弧,弦,圆心角的关系练习题
中考数学专项练习圆的圆心角、弧、弦的关系(含解析)
中考数学专项练习圆的圆心角、弧、弦的关系（含解析）【一】单项选择题1.如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，，那么的度数是〔〕A.B.C.D.2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC、那么与的数量关系是〔〕A.=B.＞C.＜D.无法确定3.如果所在圆的半径为3cm，它所对圆心角的度数是120°，那么的长是〔〕cm．A.6πB.3πC.2πD.π4.如下图，正六边形ABCDEF内接于圆O，那么∠ADB的度数为〔〕A.60°B.45°C.30°D.22.5°5.如图，⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且==，那么四边形ABCD的周长等于〔〕A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm6.如图，A，B是⊙O的直径，C、D在⊙O上，，假设∠DAB =58°，那么∠CAB=〔〕A.20°B.22°C.24°D.26°7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，以下结论中不一定正确的选项是〔〕A.∠ACB=90° B.OE=B E C.BD=BC D.△BDE ∽△CAE8.如下图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O 的半径为4cm，MN=4 cm，那么∠ACM的度数是〔〕A.45°B.50°C.55°D.60°9.如图，AB是⊙O的直径，= = ，∠COD=34°，那么∠A EO的度数是〔〕A.51°B.56°C.68°D.78°10.如图，在⊙O中，=，那么AC与BD的关系是〔〕A.AC=BD B.AC ＜BDC.AC＞BDD.不确定【二】填空题11.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°，那么∠AOE =________°．12.，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，那么弦AB长是________．13.圆的一条弦分圆成4：5两部分，那么此弦所对的圆心角等于_____ ___．14.如图，⊙O中，弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，那么∠A OC=________度．15.在⊙O中，弦AB∥CD，那么∠AOC________∠BOD、16.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN，，的中点分别是P，Q．假设MP+NQ=12，AC+BC=15，那么AB的长是_ _______．17.如下图，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，那么∠DOE=36度，的度数为________度．18.如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA=∠DOB=60°，那么与线段OA相等的线段有________，与相等的弧有________ ．【三】解答题19.：如下图，AD=BC。
圆心角、弧、弦的关系-北京习题集-教师版
圆心角、弧、弦的关系（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2017秋•北京期末）如图， 圆心角25AOB ∠=︒，将AB 旋转n ︒得到CD ，则COD ∠等于( )A ．25︒B ．25n ︒+︒C ．50︒D ．50n ︒+︒2．（2017秋•海淀区校级期中）如图， 在55⨯正方形网格中， 一条圆弧经过A 、B 、C 三点， 那么AC 所对的圆心角的大小是( )A ．60︒B ．75︒C ．80︒D ．90︒3．（2016秋•大兴区期末）如图，A ，B ，C 是O 上三个点，2AOB BOC ∠=∠，则下列说法中正确的是( )A ．OBA OCA ∠=∠B ．四边形OABC 内接于O C ．2AB BC =D ．90OBA BOC ∠+∠=︒4．（2016•海淀区校级模拟）如图，用不同颜色的马赛克覆盖一个圆形的台面，估计15︒的圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片．已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面( )A ．56-箱B ．67-箱C ．78-箱D ．89-箱5．（2015•通州区二模）如图，O 中，如果2AB AC =，那么( )A ．AB AC =B ．2AB AC =C ．2AB AC <D ．2AB AC >二．填空题（共6小题）6．（2019秋•西城区校级期中）已知弦AB 的长等于O 的半径，弦AB 所对的圆周角是 度．7．（2017秋•西城区期末）如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 ．8．（2008秋•怀柔区期末）如图，AC 是O 的直径，AB AC =，AB 交O 于E ，BC 交O 于D ，44A ∠=︒，则DE 的度数是 度．9．（2009秋•海淀区期中）一条弦AB 将O 分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB 所对的圆心角的度数是 度．10．（2007•海淀区校级自主招生）如图，AB 是O 的直径，BC ，CD ，DA 是O 的弦， 且BC CD DA ==，则BCD ∠= ．11．（2016秋•西城区期中）如图，CD 是O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD 上的一个动点，当4CD =时，AP BP +的最小值为 ．三．解答题（共4小题）12．（2019秋•海淀区期末）如图，在O 中，AC CB =，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ． （1）求证：CD CE =；（2）若120AOB ∠=︒，2OA =，求四边形DOEC 的面积．13．（2019秋•西城区校级期中）ABC ∆的三个顶点在O 上，AD BC ⊥，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：12∠=∠（提示：可以延长AO 交O 于F ，连接)BF ．14．（2019秋•西城区校级期中）如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由．15．（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现： 阿基米德折弦定理： 如图 1 ，AB 和BC 是O 的两条弦 （即 折线ABC 是圆的一条折弦） ，BC AB >，M 是ABC 的中点， 则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点， 即CD AB BD =+． 下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程 ．证明： 如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ．M 是ABC 的中点，MA MC ∴=⋯⋯请按照上面的证明思路， 写出该证明的剩余部分； 实践应用：（1） 如图 3 ，已知ABC ∆内接于O ，BC AB AC >>，D 是ACB 的中点， 依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．（2） 如图 4 ，已知等腰ABC ∆内接于O ，AB AC =，D 为AB 上一点， 连接DB ，45ACD ∠=︒，AE CD ⊥于点E ，BDC ∆的周长为422+，2BC =，请求出AC 的长 ．圆心角、弧、弦的关系（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2017秋•北京期末）如图， 圆心角25AOB ∠=︒，将AB 旋转n ︒得到CD ，则COD ∠等于( )A ．25︒B ．25n ︒+︒C ．50︒D ．50n ︒+︒【分析】根据旋转的性质得到AB CD =，根据圆心角、 弧、 弦的关系定理解答 ． 【解答】解：将AB 旋转n ︒得到CD ，∴AB CD =，25COD AOB ∴∠=∠=︒， 故选：A ．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、 圆心角、 弧、 弦的关系， 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 ． 2．（2017秋•海淀区校级期中）如图， 在55⨯正方形网格中， 一条圆弧经过A 、B 、C 三点， 那么AC 所对的圆心角的大小是( )A ．60︒B ．75︒C ．80︒D ．90︒【分析】根据垂径定理的推论： 弦的垂直平分线必过圆心， 分别作AB ，BC 的垂直平分线即可得到圆心， 进而解答即可 ．【解答】解： 作AB 的垂直平分线， 作BC 的垂直平分线， 如图，它们都经过Q ，所以点Q 为这条圆弧所在圆的圆心 ． 连接AQ ，CQ ， 在APQ ∆与CQN ∆中AP QN APQ QNC PQ CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()APQ CQN SAS ∴∆≅∆，AQP CQN ∴∠=∠，PAQ CQN ∠=∠ 90AQP PAQ ∠+∠=︒， 90AQP CQN ∴∠+∠=︒， 90AQC ∴∠=︒，即AC 所对的圆心角的大小是90︒， 故选：D ．【点评】本题考查了垂径定理的推论： 弦的垂直平分线必过圆心 ． 这也常用来确定圆心的方法 ．3．（2016秋•大兴区期末）如图，A ，B ，C 是O 上三个点，2AOB BOC ∠=∠，则下列说法中正确的是( )A ．OBA OCA ∠=∠B ．四边形OABC 内接于O C ．2AB BC =D ．90OBA BOC ∠+∠=︒【分析】过O 作OD AB ⊥于D 交O 于E ，由垂径定理得到AE BE =，于是得到AE BE BC ==，推出AE BE BC ==，根据三角形的三边关系得到2BC AB >，故C 错误；根据三角形内角和得到1(180)902OBA AOB BOC ∠=︒-∠=︒-∠，13(180)9022OCA AOC BOC ∠=︒-∠=︒-∠，推出OBA OCA ∠≠∠，故A 错误；由点A ，B ，C 在O 上，而点O 在圆心，得到四边形OABC 不内接于O ，故B 错误；根据余角的性质得到90OBA BOC ∠+∠=︒，故D 正确； 【解答】解：过O 作OD AB ⊥于D 交O 于E ， 则AE BE =，AE BE ∴=，12AOE BOE AOB ∠=∠=∠，2AOB BOC ∠=∠， AOE BOE BOC ∴∠=∠=∠，∴AE BE BC ==，AE BE BC ∴==， 2BC AB ∴>，故C 错误； OA OB OC ==，1(180)902OBA AOB BOC ∴∠=︒-∠=︒-∠，13(180)9022OCA AOC BOC ∠=︒-∠=︒-∠，OBA OCA ∴∠≠∠，故A 错误；点A ，B ，C 在O 上，而点O 在圆心，∴四边形OABC 不内接于O ，故B 错误；12BOE BOC AOB ∠=∠=∠，90BOE OBA ∠+∠=︒，90OBA BOC ∴∠+∠=︒，故D 正确；故选：D ．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（2016•海淀区校级模拟）如图，用不同颜色的马赛克覆盖一个圆形的台面，估计15︒的圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片．已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面( )A ．56-箱B ．67-箱C ．78-箱D ．89-箱【分析】设需要x 箱马赛克片，由题意：3603412515x ⨯=，解方程即可． 【解答】解：设需要x 箱马赛克片．由题意：3603412515x ⨯=， 6.5x ∴≈．∴需要马赛克片67-箱．故选：B ．【点评】本题考查圆心角、弧弦之间的关系，一元一次方程等知识，解题的关键是学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．5．（2015•通州区二模）如图，O 中，如果2AB AC =，那么( )A ．AB AC =B ．2AB AC =C ．2AB AC <D ．2AB AC >【分析】取弧AB 的中点D ，连接AD ，DB ，由已知条件可知AD BD AC ==，在ADB ∆中由三角形的三边关系可知AD BD AB +>，即2AC AB >，问题得解． 【解答】解：取弧AB 的中点D ，连接AD ，DB ， 2AB AC =，AD BD AC ∴==，在ADB ∆中由三角形的三边关系可知AD BD AB +>， 2AC AB ∴>，即2AB AC <， 故选：C ．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，题目设计新颖，是一道不错的中考题． 二．填空题（共6小题）6．（2019秋•西城区校级期中）已知弦AB 的长等于O 的半径，弦AB 所对的圆周角是 30或150 度． 【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB 的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60︒，所以弦所对的圆周角为30︒或150︒．【解答】解：如图示，AB OA OB ==， OAB ∴∆是等边三角形， 60AOB ∴∠=︒， 30ACB ∴∠=︒， 150ADB ∴∠=︒．故弦AB 所对的圆周角是 30或150度． 故答案为：30或150．【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系．7．（2017秋•西城区期末）如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 2 ．【分析】由圆心角120AOB ∠=︒，可得AOB ∆是等腰三角形，又由OC AB ⊥，再利用含30︒角的直角三角形的性质，可求得OC 的长．【解答】解：如图，圆心角120AOB ∠=︒，OA OB =，OAB ∴∆是等腰三角形， OC AB ⊥，90ACO ∴∠=︒，30A ∠=︒，122OC OA ∴==．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30︒角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．8．（2008秋•怀柔区期末）如图，AC 是O 的直径，AB AC =，AB 交O 于E ，BC 交O 于D ，44A ∠=︒，则DE的度数是 44 度．【分析】通过A ∠的度数，可求出底角ABC ∠．又通过90AEC ∠=︒，求出ECB ∠．而DE 的度数是ECB ∠的两倍． 【解答】解：AB AC =，44A ∠=︒(18044)268ABC ∴∠=︒-︒÷=︒又AC 是O 的直径90AEC ∴∠=︒906822ECD ∴∠=︒-︒=︒∴DE 的度数为44︒．故填44︒．【点评】掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，弧的度数等于它所对的圆周角度数的两倍．9．（2009秋•海淀区期中）一条弦AB 将O 分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB 所对的圆心角的度数是 72 度．【分析】根据题意知，弦AB 将圆周分成了5等分，而弦AB 所对的圆心角占了其中的15，由此可求出此圆心角的度数．【解答】解：由于弦AB 将O 分成了1:4两段弧， AB ∴所对的圆心角1360725AOB ∠=⨯︒=︒．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系．10．（2007•海淀区校级自主招生）如图，AB 是O 的直径，BC ，CD ，DA 是O 的弦， 且BC CD DA ==，则BCD ∠= 120︒ ．【分析】由已知可得， 弦BC 、CD 、DA 三等分半圆， 从而不难求得BCD ∠的度数 ． 【解答】解： 连接OC 、OD ，BC CD DA ==，∴AD DC CB ==，∴弦BC 、CD 、DA 三等分半圆，∴弦BC 和CD 和DA 对的圆心角均为60︒， 1(18060)1202BCD ∴∠=︒+︒=︒． 故答案是：120︒．【点评】本题利用了弧、 弦与圆心角的关系求解， 注意半圆对的圆心角为180︒．11．（2016秋•西城区期中）如图，CD 是O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD上的一个动点，当4CD =时，AP BP +的最小值为 22 ．【分析】本题是要在CD 上找一点P ，使PA PB +的值最小，设A '是A 关于CD 的对称点，连接A B '，与CD 的交点即为点P ．此时PA PB A B +='是最小值，可证△OA B '是等腰直角三角形，从而得出结果．【解答】解：作点A 关于CD 的对称点A '，连接A B '，交CD 于点P ，则PA PB +最小，连接OA '，AA '．点A 与A '关于CD 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，60AOD AOD ∴∠'=∠=︒，PA PA ='，点B 是弧AD 的中点，30BOD ∴∠=︒，90AOB AOD BOD ∴∠'=∠'+∠=︒，又2OA OA ='=，22A B ∴'=．22PA PB PA PB A B ∴+='+='=故答案为：2【点评】此题主要考查了轴对称最短线段问题以及垂径定理和勾股定理等知识，正确确定P 点的位置是解题的关键，确定点P 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．三．解答题（共4小题）12．（2019秋•海淀区期末）如图，在O 中，AC CB =，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若120AOB ∠=︒，2OA =，求四边形DOEC 的面积．【分析】（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOC BOC ∠=∠，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD ，根据勾股定理求出CD ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC ，AC BC =，AOC BOC ∴∠=∠，又CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE ∴=；（2）解：120AOB ∠=︒，60AOC BOC ∴∠=∠=︒，90CDO ∠=︒，30OCD ∴∠=︒，112OD OC ∴==， 2222213CD OC OD ∴=--OCD ∴∆的面积132OD CD =⨯⨯= 同理可得，OCE ∆的面积132OD CD =⨯⨯= ∴四边形DOEC 的面积333=【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13．（2019秋•西城区校级期中）ABC∠=∠⊥，D为垂足，E是BC的中点，求证：12∆的三个顶点在O上，AD BC（提示：可以延长AO交O于F，连接)BF．【分析】连接OE，利用垂径定理可得OE BCOE AD，然后即可证明．⊥，可得//⊥，再利用AD BC【解答】证明：连接OE，E是BC的中点，∴弧BE=弧EC，∴⊥，OE BC⊥，AD BC∴，OE AD//∴∠=∠，OEA EADOE OA=，∴∠=∠，OAE OEA∴∠=∠．12【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线．14．（2019秋•西城区校级期中）如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由．【分析】要证明EF FG =，则要证明DAE GAD ∠=∠，由AB AE =，得出ABE AEB ∠=∠，由平行四边形的性质得出B GAF ∠=∠，FAE AEB ∠=∠，GAF FAE ∠=∠，由圆心角、弧、弦的关系定理得出EF FG =．【解答】解：EF FG =，理由：连接AE ．AB AE ∴=，B AEB ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，B GAF ∴∠=∠，FAE AEB ∠=∠，GAF FAE ∴∠=∠，∴EF FG =．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点的应用，关键是求出DAE GAD ∠=∠，题目比较典型，难度不大．15．（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现： 阿基米德折弦定理： 如图 1 ，AB 和BC 是O 的两条弦 （即 折线ABC 是圆的一条折弦） ，BC AB >，M 是ABC 的中点， 则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点， 即CD AB BD =+． 下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程 ．证明： 如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ． M 是ABC 的中点，MA MC ∴=⋯⋯请按照上面的证明思路， 写出该证明的剩余部分；实践应用：（1） 如图 3 ，已知ABC ∆内接于O ，BC AB AC >>，D 是ACB 的中点， 依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 BE CE AC =+ ．（2） 如图 4 ，已知等腰ABC ∆内接于O ，AB AC =，D 为AB 上一点， 连接DB ，45ACD ∠=︒，AE CD ⊥于点E ，BDC ∆的周长为422+，2BC =，请求出AC 的长 ．【分析】首先证明()MBA MGC SAS ∆≅∆，进而得出MB MG =，再利用等腰三角形的性质得出BD GD =，即可得出答案；（1） 直接根据阿基米德折弦定理得出结论；（2） 根据阿基米德折弦定理得出CE BD DE =+，进而求出CE ，最后用勾股定理即可得出结论 ．【解答】证明： 如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ， M 是ABC 的中点，MA MC ∴=．在MBA ∆和MGC ∆中，BA GC A C MA MC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MBA MGC SAS ∴∆≅∆，MB MG ∴=，又MD BC ⊥，BD GD ∴=，DC GC GD AB BD ∴=+=+；实践应用（1） 如图 3 ，依据阿基米德折弦定理可得：BE CE AC =+；故答案为：BE CE AC =+；（2）AB AC =，A ∴是BAC 的中点，AE CD ⊥，根据阿基米德折弦定理得，CE BD DE =+，BCD ∆的周长为422+，422BD CD BC ∴++=+，2422BD DE CE BC CE BC ∴+++=+=+，2BC =，22CE ∴=，在Rt ACE ∆中，45ACD ∠=︒，22AE CE ∴==，4AC ∴=．【点评】此题是圆的综合题， 考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理是解题关键 ．。
《圆心角、弧、弦、弦心距间关系》习题
《圆心角、弧、弦、弦心距、间关系》习题 1．下列说法中正确的是（ ）．
A ．相等的圆心角所对的弧相等
B ．等弧所对的圆心角相等
C ．相等的弦所对的弦心距相等
D ．弦心距相等，则弦相等
2．在半径为5cm 的圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）．
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
3．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3
1，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm
5．弦AB 把⊙O 分成1∶2两部分，AB ＝8cm ，则弦AB 的弦心距等于___________．
6．直径为20cm 的圆中，有一条长为310cm 的弦，则这条弦所对的圆心角的度数是___________，这条弦的弦心距是___________．
7．在⊙O 中，AB 是弦，∠OAB ＝50°，则弦AB 所对的圆心角的度数是___________，弦AB 所对的两条弧的度数是___________．
8．在⊙O 中，OC 是半径，弦EF 过OC 的中点且垂直于OC ，则弦EF 所对的圆心角的度数是___________，弦EF 的弦心距和弦EF 的长的比是___________．
9．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦AE ∥CD ，连结CE 、BC ，求证：BC ＝CE ．（用两种方法加以证明）
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备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_圆_圆心角、弧、弦的关系,单选题专训及答案
A. B. C. D. 28、 (2020长春.中考真卷) 如图，
是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
，则
的大小为（ ）
A. B.
C.
D.
29、
(2020茂名.中考模拟) 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，
，点E是点D关于AB的对称点，M
是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝ ∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述结
A . 40° B . 60° C . 80° D . 100° 18、 (2014贵港.中考真卷) 如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A . 51° B . 56° C . 68° D . 78° 19、 (2017资中.中考模拟) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线 于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=20°，则∠E的度数为（ ）
A . 8 B . 10 C . 11 D . 12 11、 (2018青岛.中考真卷) 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是
的中点，则∠D的度数是（ ）
A . 70° B . 55° C . 35.5° D . 35° 12、
(2018咸宁.中考真卷) 如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD 互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
1.答 案 ： A 2.答 案 ： D 3.答 案 ： B 4.答 案 ： B 5.答 案 ： C 6.答 案 ： A 7.答 案 ： C 8.答 案 ： D 9.答 案 ： A 10.答 案 ： A 11.答 案 ： D 12.答 案 ： B 13.答 案 ： D 14.答 案 ： A 15.答 案 ： C 16.答 案 ： D 17.答 案 ： A 18.答 案 ： A 19.答 案 ： C 20.答 案 ： A 21.答 案 ： C 22.答案：
初三数学圆心角试题
初三数学圆心角试题1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，的度数是72°，∠BCD=68°，则∠AED的度数为．【答案】58°【解析】先根据AB是⊙O的直径，的度数是72°得出的度数，由圆心角、弧、弦的关系可求出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理可求出∠CEB的度数，再根据对顶角相等即可得出结论．解：∵AB是⊙O的直径，的度数是72°，∴=180°﹣72°=108°，∴∠ABC==×108°=54°，∵∠BCD=68°，∴∠CEB=180°﹣∠BCD﹣∠ABC=180°﹣68°﹣54°=58°．故答案为：58°．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD= ．【答案】120°【解析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．解：连接OC、OD，∵BC=CD=DA，∴==，∴弦BC、CD、DA三等分半圆，∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，∴∠BCD=（180°+60°）=120°．故答案是：120°．点评：本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．3.如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是 cm．【答案】5【解析】作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MON′的值，再由勾股定理即可求出MN′的长．解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，∴∠MOB==60°，∠BON′==30°，∴∠MON′=90°，∵AB=10cm，∴OM=ON′=5cm，∴MN′===5cm，即MP+NP的最小值是cm．故答案为：5．点评：本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，求出∠MON′=90°是解答此题的关键．4.（2006•昭阳区二模）如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有个．【答案】12个【解析】因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2=25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，即圆周上的任意一点到原点的距离为5，由题意得：=5，即x2+y2=25，又∵x、y都是整数，∴方程的整数解分别是：x=0，y=5；x=3，y=4；x=4，y=3；x=5，y=0；x=﹣3，y=4；x=﹣4，y=3；x=﹣5，y=0；x=﹣3，y=﹣4；x=﹣4，y=﹣3；x=0，y=﹣5；x=3，y=﹣4；x=4，y=﹣3．共12对，所以点的坐标有12个．分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．点评：本题结合圆和直角三角形的知识，考查了二元二次方程的整数解和点的坐标问题．5.如下图，弦CD、FE的延长线交于圆外点P，割线PAB经过圆心，请你结合现有图形，添加一个适当的条件：，使结论∠1=∠2能成立．【答案】△COP≌△EOP【解析】本题答案有多种，根据三角形全等原理可填AC=AE或BD=BF，也可根据在“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等”和三角形全等原理，填CD=FE或弧CD与弧EF相等．解：使∠1=∠2能成立，则应有△COP≌△EOP，或△PDB≌△PFB，故可添加AC=AE或BD=BF当AC=AE时，根据圆周角定理知，∠AOC=∠AOE，∵OC=OE，PO=PO，∴△COP≌△EOP，∴∠1=∠2．点评：本题答案不唯一，根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求解．6.下列结论正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧C．相等的圆心角所对的弧相等D．等弧所对的圆心角相等【答案】D【解析】A、只有长度相等的两条弧不一定能重合，所以不是等弧；B、直径、弦的定义进行分析；C、根据圆心角、弧、弦的关系进行分析；D、根据圆心角、弧、弦的关系进行分析．解：A、在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同，故本选项错误；B、同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径，故本选项错误；C、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D、等弧所对的圆心角相等，故本选项正确．故选D．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系；解题时要注意圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立．7.下列命题中，正确的个数是（）①直径是圆中最长的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④圆心角等于圆周角的2倍；⑤圆的内接平行四边形是矩形．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一解答即可．解：①符合圆周角定理，故本小题正确；②当两条直径相交时互相平分但不一定互相平分但不一定垂直，应为平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本小题错误；③在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本小题错误；④在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，故本小题错误；⑤符合圆内接四边形的性质，故本小题正确．故选A．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解答此类题目时一定要注意此定理使用的条件，即在同圆或等圆中，这是此类题目的易错点．8.下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆C．相等的圆心角所对弦相等D．直径为圆中最长的弦【答案】D【解析】画出反例图形即可判断A、C；根据当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，即可判断B，根据弦和直径的定义即可判断D．解：A、如图，AB为弦时，直径CD和AB不垂直，故本选项错误；B、不在同一条直线上三点确定一个圆，当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，故本选项错误；C、如图，∠AOB=∠COD，但弦AB≠弦CD，故本选项错误；D、直径是圆中最长的弦，故本选项错误．故选D．点评：本题考查了确定圆的条件，圆的认识，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的运用，主要考查学生的辨析能力．9.如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A．122°B．120°C．61°D．58°【答案】A【解析】直接根据圆心角、弧、弦的关系求解．解：∵，=，∴∠∠AOB=∠AOC=122°．故选A．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．10.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）A．B．1C．D．a【答案】B【解析】此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE=OA，从而求出EA的长；△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB=AC；由AB=BD，得=，可得∠AED=∠AOB；四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D=180°，即∠EAC=180°﹣60°﹣∠D=120°﹣∠D；而∠ECA=180°﹣∠ACB﹣∠BCD=120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD=AB=BC，易证得∠D=∠BCD，则∠ECA=∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC=AB，易证得两个三角形全等，由此得解．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；∵AB=BD，∴，∴∠AED=∠AOB；∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD；∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE=OA=1．故选B．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．。
初三数学圆心角试题
初三数学圆心角试题1.如图，以Rt△ABC的直角顶点C为圆心，CB为半径作圆交AB于D，若∠A=36°，则弧BD= 度．【答案】72°【解析】连接CD，由∠C=90°∠A=36°，根据互余求得∠B=90°﹣36°=54°，又根据等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=54°，再根据三角形的内角和定理得到∠DCB=180°﹣54°﹣54°=72°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到即可弧BD的度数．解：连接CD，如图，∵∠C=90°∠A=36°，∴∠B=90°﹣36°=54°，又∵CB=CD，∴∠CDB=∠B=54°，∴∠DCB=180°﹣54°﹣54°=72°，∴弧BD的度数=72°．故答案为72°．点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形的内角和定理以及圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2.如图，已知：AB是⊙O的直径，点C、D是弧BE上的三等分点，∠AOE=60°，则弧DE= 度．【答案】40度【解析】先利用平角定义求出∠BOE=180°﹣∠AOE=120°，再用“同弧或等弧所对的圆心角相等”即可得解．解：∵∠AOE=60°，∴∠BOE=180°﹣∠AOE=120°，∵点C、D是弧BE上的三等分点，∴∠EOD=∠BOE=40°，∴弧DE的度数是40度．点评：本题利用了邻补角的概念和圆心角、弧的关系：同弧或等弧所对的圆心角相等．3.（2006•昭阳区二模）如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有个．【答案】12个【解析】因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2=25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，即圆周上的任意一点到原点的距离为5，由题意得：=5，即x2+y2=25，又∵x、y都是整数，∴方程的整数解分别是：x=0，y=5；x=3，y=4；x=4，y=3；x=5，y=0；x=﹣3，y=4；x=﹣4，y=3；x=﹣5，y=0；x=﹣3，y=﹣4；x=﹣4，y=﹣3；x=0，y=﹣5；x=3，y=﹣4；x=4，y=﹣3．共12对，所以点的坐标有12个．分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．点评：本题结合圆和直角三角形的知识，考查了二元二次方程的整数解和点的坐标问题．4.已知半径为5的⊙O中，弦AB=5，弦AC=5，则∠BAC的度数是．【答案】15°【解析】易得∠OAC，∠OAB度数，那么∠BAC的度数应为所求的角的和或差．解：如图，连接OC，OA，OB．∵OC=OA=AC=5，∴△OAC是等边三角形，∴CAO=60°，∵OA=OB=5，AB=5，∴OA2+OB2=50=AB2，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°，点C的位置有两种情况，如左图时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=60°+45°=105°；如右图时，∠BAC=∠CAO﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理求解．5.在半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】如图，先利用垂径定理得出AD=1，再解直角三角形可得∠AOD=30°，再得∠AOB=60°．解：如图，AB=2，连接OA，作OD⊥AB，垂足为D．则由垂径定理知，点D是AB的中点，AD=1，而AO=2，∴∠AOD=30°（30°所对的直角边是斜边的一半），∴∠AOB=60°．故选B．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解答该题时，利用了垂径定理、30°所对的直角边是斜边的一半．6.如图，A是半圆上的一个二等分点，B是半圆上的一个六等分点，P是直径MN上的一个动点，⊙O半径r=1，则PA+PB的最小值是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰三角形，从而得出结果．解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．作OQ⊥A′B，∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个二等分点，∴∠A′ON=∠AON=90°，PA=PA′，∵B是半圆上的一个六等分点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=120°，又∵OA=OA′=1，∠A′=30°，∴A′Q=OA′cos30°=，∴A′B=．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故选：C．点评：此题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．7.下列四个命题：①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】由圆心角的定义、弧、弦与圆心角的关系，即可确定答案，注意条件：同圆或等圆中．解：①顶点在圆心的角是圆心角，正确；②在同圆或等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；错误；③在同圆或等圆中，两条弦相等，它们所对的弧也相等；错误；④等弧所对的圆心角相等．正确．故选C．点评：此题考查了圆心角的定义、弧、弦与圆心角的关系．此题比较简单，注意熟记定理与定义是关键．8.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）A．B．1C．D．a【答案】B【解析】此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE=OA，从而求出EA的长；△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB=AC；由AB=BD，得=，可得∠AED=∠AOB；四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D=180°，即∠EAC=180°﹣60°﹣∠D=120°﹣∠D；而∠ECA=180°﹣∠ACB﹣∠BCD=120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD=AB=BC，易证得∠D=∠BCD，则∠ECA=∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC=AB，易证得两个三角形全等，由此得解．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；∵AB=BD，∴，∴∠AED=∠AOB；∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD；∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE=OA=1．故选B．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．9.现给出以下几个命题：（1）长度相等的两条弧是等弧；（2）相等的弧所对的弦相等；（3）垂直于弦的直线平分这条弦并且平分弦所对的两条弧；（4）钝角三角形的外接圆圆心在三角形外面；（5）矩形的四个顶点必在同一个圆上．其中真命题的个数有（）A．1 个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据等弧的定义和圆心角、弧、弦的关系即可判断（1）和（2）；作钝角三角形的外接圆即可判断（3）；由垂径定理可判断（4）；由矩形的性质求出矩形的对角互补即可判断（5）．解：（1）、等弧是指在等圆或同圆中，能够互相重合的弧，故本答案错误；（2）、相等的弧所对的弦相等，故本答案正确；（3）、垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧，故本答案错误；（4）、钝角三角形的外接圆圆心在三角形外面，故本答案正确；（5）矩形的四个角等于90°，即对角互补，所以矩形的四个顶点必在同一个圆上，故本答案正确；正确的有3个．故选C．点评：本题主要考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等弧定义，确定圆的条件等知识点，能根据所学的知识进行判断是解此题的关键．10.已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么与的关系是（）A. B. C. D.不能确定【答案】D【解析】根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等分析，从而得到答案．解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，故选D．点评：本题考查了在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等的理解及运用．。
人教版九年级上知识点试题精选--圆心角、弧、弦的关系
圆心角、弧、弦的关系一．选择题（共20小题）1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）A．51.5°B．60°C．72°D．76°2．在半径为1cm的⊙O中，弦长为cm的弦所对的圆心角度数为（）A．60゜B．90゜C．120゜D．45゜3．已知AB，CD是⊙O的两条弦且都不是直径，如果AB=CD，那么下列结论中不一定成立的是（）A．∠AOB=∠COD B．C．∠ABC=∠ADB D．O到两条弦的距离相等4．下列命题中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的弦所对的弧相等C．垂直于弦的直径必平分弦D．平分弦的直径必垂直于弦5．如图，已知在⊙O中，AB=CD=EF=HG，BC=DE=FG=AH，则∠AHG的度数是（）A．120°B．125°C．130° D．135°6．下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦也较长．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A．=B．=C．=D．EF=GH8．在☉O中=2，则弦AB与弦CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．AB=CD9．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等10．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对11．如图所示，∠AOB=2∠COD，则下列结论成立的是（）A．＞2B．=2C．＜2D．不能确定与2的大小关系12．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．∠AOB＞2∠AOMB．∠AOB=2∠AOMC．∠AOB＜2∠AOMD．∠AOB与2∠AOM的大小不能确定13．半径为9cm的圆中有一段长度为6πcm的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为（）A．60°B．120°C．240° D．60°或120°14．如图，弧BE是⊙D的圆周，点C在弧BE上运动（不与B重合），则∠C 的取值范围是（）A．0°≤∠C≤45°B．0°＜∠C≤45°C．45°＜∠C＜90°D．45°≤∠C＜90°15．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°16．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．12017．下列命题正确的是（）A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦18．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm19．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26°B．28°C．30°D．32°20．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A．=B．＞C．＜D．无法确定二．填空题（共20小题）21．一条弦把圆分成2：1的两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为．22．圆的一条弦分圆为4：5两部分，其中优弧的度数为°．23．一条弦把圆分成3：7两部分，则这条弦所对的圆心角的度数为．24．在同圆中，如果=2，那么弦AB、CD的关系为AB2CD．25．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度．26．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD=40°，则∠AOE=．27．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是．28．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是．29．⊙O的半径是2cm，弦AB=2cm，则∠AOB=．30．已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC交BC于E，的度数为100°，的度数为140°，则∠AEC的度数为．31．如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=6，点D为的中点，C为半径OA 上一动点（点A除外），沿CD对折后点A恰好落在扇形AOB的边线OB或OA上，AC的长可以是．32．下列四种说法：①等弧所对的圆心角相等；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等，其中正确的有（填所有正确答案的序号）33．若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为．34．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，点C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为度．35．如图，PB交⊙O于点A，B，PD交⊙O于点C，D，已知弧DQ=42°，弧BQ=38°，则∠P+∠Q的度数为．36．如图，等腰△ABC的顶角∠A=40°，以AB为直径的半圆与BC、AC分别交于D、E两点，则∠EBC=，的度数为．37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，的度数是72°，∠BCD=68°，则∠AED的度数为．38．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P 为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是．39．如图所示，在⊙O中，=，∠B=70°，则的度数=．40．在半径为3的圆中，长度等于3的弦所对的圆心角是度．三．解答题（共10小题）41．如图，在☉O中，AB是直径，C、D是圆上两点，使得AD=BC．求证：AC=BD．42．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．（1）求证：AC∥OD．（2）若∠AOD=110°，求的度数．43．已知⊙O的半径为12cm，弦AB将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1：5，求∠AOB的角度及弦AB的长．44．如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB 与CD的大小，并说明理由．45．如图，AD、BE、CF是⊙O的直径，且∠AOF=∠BOC=∠DOE．求证：AB=CD=EF．46．如图，已知P是⊙O外任意一点，过点P作直线PAB，PCD，分别交⊙O于点A，B，C，D．求证：∠P=（的度数﹣的度数）．47．如图，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC=CD=DE=EF=FB，求∠AOC与∠COF的度数．48．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=135°，以A为圆心，AB为半径作⊙A交AD，BC于E，F两点，并交BA延长线于G．求弧BF的度数．49．已知：如图，AE，DB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠AOB=60°，且F是的中点．求证：AB=BF．50．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，=，求：∠BCD的度数．圆心角、弧、弦的关系参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）A．51.5°B．60°C．72°D．76°【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OD．∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=52°，∴∠AOB=（360°﹣52°）÷4=77°，∴α=（180°﹣77°）÷2=51.5°．故选A．【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．2．在半径为1cm的⊙O中，弦长为cm的弦所对的圆心角度数为（）A．60゜B．90゜C．120゜D．45゜【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理可证明△AOB为直角三角形，进而得到圆心角度数为90°．【解答】解：由题意得：AO=BO=1cm，AB=cm，∵12+12=（）2，∴∠AOB=90°，故选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握勾股定理．3．已知AB，CD是⊙O的两条弦且都不是直径，如果AB=CD，那么下列结论中不一定成立的是（）A．∠AOB=∠COD B．C．∠ABC=∠ADB D．O到两条弦的距离相等【分析】根据圆的圆心角、弧、弦间的关系进行分析、判断并作出选择．【解答】解：A、∵AB=CD，∴=，∴∠AOB=∠COD（等弧所对的圆心角相等）；故本选项正确；B、∵AB=CD，∴=（在同圆中，等弦所对的弧相等）；故本选项正确；C、当≠时，∠ACB≠∠ADB，∴∠ACB=∠ADB这一结论不一定成立；故本选项错误；D、∵AO=CO，BO=DO，AB=CD，∴△AOB≌△COD，∴OE=OF（全等三角形的对应高相等）；故本选项正确；故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦间的关系．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4．下列命题中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的弦所对的弧相等C．垂直于弦的直径必平分弦D．平分弦的直径必垂直于弦【分析】根据在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，相等的弦所对应的弧相等判断A，B．根据垂径定理及其推论判断C，D．【解答】解：长度相等的弧其弧度不一定相等，所以不等称等弧，A错；在同圆中，一条弦对劣弧和优弧，所以相等的弦所对的弧不一定相等，B错．由垂径定理得C对；任意两直径互相平分但不一定垂直，所以D错．故选C．【点评】理解等弧的定义．熟练掌握垂径定理及其推论．5．如图，已知在⊙O中，AB=CD=EF=HG，BC=DE=FG=AH，则∠AHG的度数是（）A．120°B．125°C．130° D．135°【分析】连结OA、OG、AD、GD，如图，根据圆心角、弧、弦的关系得到===，===，则+=+=+=+，所以∠AOG=90°，然后根据圆周角定理计算出∠ADG=45°，再利用圆内接四边形的性质求∠AHG．【解答】解：连结OA、OG、AD、GD，如图，∵AB=CD=EF=HG，BC=DE=FG=AH，∴===，===，∴+=+=+=+，即+为圆周的，∴∠AOG=360°×=90°，∴∠ADG=∠AOG=45°，∴∠AHG=180°﹣∠ADG=180°﹣45°=135°．故选D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．6．下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦也较长．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直径的定义判断①；根据圆心角、弧、弦的关系判断②；根据圆的对称性判断③；根据圆心角、弧、弦的关系判断④．【解答】解：①直径是弦，并且是圆中最长的弦，故说法错误；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故说法错误；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，故说法正确；④在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦也较长，故说法错误．故选A．【点评】本题考查的是圆的有关定义及性质，圆心角、弧、弦的关系，解题时一定要注意是在同圆或等圆中此类定理才成立，不要滥用．7．如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A．=B．=C．=D．EF=GH【分析】由AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD 的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，根据垂径定理与弦与弧的关系，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：连接EG，AE，∵AB的中垂线CD分别交于C，∴=，故A正确；∵AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，∴=，故B正确；∴四边形EFHG是矩形，∴EF=GH，故D正确．∵AE＞AF=DF，∴AE＞EC，∴＞，故C错误．故选C．【点评】此题考查了弦与弧的关系以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．在☉O中=2，则弦AB与弦CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．AB=CD【分析】根据两弧的关系，作出的中点E，则AE=BE=CD，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论．【解答】解：AB＜2CD．取的中点E，连接EA、EB，则==，所以EA=EB=CD，在△ABE中，AE+BE＞AB，即2CD＞AB，则AB＜2CD，∴CD＜AB＜2CD，故选C．【点评】本题主要考查了：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立．9．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等【分析】利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误．【解答】解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．故选A．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．10．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据圆的对称性对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断．【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①的说法错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②的说法错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，所以③的说法正确；能完全重合的两条弧是等弧，所以④的说法错误．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．11．如图所示，∠AOB=2∠COD，则下列结论成立的是（）A．＞2B．=2C．＜2D．不能确定与2的大小关系【分析】根据圆心角与弦的关系可直接求解．【解答】解：∵∠AOB=2∠COD，∴=2．故选B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．12．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．∠AOB＞2∠AOMB．∠AOB=2∠AOMC．∠AOB＜2∠AOMD．∠AOB与2∠AOM的大小不能确定【分析】根据题意先画出图形，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意如图：∵在⊙O中，M为的中点，∴=，∴∠AOM=∠MOB，∴∠AOB=2∠AOM；故选B．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是本题的关键．13．半径为9cm的圆中有一段长度为6πcm的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为（）A．60°B．120°C．240° D．60°或120°【分析】根据弧长的计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：由题意得，6π=，解得：n=120．故选B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．14．如图，弧BE是⊙D的圆周，点C在弧BE上运动（不与B重合），则∠C 的取值范围是（）A．0°≤∠C≤45°B．0°＜∠C≤45°C．45°＜∠C＜90°D．45°≤∠C＜90°【分析】由于是⊙D的圆周，则可计算出∠BDE=90°，再根据等腰三角形的性质由DB=DC，则∠B=∠BCD，于是根据三角形内角和定理得到∠BCD=90°﹣∠BDC，然后根据0≤∠BDC≤90°求∠BCD的取值范围．【解答】解：∵是⊙D的圆周，∴∠BDE=×360°=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴∠C=（180°﹣∠BDC）=90°﹣∠BDC，∵0≤∠BDC≤90°，∴45°≤∠C≤90°，故选D．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．15．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，继而求得∠ABC的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．【解答】解：连接BC，∵AB是半圆的直径，∴∠C=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，∵D是的中点，∴∠DAC=∠ABC=35°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．16．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．120【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行分析求解．【解答】解：∵内接四边形的对角互补，∴∠A：∠B：∠C：∠D=3：4：6：5设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x∴3x+4x+6x+5x=360°∴x=20°∴∠D=100°故选C．【点评】本题考查圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360°的理解及运用．17．下列命题正确的是（）A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦【分析】等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的．【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A错误；等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的，故B 正确；不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故C错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D错误．故选B．【点评】题目考查了圆心角、弧、弦、基本定义等知识，通过知识的考查，学生可以将定义或相关定理理解得更加准确，是不错的题目．18．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD，∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，在△AOF和△ODE中，，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3，在Rt△DOE中，DE==4，在Rt△ADE中，AD==4，故选：A．【点评】本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．19．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26°B．28°C．30°D．32°【分析】先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出∠P的度数即可．【解答】解：∵和所对的圆心角分别为88°和32°，∴∠A=×32°=16°，∠ADB=×88°=44°，∵∠P+∠A=∠ADB，∴∠P=∠ADB﹣∠P=44°﹣16°=28°．故选B．【点评】此题考查的是圆心角、弧、弦的关系及三角形外角的性质，解题的关键是：熟记并能灵活应用圆周角定理及三角形外角的性质解题．20．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A．=B．＞C．＜D．无法确定【分析】根据平行线的性质得∠DAC=∠ACB，根据圆周角定理得=．【解答】证明：连接AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴=．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二．填空题（共20小题）21．一条弦把圆分成2：1的两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为120°．【分析】根据圆一周上弧的度数为360°，设出弦AB分圆的两部分长，列出方程，求出x值，再由圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到x的值即为要求的劣弧所对圆心角的度数．【解答】解：设弦AB分圆的两部分别为x，2x，∴x+2x=360°，解得：x=120°，则劣弧所对圆心角为120°．故答案为：120°【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，设出适当的未知数，列出方程是解本题的关键．22．圆的一条弦分圆为4：5两部分，其中优弧的度数为200°．【分析】根据在同圆或等圆中，一条弧所对圆心角的度数与这条弧的度数相等解答．【解答】解：∵圆的一条弦分圆为4：5两部分，∴优弧所对圆心角的度数=×360°=200°，∴优弧的度数为200°．故答案为：200°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即一条弧所对圆心角的度数与这条弧的度数相等．23．一条弦把圆分成3：7两部分，则这条弦所对的圆心角的度数为108°．【分析】先根据弦把圆分成3：7的两部分求出所对圆心角的度数即可求解．【解答】解：∵弦AB把⊙O分成3：7的两部分，∴所对圆心角的度数=360°×=108°．故答案为：108°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．24．在同圆中，如果=2，那么弦AB、CD的关系为AB＜2CD．【分析】根据题意画出图形，利用弧、弦的关系得出==，AE=BE=CD，再由三角形的三边关系即可求解．【解答】解：如图所示，=2，==，∵==，∴AE=BE=CD，在△ABE中，AE+BE＞AB，∴AB＜2CD．故答案为：＜．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，能根据题意画出图形是解答此题的关键．25．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于40度．【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA=OB，∴∠BOA=180°﹣2∠A=80°；∵点C是弧AB的中点，即=，∴∠BOC=∠BOA=40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．26．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD=40°，则∠AOE= 60°．【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC=∠COD=∠EOD=40°从而根据平角的定义求得∠AOE的度数．【解答】解：∵，∠COD=40°，∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=60°．故答案为60°．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．27．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是51°．【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=48°，∴∠AOB==78°，∴α==51°．故答案为：51°．【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．28．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是52°．【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OC、OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=56°，∴∠AOB==76°，∴α==52°．故答案为：52°．【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．29．⊙O的半径是2cm，弦AB=2cm，则∠AOB=90°．【分析】作OC⊥AB于C，利用垂径定理得到直角三角形，解此直角三角形求得圆的半径即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，如图所示，则AC=AB=cm，∴OC==，∴AC=OC，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=2∠AOC=90°；故答案为：90°．【点评】本题考查的是垂径定理及解直角三角形的知识，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形．30．已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC交BC于E，的度数为100°，的度数为140°，则∠AEC的度数为100°．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出∠B=70°，∠C=50°，然后根据三角形内角和定理得出∠BAC=60°，进而求得∠BAE=30°，根据三角形外角的性质即可求得∠AEC的度数．【解答】解；∵的度数为100°，的度数为140°，∴∠B=70°，∠C=50°，∴∠BAC=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=100°．故答案为100°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，根据圆心角、弧、弦的关系求得∠B，∠C的度数是解题的关键．31．如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=6，点D为的中点，C为半径OA 上一动点（点A除外），沿CD对折后点A恰好落在扇形AOB的边线OB或OA上，AC的长可以是6﹣3或6或9﹣3．【分析】根据点A′落在半径OA上．可以画出相应的图形，可知点A与点A′关于点CD对称，从而可以得到DA′=DA，由点C为弧AB的中点，∠AOB=60°，OD=OA=6，可以求得OC的长，从而可以求得AC的长；根据点A′落在半径OB上，画出相应的图形，由C为半径OB上一动点（点A除外），设点A关于直线CD的对称点为A′，可知DB=DA′=DA，由点D为弧AB的中点，∠AOB=60°，OD=OA=6，可以求得DF和AF的长，从而可以求得BA′的长，进而得到A′C的长；根据题意A′C的长与AC的长相等，可以求得AC的长．【解答】解：①当点E落在半径OA上时，连接OD，如图1所示，∵∠ACD=90°，∠AOB=60°，点D为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD=30°，OA=OD=6，∴OC=OD•cos30°=6×=3，∴AC=OA﹣OC=6﹣3；②如图2，沿CD对折后点A恰好落在边线OB上，且A′和B重合时，则C和O重合，此时，AC=OA=6；③沿CD对折后点A恰好落在边线OB上，且A′和B不重合时，如图3；连接OD、BD、AD，作DF⊥OA于F，∵∠AFD=90°，∠AOB=60°，点D为弧AB的中点，∴∠AOD=∠BOD=30°，∠OAD=∠OBD，∵OA=OD=6，∴DF=OD•sin30°=6×=3，∠OAD=75°，∴OF=OD•cos30°=6×=3，∴AF=OA﹣OD=6﹣3，∵DA′=DA=DB，∠OAD=∠OBD=75°，∴BA′=2AF=12﹣6，∠DA′B=∠OBD=75°，∴OA′=OB﹣BA′=6﹣（12﹣6）=6﹣6，∵∠CA′D=∠CAD=75°，∴∠BA′C=150°，∴∠OA′C=30°，∴∠A′CO=90°，∴CA′=OA′•sin60°=（6﹣6）×=9﹣3，∴AC=CA′=9﹣3．故答案为：6﹣3或6或9﹣3．【点评】本题考查圆的综合题、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．32．下列四种说法：①等弧所对的圆心角相等；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等，其中正确的有①④（填所有正确答案的序号）【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可判定④正确；②③少了条件在同圆或等圆中，故错误；而等弧，即是在同圆或等圆中的条件下判定的，所以①正确．【解答】解：①等弧所对的圆心角相等，故正确；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等，故错误；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等，故错误；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等，故正确；故答案为①④．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键．33．若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为6cm．【分析】根据题意得到等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵圆心角为90°，∴所得三角形是等腰直角三角形，又半径为6cm，∴弧所对的弦长6cm．故答案为：6cm．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键．34．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，点C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为70度．。
完整版)圆心角圆周角练习题
完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。
2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。
3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。
4.同一条弧所对的圆周角有两个。
5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。
6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。
需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。
7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。
圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。
夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。
2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。
3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。
4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。
5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。
6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。
8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。
9.∠DCE=∠A。
1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。
证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。
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弧，弦，圆心角的关系练习题
1．到点O 的距离为5的所有点构成的图形是__________
2. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________；
3、在⊙O 中的两条弦AB 和CD ，AB>CD ，AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ，则OM__________ON 。
4、 如图，在⊙O 中，弦EF ∥直径AB ，若弧AE 的度数为50°，则弧EF 的度数为 ，弧BF 的度数为 ，∠EOF= °，∠
EFO= °。
5， ⊙O 中，如果弧AB=2弧BC ，那么下列说法中正确的是（ ）
A. AB=BC
B. AB=2BC
C. AB ＞2BC
D. AB<2BC
6.、AB 为⊙O 的直径，C 、D 为半圆AB 上两点，且弧AC 、弧CD 、弧DB 的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠
COD= °，∠DOB= °。
7.. 在⊙O 中，弦AB=8cm ，弦心距为cm 34，则圆心角∠AOB= 。
8.．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．下列结论：①AB ＝CD ；②
＝；③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确的有（ ）．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
9、已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦AE ∥CD ，求证：．
10. 已知：如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D 。
求证：∠OBA=∠OCD 。
11. 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。
求证：AE=BF=CD 。
12、已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．。