高中数学必修五公式
高中数学必修五-等差数列
等差数列知识集结知识元等差数列的性质知识讲解1．等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴a n＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．例题精讲等差数列的性质例1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15-a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．60例2.记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a5=3，S13=91，则a1+a11=（）A．7B．8C．9D．10例3.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12等差数列的通项公式知识讲解1．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．例题精讲等差数列的通项公式例1.在等差数列{a n}中，a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8=（）A．B．C．D．不能确定例2.在等差数列{a n}中，a2+a10=0，a6+a8=-4，a100=（）A．212B．188C．-212D．-188例3.在等差数列{a n}中，若a2=5，a4=3，则a6=（）A．-1B．0C．1D．6当堂练习单选题练习1.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12练习2.等差数列{a n}中，已知a2+a6=4，则a4=（）A．1B．2C．3D．4练习3.在等差数列{a n}中，若a3+a9=17，a7=9，则a5=（）A．6B．7C．8D．9练习4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章∙大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为（）A．116B．131C．146D．161练习5.已知2，b的等差中项为5，则b为（）A．B．6C．8D．10练习6.数列{a n}是等差数列，a1=1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16=15，则实数λ的最大值为（）A．B．C．D．练习7.等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3=10，S6=54，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．6练习8.等差数列{a n}中，a1+a8=10，a2+a9=18，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4练习9.在等差数列{a n}中，已知a2+a6=18，则a4=（）A．9B．8C．81D．63。
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
高中数学必修5优质课件：数列的通项公式与递推公式
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部 分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需 注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式．
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其 特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)， 写出该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式． 解：a1＝1， a2＝a1＋2×1 1＝1＋12＝32， a3＝a2＋3×1 2＝32＋16＝53， a4＝a3＋4×1 3＝53＋112＝74，
[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公 式法是常用的数学方法．
(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项 数与项的对应关系．
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应 项变化的趋势．
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
3．已知 a1＝1，an＝1＋an1－1(n≥2)，则 a5＝________. 解析：由 a1＝1，an＝1＋an1－1得 a2＝2，a3＝32，a4＝53， a5＝85. 答案：85
第十八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
4．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n 1＝13(n∈N*)，则数列{an}是 ________数列(填“递增”或“递减”)．
高中数学必修五知识点归纳总结
《必修五知识点总结》第一章：解三角形知识要点一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b cR C===A B(R 为C ∆AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2bRB =，sin 2cC R =；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：bca cb A 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+=，推论：C ab b a c cos 2222-+=，推论：abc b a C 2cos 222-+=二、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解1、三角形中的边角关系（1）三角形内角和等于180°；（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； （3）三角形中大边对大角，小边对小角；（4）正弦定理中,a =2R ·sin A ,b =2R ·sin B ,c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =.222a c b -+acb c a B 2cos 222-+=（6）三角形的面积公式有:S =ah ,S =ab sin C=bc sin A=ac sinB ,S =其中，h 是BC 边上高，P 是半周长.2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理.（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理.3、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是：①化边为角；②化角为边.4、三角形中的三角变换（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
人教版高中数学必修1至必修5公式
必修二：
直线与方程
1）直线的倾斜角
3
人教版高中数学必修一至必修五公式（必会）
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾
斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k tan 。斜
log a m n log am b n
n log a m
n m
log a
b
(a、b、m
0，n
R, 且a
1)
,
log a
b
log c log c
b a
(a、b、c
0, 且a、c
1)
(换底公式)
函数图像（必须熟）
表1
y ax a 0, a 1
指数函数
定义域 值域
xR
y 0,
对数数函数 y log a x a 0, a 1
○1 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
d C1 C2 ( A、B都相等）
○2 设直线 l1 Ax By C1 0, l2 Ax By C2 ; 则两点间的距离为
A2 B2
二、圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
(a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ac ; (a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ac (a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ac ; (a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ac
高中数学必修五公式整理
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第一章 三角函数一．正弦定理：2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径） 变形：2sin (sin )22sin (sin )22sin (sin )2a a R A A R b b R B B R c c R C C R ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩推论：::sin :sin :sin a b c A B C =二．余弦定理：三．三角形面积公式：111sin sin sin ,222ABC S bc A ac B ab C ∆===第二章 数列一．等差数列： 1.定义：a n+1-a n =d (常数)2.通项公式：()d n a a n ∙-+=11或()d m n a a m n ∙-+=3.求和公式:()()d n n n n a a a S n n 21211-+=+=4.重要性质(1)a a a a q p n m q p n m +=+⇒+=+(2) m,2m,32m m m S S S S S --仍成等差数列二．等比数列：1.定义：)0(1≠=+q q a a nn 2.通项公式：q a a n n 11-∙=或q a a mn m n -∙=3.求和公式: ）（1q ,1==na S n ）（1q 11)1(11≠--=--=qqa a q q a S n n n2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C =+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab+-=+-=+-=4.重要性质（1）a a a a q p n m q p n m =⇒+=+(2)()m,2m,32q 1m m m m S S S S S --≠-仍成等比数列或为奇数三．数列求和方法总结：1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和, 若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和.注意(1):若数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用（分组求和法）。
高中数学必修五等比数列前n项和公式的推导和应用
1 1 27 q 8 ( 2) 由 a1 27 , a 9 , 可得 : 243 243
又由 q 0, 可得：
q
Sn
于是当 n 8时
8 1 27 1 3 1640 1 81 1 ( ) 3
1 3
例 2、在等比数列 a n 中，求满足下列条件的 量 :
由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子 里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个 格子里的麦粒数依次是
1，2，2 ， 2， 2
1 2 22 23
2
3
63
因此，发明者要求的麦粒总数就是
263，
如果把各格所放的麦粒数看成一个数列， 我们可以得到一个首项为1，公比为2的等比 数列，而发明者要求的麦粒总数就可以看成 这个等比数列的前64项的和。
1 n
n· a1
1-q
例1、求下列等比数列前8项的和
(1) 1 1 1 , , , 2 4 8
(2)a1 27, a9
1 ,q 0 243
1 1 ,q (1) 因为 a1 解： 2 2
Sn 1 2
所以当 n 8时
8 1 1 2 255 1 256 1 2
由公式得： 30000
整理得 1.1n 1.6
5000 (11.1n ) 11.1
两边取对数，得 n lg1.1 lg1.6,
用计算器算得n
lg1.1 lg1.6
0.2 0.041
5
答：从今年起，大约 5年可使总销售量达到 30000 台。
1、 求 等 比 数 列 1, x , x , x , 的 前n 项 和s n .
高中数学必修五第一章数列等差数列的通项公式
1 / 4高一年级下数学必修五课题：第一章 数列--第2节 等差数列的通项公式（第二课时）◆课前导学（一）学习目标：1.理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项；2.掌握等差数列的特殊性质及应用．（二）重点难点：1.重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用；2.难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用.（三）预习提纲：1.在等差数列{}n a 中，已知103=a ，289=a ，求12a ．2.等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值． ◆课堂导学一、等差中项定义：等差中项：如果b A a ,,这三个数成等差数列，那么=A ，A 叫做b a ,的等差中项．若c a b +=2，则c b a ,,成等差数列．例题1：（1）12741=++a a a ，则=4a _ ___（2）48242332=+++a a a a ，则=13a （3）已知等差数列{a n }中，39741=++a a a ，33852=++a a a ，则=++963a a a2 / 4变式训练1：（1）14812152,a a a a a ---+=则313__________a a +=（2）已知等差数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x －1=0的两实数根，7891011___________.a a a a a +++++=二、等差数列的有关性质：（1）若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+；（2）下标为等差数列的项()Λ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；（3）数{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；（4）{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n b a ±也为等差数列；（5）{}n a 的公差为d ，则：①⇔>0d {}n a 为递增数列；②⇔<0d {}n a 为递减数列；③⇔=0d {}n a 为常数列；例题2： （1）三个数成等差数列，和为15，积是45，求三个数（2）成等差数列的四个数之和是26，中间两个数的积是40，求这四个数（3）在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N l k n m ,,,且l k n m +=+求证：①d m n a a m n )(-+=； ②l k n m a a a a +=+．变式训练2：（1）已知{}n a ，{}n b 均为等差数列，且31=a ，71=b ，482020=+b a ，则3 / 4数列{}n n b a + 的第30项为___________________________（2）已知正数列{}n a 和{}n b 对任意n N *∈，1,,n n n a b a +成等差数列，且1n a +=是否为等差数列。
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高中数学必修五公式
第一章 三角函数
一．正弦定理：2(sin sin sin a b c
R R A B C
===为三角形外接圆半径） 变形：2sin (sin )22sin (sin )22sin (sin )2a a R A A R b b R B B R c c R C C R ⎧
==⎪⎪
⎪
==⎨⎪
⎪==⎪⎩
推论：::sin :sin :sin a b c A B C = 二．余弦定理：
三．三角形面积公式：111
sin sin sin ,222
ABC S bc A ac B ab C ∆===
第二章 数列
一．等差数列： 1.定义：a n+1-a n =d (常数)
2.通项公式：()d n a a n ∙-+=11或()d m n a a m n ∙-+=
3.求和公式:()
()d n n n n a a a S n n 2
1211-+
=+=
4.重要性质(1)a a a a q p n m q p n m +=+⇒+=+
(2) m,2m,32m m m S S S S S --仍成等差数列
二．等比数列：1.定义：
)0(1
≠=+q q a a n
n 2.通项公式：q a a n n 1
1-∙=或q a a m
n m n -∙=
3.求和公式: ）
（1q ,1==na S n ）
（1q 11)1(11≠--=--=q
q
a a q q a S n n n 4.重要性质（1）a a a a q p n m q p n m =⇒+=
+
(2)()m,2m,32q 1m m m m S S S S S --≠-仍成等比数列或为奇数
三．数列求和方法总结：
1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).
2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和, 若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和.
注意(1):若数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用（分组求和法）。
(2)若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和,采用(错位相减法). 过程:乘公比再两式错位相减
(3)若数列的通项可拆成两项之差,通过正负相消后剩有限项再求和的方法为(拆项相消法).
2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A
b a
c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222
222
222cos 2cos 2cos 2b c a A bc
a c
b B ac
a b c C ab
+-=+-=+-=
常见的拆项公式:11
1)1(1.
1+-=+n n n n
四.数列求通项公式方法总结:
1..找规律(观察法).
2..若为等差等比(公式法)
3.已知Sn,用（Sn 法）即用公式()()⎩⎨⎧≥-==-2111
n S S n S a n n
n
4. 叠加法
5.叠乘法等
第三章：不等式
一．
解一元二次不等式三部曲：1.化不等式为标准式ax 2
+bx+c>0或 ax 2
+bx+c<O (a>0)。
22.0ax bx c ++=计算△的值，确定方程的根。
3.根据图象写出不等式的解集.
特别的：若二次项系数a 为正且有两根时写解集用口决：（不等号）大于0取两边，小于0取中间
二.分式不等式的求解通法：
（1）标准化：①右边化零，②系数化正.
（2）转 换：化为一元二次不等式（依据：两数的商与积同号）
三.二元一次不等式Ax+B y+C ＞0（A 、B 不同时为0），确定其所表示的平面区域用口诀：同上异下 （注意：包含边界直线用实线，否则用虚线）
四.线性规划问题求解步骤：画（可行域）移（平行线）求（交点坐标，最优解，最值）答.
五.基本不等式：
0,0)a b
a b +≥≥≥（当且仅当a=b 时，等号成立）
利用基本不等式求最值应用条件：一正数 二定值 三相等
旧知识回顾：1.2
0ax bx c ++=求方程的根方法：
（1）十字相乘法：左列分解二次项系数a ，右列分解常数项c ，交叉相乘再相加凑成一次项系数b 。
12
2b x a
-±=
，（2）求根公式： 2．韦达定理：2
121212,00),b c
x ax bx c x x a a
++=≠+=-∙=若x 是方程（
a 的两根，则有x x 3．对数类:log a M+log a N=log a MN log a M-log a N=log a N M
log a M N =Nlog a M （M.>0,N>0）
)11(1)(1.2k
n n k k n n +-=+)121121(21)12)(12(1.3+--=+-n n n n ]
)
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1.
4++-+=++n n n n n n n )1(1n 1.5n n n -+=++()10()()0()
()(2)0()()0()0
()
()()
30()()f x f x g x g x f x f x g x g x g x f x f x a a g x g x >⇔∙>≥⇔∙≥≠≥⇔-≥常用的解分式不等式的同解变形法则为
（）且（），再通分。