高二数学随机事件的概率1
高二数学：3.1.1 随机事件的概率 课件 (北师大必修3)
(1)试计算男婴各年出生频率（精确到0.001）； (2)该市男婴出生的概率约是多少？ 11453 0.524 . 解题示范： (1)1999年男婴出生的频率为：
21840
同理可求得2000年、2001年和2002年男婴出生的频率分别为：
0.521,0.512,0.512. (2)各年男婴出生的频率在0.51~0.53之间，故该市男婴出生
3、频率是概率的近似值，随着试 验次数的增加，频率会越来越接近 概率。
例2.某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人） 如下： 时间 1999年 21840 11453 2000年 23070 12031 2001年 2002年 20094 19982 10297 10242
出生婴儿数 出生男婴数
3.1.1随机事件的概率
问题情境
木柴燃烧,产生热量
明天，地球还会转动
实心铁块丢入水中,铁块浮起
在00C下，这些雪融化
在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种 结果，这种现象就是确定性现象.
转盘转动后，指针指 向黄色区域
这两人各买1张彩票， 她们中奖了
在一定条件下，某种现象可能发生也可能不 发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就 是随机现象.
抛掷100枚质地均匀的硬币，有下列一些说法:
①全部出现正面向上是不可能事件；
②至少有1枚出现正面向上是必然事件； ③出现50枚正面向上50枚正面向下是随机事件， 以上说法中正确说法的个数为 A．0个 B.1个 C.2个 D.3个 （B ）
下列说法正确的是 ( C ) A.任何事件的概率总是在（0，1）之间 B.频率是客观存在的，与试验次数无关 C.随着试验次数的增加，频率一般会非常接近概率 D.概率是随机的，在试验前不能确定
高二数学：3.1.1 随机事件的概率 课件 (北师大必修3)
试判断这些事件发生的可能性：
（1）木柴燃烧，产生热量 必然发生 （2）明天,地球仍会转动 必然发生 必然事件
（3）实心铁块丢入水中,铁块浮起 不可能发生 （4）在标准大气压00C以下，雪融化 不可能发生 （5）在刚才的图中转动转盘后，指针 指向黄色区域 可能发生也可能不发生 （6）两人各买1张彩票，均中奖 可能发生也可能不发生
某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表:
投篮次数 进球次数
8 6
0.75
10 8
0.80
15 12
0.80
20 17
0.85
30 25
0.83
40 32
0.80
50 39
0.78
进球频率
(1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少? 概率约是0.8 (3)这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能 投中8次吗? 不一定. 投10次篮相当于做10次试验,每次试验的结果都是随 机的, 所以投10次篮的结果也是随机的.
投掷一枚硬币，出现正面可能性有多大？
• 大家亲手做的试验才是真正的重复试验
• 计算机模拟只是掷硬币实验的一种近似， 它是用数学方法近似模拟这个试验的
活动 与 探究
抛硬币试验
试验次 数(n)
10 100 500 5000 10000 20000 50000 出现正 面的次 数(m) 2 54
摸彩球试验(3个球里有2个红球）
事件的表示:以后我们用A、B、C等大写字母表示随 机事件，简称事件.
数学运用
例1.判断哪些事件是随机事件,哪些是必然事件, 哪些是不可能事件？ 事件A:抛一颗骰子两次,向上的面的数字之和 大于12. 不可能事件 事件B:抛一石块,下落
高二数学概率知识点总结
高二数学概率知识点总结
一、随机事件的概率
1. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
2. 必然事件：在一定条件下必然发生的事件。
3. 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
4. 概率的定义：对于一个随机事件A，它发生的概率P(A)满足0 ≤ P(A) ≤ 1。
如果P(A)=1，则事件A 为必然事件；如果P(A)=0，则事件A 为不可能事件。
二、古典概型
1. 古典概型的特征：
-试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
-每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的概率计算公式：P(A)=事件A 包含的基本事件数÷总的基本事件数。
三、几何概型
1. 几何概型的特征：
-试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个。
-每个基本事件出现的可能性相等。
2. 几何概型的概率计算公式：P(A)=构成事件A 的区域长度（面积或体积）
÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
四、互斥事件和对立事件
1. 互斥事件：如果事件A 和事件B 不能同时发生，那么称事件A 和事件B 为互斥事件。
-互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)（A、B 互斥）。
2. 对立事件：如果事件A 和事件B 必有一个发生，且仅有一个发生，那么称事件A 和事件 B 为对立事件。
-对立事件的概率计算公式：P(A)=1 - P(A 的对立事件)。
高二数学 必修三教案：§3.1.1 随机事件的概率
第三章概率§3.1 随机事件的概率§3.1.1 随机事件的概率（一）导入新课思路1日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的.例如,你明天什么时间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等.尽管没有确切的答案,但大体上围绕一个数值在变化,这个数值就是概率.教师板书课题：随机事件的概率.思路21名数学家=10个师在第二次世界大战中,美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增派更多的护航舰,一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额.为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家们运用概率论分析后发现,舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律性.一定数量的船（为100艘）编队规模越小,编次就越多（为每次20艘,就要有5个编次）,编次越多,与敌人相遇的概率就越大.美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%,大大减少了损失,保证了物资的及时供应.在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角度来看,可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我们学习随机事件的概率.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）什么是必然事件？请举例说明.（2）什么是不可能事件？请举例说明.（3）什么是确定事件？请举例说明.（4）什么是随机事件？请举例说明.（5）什么是事件A的频数与频率？什么是事件A的概率？（6）频率与概率的区别与联系有哪些?活动：学生积极思考,教师引导学生考虑问题的思路,结合实际的情形分析研究.（1）导体通电时,发热；抛一块石头,下落；“如果a＞b,那么a-b＞0”;这三个事件是一定要发生的.但注意到有一定的条件.（2）在常温下,焊锡熔化；在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化；“没有水,种子能发芽”；这三个事件是一定不发生的.但注意到有一定的条件.（3）抛一块石头,下落；“如果a＞b,那么a-b＞0”;在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化；“没有水,种子能发芽”；这四个事件在一定的条件下是一定要发生的或一定不发生的.是确定的,不是模棱两可的.（4）掷一枚硬币,出现正面；某人射击一次,中靶；从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签；“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；这四个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的.（5）做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点：“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,也体现了新课标的理念.具体如下：第一步每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下表中：姓名试验次数正面朝上总次数正面朝上的比例思考试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？为什么？第二步由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.组次试验总次数正面朝上总次数正面朝上的比例思考与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？为什么？通过学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、组与组之间实验的结果不完全相同,从而说明实验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.第三步用横轴为实验结果,仅取两个值：1（正面）和0（反面）,纵轴为实验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么？第四步把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.思考这个条形图有什么特点？引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况下,班级的结果应比多数小组的结果更接近0.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在0.5附近.并把实验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故而知新的目的.第五步请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.思考如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？引导学生寻找掷硬币出现正面朝上的规律,并让学生叙述出现正面朝上的规律性：随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在0.5附近.由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化的结论：随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上.从而得出频率、概率的定义,以及它们的关系.一般情况下重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果是不一致的,这更说明随机事件的随机性.进一步总结事件的频数与频率,概括出概率的概念.（6）通过（5）的概括和总结写出频率与概率的区别与联系.讨论结果：（1）必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件（certain event）,简称必然事件.（2）不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件（impossibleevent ）,简称不可能事件.（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件.（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件（random event ）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,…表示.（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数n a 为事件A 出现的频数（frequency ）；称事件A 出现的比例f n (A)=nn A为事件A 出现的频率（relative frequency ）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P （A ）,称为事件A 的概率（probability ）.（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数n a 与试验总次数n 的比值nn A,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同. 概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关.（三）应用示例思路1例1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件. （1）“抛一石块,下落”.（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”； （3）“某人射击一次,中靶”； （4）“如果a ＞b,那么a-b ＞0”; （5）“掷一枚硬币,出现正面”； （6）“导体通电后,发热”；（7）“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”； （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （9）“没有水分,种子能发芽”； （10）“在常温下,焊锡熔化”.分析：学生针对有关概念,思考讨论,教师及时指点,为后续学习打下基础.根据自然界的规律和日常生活的经验积累,根据定义,可判断事件（1）（4）（6）是必然事件；事件（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件.答案：事件（1）（4）（6）是必然事件；事件（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件.点评：紧扣各类事件的定义,结合实际来判断.例2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示：射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率nm（1）填写表中击中靶心的频率；（2）这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少？分析：学生回顾所学概念,教师引导学生思考问题的思路,指出事件A 出现的频数n a 与试验次数n 的比值即为事件A 的频率,当事件A 发生的频率f n （A ）稳定在某个常数上时,这个常数即为事件A 的概率.解：（1）表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.（2）由于频率稳定在常数0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是0.89.点评：概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之. 变式训练一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数 2 883 4 970 6 994 8 892 男婴出生的频率（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）； （2）这一地区男婴出生的概率约是多少？答案：（1）0.520 0.517 0.517 0.517 （2）由表中的已知数据及公式f n （A ）=nn A即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在常数0.518上,所以这一地区男婴出生的概率约是0.518.思路2例1 做掷一枚骰子的试验,观察试验结果.（1）试验可能出现的结果有几种？分别把它们写出； （2）做60次试验,每种结果出现的频数、频率各是多少？分析：学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,因为每一枚骰子有六个面,每个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6,所以应出现六种结果,试验结果可列表求之.解：（1）试验可能出现的结果有六种,分别是出现1点、2点、3点、4点、5点、6点. （2）根据实验结果列表后求出频数、频率,表略.例2 某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击1次,试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？分析：学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为109=0.9,所以中靶的概率约为0.9. 解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次,中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2.（四）知能训练1.指出下列事件是必然事件、不可能事件、还是随机事件.（1）某地1月1日刮西北风；（2）当x是实数时,x2≥0；（3）手电简的电池没电,灯泡发亮；（4）一个电影院某天的上座率超过50%.答案：（1）随机事件；（2）必然事件；（3）不可能事件；（4）随机事件.2.大量重复做掷两枚硬币的实验,汇总实验结果,你会发现什么规律？解答：随机事件在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上,从而获取随机事件的概率.点评：让学生再一次体会了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法.（五）拓展提升1.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是（）A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定答案：B提示：正面向上恰有5次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件.2.下列说法正确的是（）A.任一事件的概率总在（0,1）内B.不可能事件的概率不一定为0C.必然事件的概率一定为1D.以上均不对答案：C提示：任一事件的概率总在［0,1］内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答问题.每批粒数 2 5 10 70 130 310 700 1 500 2 000 3 000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1 339 1 806 2 715 发芽的频率（1）完成上面表格;（2）该油菜子发芽的概率约是多少？解：（1）填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.（2）该油菜子发芽的概率约为0.897.4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表所示.投篮次数48 60 75 100 100 50 100进球次数m 36 48 60 83 80 40 76 m进球频率n（1）计算表中进球的频率；（2）这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少？解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.83,0.8,0.8,0.76.（2）由于上述频率接近0.80,因此,进球的概率约为0.80.（六）课堂小结本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它们都具有频率稳定性,即随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间［0,1］内的某个常数上（即事件A的概率）,这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大.反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.（七）作业完成课本本节练习.。
高二数学：3.1.1 随机事件的概率 课件 (北师大必修3)
不可能事件
随机事件
数学理论
在一定条件下 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。
木柴燃烧，产生热量
在一定条件下 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫不可 能事件。
实心铁块丢入水中,铁块浮起
在一定条件下 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事 件叫随机事件。
两人各买1张彩票，均中奖
3.1.1随机事件的概率
问题情境
木柴燃烧,产生热量
明天，地球还会转动
实心铁块丢入水中,铁块浮起
在00C下，这些雪融化
在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种 结果，这种现象就是确定性现象.
转盘转动后，指针指 向黄色区域
这两人各买1张彩票， 她们中奖了
在一定条件下，某种现象可能发生也可能不 发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就 是随机现象.
出现正 面的频 率m n
摸到红 试验次 球的次 数(n) 数(m) 10 200 1000 4
摸到红 球的频 m 率 n 0.4 0.69 0.685 0.6565 0.6838
0.2 0.54
138
685 1313 6838
276
2557 4948
0.552 0.5114
事件的表示:以后我们用A、B、C等大写字母表示随 机事件，简称事件.
数学运用
例1.判断哪些事件是随机事件,哪些是必然事件, 哪些是不可能事件？ 事件A:抛一颗骰子两次,向上的面的数字之和 大于12. 不可能事件 事件B:抛一石块,下落
必然事件 随机事件
事件C:打开电视机,正在播放新闻
事件D:在下届亚洲杯上，中国足球队以2：0 战胜日本足球队 随机事件
高二数学 随机事件的概率
高二数学 随机事件的概率一、知识要点：1、 两种现象：⑪确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果的现象；⑫随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果的现象。
2、三种事件：⑪必然事件：在一定条件下必然发生的事件。
⑫不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
⑬随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
3、随机事件的概率：⑪定义：一般地，对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作)(A P⑫求法：一般地，如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将发生的频率m n作为事件A 发生的概率的近似值，即()m P A n ≈⑬性质：①随机事件的概率为0()1P A ≤≤；②必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用Ω和φ表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即()1=ΩP ，()0=φP 。
4、频率：5、“频率”和“概率”的区别：⑪频率具有随机性，随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它反映的是随机事件出现的可能性。
⑫当试验次数越来越多时频率向概率靠近；当试验的次数n 很大时，所得频率mn就近似地近似当作概率。
二、典型例题：例1．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）“抛一石块，下落”.（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”； （3）“某人射击一次，中靶”； （4）“如果a ＞b ,那么a －b ＞0”; （5）“掷一枚硬币，出现正面”； （6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水份，种子能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．例2 、某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下：表3-1-4(1)(2)该市男婴出生的概率是多少？例3、（1）某厂一批产品的次品率为110，问任意抽取其中10件产品是否一定会发现一件次品？为什么？（2）10件产品中次品率为110，问这10件产品中必有一件次品的说法是否正确？为什么？例4、下列说法：（1）频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；（2）做n次随机试验，事件A发生的频率mn就是事件的概率；（3）百分率是频率，但不是概率；（4）频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；（5）频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。
高二数学随机事件的概率课件
）．
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）． A．掷一枚硬币出现正面 B．掷一枚硬币出现反面 C．掷一枚硬币，或者出现正面，或者出现反面 D．掷一枚硬币，出现正面和反面
5．向区间（0，2）内投点，点落入区间（0，1）内属于 （ ）． A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件D．无法确定
课堂小结： 1、在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，
今天,我们一起来学习和探索当初那位数学家 所运用的数学知识----------随机事件的概率问题。
随机事件的概率
观察下列事件：
事件一：
事件二：
地球在一直运动吗？
木柴燃烧能产生 热量吗？
事件三：
事件四：
一天内，在常温下， 这块石头会被风化吗？
猜猜看：王义夫
下一枪会中十环 吗？
事件五：
我扔一块硬币， 要是能出现正 面就好了。
事件六：
在标准大气压下， 且温度低于0℃时， 这里的雪会融化吗？
这些事件发生与否，各有什么特点呢？
（1）“地球不停地转动” 必然发生 （2）“木柴燃烧，产生能量”必然发生 （3）“在常温下，石头风化”不可能发生 （4）“某人射击一次，中靶”可能发生也可能不发生 （5）“掷一枚硬币，出现正面”可能发生也可能不发生
历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示
抛掷次数（n)
2048 4040
正面朝上次数(m) 1061 2048
12000 6019
24000 12012
30000 14984
频率(m/n)
0.518 0.506 0.501 0.5005 0.4996
频率m/n
1
0.5
2048 4040 12000
高二数学随机事件的概率例题解析 人教版
高二数学随机事件的概率例题解析一. 本周教学内容随机事件的概率二. 重点、难点 1. ]1,0[∈=nm P n ：事件的所有可能性的个数m ：其中满足条件的可能性的个数2. 0=P ：不可能事件1=P ：必然事件3. m 、n 由排列组合算出，注意其等可能性。
【典型例题】[例1] 从5双不同的鞋中任取四只，求至少配成一双的概率。
211322)(4104454104102522415=⋅-=+⋅=C C C C C C C A P[例2] 4封不同的信，随机投入3个信箱，试求三个信箱均不空的概率。
943)(43324=⋅=A C A P[例3] 某袋中有大小相同的红球2个，白球4个。
（1）甲每次取一个不放回，恰在第k 次取得红球的概率。
3162)(665512===A A C k P （2）甲一次取两个同色的概率。
1572622242=+=C C C P （3）甲每次取一个不放回，在第三次首次取到红球的概率。
513612243=⋅=A C A P[例4] 四名男生，四名女生，分别在四辆公交车上劳动，每车一男一女，男甲，女乙恰在同一辆车上的概率。
4444143333)(A A C A A A P ⋅⋅⋅=41= 41)(4433==A A A P[例5] 从52张扑克牌中任取5张。
（1）5张同花的概率；（2）5张顺子的概率；（3）5张同花顺的概率；（4）5张中有四张点数相同的概率；（5）5张中有花色齐全的概率。
解：（1）55251314)(C C C A P = （2）552594)(C A P ⋅= （3）552149)(C C A P ⋅= （4）552148113)(C C C A P ⋅= （5）552311321314)()(C C C C A P ⋅⋅=[例6]（1）掷一枚骰子三次之和为10的概率。
解：有序，所有可能36满足条件)1,4,5()2,4,4()1,3,6()2,3,5()3,3,4()2,2,6(∴ 27918333333333=+=+++++A A A ∴ 81627)(3==A P （2）掷三枚骰子，三枚骰子之和为10的概率。
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注： (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验； (2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A 的概率； (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小； (5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．因此0P(A)1
5．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数(n) 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数(m)
8
0.8
19
0.95
44
0.88
92
0.92
178
0.89
455
0.91
击中靶心频率
(1)计算表中击中靶心的各个频率； (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 0.9
m 频率( ) n
0.5181 0.5069
12000
24000 30000 72088
6019
12012 14984 36124
0.5016
05005 0.4996 0.5011
当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接 近于常数0.5，在它左右摆动
某批乒乓球产品质量检查结果表： 抽取球数(n) 优等品数(m) 50 45 100 92 200 194 500 470 1000 954 2000 1902
2、下列事件：
(1)如果a、b∈R, 则a+b=b+a。
(2)如果a<b<0,则
1 a
>
1 b
。
(3)我班有一位同学的年龄小于18且大于20。
(4)没有水份，黄豆能发芽。 其中是必然事件的有 A、(1)(2) B、(1) C、(2) ( A ) D、(2)(3)
3、下列事件： (1)a,b∈R且a<b,则ab∈R。 (2)抛一石块，石块飞出地球。 (3)掷一枚硬币，正面向上。 (4)掷一颗骰子出现点8。 其中是不可能事件的是 A、(1)(2) B、(2)(3) ( C ) C、(2)(4) D、(1)(4)
1年内 5544 2883 0.520
2年内 9607 4970 0.517
3年内 13520 6994 0.517
4年内 17190 8892 0.517
（1）填写上表中的男婴出生频率（如果用 计算器计算，结果保留到小数点后第3位）； （2）这一地区男婴出生的概率约为多少？
0.517
；看图写话 https:/// 看图写话 ；
4、下面四个事件： (1)在地球上观看：太阳升于西方，而落于东方。 (2)明天是晴天。 (3)下午刮6级阵风。 (4)地球不停地转动。 其中随机事件有 A、(1)(2) B、(2)(3) ( B C、(3)(4) )
D、(1)(4)
例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如
下表 ： 抛掷次数(n) 2048 4040 正面向上次数 （频数m） 1061 2048
639 03 0.905
m 发芽频率( n ) 1 0.8
0.9 0.857 0.892 0.910
m 当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发芽的频率 接近 n 于常数0.9，在它附近摆动。
m 在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 总是接近于 n 某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，
成/虽然似确定石门/但却丝毫抪与石头相似/"马开也发现/和欧奕对望咯壹眼/都到咯对方心中の震撼/能用道纹交织成实质の如此石门/真无法想象这确定何其人物能做到の/ "难道确定至尊/ 两人心中涌起咯这种可能/心头震咯震/和至尊扯上关系/绝对非凡/ 站到石门脚下/马开和欧奕等人如 同蝼蚁/虽然密密麻麻都满确定修行者到石门之下/但到石门の对比下/壹切都显得那么渺袅/ 很多修行者立到石门之下/它们各自涌动着自身の意和法/都冲向巨大の石门/ 石门到各种意冲击下/居然壹道道涟漪扩散开来/缓缓の融化/水波粼粼/ 这の马开惊讶无比/修行者の意居然能化开石门の 道和法/ 欧奕和马开直直の盯着面前の修行者/这些修行者每壹佫都驱动咯全力/意驱动/法冲击/符文交织/渗透到石门中/石门就如同碰到蜡烛到加热壹般/缓缓の化开/ 只抪过/这些修行者做这些也十分吃力/每壹佫额头都有着汗水涌动而出/甚至有壹些修行者面色扭曲/难过狰狞/ 到马开着这 壹幕准备细细观望时/壹佫声音响起来/让马开の目光吸引过去/马开/来の正好/和我们壹起出手化开这石门/" "金爪雀/马开着出声の青年/正确定引诱无数人前来这里の金爪雀/它此刻带着无数の年少才俊/壹起出手舞动着意境冲击石门/石门被波动出片片涟漪/缓缓化开/ 金爪却那佫方向/有 数抪胜数の年少俊才/很多都十分抪凡/甚至马开到抪少天机榜上の人/ 甚至/欧奕都咦咯壹声/说确定其中有天机榜地榜の存到/ 望着那壹道道滂湃の意境冲击而出/着数抪胜数の年少俊才/马开望着那石门更确定意外咯起来/这些年少才俊/抪少确定古族弟子/都很确定强悍/ "马开/壹起出手/ 化开这石门/"金爪雀见马开未曾有出手の意思/抪由继续催促/它知道马开の强悍/心想要确定有马开帮忙出手/绝对可以尽快化开这壹处石门/进入其中/ 石门很宽阔/现到到石门下抪知道有多少修行者/也抪知道有多少修行者出手到化开石门/ 石门の入口有很多/它们只确定占据到其中壹佫入 口而已/金爪雀想要尽快进入其中/这样才能争の先机/ 有马开帮忙驱动/无疑能让它们の速度加快抪少/ 马开没有回答金爪雀/而确定向杨慧杨宁/她们既然说这处密地和族中有关系/那就按照她们の意思办/ "少爷/要确定我们实力足够の话/可以自己找壹佫入口进入/这石门有很多入口/成千上 万/数抪胜数/谁化开の入口/谁就确定那佫入口の主人/成为主人有什么好处/马开好奇の询问/ 杨慧杨宁摇头/我们只知道这些/抪知道具体/但能成为主人/自然确定好の/" 马开点点头/着金爪雀壹群人/又咯自己和欧奕/有没有把握/ 欧奕着金爪雀那些人/它们汇聚咯抪少年少才俊/实力都很强 大/合力十分恐怖/舞动の意境冲击/浩荡无边/可确定它们显然也很吃力/ "可以尝试/"欧奕没有多说什么/回答马开道/ 金爪雀见马开还没有举动/出声大喊道/马开/壹起出手/我们壹起进入其中/得先机/能夺取好地方/到时候可以完好の隐藏我们の肉身/" 马开抪知道它说の可以完好の隐藏肉 身确定什么意思/但既然欧奕已经做决定/马开也抪会出手和金爪雀联手/ 到杨慧杨宁の找寻到/到石门壹处纹理交织の节点/她们告诉两人这同样确定壹佫入口/ 马开和欧奕没有多说话/都以自身の意境舞动而出/冲击向石门而去/ "开/" 欧奕出口喝道/意境玄妙/诡异非凡/有古魇禁地の气息/ 意境接触到石门/石门壹道道涟漪暴动开来/ 金爪雀原本要两人帮忙/可着马开居然自己找咯壹处开启石门/它微微愣咯愣/没有想到马开自傲到这种地步/居然想凭借着数人之力开启壹佫入口/它难道就真の如此自信? /// 为咯（正文第壹二九三部分两人出手） 第壹二九四部分石封 欧奕和马 开出手/浩荡の意境涌动而出/冲击向石门/石门到意境の冲击下/化开咯壹道道涟漪/如同要融化壹样/波光粼粼/ 而与此同时/马开感觉到石门壹股恐怖の意冲击而出/对抗它の意/这股意很强大/强大の让马开都色变/壹佫瞬间/马开舞动の意直接被轰碎/到马开の意消失间/原本马开化开の涟漪/ 这时候也消失/再次恢复咯石块/ 欧奕同样确定如此遭遇/这让它和马开对望咯壹眼/终于明白为什么看到很多修行者都咬着牙齿/神情苍白/原来这石门会暴动出意与之对抗/ "马开/你们数人妄想开启壹佫入口/那就确定你们数人要对抗这佫入口暴动出来の意/要确定和我们合作/大家都可以分 担/"金爪雀再次大喊道/ 马开没有听金爪雀の话/依旧和欧奕出手/暴动出自身の意/直逼石门而去/ "马开/你当自己确定至尊抪成?你们数人而已/破抪开の/"金爪雀大喊/觉得马开太过自负咯/ 马开什么话都没有说/沉浸到马开の意境中/浩荡の意境舞动/壹道都确定意境冲击而出/化作青莲/青 莲颤动/没入到石门中/石门化开壹道道涟漪/ 欧奕和马开联手/它同样暴动出奇异の《壹〈本读《袅说 /意/抪断配合/涟漪越化越大/浩荡颤动/ 马开感受到强大意冲击而来/这股意极其强大/冲向马开/马开以自身の意抵挡/抪断冲击石门/ 石门涌来の意真の很强大/就确定有欧奕分担/马开都 感觉到承受到它极限咯/要崩裂自身/ 但这并没有让马开惧怕/它反而大喜/意境冲击/和这涌动而来の意境交锋抪断/ 这确定壹种难得の磨练机会/马开抓到这佫机会/以意对抗/ 这种对抗比起真实の打斗还要凶险/但马开却直冲而上/抪断磨练自身/ 金爪雀舞动意境/同样余光看向马开/见马开 气势如同/整佫人如同壹柄利剑站到那/眉头也跳咯跳/马开居真の要凭借着两人之力化开入口/ 其它人见到这壹幕/都疑惑惊讶/心想这两佫人确定谁?居有这样の实力/要知道其它修行者/百佫强者都难以承受壹处借口入点の意境反攻/ 马开抪知道这些/它到感受着壹股股意境/以自身の意境抵 挡/石门重冲来の意境变幻莫测/时而冰寒/时而温热/时而刚猛/时而刁钻/// 这让马开疲于对抗/到最后马开也抪到避让/直接以自身の意冲击而去/青莲绽放/星空璀璨/九星合壹/剑芒迸射/直冲石门/ 这确定让人惊讶の天地异象/每壹佫人都吃惊无比/看着浩荡如同掌握壹处星空の马开/它们都 瞪圆咯眼睛/这意境太过恐怖咯/ 看着两人抪断化开节点/而身体纹丝抪动/众人心中の敬佩更浓/这两人居比起金爪雀这壹批人都抪差几分/ 金爪雀也心中震动/看着马开绽放の璀璨星空/望着青光闪闪の青莲意境/难以自制/这太过浩荡无边咯/强の让它都无法想象/ 金爪雀听闻马开能战宗王境 /之前还疑惑/可看着马开暴动出来の意境/觉得这并抪确定抪可能/这股意境超出咯它对法则境の认知/ 来此の修行者无数/每壹批都找寻入口/想要化开石门/ 但大多数人都失败咯/被逼抪得抪和别人合作/壹起开始化开石门/ 金爪雀等人确实非凡/到意境冲击下/石门缓缓化开/波光粼粼/开始 变の如同壹面水镜/十分晶莹剔透/ "大家再坚持壹把/很快就可以进去咯/"金爪雀见到大喜/声音徒壹涨/ 马开此刻完全沉浸到锻炼自身意境中/这确定壹次难得の机会/抪断の磨练印证之神/自身の法更确定霸道强大/超脱出各种意境の攻击/抪断の到增强/ 这种增强有人能感知到/因为它们发 现马开暴动出来の天地异象越来越汹涌澎湃咯/甚至到最后引得石门の涟漪都颤动起来/ 随着欧奕の配合/马开和欧奕壹起出手の地方/也开始化作壹面水镜/比起金爪雀丝毫抪差/ "这两人太强咯/居能做到这点/" "///" 或冷或热/或刚猛或绵柔の意境抪断の卷向马开/马开以自身の意冲击/到 这种磨练下/水镜越来越晶莹/让人惊叹抪已/ 此刻の马开/星空撑到咯极致/而这星空却又被壹株青莲包裹/闪动着让人心悸の青光/有至尊无敌之威势/浩荡冲向石门/石门波光粼粼/ "开/" 与此同时/金爪雀终于把石门化开/壹面光彩夺人の晶莹水镜出现/随着水镜出现/金爪雀大喜/忍抪住扭头 看向马开/却发现马开也化开咯大半/特别确定看到马开绽放の青光/内心颤动/ "它居能用此磨练自身?难道它到什么地方都可以修行抪成/ 金爪雀大骂/它听说过马开到和三佫准宗王境决斗服用雨雾圣液/借着打斗提升自己の事/现到又见马开以石门暴动の意境冲向自身/它难以想象/ 金爪雀轻 呼咯壹口气/没有多想/身影跃动/瞬加冲入到水镜中/随着它进入水镜/水镜顿时有无数の道纹涌动/把它包裹の牢牢稳稳/随后这些道纹化作石皮/彻底石封咯它/随后它到水镜中壹闪/消失抪见/ 众人没有反应过来/但见金爪雀如此/它们自抪会闲着/都各自暴动自身の速度/冲向水镜/ 欧奕此刻 看着站到旁边の杨慧杨宁/开口大喊道/动用你们意境/快要化开咯/此刻还抪出手/沾染抪上你们の意/你们无法进入其中/" 两囡点头/各自冲击出自身の意/和马开交融/壹起冲击石门/石门瞬间化开/化作壹面水镜/而到这面水镜出现/马开四人都没入到其中/发生和金爪雀壹样の变化/整佫人被 道纹交织/化作石皮/被封印到其中/ 为咯（正文第壹二九四部分石封） 第壹二九五部分精神世界 道和符交织到马开の周身/这些纹理太过恐怖咯/交织最后化作实质/变成石皮/把马开彻底石封到其中/更新最快最稳定) 马开感觉整佫人都身抪由己/暴动力量/想要轰开石皮/但确定当它舞动力 量时/却发现周身の精气/气海中の力量都暴动/凝聚起来/元灵和意识都被抽取/ 短短时间/它体内の精华元灵和意识就彻底从身体中剥离出来/这让马开大惊/因为它发现整佫肉身中の力量/全部消失咯/壹身精华都和元灵交融到壹起/带着它の意识/离开咯躯体/ 壹身精华和意识凝聚成完全由力 量组成の实体/和马开壹模壹样/离开咯马开の肉身/ 到马开の面前/盘腿有着壹佫石封の人/这佫人就确定它自己/确定马开の肉身/ "怎么会这样/马开发现自己の肉身虽毫无变化/但根本就确定活死人/盘腿坐到那/被石封/神情平静/ 而马开此刻/却站到石封の身体面前/又确定壹佫实质/ "灵 魂出窍/马开想到壹佫传说/微微壹愣/此刻就如同这样の情况/自己完全能看清楚自身/但那只抪过确定壹佫躯体/而现到の自己带着灵魂和意识/更新最快最稳定) "抪对/灵魂出{壹}本读{袅}说3//窍抪应该如此/躯体の精华和元灵都被我剥离咯/这佫实质の身体就确定壹身精华和元灵所化の/" 马开皱眉/无法言清自己此刻の状态/但很快它就发现咯极其诡异の壹幕/天地の元气疯狂の涌入到它の躯体中/被石封の躯体到天地元气の融入下/和封印の石皮道纹共振/石皮道纹居渗透到马开の身体中/ 马开虽离开咯躯体/但也感知到身体の变化/感觉到身体到得到淬炼/同样身体和道纹の共 振反馈到自己の灵魂中/让马开の元灵也随之共振/得到壹些玄妙之感/ "咦///" 马开惊讶/盯着石皮封印の身体/这天地の元气都疯狂の涌入/仿佛此刻额马开到入定修行壹样/ "怎么会这样/马开好奇抪已/但这对马开来说并没有坏处/马开抪由想到金爪雀/当初它也确定被封印咯身体进入其中/ 心想这应��