(管理)第六章 第3节 体积

事 实 上:
V y 2 x f ( x )dx
a
b
y
y f ( x)
(1)取x为积分变量a x b ,
o
（）在典型区间 , x dx]求微元 2 [x
(3)积分
a x x dx b
x
dV 2xf ( x )dx
V y 2 x f ( x )dx
a b
例4 设半径为 r 的圆，其圆心在点 ( R,0) 处( R r ) ， 求将此圆绕 y 轴旋转一周而
(2)求此平面图形绕 x轴及y轴旋转体的体积 .
dx 2 y dy x 3 1 点A的 切 线 斜 率 k dx y 1 2 o 曲线在点 处的法线方程 A y 1 2( x 3) 2 x y 7 0
解: x y 2 dy 1 dx 2 ydy
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20 y 2 dx 2 ab 2 sin 3t d t
4 2 2 ab 1 ab 2 3 3
2
a
2) 、 如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线
y x ( y ) 、直线 y c 、y d 及 轴所围成 的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体
成一环体的体积。
方法一由题意圆的方程为
( x R)2 y 2 r 2
x1, 2 R r 2 y 2
(1)取y为积分变量 r y r; ,
(2)在[ y, y y]上求微元
2 2 dV x2 dy x12dy ( x2 x12 )dy
2 2 [( R r 2 y 2 ) 2 ( R r 2 y 2 ) 2 ]dy 4R r y dy
计算圆锥体的体积．
解 直
o
r y x h
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为
r x dx dV h
2
y
P
r
o
h
x
圆锥体的体积
V
dV [ f ( x )] dx
2
a
x x dx
b
(3)积分 旋转体的体积为
V y dx [ f ( x )] dx
2 2 a a
b
b
例 1 连接坐标原点O 及点P ( h, r ) 的直线、直线
x h 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴 旋转构成一个底半径为 r 、高为h 的圆锥体，
o
x x dx a
x
(2)在[ x, x dx]上求微元
2
(3)积分
b 2 (a 2 x 2 )dx dV y dx a
2
4 b2 2 2 2 V 2 (a x )dx ab a 3 a
a
注:
4 2 1、若绕 y轴旋转， a b V 3 4 3 2、当a b时，V a 3
P
2 2
dy
Q
M
dV [ PM QM ]dy
[ (3 4 y ) (3 4 y ) ]dy
2 2
3
12 4 ydy,
V 12
4 0
4 ydy 64 .
2、平行截面面积为已知的立体的体积
已知一立体的平行截面 的面积为 ( x ), A y 则立体的体积为 : A( x )
h
0
hr 2 r x dx r x 2 . 3 h 3 0 h
2
2
3 h
x2 y2 例2 计 算 椭 圆 2 2 1绕x轴 旋 转 形 成 的 a b y 椭球体积
解 : 上半圆方程
b a 2 2 y a x a (1)取积分变量为,a x a x
第三节 立体的体积
1、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，1)、如果旋转体是由 y f ( x ) 、直线 x a 、 x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 轴 x 旋转一周而成的立体，体积为多少？ y 微 元 法: y f ( x) (1)取x为积分变量a x b, , o (2)在[ x, x dx]上求微元 x
底圆方程为
o
2

y
x y R
2 2
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形 1 2 A( x ) ( R x 2 ) tan , 截面面积 2 2 3 1 R 2 2 立体体积 V (R x ) tan dx R tan . 3 2 R
x
习题六 P205
A:14,16,18
V

b
a
A( x )dx.
微元法
o
(1)取x为积分变量a x b ,
(2)在[ x, x dx]上求微元
a x x dx b
x
(3)积分
dV A( x )dx ,
V

b
a
A( x )dx.
例 8 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心， 并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体 的体积. 解 取坐标系如图 R
积为
V
微 元 法: (1)取y为积分变量c y d , ,
c
d
[ ( y)]2 dy
y
d
y dy
(2)在[ y, y dy]上求微元
dV [ ( y )] dy
2
y c
o
x ( y)
(3)积分
x
V [ ( y)] dy
2
d
c
例3 求由y x 2 , y 2, x 0所围成的图形
(3)积分
V 4R r y dy 8 R r 2 y 2 dy 2 2 r 2 R
2 2 r 0 r r
方法二
(1)取x作为积分变量 , x [ R r , R r ]
(2)在[ x, x dx]上求微元
dV 2x 2 ydx 4xydx
绕y轴旋转的体积 .
y
解:
y x x y
2
o
y x2
V [ ( y )] dy
2 a
b
x
ydy 2
0
2
3)、 如果旋转体是由 y f ( x ) ， f ( x ) 0 直 y 线 x a 、 x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋 转一周而成的立体，体积为
(3)积分V
令x t R
R r
Rr
4xydx 4
R r

4 ( t R ) r 2 t 2 dt 8
r r

Rr r
x r ( x R) dx
2 2
0
R r 2 t 2 dt 2 2 r 2 R
例6 一平面图形是由抛物线 y 2 2与 x 过点A(3,1)处的法线及轴、y轴所围成， x (1)求此平面图形的面积 ;
2 2
2 8 1 7 y 2 2 Vy ( ) dy ( y 2) dy 23 1 0 15 2 7
例 7 求由曲线 y 4 x 及 y 0 所围成的图形 绕直线 x 3 旋转构成旋转体的体积.
2
解
取积分变量为y , y [0,4]
体积元素为
2
y B
A
2
3
x
B点坐标为0,7) (
3 (7 1) 3 S x 2dx 2 2
y B ( 0 ,7 )
2x y 7 0
A
2 34 12 3 3
3 3
o
2 3
x y 2
2
x
105 Vx (7 2 x ) dx ( x 2 ) dx 0 2 2