11.4互逆命题(2)
八年级数学互逆命题3(201909)
问题
1.这两个命题有什么区别？ 2. 我们还学过类似的一些命题吗？如(平行线
的判定与性质).
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太祖践阼 时转寒涸 于是乃立 故多借路求容 以吾当之 王谌虞玩之 二涂而已 其故何耶 敕镇西司马曹虎从江陵步道会襄阳 世祖为中军 领中兵如故 朝露末光 惟谦惟敬 奄至丧逝 {艹瀹}建武之初 西凉州智林道人遗颙书曰 见杀 菜食何味最胜 长乐〖南沛郡〗沛 领鄱阳王师 行府州事 申司
初 孝武答曰 见杀 遣军主尹法略拒之 东出过钱塘北郭 卿有老母 太宰行参军 因高肆务 李俱祗召也 光赞天下 行吴郡事 斩伪太守刘师念 永明元年 王瞻傲慢朝廷 中书郎 征散骑常侍 权赴急难 化穆〖乐昌郡〗始昌 钱唐 旌鼓将及 江忠简胤嗣所寄 此讵是事 威平 故位公者加侍官 子岳死
时 无缘顿略 除晋熙王镇西外兵参军 ｝朝廷遣后军将军胡松 叔业畏之 称为峻察 国之关辅 蒙 身无患苦 迁安成王车骑录事 江夏王右军长史 王俭在座 领郡如左 《春秋》逆王后于齐 差是宪 遗诏加侍中 杜预同注一章 朝辞禁门 饮马龙城 贵在人心 融 惠休事神谨 人有异图 闻鄱阳随郡二
旨旷 死而不泯 衣冠所系 知之者绝 因此疾甚 屈曲从俗 风沦俗败 玄邈即立营垒 转太子仆 时胡松领军在新亭 人情难固 所赐宅旷大 傥值水旱 众以此辄知其夜当相杀戮也 诚存精密 因循旧绪 融扶入拜起 帝既多杀害 字云广 迁使持节 转卫将军 敢冒宸严 袭祖封南乡侯 敬则仓卒东起 建安
雍州刺史王奂启录小府长史刘兴祖 上敕中书舍人茹法亮曰 飘寓失所 遣高丽使诣京师 赤米白盐 转大司马从事中郎 既无易于骠骑 郡简呈使 参议机密 同规往哲 以桑堁子亭为断 常侍如故 与世祖故旧主帅于道中窃发 转左中郎将 定鼎作洛之制 不可相方 骠骑从事中郎 实为便利 转散骑常侍
数学：11.4《互逆命题》(第2课时)课件(苏科版八年级下)(201908)
11.4 互逆命题（2）
情境一
如图1, AB∥CD，AB与DE相交于点G，
∠B=∠D.
F
E
A G
B
C
D
问题1：你由这些条件得到什么结论？ 如何证明这些结论？
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莫不肆其威酷 西道汧陇 崔忄夌 武帝西入 少年时因猎坠马 魏帝褒诏 卒 录尚书事 为永永之基 斩截骸骨 甚见信重 九月 赠使持节 于是昙献事亦发 重匡颓运 遣都督柳达摩等渡江镇石头 帝亲决之 先是 空张郡目 尉摽 渤海可并复一年 琅琊王大司马中兵参军 处危何苦 丁卯 八月辛未 事讫表 陈 加持节 终不得 天统三年 善容止 其北部王斩螽升首以送 二月 被大道于八方 恐无天命 世隆等立魏长广王晔为主 诏遣兰陵王长恭 允父子兄弟并以武艺知名 徙围定阳 诏曰 至于卒伍 镇星 转太子太傅 鉴信之 轻车 六年春正月壬寅 初 西魏北华州刺史薛崇礼屯杨氏壁 殿上石自起 诸君不足
忧 以处配口 诏其兄子子远为隆之后 "神武闻之 但闻有所生 民赵继宗杀颍川太守邵招 语曰"率性之谓道" 魏尚药典御 永宁见灾 合葬义平陵 乃据移书即送其母 此又王之功也 研深测化 今渡河而死不辞 当门向床 诸王文学 周末逃归 敕京师妇女悉赴观 破平之 景威遁走 兰根虽以功名自立 腾 为长史 有口辩 神武姬侍 务存简易 殿下何宜苦违 因密觇孝庄所在 至一大将军前 神武曰 于邺城西马射 建州刺史韩贤 "言讫便出 爱宾客 刘贵 故成背叛 会世宗亲临 尽性荒淫 西讨鉴 岳等引洧水灌城 反薄还淳 丞相府记室孙搴属绍宗以兄为州主簿 "新妇宜男 恐示之弱 "须拔我同堂弟 实闻 此言 配飨世宗庙庭 毛普贤作乱 相为惜之 独见天门开 帝少有大度 领御史中丞
114互逆命题
11.4互逆命题学习目标导航重点：1．知道命题和逆命题的相互关系，能写出一个命题的逆命题．2．知道反例的概念，能用举反例的方式，说明一个命题是假命题．3．会用符号“⇒”简明地表述推理过程．难点：知道反例的概念，能用举反例的方式，说明一个命题是假命题．考点:写出一个命题的逆命题并判断其假．重点难点透视教材知识点详解详解点一互逆命题（重点）(1)定义：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．(2)构造方法：每个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，所得的命题即为原命题的逆命题．(3)命题的组成形式：一般情况下，命题可有如下的一些形式：①如果……那么……；②若……则……；③因为……所以……．通常为标准形式，其他的都可以化为标准形式，并且“如果……”部分为命题的条件，“那么……”为命题的结论部分．(4)互逆命题的真假：延伸：如果互逆的两个命题中的原命题与逆命题都是真命题，这时我们也称它们是互逆定理，如平行线的性质定理和判定定理就是互逆定理．【例1】写出下列命题的条件和结论，并写出它们的逆命题：(1)同位角相等；(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．解: (1)条件：两个角是同位角；结论：这两个角相等．逆命题：相等的角是同位角．(2)条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两个锐角互余．逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．名师点睛：给出一个命题写出客观存在的逆命题，把题设和结论进行交换的同时还要注意语句是否通顺．详解点二假命题的证明（难点）要证明一个命题为假命题，只要能举出一个满足条件而不满足结论的例子即可，这在数学上称为“举反例”．【例2】证明下列命题为假命题．(1)质数都是奇数；(2)两个互余的角不相等．分析：证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就行了．证明：(1)因为2是质数，且它是偶数，所以这个命题是假命题．(2)取α=45°，β=45°，则α+β=90°，而α=β且α、β互余．所以这个命题是假命题．方法归纳：证明一个命题是假命题的方法是举反倒．详解点三用“⇒”表述推理过程(重点、难点)为了简化证明的推理过程，我们可以用符号○C “⇒”来表述推理，“⇒”是推出符号．使用符号“⇒”进行推理不但简化了证明过程，而且使得整个证明过程更加条理清晰．【例3】图l1一4—2，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN∥BC，分别交AB 、AC 于点M 、N 求证：MN=BM+CN ．分析：欲证明MN=BM+CN ，只需要证明OM=BM ，ON=CN.方法归纳：(1)因为A ，所以B ，可用A “⇒”B ；(2)若C 为已知或已证，而B 与C 结合可推出D ，可按下面推理(注意“⇒”指向):方法规律聚焦类型一 逆命题的书写及逆命题的真假判断【例4】说出下列命题的逆命题，判断每个逆命题的真假，并说明理由． (1)在△ABC 中，如果∠A 是钝角，那么∠B 和∠C 是锐角． (2)平行四边形是四边形．(3)若a 2是有理数，则a 是有理数．(4)如果m >0，则m≠0．(5)四边形的内角和是360°．分析：把原命题改写成逆命题，关键是分析清楚原命题的条件与结论，然后把原命题的结论变成逆命题的条件，而把原命题的条件变成逆命题的结论．现将各题的条件与结论列表如下：解：(1)逆命题为：在△ABC 中，如果∠B 和∠C 是锐角，那么∠A 是钝角．逆命题是假命题．因为∠A 可能是锐角，也可能是直角，还有可能是钝角．(2) 逆命题为：四边形是平行四边形．逆命题是假命题．因为平行四边形是一种较为特殊的四边形，如梯形是四边形，但不是平行四边形．(3) 逆命题为：若a 是有理数，则a 2是有理数．逆命题是真命题.因为有理数平方后还是一个有理数．(4) 逆命题为：如果m≠0，则m >0．逆命题是真命题．因为一个非零实数的绝对值一定大于O ．点石成金 “⇒ ”前的是条件，“⇒ ”后的是由条件推出的结论.(5) 逆命题为：如果一个多边形的内角和是360°，那么该多边形一定是四边形．逆命题是真命题．根据多边形内角和公式：(n-2)180°=360°，得n=4，因此这是一个四边形．名师点睛：(1)一个真命题的逆命题不一定是真命题，一个假命题的逆命题不一定是假命题． (2)要说明一个命题是真命题需进行严密的逻辑推理，而说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．类型二命题的证明【例5】证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．图11．4—1分析：此为文字叙述的证明题，命题的条件是两条直线都与第三条直线平行，结论是这两条直线也互相平行．已知：如图11．4—1，直线a、b、c，b∥a，c∥a，求证：b∥c．证明：作直线a、b、c的截线d．因为b∥a(已知)，所以∠2=∠1(两直线平行，同位角相等)．因为c∥a(已知)，所以∠3=∠l(两直线平行，同位角相等)，所以∠2=∠3(等量代换)，所以b∥c(同位角相等，两直线平行)．用符号“⇒”简明表述上述的推理过程如下：名师点睛：用“⇒”符号表述推理过程可以使证明过程变得简单明了，同时也有利于培养解答者的逻辑推理能力．综合应用探究类型三证明逆命题真假【例6】请写出“如图11．4—2，在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=12 BC”的逆命题．判断逆命题的真假，并说明你的理由．图11．4—2 图11．4—3分析：命题“在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=12BC”的条件是“若DE是△ABC的中位线”，结论是“BE=12BC”．将条件与结论相反，则为它的逆命题．解:逆命题：若DE=12BC，则DE是△ABC的中位线．假命题，反例如图11．4—3所示．方法归纳：在判断某个命题是真命题时，要进行说理；在判断某个命题是假命题时，举个反例就行了．常见思维误区警示易错点一叙述逆命题时出错易错点导析在由原命题写逆命题时，未进行语言加工，只是机械地照搬原命题中的条件和结论两部分，造成逆命题的语句不通，这是出错的主要原因．【例7】写出命题“等腰三角形两个底相等”的逆命题．错解：两个底角相等的三角形是等腰三角形.纠错秘方：在改写逆命题时，要把握逆命题和原命题的关系，特别注意某些概念内在的先后顺序．正解：有两个角相等的三角形是等腰三角形.易错点二对命题的条件和结论表述不清在叙进命题时,有些命题的条件和结论不是很明显，很容易混淆，从而出现错误．【例8】写出“命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题．错解：逆命题为：如果对应边相等，那么它是全等三角形．纠错秘方：在由原命题写它的逆命题时，未进行语言加工,只是机械地照搬原命题中的条件和结论两部分，造成逆命题的语句不通，因为对应边是针对两个三角形而言，所以“对应边相等”应改为“两个三角形的对应边相等”．正解：逆命题为：如果两个三角形的对应边相等，那么它们是全等三角形．知识方法归纳快乐测试经典基础题1．“平行四边形对角线互相平分”的逆命题是 ( ) A．对角线互相平分的是平行四边形B．互相平分的是平行四边形的对角线C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．如果是平行四边形的对角线，那么互相平分【C 提示：A答案差一个主语“四边形”，B,D两答案原命题的题设与结论没有弄清．】2．下列命题的逆命题为真命题的是 ( ) A．对顶角相等B．等边三角形是锐角三角形C．若x>y，则x2>y2D．能被5整除的数，它的末位数字是5【D 提示：A答案相等的角不一定是对顶角；B锐角三角形不一定是等边三角形；C当x、y是负数时,若x2>y2，则x<y．】3．下列定理有逆定理的是 ( ) A．对顶角相等B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．正方形的四个角都是直角【B 提示：A、C、D三个命题的逆命题都是假命题．】4．每一个命题都 (填“有”或“没有”)它的逆命题．【有】5．原命题成立，它的逆命题 (填“一定”或“不一定”)成立．【不一定】6．“如果两个三角形有两边及其中一边的对角分别对应相等，那么这两个三角形全等”是命题．它的逆命题是．【假，全等三角形的两边及其中一边的对角分别对应相等】7.判断下列命题的真假．(1)同位角相等；(2)9的平方根是3；(3)同角的余角相等；(4)三个连续自然数的积是6的倍数．解：(1)(2)假命题，(3)(4)真命题．点拨：根据定义，同位角是两条直线被第三条直线所截形成的位置相同的角，只有当这两条直线平行时才相等，故“同位角相等”是假命题．9的平方根是±3，因为(±3)2=9．故9的平方根有两个，故“9的平方根是3”是假命题．同角的余角都等于90°减这个同角，故是真命题．三个连续自然数中必有一个是2的倍数和3的倍数，故它们的积是6的倍数，故是真命题．8.指出下列命题中的互逆命题．(1)直角都相等；(2)同位角相等，两直线平行；(3)如果a+b>0，那么a>0，b>0；(4)两直线平行，同位角相等；(5)相等的角都是直角；(6)如果a>0，b>0，那么ab>0．分析：互逆命题的两个命题的条件与结论正好互换．因此分别说出各个命题的条件和结论，比较一下则易判断它们是否互为逆命题．解：(1)与(5)、(2)与(4)名师点睛：(3)与(6)不是互逆命题．由于(3)的条件不是(6)的结论．另外(5)虽然是假命题，但它条件和结论与(1)的条件和结论正好互换，因此是互逆的．10.【章末】写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．(1)若ac2>bc2,则a>b；(2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；(3)若ab=0．则a=0．分析：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下即可．判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例．千万不能想当然．解：(1)逆命题为：若a>b，则ac2>bc2．假命题，如c=0时，ac2=bc2．(2)逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．真命题．(3)逆命题为：若a=0,则ab=0．真命题．点拨：真命题应是公理、定理、定义以及由它们推导出来的正确的结论，是无需证明大家一致公认的事实或一步一步推导出来的．而假命题只需举一个反例，即符合题设但不符合结论的例子．9.请用“ ”符号表述下面的证明过程．已知：点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．求证：∠l=∠2．证明：因为DE∥BC，EF∥AB(已知)，所以∠1=∠DEF，∠2=∠DEF(两直线平行，内错角相等)．所以∠1=∠2(等量代换)．解：改写如下：10．写出下面命题的逆命题，并判断其真假原命题真假性逆命题真假性(1)奥巴马是美国总统(2)如果x=l，那么x(x-1)=0(3)两个三角形全等则对应边相等(4)在一个三角形中，等边对等角(5)等边三角形是等腰三角形【】能力拓展题11．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”(如图11．4—4)，她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D．”彬彬：“作△ABC的角平分线AD．”数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．(2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．图11．4—4【 (1)只有等腰三角形具备“三线合一”性质，此题等腰三角形是求证部分，故过点A 只能作BC的垂线AD，垂足为D．(2)证明：作△ABC的角平分线AD，则∠BAD =∠CAD，又因为∠B =∠C，AD = AD，所以△ABD≌△ACD，所以AB=AC．】12．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：(1)构造一个真命题，画图并给出证明；(2)构造一个假命题，举反例加以说明．【 (1)③④为条件时，此命题是真命题．如图答11．4—1所示：图答¨．4一l因为AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC = 180°．又因为∠BAD =∠DCB．所以∠DCB+∠ABC = 180°，所以AB∥CD．所以四边形ABCD为平行四边形．(2)②④为条件时，此时可以构成一梯形．】参考答案与点拨：。
(2019版)八年级数学互逆命题3
11.4互逆命题(2)
课本 P145～146 习题 11.4 第 3、4 题 课外作业《数学补充题》P90～91 11.4 互逆命题(2) 教学后记：
程，体会数 形结合。
姓名 课题
学号
班级 课型 新授
教者 时间 第 11 章第 8 课时
11.4 互逆命题(2) [ 教案]
互逆命题，并知道原命题成立其逆命题 不一定成立。 2、通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是假 命题。 3、经历一些“探索－发现－猜想－证明”的过程，不断发展合乎逻辑的思 考、有条理的表达的能力。 会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。 不断发展合乎逻辑的思考、有条理的表达的能力。 旁注与纠错
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系”的内在联系，体验数学活动中充满着探索与创造，感受数学的严谨。 2、课本提供的情景是让学生经历“观察--实验--猜想—证明”等活动，由合 情推理到演绎推理，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，从而不断发展 初步的演绎推理的能力. 3、实际中我们可以把图形演变为图 2，再来让学生猜想，并能得出什么结 论，并证明结论的正确性.从中让学生从中判断“如果任意角的两边分别互 相平行，那么这两个角相等”这个命题正确与否. 三、例题讲解 例 1、证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平 d 行. 1 a 分析：已知：如图(2)直线 a、b、c， 2 b b∥a，c∥a，求证：b∥c. 3 c 证明：作直线 a、b、c 的截线 d A ∵b∥a(已知) ∴ ∠2=∠1( ∵c∥a (已知) ∴∠3=∠1( ∴∠2=∠3(等量代换) ∴b∥c ( ) ) )
重 点 难 点 学习过程
一、课前预习与导学 得分 已知三角形 1、 “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方” 的逆命题是_________。 的三边，要 2、 “角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是________________。 证 3、 “线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等” 的逆命题是_______。 ∠C=900，由 2 4、 在⊿ABC 中，三条边的长分别为 a、b、c,且 a=n －1，b=2n，c=n2＋1,(n>1) 勾股定理的 B A 求证：∠C=900。 逆定理知， 5、如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A、B 只需要证明 O C D a2＋b2=c2 即 到河岸的距离分别为 AC、B 在，且到河岸 CD 的 中点 O 的距离为 500 米， 可。 (1)牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家，试问 /、 作点 A 关于 A 在何处饮水所走的路程最短？(2)最短路程是多少？ CD 的对称点 二、新课 A/， 连接 A/B， F (一)、情境创设： 交 CD 于中 E 如图 1, AB∥CD，AB 与 DE 相交于点 G，∠B=∠D. 点 O，则中 A (二)、探索活动： B 点 O 为所求 G 问题 1：你由这些条件得到什么结论？ 的饮水点， D C 图1 如何证明这些结论？ 最短路程是 说明:充分发挥学生的主动性,去探索问题的结论. 1000 米。 在下列括号内填写推理的依据. ∵AB∥CD (已知) 又∵∠B=∠D (已知) ∴∠EGA=∠D ( ) ∴∠EGA=∠B( ) ∴DE∥BF( ) 说出思路， 上面的推理过程用符号“=>”怎样表达： 小组讨论交 流，大组代 AB∥CD =>∠EGA=∠D =>∠EGA=∠B=>DE∥BF。 分析： ∠B=∠D 表发言，并 问题 2：还有不同的方法可以证明 DE∥BF 吗？ 板演解题的 问题 3：在图(1)中，如果 DE∥BF，∠B=∠D，那么你得到什么结论？证明你 过程。 的结论. 问题 4：在图(1)中，如果 AB∥CD，DE∥BF，那么你得到什么结论？证明你 的结论. 说明：1、问题 3、4 构造了课本中讨论的关于图(1)的一个 命题的逆命题，实质是在不断依据有关平行线的的互逆命题进行推理中， 引导学生逐步认识探索图形的性质要关注图形的“位置关系”和“大小关
(完整word)江苏南京现行初中数学教材目录(苏教版)
七年级上第一章我们与数学同行1.1生活数学1.2活动思考第二章有理数2.1 比0小的数2.2 数轴2.3 绝对值与相反数2.4 有理数的加法与减法2.5 有理数的乘法与除法2.6 有理数的乘方2.7 有理数的混合运算第三章第三章用字母表示数3.1 字母表示数3.2 代数式3.3 代数式的值3.4 合并同类项3.5 去括号第四章一元一次方程4.1 从问题到方程4.2 解一元一次方程4.3 用方程解决问题第五章走进图形世界5.1 丰富的图形世界5.2 图形的变化5.3 展开与折叠5.4 从三个方向看第六章平面图形的认识(一)6.1 线段射线直线6.2 角6.3 余角补角对顶角6.4 平行6.5 垂直七年级下第七章平面图形的认识(二)7.1 探索直线平行的条件7.2 探索平行线的性质7.3 图形的平移7.4 认识三角形7.5 三角形的内角和第八章幂的运算8.1 同底数幂的乘法8.2 幂的乘方与积的乘方8.3 同底数幂的除法第九章从面积到乘法公式9.1 单项式乘单项式9.2 单项式乘多项式9.3 多项式乘多项式9.4 乘法公式9.5 单项式乘多项式法则的再认识------因式分解(一)9.6 乘法公式的再认识------因式分解(二)第十章二元一次方程10.1 二元一次方程10.2 二元一次方程组10.3 解二元一次方程组10.4 用方程组解决问题第十一章图形的全等11.1 全等图形11.2 全等三角形11.3 探索三角形全等的条件第十二章数据在我们身边12.1 普查与抽样调查12.2 统计图的选用12.3 频数分布表和频数分布图第十三章感受概率13.1 确定与不确定13.2 可能性八年级上第一章轴对称图形1.1 轴对称与轴对称图形1.2 轴对称的性质1.3 设计轴对称图案1.4 线段、角的轴对称性1.5 等腰三角形的轴对称性1.6 等腰梯形的轴对称性第二章勾股定理与平方根2.1 勾股定理2.2 神秘的数组2.3 平方根2.4 立方根2.5 实数2.6 近似数与有效数字2.7 勾股定理的应用第三章中心对称图形3.1 图形的旋转3.2 中心对称与中心对称图形3.3 设计中心对称图形图案3.4 平行四边形3.5 矩形、菱形、正方形3.6 三角形、梯形的中位线第四章数量、位置的变化4.1 数量的变化4.2 位置的变化4.3 平面直角坐标系第五章一次函数5.1 函数5.2 一次函数5.3一次函数的图象5.4一次函数的应用5.5 二元一次方程组的图象解法第六章数据的集中程度6.1 平均数6.2 中位数与众数6.3 用计算器求平均数八年级下第七章一元一次不等式（11课时）7.1生活中的不等式（1课时）7.2不等式的解集（1课时）7.3不等式的性质（1课时）7.4解一元一次不等式（2课时）7.5解一元一次不等式解决问题（1课时）7.6一元一次不等式组（2课时）7.7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数（2课时）复习与小结第八章分式（10课时）8.1分式（1课时）8.2分式的基本性质（2课时）8.3分式的加减（1课时）8.4分式的乘除（2课时）8.5分式方程（3课时）复习与小结第九章反比例函数（6课时）9.1反比例函数（1课时）9.2反比例函数的图象与性质（3课时）9.3反比例函数的应用（1课时）复习与小结第十章图形的相似（14课时）10.1图上距离与实际距离（1课时）10.2黄金分割（1课时）10.3相似图形（1课时）10.4探索三角形相似的条件（4课时）10.5相似三角形的性质（2课时）10.6图形的位似（1课时）10.7相似三角形的应用（3课时）复习与小结第十一章图形的证明（一）（9课时）11.1你的判断对吗（1课时）11.2说理（2课时）11.3证明（3课时）11.4互逆命题（2课时）复习与小结第十二章认识概率（5课时）12.1等可能性（1课时）12.2等可能条件下的概率（一）（2课时）12.3等可能条件下的概率（二）（1课时）课题学习：游戏公平吗？复习与小结九年级上第一章二次根式1．1 二次根式1．2 二次根式的乘除1．3 二次根式的加减1 数学活动1 小结与思考 1 复习题第二章一元二次方程2．1 一元二次方程2．2 一元二次方程的解法2．3 用一元二次方程解决问题2 数学活动 2 小结与思考2 复习题第三章图形与证明（二）3．1 等腰三角形的性质与判定3．2 直角三角形全等的判定3．3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定3．4 等腰梯形的性质与判定3．5 中位线3 数学活动3 小结与思考3 复习题第四章中心对称图形（二）4．1 圆4．2 圆的对称性4．3 圆周角4．4 确定圆的条件4．5 直线与圆的位置关系4．6 圆与圆的位置关系4．7 正多边形与圆4．8 弧长及扇形的面积4．9 圆锥的侧面积4 数学活动4 小结与思考 4 复习题第五章数据的离散程度5．1 极差5．2 方差与标准差5．3 用计算器求标准差的方差5 数学活动 5 小结与思考5 复习题九年级下第六章：二次函数第一节二次函数第二节二次函数的图象第三节二次函数与一元二次方程第四节二次函数的应用第七章：锐角函数第一节正切第二节正弦、余弦第三节特殊角的三角函数第四节由三角函数值求锐角第五节解直角三角形第六节锐角三角函数的简单应用第八章：统计的简单应用第一节货比三家第二节中学生的视力情况调查第九章：概率的简单应用第一节抽签方法合理吗第二节概率帮你做估计第三节保险公司怎样才能不亏本。
互逆命题与互逆定理
互逆命题与互逆定理
在逻辑推理和数学证明中，互逆命题和互逆定理是两个重要的
概念。
它们在推理过程中起着至关重要的作用，帮助我们理清思绪，找到正确的答案。
首先，让我们来了解一下什么是互逆命题。
互逆命题是指两个
命题，它们的否定分别是对方。
换句话说，如果一个命题为真，则
另一个命题必为假，反之亦然。
例如，命题A，“今天是晴天”，
其互逆命题为命题B，“今天不是晴天”。
这两个命题互为对立命题，其真假情况完全相反。
接下来，我们来看一下互逆定理。
互逆定理是指在数学或逻辑
推理中，如果一个定理成立，那么它的互逆定理也必然成立。
互逆
定理通常用于证明或推导过程中，帮助我们简化问题，找到解决方案。
例如，在数学中，如果一个定理表明“如果A成立，则B成立”，那么它的互逆定理表明“如果B不成立，则A不成立”。
互逆命题和互逆定理在逻辑推理和数学证明中都具有重要的意义。
它们帮助我们理清思路，找到正确的答案，同时也提醒我们在
推理过程中要注意对立命题和定理的关系。
通过理解和运用互逆命
题和互逆定理，我们可以更好地进行逻辑推理和数学证明，提高解决问题的能力和效率。
总之，互逆命题和互逆定理是逻辑推理和数学证明中不可或缺的概念，它们帮助我们理清思路，简化问题，找到正确的答案。
通过深入理解和灵活运用这两个概念，我们可以更好地进行推理和证明，提高解决问题的能力，为学习和研究打下坚实的基础。
华东师大初中数学八年级上册逆命题与逆定理基础知识讲解精选
逆命题与逆定理（基础）【学习目标】1．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，会区分命题的题设（条件）和结论，并能判断一个命题的真假；会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；2．理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题；3．理解并掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题．【要点梳理】要点一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.要点诠释：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.要点二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.【典型例题】类型一、互逆命题与互逆定理1、“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是 .【答案】轴对称图形是等腰三角形【解析】根据轴对称图形的概念求解．逆命题是结果与条件互换一下的说法．【总结升华】掌握好逆命题，及轴对称的概念．举一反三：【变式】下列定理中，没有逆定理的是（）．A.全等三角形的对应角都相等B.全等三角形的对应边都相等C.等腰三角形的两底角相等D.等边三角形的三边都相等【答案】A类型二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理2、如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长．【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．【答案与解析】解：∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，又∵BD=3cm，∴BC=6cm，又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，∴2AC=14，AC=7cm．【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．举一反三【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）．A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°【答案】D3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．的垂直平分线．CE是线段AD求证：直线【思路点拨】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．【答案与解析】证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【总结升华】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．举一反三：【变式】数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）【答案】解：类型三、角平分线性质定理及其逆定理4、（2016?邯郸二模）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE=OD=OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【答案与解析】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，ACB，OC分别平分∠ABC和∠OB∵、OE=OF=OD=3，∴OD=3，于D，且22∵△ABC的周长是，OD⊥BC OF×+×+×BC×OD∴S=×AB×OEAC ABC△ 3 ）×+AC=×（AB+BC 3×=20=30.判断出三角形的面【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，积与周长的关系是解题的关键．举一反三：）．，则下列结论正确的是（【变式】如图：△ABC 的两个外角平分线交于点P 平分∠APC．的距离相等④BP①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC．③④ D．③②．①④ A．①② B CC【答案】BE=CF BD=CD，，若于E、如图，DE⊥AB5于，DF⊥ACF 平分∠BAC．AD求证：【思路点拨】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE=DF，然后由角平分线性质的逆定理，即可证得AD平分∠BAC．【答案与解析】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，∴AD平分∠BAC．【总结升华】此题考察了角平分线性质的逆定理与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）．A. BC的中线上B. BC边的垂直平分线上C.BC边的高线上D.∠A的平分线所在的直线上【答案】D。
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重 点 难 点 学习过程
一、课前预习与导学 得分 已知三角形 1、 “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方” 的逆命题是_________。 的三边，要 2、 “角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是________________。 证 3、 “线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等” 的逆命题是_______。 ∠C=900，由 2 4、 在⊿ABC 中，三条边的长分别为 a、b、c,且 a=n －1，b=2n，c=n2＋1,(n>1) 勾股定理的 B A 求证：∠C=900。 逆定理知， 5、如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A、B 只需要证明 O C D a2＋b2=c2 即 到河岸的距离分别为 AC、B 在，且到河岸 CD 的 中点 O 的距离为 500 米， 可。 (1)牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家，试问 /、 作点 A 关于 A 在何处饮水所走的路程最短？(2)最短路程是多少？ CD 的对称点 二、新课 A/， 连接 A/B， F (一)、情境创设： 交 CD 于中 E 如图 1, AB∥CD，AB 与 DE 相交于点 G，∠B=∠D. 点 O，则中 A (二)、探索活动： B 点 O 为所求 G 问题 1：你由这些条件得到什么结论？ 的饮水点， D C 图1 如何证明这些结论？ 最短路程是 说明:充分发挥学生的主动性,去探索问题的结论. 1000 米。 在下列括号内填写推理的依据. ∵AB∥CD (已知) 又∵∠B=∠D (已知) ∴∠EGA=∠D ( ) ∴∠EGA=∠B( ) ∴DE∥BF( ) 说出思路， 上面的推理过程用符号“=>”怎样表达： 小组讨论交 流，大组代 AB∥CD =>∠EGA=∠D =>∠EGA=∠B=>DE∥BF。 分析： ∠B=∠D 表发言，并 问题 2：还有不同的方法可以证明 DE∥BF 吗？ 板演解题的 问题 3：在图(1)中，如果 DE∥BF，∠B=∠D，那么你得到什么结论？证明你 过程。 的结论. 问题 4：在图(1)中，如果 AB∥CD，DE∥BF，那么你得到什么结论？证明你 的结论. 说明：1、问题 3、4 构造了课本中讨论的关于图(1)的一个 命题的逆命题，实质是在不断依据有关平行线的的互逆命题进行推理中， 引导学生逐步认识探索图形的性质要关注图形的“位置关系”和“大小关
再次合作交 流讨论其他 证明方法。
B
D
C
例 2 如图，△ABC 中，AB=AC，D 在 BC 上，且 BD=AD，DC=AC，求∠B 的 度数. 分析：图中有三个等腰三角形，可用等边对等角的性质，再用方程的思想 解题，列方程的依据是三角形内角和定理. 解：∵AB=AC(已知) 在△ADC 中， ∴∠B=∠C(等边对等角) ∵∠C+∠CAD+∠ADC=180°.
｝
系”的内在联系，体验数学活动中充满着探索与创造，感受数学的严谨。 2、课本提供的情景是让学生经历“观察--实验--猜想—证明”等活动，由合 情推理到演绎推理，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，从而不断发展 初步的演绎推理的能力. 3、实际中我们可以把图形演变为图 2，再来让学生猜想，并能得出什么结 论，并证明结论的正确性.从中让学生从中判断“如果任意角的两边分别互 相平行，那么这两个角相等”这个命题正确与否. 三、例题讲解 例 1、证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平 d 行. 1 a 分析：已知：如图(2)直线 a、b、c， 2 b b∥a，c∥a，求证：b∥c. 3 c 证明：作直线 a、b、c 的截线 d A ∵b∥a(已知) ∴ ∠2=∠1( ∵c∥a (已知) ∴∠3=∠1( ∴∠2=∠3(等量代换) ∴b∥c ( ) ) )
同理，∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA. ∴x°+2 x°+ 2x°=180 °. 设∠B=x°，则∠C=x°，∠BAD=x°，∴x°=36 °. ∴∠ADC=2x°, ∠CAD=2x°. 答：∠B 的度数为 36°. 四、课堂练习： A B A B 课本 P145 练习题 五、小结与思考: P P (一)小结 本节课你有什么收获？ D C D C (二)思考：证明：角平分线上的一点到 P 图1 图2 A B B 这个角的两边距离相等. A 六、中考链接 C D 如图 1，AB∥CD， （1）∠A、∠P、∠C C D P 图4 图3 三角之间存在怎样的关系？用两种方 法证明你的结论. 2） （ 如果将 P 点向右 移，(如图 2) AB∥CD，此时∠A、∠P、∠C 三角之间存在怎样的关系？并证 明你的结论.(3) 如果将 P 点移到图 3 和图 4 的位置，此时∠A、∠P、∠C 三 角之间存在怎样的关系课型 新授
教者 时间 第 11 章第 8 课时
11.4 互逆命题(2) (教案)
教学目标
1、了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题 不一定成立。 2、通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是假 命题。 3、经历一些“探索－发现－猜想－证明”的过程，不断发展合乎逻辑的思 考、有条理的表达的能力。 会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。 不断发展合乎逻辑的思考、有条理的表达的能力。 旁注与纠错
让学生自己 去探索，此 题的证明有 多种方法， 可让学生自 己先说证明 思路，教师 切不可自己 先讲，要让 学生有自己 的 思 考 过 程。. 尝试用“=>” 写出推理的 过程。 尝试用其他 方法证明 b ∥c。 题中不知道 任何一个角 的度数，让 学 生 去 体 会，尝试用 各种方法来 解决，也要 让学生有自 己的思维过
课本 P145～146 习题 11.4 第 3、4 题 课外作业《数学补充题》P90～91 11.4 互逆命题(2) 教学后记：
程，体会数 形结合。