轨迹方程的求法课件ppt
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轨迹方程PPT教学课件
动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
返回
59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
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59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
第61讲求轨迹方程的基本方法
第61讲求轨迹方程的基本方法
求轨迹方程是一种比较常见的数学问题，也是物理学、力学等课程中
的重要内容。
其目的是求出物体在段时间内的运动路径，并用曲线来表示
该运动路径。
求轨迹方程基本方法有以下三种：
一、圆形运动
圆形运动是指物体在恒定的圆周角速度下沿恒定的半径运动的运动形式，其轨迹方程可以用极坐标的形式给出，即：
x=rcosθ
y=rsinθ
其中，r为半径，θ为圆周角速度，x、y为极坐标的横纵坐标。
二、直线运动
直线运动是指物体在恒定的速度下沿其中一方向运动的运动形式，其
轨迹方程可以用一元一次方程的形式给出，即：
y=kx+b
其中，k为斜率，b为截距，x、y为横纵坐标。
三、抛物线运动
抛物线运动是指物体在恒定的加速度下向其中一方向抛出的运动形式，其轨迹方程可以用二元二次方程的形式给出，即：
y=ax^2+bx+c
其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，x、y为横纵
坐标。
四、椭圆形运动
椭圆形运动是指物体在恒定的角加速度下沿椭圆轨迹运动的运动形式，其轨迹方程可以用双曲线的形式给出，即：
(x/a)^2+(y/b)^2=1
其中，a、b为椭圆的长短轴，x、y为椭圆的横纵坐标。
总之。
《轨迹方程的求法》课件
结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
轨迹与方程学习.pptx
第23页/共48页
z
θM
R
y
Q
P
中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为
x r sin cos
y
r
s in
sin
(5)
z r cos
（4），（5）中的θ，为参数，其取值范围分别是 0θ与-＜。
第24页/共48页
例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。
解：如图,有
r=OM=OQ+QP+PM
称为曲线的坐标式参数方程。
O
第4页/共48页
A
P(x(t),y(t))
r(a)
r(t)
B
r(b)
x
5、直线的方程
已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量
v ={X,Y}共线，求直线l的方程。
解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0， 则点M在l上的充要条件为矢量M0M与v共线，即
当u,v取遍变动区域的一切 值时，径矢
z
OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 所画的轨迹一般为一张曲面。
S
o x
第21页/共48页
M y
2、曲面的矢量式参数方程
定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2） 表示的径矢r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在 这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢， 而这径矢可由u,v的值 (aub,cvd)通过（2）完全决 定，则称（2）式为曲面的矢量式参数方程，其中u,v为 参数。
z F (x, y, z) = 0
z
θM
R
y
Q
P
中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为
x r sin cos
y
r
s in
sin
(5)
z r cos
（4），（5）中的θ，为参数，其取值范围分别是 0θ与-＜。
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例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。
解：如图,有
r=OM=OQ+QP+PM
称为曲线的坐标式参数方程。
O
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A
P(x(t),y(t))
r(a)
r(t)
B
r(b)
x
5、直线的方程
已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量
v ={X,Y}共线，求直线l的方程。
解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0， 则点M在l上的充要条件为矢量M0M与v共线，即
当u,v取遍变动区域的一切 值时，径矢
z
OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 所画的轨迹一般为一张曲面。
S
o x
第21页/共48页
M y
2、曲面的矢量式参数方程
定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2） 表示的径矢r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在 这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢， 而这径矢可由u,v的值 (aub,cvd)通过（2）完全决 定，则称（2）式为曲面的矢量式参数方程，其中u,v为 参数。
z F (x, y, z) = 0
轨迹方程的求法PPT资料优秀版
A
x2+y2=5
练习2：已知P（4，0）是圆x2+y2=36内一点， A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°， 求AB中点R的轨迹方程；
Y
B R A
X
O
P
解：连OR、PR，AB是圆的弦，∴OR⊥AB。
△ABP是Rt△，R是AB中点,∴PR= 1 AB，
OR2+（ 1
2 AB)2=OA2，即OR2+PR2=OA2
代入抛物线方程得P点轨迹方程为：
(y1)2 2(x1) 33 3
练习1：设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为 直角边,B为直角顶点,逆时针方向作等腰直 角三角形ABC,当AB转动时,求点C的轨迹.
分析：连CO，可知
C
Y
CO2=BO2+CB2
BБайду номын сангаас
CB=AB
CO2=BO2+AB2
O
X
即C点的轨迹方程为：
A
的两条切线的切线长
相等。
B
O
X
OP平分∠APB，
∴∠APO=30°
AO=1 ，PO=2。
P到定点O的距离等于定长2。 ∴P点的轨迹方程是：
x2+y2=4 P点的轨迹是圆。
例2 动点P到直线x+y=6的距离的平方等于 两坐标轴与点P到两坐标轴的垂线所围成的 矩形的面积，求P点的轨迹。
Y
解：设P（x，y)，
又∵AO=OQ，∴AOQH为菱形。 设H（x，y），Q(xo，yo) xo=x，yo=y-2，Q(xo，yo)在圆O上。 即H的轨迹方程为x2+(y-2)2=4。（x≠0）
例4 已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），
轨迹方程的求法 ppt课件
PPT课件
9
【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据
条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. （1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点
到A的距离等于P点到直线x=2的距离.
PPT课件
10
【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，
为 一 定 点, M为 圆A上 的 一 个 动 点,线 段MB
的 中 垂 线 和 直 线AM的 交 点 为P, N为 垂 足,
-30
-20
求 动 点P的 轨 迹 方 程.
15
M
10
N
5
P
-10
A
B
10
-5
PPT课件
-10
13
【练习3】第3题
已 知 圆A的 方 程 为( x 3)2 y 2 64, B(3,0)为 一 定 点,
即|PA|+|PB|=6＞4=|AB|，故P点的轨迹是椭圆，
且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b= 5， 因此其方程为 x2（yy≠2 0 1）.
95
（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，
因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，
且2a=1，2c=4，即a= 1,c=2,b= ，15
x2 y2 1 平方化简得:(x 1)2 y2 4 (x 3)2 y2 2
2.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心
的轨迹方程是__y2_=_8_x_(_x_＞__0_)_或__y=__0_(x_＜__0_)_.
参数法求轨迹PPT课件
例二
过定点P（5，0）作动直线 l 交抛物线 y2 =16x 于A、B两 点，求弦AB的中点M的轨迹方 程。
y
A M P x
O
B
例三 已知两点Q（-2，2），P（0，2）以及一条直线 l：y=x， 设长为
2 的线段在直线l上移动，求直线QA和PB的交点
y
M的轨迹方程。（要求把结果写成普通方程）
Q
例一
过定点Q(0, 2)的动直线与圆 x2 + y2=1交 于两点 A、B,试求AB的中点M的轨迹方程.
y Q A M O x
B
解题回顾
1、求曲线的轨迹方程，就是将动点的两 坐标x、y之间互相制约、互相依赖的关 系用等式的形式表示出来。 2、动点的两坐标x、y之间的制约、依 赖关系也可以通过第三个变量（即参数） 来表示。 3、根据动点的运动规律，可选择不同 参数来刻划。
P
l
O A B
x
M
x y x2 y2 1 ，P是 l 上一点， 1 ，直线 已知椭圆 12 8 24 16
射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=|OR|2。 当点P在移动时，求点Q的轨迹。 y
例四
பைடு நூலகம்
P
R Q x
O
知识回顾
应用参数法求轨迹方程时，首先要选 择恰当的参数，参数必须能刻划动点的运 动变化，而且与动点坐标有直接的内在联 系。如果需要并且可能，还应顾及消去参 数的方便，选定参数之后，即可当作已知 数，运用轨迹条件，求出动点的 坐标，即 得轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的 普通方程。
圆的一般方程轨迹问题解析ppt课件
例5.已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2).
证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
解法一：求圆心、求半径 •P
解法二：相关点法
P点满足PA⊥PB
A
• C
B
即 yy1 yy2 1
xx1 xx2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
【分析】设M(x,y), A(x0,y0)
因为M是AB的中点，
所以
x
y
x0 4 2
y0 3 2
解得
x0 y0
2x 2y
4 3
又因为点A在圆(x+1)2+y2=4上，
y
M(x,y) B(4,3)
A (x0,y0)
o
x
所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,
得 (x3)2(y3)2 1为所求。
【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同 两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说 明轨迹的形状。
(x-2)2+y2=4
(0≤x< 1)
y
A M B
o
Px
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
∴端点C的轨迹方程是
(x-4)2+(y-2)2=10(
x y
35且xy
5 -1
).
故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 1 0 为半径的圆,
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设椭圆的方程为 x 2 ＋ y 2 1(a b 0) a2 b2
由题意得 : 2a 8,2c 6 b2 42 32 7
15
M
10
N
5
P
-30
-20
点P的轨迹方程为 x 2 y 2 116 7-源自0AB10
-5
-10
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/11
x2 y2 1 平方化简得:(x 1)2 y2 4 (x 3)2 y2 2
2.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心
的轨迹方程是y_2=_8_x_(_x_＞__0_)_或__y_=_0_(_x_＜__0_)__. y
解：设动圆圆心为P(x,y).
AP
由题，得 (x 2)2 y2 2 | x | (x 2)2 y2 (2 | x |)2
面几何知识推出等量关系，列出含动点P（x,y）的
解析式.
【例题1】
ABC的两个顶点坐标分别是A(5，0), B(5，0), 边AC , BC
所在直线的斜率之积等于 9 ,求顶点C的轨迹方程. 25
解：设顶点C的坐标为( x, y), 则有
它
k AC
y x5
(x 5)
, kBC
x
oB
x
即
-4x+y2=4|x|
得动圆圆心的轨迹方程为 y=0(x<0), 或
2
二、待定系数法
题目已知曲线类型,正确设出曲线的标准方程,
然后结合问题的条件,建立参数a,b,c,p 满足
的等式,求得其值,再代入所设方程.
【练习2】
1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且 经过点P（-6，-3），则抛物线方程为_x_2___1_2_y___
y 5
( x 5)
表 示
由题意知 y y 9
何 种
x 5 x 5 25
曲
化简得9 x 2 25 y 2 25 9 0
线
即 x 2 y 2 1 ( x 5)
呢 ？
25 9
【练习】
1.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1:2的点的轨迹,则此曲线的方程(是x __1)_2___y_2___4____.
因此其方程为
4x 2
4y2
2
1(x
1
)
2
15
2
（3）依题意，知动点P到定点A的距离等于 到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线， 且开口向左，p=4. ∴方程为y2=-8x.
【练习3】
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，
则P点的轨迹方程是__y___0_( x___1_)____.
【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据
条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. （1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点
到A的距离等于P点到直线x=2的距离.
【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，
已知 圆A的方 程为( x 3)2 y 2 16, B(3,0)为一 定点,
M为 圆A上 的 一 个 动 点, 线 段MB的 中 垂 线 和 直 线AM
M为 圆A上的 一个 动点,线 段MB的中 垂线 和直 线AM 的交 点为P, N为垂 足,求动 点P的轨 迹方 程.
解 :由已知可得 PM PB , 且 PM PA AM
又 AM 4, AB 6 PA PM PA PB 8 AB
点P的轨迹是以A, B为焦点的椭圆
【练习3】第3题-----变式
已知 圆A的方 程为( x 3)2 y 2 16, B(3,0)为一 定点, 15 M为 圆A上 的 一 个 动 点, 线 段MB的 中 垂 线 和 直 线AM
的交点为P, N为垂足,求动点P的轨迹方程. 10
5
M
N
-20
-10
A
B
P
-5
【练习3】第3题-----变式
10
2.如 图,一 动 圆P与 圆M : x2 ( y 3)2 4外 切,-20
同时 与圆N : x2 ( y 3)2 100相内 切,
则 圆 心P的 轨 迹 方 程 是
x2 y2 1
27 36
5
M
-10
P
O
10
N -5 y
-10
-15
3.已 知 圆A的 方 程 为( x 3)2 y2 64, B(3,0)
y
x o
复习回顾
求动点轨迹方程的基本步骤是什么？
(1)建系: 建立直角坐标系； (2)设点: 设所求动点P(x,y); (3)列式: 根据条件列出动点P满足的关系式; (4)化简: 化简方程； (5)检验：检验所得方程的纯粹性和完备性,
多余的点要剔除,不足的点要补充。
一、直接法
题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平
2、设双曲线与椭圆x2 y2 1有共同的焦点， 且双曲
36 27
x2 y2
线的实轴长为4， 则双曲线方程为____4____5___1___.
三、定义法
分析题设几何条件，根据所学曲线的定义， 判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲 线的方程.
【例题3】
已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0）， 分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程. （1）△PAB的周长为10; （2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）; （3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.
为 一 定 点, M为 圆A上 的 一 个 动 点,线 段MB
的 中 垂 线 和 直 线AM的 交 点 为P, N为 垂 足,
-30
-20
求 动 点P的 轨 迹 方 程.
15
M
10
N
5
P
-10
A
B
10
-5
-10
【练习3】第3题
已 知 圆A的 方 程 为( x 3)2 y 2 64, B(3,0)为 一 定 点,
即|PA|+|PB|=6＞4=|AB|，故P点的轨迹是椭圆，
且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b= 5 ， 因此其方程为 x2 y2 1（y≠0）.
95
（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，
因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，
且2a=1，2c=4，即a= 1 ,c=2,b= 15 ，