高考数学专题 《数列 数列求和问题大全》

数列求和问题大全题型一 分组转化法求和例1 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 破题切入点 (1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得a n ；(2)可以分组求和：将{b n }前n 项和转化为数列{a n }和数列{(－1)n ln a n }前n 项的和． 解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1 (n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3.所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫n －12－n ln 3 ＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1， n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1， n 为奇数.题型二 错位相减法求和例2 已知：数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足b n ＝na n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 破题切入点 (1)代入求解即可．(2)由S n ＝2a n －n 得S n －1＝2a n －1－(n －1)，n ≥2，两式相减构造数列求通项公式． (3)错位相减求和． 解 (1)S n ＝2a n －n . 令n ＝1，解得a 1＝1； 令n ＝2，解得a 2＝3. (2)S n ＝2a n －n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得a n ＝2a n －1＋1，所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)， 又因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以a n ＋1＝2n ，即通项公式a n ＝2n －1(n ∈N *)． (3)b n ＝na n ，所以b n ＝n (2n －1)＝n ·2n －n ，所以T n ＝(1·21－1)＋(2·22－2)＋(3·23－3)＋…＋(n ·2n －n )， T n ＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n )－(1＋2＋3＋…＋n )． 令S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，②①－②，得－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，－S n ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，S n ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1，所以T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2(n ∈N *)．题型三 倒序相加法求和例3 已知函数f (x )＝14x ＋2(x ∈R )．(1)证明：f (x )＋f (1－x )＝12；(2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝f (nm)(m ∈N *，n ＝1,2，…，m )，求数列{a n }的前m 项和S m ；(3)设数列{b n }满足b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ，T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，若(2)中的S m 满足对不小于2的任意正整数m ，S m <T n 恒成立，试求正整数m 的最大值． 破题切入点 (1)利用函数的解析式，化简f (1－x )即可求证． (2)注意利用(1)中的结论，构造倒序求和．(3)由已知条件求出T n 的最小值，将不等式转化为最值问题求解．(1)证明 因为f (x )＝14x ＋2，所以f (1－x )＝141－x ＋2＝4x 4＋2·4x ＝4x2(4x ＋2).所以f (x )＋f (1－x )＝14x ＋2＋4x2(4x ＋2)＝2＋4x 2(4x ＋2)＝12. (2)解 由(1)，知f (x )＋f (1－x )＝12，所以f (k m )＋f (1－k m )＝12(1≤k ≤m －1，k ∈N *)，即f (km )＋f (m －k m )＝12.所以a k ＋a m －k ＝12，a m ＝f (m m )＝f (1)＝16.又S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m －1＋a m ，①S m ＝a m －1＋a m －2＋…＋a 1＋a m ，②由①＋②，得2S m ＝(m －1)×12＋2a m ＝m 2－16，即S m ＝m 4－112(m ∈N *)．(3)解 由b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)， 显然对任意n ∈N *，b n >0，则1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1， 即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1， 所以T n ＝(1b 1－1b 2)＋(1b 2－1b 3)＋…＋(1b n －1b n ＋1)＝1b 1－1b n ＋1＝3－1b n ＋1.因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0，所以b n ＋1>b n ，即数列{b n }是单调递增数列．所以T n 关于n 递增，所以当n ∈N *时，T n ≥T 1.因为b 1＝13，b 2＝(13)2＋13＝49，所以T n ≥T 1＝3－1b 2＝34.由题意，知S m <34，即m 4－112<34，解得m <103，所以正整数m 的最大值为3. 题型四 裂项相消法求和例4 在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列．(1)已知数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．破题切入点 (1)列方程组(两个条件)确定a n .(2)可以采用裂项相消法求得含有公差的表达式，再和已知T n ＝19－1n ＋9对比求得公差．解 设数列{a n }的公差为d ， 由a 1，a 4，a 8成等比数列可得 a 24＝a 1·a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )， ∴a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d ，而d ≠0，∴a 1＝9d .(1)由数列{a n }的前10项和为45可得S 10＝10a 1＋10×92d ＝45，即90d ＋45d ＝45，故d ＝13，a 1＝3，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)·13＝13(n ＋8)． (2)b n ＝1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝1d [⎝⎛⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1] ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫19d －19d ＋nd＝1d 2⎝⎛⎭⎫19－1n ＋9 ＝19－1n ＋9. 所以1d2＝1，d ＝±1.故数列{a n }的公差d ＝1或－1. 总结提高 数列求和的主要方法有：(1)分组求和法：一个数列既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并，或对字母n 分类讨论后再求和．(2)错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }和{b n }分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法： 这是推导等差数列前n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为1a n ·a n ＋1的前n 项和，其中{a n }若为等差数列，则1a n ·a n ＋1＝1d ·(1a n －1a n ＋1)．其余还有公式法求和等．过关检测1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＋2)，则其前n 项和S n 为________．答案 32－1n ＋1－1n ＋2解析 因为a n ＝2n (n ＋2)＝1n －1n ＋2，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝32－1n ＋1－1n ＋2. 2．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为________．答案 n 2＋1－12n解析 因为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝⎛⎭⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n .3．(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 答案 5解析 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5， 即m ＝5.4．在数列{a n }中，若存在一个确定的正整数T ，对任意n ∈N *满足a n ＋T ＝a n ，则称{a n }是周期数列，T 叫作它的周期．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝a (a ≤1)，x n ＋2＝|x n ＋1－x n |，当数列{x n }的周期为3时，则{x n }的前2 013项和S 2 013＝________. 答案 1 342解析 由x n ＋2＝|x n ＋1－x n |， 得x 3＝|x 2－x 1|＝|a －1|＝1－a ， x 4＝|x 3－x 2|＝|1－2a |，因为数列{x n }的周期为3，所以x 4＝x 1， 即|1－2a |＝1，解得a ＝0或a ＝1. 当a ＝0时，数列{x n }为1,0,1,1,0,1，…， 所以S 2 013＝2×671＝1 342.当a ＝1时，数列{x n }为1,1,0,1,1,0，…， 所以S 2 013＝2×671＝1 342. 综上，S 2 013＝1 342.5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014＝________. 答案 2 010解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009. 由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.6．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 答案 1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.7．在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n项和S n ＝________.答案 nn ＋1解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3. 所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1.{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 2n ＋1－n －2解析 因为a n ＋1－a n ＝2n ， 应用累加法可得a n ＝2n －1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ＝2(1－2n )1－2－n＝2n ＋1－n －2.9．定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数． (1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n ＝(2a 1＋1)·(2a 2＋1)·…·(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项公式及T n 关于n 的表达式． (1)证明 由题意得a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ，得2a n ＋1＋1＝4a 2n ＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2.所以数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”． 令c n ＝2a n ＋1，所以lg c n ＋1＝2lg c n . 因为lg(2a 1＋1)＝lg 5≠0，所以lg (2a n ＋1＋1)lg (2a n ＋1)＝2.所以数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列． (2)解 因为lg(2a 1＋1)＝lg 5， 所以lg(2a n ＋1)＝2n －1·lg 5，所以2a n ＋1＝52n －1，即a n ＝12(52n －1－1)．因为lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1) ＝lg 5·(1－2n )1－2＝(2n －1)lg 5.所以T n ＝52n －1.10．(2014·湖南)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2.B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ， 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.11．(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1 得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.12．(2014·山东)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n－14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1) ＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)。