4）.将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10）2.（2019·菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是（ ）A ．（1010，0）B ．（1010，1）C ．（1009，0）D ．（1009，1）3. （2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使A 4AA 11260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为__________．4. (2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，函数x y 33=和x y 3-=的图象分别为直线1l ，2l ，过1l 上的点A 1（1，33）作x 轴的垂线交2l 于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交1l 于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交2l 于点A 4…，一次进行下去，则点2019A 的横坐标为 .5. （2019·本溪）如图，点B 1在直线l ：12y x =上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为6. （2019·齐齐哈尔） 如图，直线l ：y=133+x 分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线L 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线L 于点A 3；依此规律...若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积S 3...，则Sn=__________．2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。
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专题跟踪突破二规律探索型问题
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2013·泰安)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32013的末位数字是( C) A．0 B．1 C．3 D．7
解析：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…∴末尾数每4个一循环，∵2013÷4＝503…1，∴3＋32＋33＋34＋…＋32013的末位数字为3
2．(2014·武汉)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中点的个数是( B )
A．31 B．46 C．51 D．66
解析：第1个图中共有1＋1×3＝4个点，第2个图中共有1＋1×3＋2×3＝10个点，第3个图中共有1＋1×3＋2×3＋3×3＝19个点，…第n个图有1＋1×3＋2×3＋3×3＋…＋3n个点．所以第5个图中共有点的个数是1＋1×3＋2×3＋3×3＋4×3＋5×3＝46.故选：B
3．(2014·十堰)根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的( D )
A.B.C.D.
解析：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，(2013＋1)÷4＝503…2，∴2013是第504个循环组的第2个数，∴从2013到2014再到2015，箭头的方
向是.故选D
4．(2015·邵阳)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是( D )
A．2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π
,第4题图),第5题图)
5．(2015·宜宾)如图，以点O 为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1，2，3，4，…，20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为( B )
A ．231π
B ．210π
C ．190π
D ．171π
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．(2014·毕节)观察下列一组数：14，39，516，725，936
，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__2n －1（n ＋1）__． 7．(2014·娄底)如图是一组有规律的图案，第一个图案由4个▲组成，第二个图案由7个▲组成，第三个图案由10个▲组成，第四个图案由13个▲组成，…，则第n(n 为正整数)个图案由__3n ＋1__个▲组成．
解析：观察发现：第一个图形有3×2－3＋1＝4个三角形；第二个图形有3×3－3＋1＝7个三角形；第三个图形有3×4－3＋1＝10个三角形；…第n 个图形有3(n ＋1)－3＋1＝3n ＋1个三角形；故答案为3n ＋1
8．(2015·甘孜州)如图，正方形A 1A 2A 3A 4，A 5A 6A 7A 8，A 9A 10A 11A 12，…，(每个正
方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A 1，A 2，A 3，A 4；A 5，A 6，A 7，A 8；A 9，A 10，A 11，A 12；…)的中心均在坐标原点O ，各边均与x 轴或y 轴
平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A 20的坐标为__(5，－5)__．
9．(2014·菏泽)下面是一个按照某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第n(n 是整数，且n≥3)行从左到右数第n －2个数是
．(用含n 的代数式表示)
前(n －1)行的数据的个数为2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n(n －1)，所以，第n(n 是整数，且n≥3)行从左到右数第n －2个数的被开方数是n(n －1)＋n －2＝n 2－2，所以，第n(n 是整数，且n≥3)行从左到右数第n －2个数是n 2－2.故答案为n 2－2
,第8题图) ,第10题图)
10．(2015·北海)如图，直线y ＝－2x ＋2与两坐标轴分别交于A ，B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P 1，P 2，P 3，…，P n －1，过每个分点作x 轴的
垂线分别交直线AB 于点T 1，T 2，T 3，…，T n －1，用S 1，S 2，S 3，…，S n －1分别表示Rt △T 1OP 1，Rt △T 2P 1P 2，…，Rt △T n －1P n －2P n －1的面积，则当n ＝2015时，S 1＋S 2＋
S 3＋…＋S n －1＝__10072015
__． 三、解答题(共40分)
11．(12分)(2014·宜宾)在平面直角坐标系中，若点P(x ，y)的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点，若一个多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ，例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.
(1)求出图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L ；
(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝N ＋aL ＋b ，其中a ，b 为常数，若某格点多边形对应的N ＝82，L ＝38，求S 的值．
解：(1)观察图形，可得S ＝3，N ＝1，L ＝6
(2)根据格点三角形ABC 及格点四边形DEFG 中的S ，N ，L 的值可得，
⎩⎨⎧4a ＋b ＝1，1＋6a ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－1，
∴S ＝N ＋12L －1，将N ＝82，L ＝38代入可得S ＝82＋12
×38－1＝100
12．(12分)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？
(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
解：(1)寻找规律：第一个图需棋子6＝3×2，第二个图需棋子9＝3×3，第三个图需棋子12＝3×4，第四个图需棋子15＝3×5，∴第五个图需棋子3×6＝18.答：第5个图形有18颗黑色棋子(2)由(1)可得，第n个图需棋子3(n＋1)颗，设第n个图形有2013颗黑色棋子，则3(n＋1)＝2013，解得n＝670.答：第670个图形有2013颗黑色棋子
13．(16分)(2015·六盘水)毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究：
第n层的几何点数是n；∵前三层正方形的几何点数分别是：1＝2×1－1、3＝2×2－1、5＝2×3－1，∴第六层的几何点数是：2×6－1＝11，第n层的几何点数是2n－1；∵前三层五边形的几何点数分别是：1＝3×1－2、2＝3×2－2、3＝3×3－2，∴第六层的几何点数是：3×6－2＝16，第n层的几何点数是3n－2；前三层六边形的几何点数分别是：1＝4×1－3、5＝4×2－3、9＝4×3－3，∴第六层的几何点数是：4×6－3＝21，第n层的几何点数是4n－3
故答案为：6，11，16，21，n，2n－1，3n－2，4n－3。