_弧_弦_圆心角关系定理_.
圆心角与弦、弧之间的关系
：
辫 如图， ￣Ａ Ｃ Ｉ Ｂ Ｄ的顶点Ａ为圆心，Ｂ为半径作圆， ） ２ Ａ 交
Ａ Ｂ Ｄ， Ｃ于 Ｅ， 延长 Ｆ，
证明
。 ．
面． 而 ． 都搪 七 即可．
交 ｏ 于 Ｇ 求证 ： ＝ ． 廓
连接
‘
在 同 圆或等 圆 中 ， 圆心 角 、 和 弦三者 之 问有 下列 关 系 ： 弧
１ 定理 ． 在 同 圆或 等 圆 中 ，相 等 的 圆心 角 所对 的弧 相等 ． 所
对 的弦也 相等 ． 几何 表达 式
注意
下罔．
应刚定理时 ， 在同圆 “
如 图 ， ＱＯ 中 ，・ ＡＯ ： Ｃ Ｄ０． Ｂ 面 ， ： Ｄ． 在 ・ ． Ｂ Ｏ Ａ ： ＡＢ Ｃ — ２ 推论 ． 在 同圆 或 等 圆 中 ， 等 的 两 条 弧 、 条 弦 、 个 圆心 相 两 两
在 同 心 圆 ００ 巾 ． ４Ｏ ＝ Ｂ
Ｃ ＯＤ． 但 ≠Ｃ ＡＢ≠Ｃ — Ｄ． Ｄ．
Ｏ ＝ Ｃ Ｄ． Ｂ Ｏ
此 定理 是证 明弧等 、 等 、 角 弦等 的 另一 个基 本方 法．
３ 圆心 角 的度数 等 于 圆心 角所对 弧 的度 数． ．
倒 １ 如图， Ａ ＝ Ｃ 求证 ：Ｂ Ｃ 已知 Ｄ Ｂ ， Ａ ＝Ｄ
日＝ ４Ｆ－． Ｂ＝ １ ． ．Ｌ ．
・
．
‘
Ｄ Ｃ ｌ ／２ ＬＢ ３ ∥Ｂ ． ＝ ， ＝ ．
２ ３ ： ． ． ： ・ ． 威
即
１ ５
浑 浑 噩 噩 的人 生 是 不 值 得 过 的人 ห้องสมุดไป่ตู้ 。— — 苏 格 拉 底
圆的三定理
圆的三大定理巩固与应用 圆的重要性质定理:⑴垂径定理; ⑵弧、弦、圆心角关系定理; ⑶圆周角定理. 基本图形:〖应对练习〗 (1)垂径定理：如图，CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 于点E 。
完成下列各题： ①若⊙O 的半径为5，AB=8，则OF= ；DF= ；CF= 。
②若DF=8，CF=2，则OF= ；⊙O 的半径为： ；AB= 。
③若CF=2，AB=8，则OF= ；⊙O 的半径为： 。
④若DF=AB=8，则⊙O 的半径为： ； （2）弧、弦、圆心角关系定理：1.如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC=弧CD=弧DE ，∠COD=35°，求∠AOE 的度数．2.已知：如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，弧AD=弧BC 。
求证AB ＝CD.QPBOADCBOAEOCBAE DBAOABODC⑶圆周角定理：如图：若∠A=50°，则∠B= ；∠COE= ；∠CDE= ； ∠EDF= 。
基础题分析：1．如图⑴在直径为10m 的圆柱形油槽内装入一些油后, 截面如图所示, 油面宽 AB 为6m, 当油面宽AB 为8m 时, 油上升了____________m..2．如图⑵在⊙O 中，弦AB=2cm ，圆周角∠ACB=30°，则⊙O 的直径等于（ ） A ．2cm B ．4cm C ．22cm D ．23cm3.⊙O 中，OD ⊥AB ，∠AOD=500，C 是圆周上一点，则∠BCD=（ ）， A ．500 B ．250 C ．300 D ．4004.如图，⊙O 直径CB 的延长线与弦ED 的延长线交于点A ，且CE BE ，∠A=20°，则∠C 的度数是（ ）A ．25° B．50° C．32.5° D．30°5．如图，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC= ( ) A 、35°B 、55°C 、70°D 、110°6．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=15°，连接OB ，则∠OBC 等于（ ） A ．30° Ｂ．60° Ｃ．65° Ｄ．75°7．如图，AB 是⊙Ｏ的直径，E 是弧ＢC 的中点,OE 交BC 于点D ，OD=3, DE=2，则AD 的长为（ ） A 、 B 、313 C 、8 D 、213（1）BO A（2）O DACBE（4）（3） FE DC BAON•ODCBA8．如图，将半径为8的⊙O 沿AB 折叠，AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为（ ）A ．215B ．415C ．8D ．10综合分析：1．在⊙O 中，直径MN=10正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 半径OM 以及OP 上，且∠POM=45°，求AB 的长。
4弧、弦、圆心角定理
BAEDCBAOE DC BA（二）弧、弦、圆心角一、知识回顾1．定义： 叫做圆心角．2．定理：在 中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ．3．推论1：在 中，相等的弧所对的 相等，所对的 相等．4．推论2：在 中，相等的弦所对的 相等，所对的 相等．5．定理及推论的综合运用：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中 相等，那么 也相等． 二、例题讲解1、如图（1），弦AD=BC ，E 是CD 上任一点（C ，D 除外），则下列结论不一定成立的是（ ）A ．»»ADBC =； B ．AB=CD ； C ．∠ AED=∠CEB ； D ．¼»A B BC = 2、如图（2），AB 是 ⊙O 的直径，C ，D 是»BE 上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE 是（ ）A ．40°；B ．60°；C ．80°；D ．120°．3、如图（3），AB 是 ⊙O 的直径，»»BC =BD ,∠A=25°，则∠BOD= °．4、如图（4），在⊙O 中，»»AB =AC ，∠A=40°，则∠C= °5、在⊙O 中，»»AB =AC ，∠ACB=60°．求证：∠AOB = ∠BOC = ∠AOC ．三、达标练习1、如果两个圆心角相等，那么（ ） A ．这两个圆心角所对的弦相等； BC ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等；D ．以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则»AB与»CD 的关系是（ ） A ．»»AB=2CD ； B ．»»AB CD >； C ．»»AB 2CD <； D ．不能确定 3．在同圆中，¼»AB BC =，则（ ） A ．AB+BC=AC ； B ．AB+BC ＞AC ； C AB+BC ＜AC ；D ． 不能确定4．下列说法正确的是（ ）A ．等弦所对的圆心角相等；B ．等弦所对的弧相等；C ．等弧所对的圆心角相等；D ．相等的圆心角所对的弧相等． 5．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上．求证：¼»AM=BN四、课堂小结在运用定理及推论时易漏条件“在同圆或等圆中”，导致推理不严密，如半径不等的两个同心图，显然相等的圆心角所对的弧、弦均不等．ODCB A图（3）A图（4）A第5题图图（1）图（2）五、课后作业1、如图，已知OA 、OB 是⊙O 的半径，点C 为AB 的中点，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，求证：MC=NC2、如图，AB 是⊙O 的弦，»»AE=BF ，半径OE ，OF 分别交AB 于C ，D ．求证：△OCD 是等腰三角形．3、如图，在圆O 中，弦AB 、CD 相交于E ，且AB=CD ，求证：CE=BE4、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF ． 求证：PA=PC ．OA BEFCDONMAC BA B DC E OPAD E FCB。
12圆心角与圆周角、切线判定
第二节：圆心角与圆周角、切线判定知识点1：圆心角【笔记】1 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、多对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.简记为：圆心角相等→弧相等→弦相等→弦心距相等2 圆周角、圆心角定理：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半径或直径所对的圆周角是直角；90︒的圆周角所对的弦是直径. 几何语言：① ∵AB 是直径 ∴ ② ∵90ACB ∠=︒ ∴ 如下三个图，分别证明圆周角定理：推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 所对的 是直径。
【例题】【例1】如图，AD 是⊙O 的直径，且6AD =，点,B C 在⊙O 上，弧AmB 和弧AnC 相等，120AOB ∠=︒，点E 是线段CD 的中点，则OE =（ ）A ．1B ．C ．3D ．【例2】如图，已知,,A B C 三点在⊙O 上，AC BD ⊥于点D ，55B ∠=︒，则BOC ∠的度数是【例3】已知ABC ∆的外接圆O 的半径为3，4AC =，则sin B =（ ）A.13 B.34 C.45 D.23【例4】如图，AB 是⊙O 的弦，OH AB ⊥于点H ，点P 是优弧上一点，若AB =1OH =，则APB ∠的度数是【练习】1.<1分钟>如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC =弧CD =弧DE ,34COD ∠=︒，则AEO ∠的度数是（ ）A ．51︒B ．56︒C ．68︒D ．78︒2.<1分钟>如图，BD 是⊙O 的直径，30CBD ∠=︒，则A ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒3.<2分钟>如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，B 是y 轴右侧⊙A 优弧4.<2分钟>如图，已知⊙O 的半径为1，锐角ABC ∆内接于⊙O ，BD AC ⊥于点D ，OM AB ⊥于点M ，则sin CBD ∠的值等于（ ）A ．OM 的长B ．2OM 的长C ．CD 的长 D ．2CD 的长【补救练习】1.如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，若4BC CD D A c m ===，则⊙O的周长为（ ）A ．5πcmB ．6πcmC ．9πcmD ．8πcm2.如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若35ACD ∠=︒，则BAD ∠=（ ）A ．55︒B ．40︒C ．35︒D ．30︒3.如图，ABC ∆内接于⊙O ，45C ∠=︒，2AB =，则⊙O 的半径为（ ）A.1B. 22C.2 24.如图，ABC ∆内接于⊙O ，OD BC ⊥于D ，50A ∠=︒，则OCD ∠的度数是 .知识点2：圆内接四边形 【笔记】定理：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角.【例题】【例1】如图，两圆相交于,A B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点,C D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）A. 35︒ B ．40︒ C ．50︒ D ．80︒【例2】如图，点,,,A B C D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，则OAD OCD ∠+∠=_______________°.【例3】如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的圆分别交边,AC AB 于,D E 两点，连．若BD 平分ABC ∠，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．BD AC ⊥B ．22AC AB AE =∙ C ．ADE ∆是等腰三角形D ．2BC AD =【练习】1.<2分钟>如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角70DCE ∠=︒，则ÐBOD =( )A ．35︒ B.70︒ C ．110︒ D.140︒2.<2分钟>如图，⊙O 中，ABCD 是圆内接四边形，110BOC ∠=︒，则BDC ∠的度数是（ ）A. 110︒B.70︒C.55︒D ．125︒3.<2分钟>如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，并且AD 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，AB 和DC 的延长线交⊙O 外一点E ．求证：BC EC =．【补救练习】1.如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，点B ，点A 的坐标为(0,3)，M 是第三象限内弧上一点，120BMO ∠=︒，则⊙C 的半径为（ ）A ．6B ．5C ．3D ．22.如图，点,,,A B C D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，求OAD OCD ∠+∠的度数．3.如图，已知,,,A B C D 是⊙O 上的四点，延长,DC AB 相交于点E ，若DA DE =，求证：BCE ∆是等腰三角形．知识点3：切线的判定和性质【笔记】1.切线判定：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.3.切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.=为圆的两条切线，根据切线长定理，写出两个结如图所示，P为⊙O外一点，PA PB论：，4.切线的判定方法：（1），这条直线是圆的切线；（利用切线的定义）（2），这条直线是圆的切线；（利用r与d的关系）（3），这条直线是圆的切线；（利用切线定理）5.拓展：圆外切四边形两组对边的和相等.E F G H分别为切点，则有如图所示,⊙O是四边形A B C D的内切圆，点,,,+=+.AB CD AC BD【例1】如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，30A ∠=︒，给出下面3个结论：①AD CD =；②BD BC =；③2AB BC =，其中正确结论的个数是（ ）【例2】已知：如图，ABC ∆中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，且D 为AC 的中点，过D 作DE CB ⊥，垂足为E ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）已知4CD =，3CE =，求⊙O 的半径．1.如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙上一点，连接PD ．已知PC PD BC ==．下列结论：（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO AB =；（4）120PDB ∠=︒． 其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ．3个 C ． 2个 D ． 1个2.如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到D ，连接CD ．请你结合图形，编写一道题．要求：再补充两个已知条件，并写出在所有已知条件下得出的一个结论．例如：“补充已知：OB BD =，CD 切⊙O 于点C ，求证：A D ∠=∠“补充已知： ．求证： ．”【补救练习】1.如图3，,PA PB 切⊙O 于点,A B ，点C 是⊙O 上的一点，且65ACB ∠=︒，则P ∠=____________2.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点O 在AB 上，⊙O 经过点A ，且与BC 相切于点D（1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）若5BD =，3CD =，求AD 的长．。
(完整版)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习,推荐文档
CD 的弦心距 OF＝_______cm，弦 CD 的长为________cm。
7、 已知⊙O 的半径为 5cm，过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP＝_______。
8‘已知 A、B、C 为⊙O 上三点，若 AB 、 BC 、 CA 度数之比为 1：2：3，则
∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
例： 如图，CD为⊙O的弦， AC BD ，OA、OB交CD于F、E。
求证：OE＝OF
证法一：连结 OC、OD
OC OD， C D
AC BD ， COA BOD（等弧所对的圆心角相等） COF DOE OE OF
∠BOC 的度数。
3、如图 3，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD＝CO，使 AD 的度数 40°，
AOB 100 , OBC 55 ， OEC =
度.
2、如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， D 130 ，则 BAC 的度数是
.
3、如图 5，AB 是半圆 O 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则
AD 的长为
A． 40 B． 50 C． 70 D． 80
8、如图 3，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点， BAC 20 ， AD CD ，则
∠DAC 的度数是（ ）
A. 70° D
B. 45° C
C. 35°
D. 30°
A
O
B
如图 3 二、填空题
【初中数学】初中数学圆心角知识点总结
【初中数学】初中数学圆心角知识点总结
【—圆心角总结】知识要点：顶点在圆心的角,叫做圆心角。
圆心角α的取值范围是0°<α<360°。
圆心角
特征辨识
①顶点是圆心;
②两条边都与圆周平行。
①l(弧长)=n/180xπr(n为圆心角度数，以下同);
②s(扇形面积)=n/360xπr
③扇形圆心角n=(180l)/(πr)(度)。
④k=2rsin(n/2)k=弦长;n=弦所对的圆心角，以度一千。
与圆心角有关的定理圆心角定理：
圆心角的度数等同于它面元的弧的度数。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中存有一组量成
正比，则对应的其余各组量也成正比。
理解：
(1)把顶点在圆心的周角等分为360份时，每一份的圆心角就是1°的角.
(2)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.
(3)圆心角的度数和它们对的弧的度数成正比.
推论：
在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,
存有一组量成正比,那么它们所对应的其余各组量都分别成正比
圆心角与圆周角关系定理
定理证明：分后三种情况探讨，始终搞直径cod，利用等腰三角形全等底角成正比，外角等同于两内角之和去证明。
知识要领总结：在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。
24.1.3圆心角、弧、弦三者的关系
1、顶点在 圆心上 的角叫做圆心角。 2、在 同圆或等圆 中，相等的圆心 相等 ，所对的弧 相等。 角所对的弦 3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条 弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余 各组量也 相等 。
中考链接：
图中圆心角∠AOB=30°，弦CA∥OB， 延长CO与圆交于点D，则∠BOD=30度 AB = CD．
A′
B′
B
'
· O
A
AB A ' B '.
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等． 前提条件 同圆或等圆中， 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 两个圆心角、两 相等 ， 所对的弦________ 相等 ； 条弧、两条弦中 _____ 有一组量相等， 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角它们所对应的其 余各组量也相 相等 ______，所对的弧_________ 相等 ． 等．
E D C O B
∴∠AOE=180°－∠BOE=180°－105° =75°
2.如图,已知⊙O中,弦AB=CD 求证：AD=BC
A
O
C
证明：∵AB=CD ︵ ︵ D B ∴ AB = CD (在同圆中，相等的弦所对的弧相等 ) ︵ ︵ ︵ ︵ ∴ AB － BD ＝ CD － BD ︵ ︵ 即： AD ＝ BC ∴AD=BC (在同圆中，相等的弧所对的弦相等 )
总结梳理 内化目标
正确理解和使用弧、弦、圆心角三者关系；在同
圆或等圆中， 圆心角相等，所对的弧相等，
所对的弦相等，三项“知一推二”，即一项相等 ， 其余二项相等.
探究： ︵ ︵ ︵ 1.如图AB是⊙O的直径， BC = DC = DE ，∠COD=35°， 求∠AOE的度数。 ︵ ︵ ︵ 解：∵ BC = DC = DE A ∴∠BOC=∠COD=∠DOE ∵∠COD=35° ∴∠BOE=3∠COD=3×35°=105°
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解(基础)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC.【答案】证法1：∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC，∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等)∴∴AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】判断圆周角必须同时满足两条：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙O的上半圆，设∠POA=x°，∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式.【答案与解析】解法1：如图所示，∵AB为⊙O的直径，∠AOP=x°∴∠POB=180°-x°=(180-x)°又解法2：如图所示，连结AQ，则又∵AB是⊙O的直径，∴∠AQB=90°【总结升华】考查圆周角定理的应用.4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】连结AD，易证∠ADB=90°，即AD是等腰三角形△ABC的高．再由三线合一的性质得出BD与CD的大小关系.【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．举一反三：【变式】如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）A. 60°B. 100°C. 80°D. 130°【答案】C.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心.
·
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，N' N NhomakorabeaO
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
·
C
⌒ 例3.如图，AB是⊙O的直径，
求∠AOE的度数．
E D C A
⌒ = ⌒ , ∠COD=35° °， = BC CD DE
解：
⌒
⌒ =⌒ = BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
B
O
·
AOE 180 3 35
75
例4：如图所示，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、 BO的中点，CM⊥AB交圆于点 C，DN⊥AB交圆与点D， ︵ ︵ 求证： AC=BD
如图，在圆0和圆01中，如果圆心角∠AOB=∠A1O1B1， ⌒ ⌒ 那么弦AB与 A1B1相等吗？AB与A1B1相等吗？为什么？
A1 B1
A O
B
O1
不相等，因为他们不是在等圆中
试一试
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
⌒ ⌒ = AOB COD ． （1）如果AB=CD，那么___________ AB CD ，_________________ AOB COD AB=CD （2）如果 ⌒ = ⌒ ，那么____________ ， ______________ ． AB CD ⌒ =⌒ AB=CD
n º 的圆心角对着nº 的弧,
n º 的弧对着nº 的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
所以
O
·
F
D
OE = OF.
C
五、例题
⌒ ⌒
例1 如图在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°，
⌒ ⌒
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明：∵AB=AC
A
∴
AB=AC, △ABC 等腰三角形．
O
又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA. B ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
因此，弧AB与弧A1B1 重合，AB与A′B′重合．
⌒ AB
⌒ 1B1 AB A ' B '. = A
四、等对等定理
这样，我们就得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等， 所对的弦________ 圆心角_____ 相等 ； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的 相等 ，所对的弧_________ 相等 ． 圆心角______ 同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
C O A B D
等对等定理：
(1)圆心角 (2) 弧 (3) 弦
知 一 推 三
(4)弦心距
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º .同时整个圆也被分成了360份.
则每一份这样的弧叫做1º 的弧. 这样,1º 的圆心角对着1º 的弧, 1º 的弧对着1º 的圆心角.
n°弧
n°
1°
1°弧
C
D
A
M
O N
证明：连接OC、OD ∵ M、N分别是AO、BO的中点, 而OA=OB ∴ OM=ON 在Rt△COM和Rt△DON中 B OC=OD OM=ON ∴ Rt△COM≌ Rt△DON（HL） ∴ ∠AOC= ∠BOD
︵ ︵ ∴AC=BD
小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量
之间的关系认为:在如图中已知∠AOB=2 ∠COD, ⌒ ⌒ 则有AB=2CD,AB=2CD,你同意他的说法吗?
AB CD ，____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ 相 等
A E B
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ 因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO，BO=DO， 所以△AOB ≌ △COD.
弦
B
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现 哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
由此可以看出，点N'仍落在圆上。 N' N
O
把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O· B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由。
①
②
③
④
任意给圆心角，对应出现三个量：
A
圆心角
弧
O·