高二数学2-2导数章节课件-平均变化率

合集下载

人教版高中数学选修2-2全套课件

(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数的增量

人教B版高中数学选修2-2课件1.1.1《函数的平均变化率》.pptx

空白演示
在此输入您的封面副标题
第一章导数
你看过高台跳水比赛吗? 照片中锁定了运动员比赛的瞬间.已知起跳1 s后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m 可用函数
ht 4.9t 2 6.5t 10表
示.如何求他在某时刻的速度 ?他距水面的最大高度是多少?
f 于是, 平均变化率可表示为 .
x
y
fx2 fx1
y fx
fx2 fx1
x2 x1
O
x1
x2
x
图1.1 1
思考观察函数 f x
的图象图1.1.1, 平均
变化率
f f x2 f x1
x
x2 x1
表示什么?
x2 x1
示, 我们把这个式子称为函数 f x从 x1到 x2的平均变化率 average rate of change .习惯上
用x表示 x2 x1 ,即x x2 x1 ,
x是一个整体符号,而不是与x相乘.
可把x 看作是相对于x1 的一个"增量", 可用x1
x代替x2; 类似地, f f x2 f x1 .
人们发现, 在高台跳水运动中, 运动员相对于水
面的高度 h 单位 : m与起跳后的时间t单位 : s
存在函数关系ht 4.9t 2 6.5t 10.
如果我们用运动员某段时间内的平均速度v描
述其运动状态,那么
在0 t 0.5这段时间里,
v
h0.5
0.5
h0
0
4.05 m
/
s;
在1 t 2这段时间里,
v

高中数学选修2-2-导数的概念-课件.ppt

x
x2 x1
3.求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度 v s
t
（3）求极限
s
s(t t) s(t)
lim lim
t t 0
t 0
t
.
4.由导数的定义求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
A．f′(1)
B．3f′(1)
C.31f′(1)
[答案] C
D．f′(3)
2．若 f′(x0)＝2，则 likm→0 f(x0－k2)k－f(x0)等于(
)
A．－1
B．－2
C．1
1 D.2
[答案] A
3. 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝329t2＋＋32(t－3)2
(t≥3) (0≤t<3)
一.复习回顾：
1.平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ] 的平均变化率
为 y f (x2) f (x1)＝f x1＋x－f x1
x x2 x1
x
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)再计算自变量的改变量 x x2 x1
有关。
6.若极限 lim f (x0 x不) 存f (在x0 )，则称函数在点x0处
x0
x
不可导。
求函数 y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法:
1.求函数的改变量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
2. 求平均变化率 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;

《函数的平均变化率》课件

在投资决策中，平均变化率可以帮助投资者评估投资标的的潜在收益和风险。
平均变化率在物理学中的应用
速度和加速度的测量
在物理学中，平均速度和平均加速度是通过计算位移和时间
的平均变化率来定义的。
热传导研究
在研究热传导的过程中，材料的热容和导热系数可以通过测量温度随时间的变化率来计算。
波动现象
在波动现象的研究中，波的传播速度是通过测量波峰或波谷随时间的变化率来定义的。
02
平均变化率是函数在区间上的整体表现，反映了函数值随自变量变化的平均速度。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调性、凹凸性以及极值点等性质，是研究函数的重要工具。
通过比较不同区间的平均变化率，可以了解函数在不同区间上的表现，从而对函数的整体性质有更深入的理解。
平均变化率的计算方法
复杂函数的平均变化率计算
总结词
掌握复杂函数的平均变化率计算技巧。
详细描述
对于复杂的函数，如多项式函数、三角函数等，其平均变化率的计算需要更高级的技巧。通过具体的计算实例，可以掌握如何处理复杂函数的平均变化率计算，并理解其在实际问题中的应用。
实际问题的平均变化率计算
总结词
将平均变化率应用于实际问题中。
在优化问题中，平均变化率可以帮助我们找到函数的极值点
，从而找到最优解。
平均变化率在经济学中的应用
经济预测
成本分析
通过分析经济数据的平均变化率，可以预测未来的经济走势。
在成本分析中，平均变化率可以帮助我们了解成本随时间的变化趋势，从而制定出更合理的成本控制策略。
供需关系
投资决策
平均变化率可以用来分析供需关系的变化，从而帮助企业做出更合理的生产和销售决策。

人教新课标版数学高二-2-2课件变化率问题导数的概念

在时刻
t＝t0
时的瞬时速度，即瞬时速度
v＝ lim Δx→0
ΔΔst＝Δlixm→0
st0＋Δt－st0
Δt
.
答案
知识点三导数的概念
函数
y＝f(x)在
x＝x0
处的瞬时变化率是 lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋ΔΔxx－fx0，
我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作___f__(_x_0 )_或__y_ _|x＝__x0_____，
Δx
解析答案
1 2345
4.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，
[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是_[_x_3_，__x4_]_.
解析由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，
[x3，x4]上平均变化率分别为
fxx22－－fx1x1，fxx33－－fx2x2，fxx44－－fx3结x3合，图
答案
思考 3 观察函数 y＝f(x)的图象，平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1表示什么？
答
观察图象可看出，Δy
Δx
表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))
连线的斜率.
答案
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1. (2)实质：函数值的增量与自变量增量之比.
答案
瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
(2)一般地，设物体的运动规律是 s＝s(t)，则物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内
的平均速度为ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0.如果 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于

高中数学-选修2-2-1.1-变化率与导数人教新课标.ppt

(2)导数的符号表示
用 f'(x0)或 y'|x=x 表示函数 f(x)在 x=x0 处的导数,即
0
y
f'(x0)= x =
x→0
x→0
f(0 +x)-f(0 )
.
x
目录
退出
预习交流 2
(1)思考:能否认为函数在 x=x0 处的导数值越大,其函数值变化
就越大?
提示:不能.导数的正、负号确定函数值变化的趋势,其绝对值的
们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函数,记作 f'(x)或 y',
y
即 f'(x)=y'= x =
x→0
x→0
f(x+x)-f(x)
.
x
(3)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)就是导函数 f'(x)在点 x=x0
处的函数值 f'(x0)=f'(x)|x=x ,所以求函数在某一点处的导数,一般是
1.1
变化率与导数
目录
退出
课前预习导学
目录
退出
目标导航
学习目标
1.记住函数的平均变化率的概念,学会用
符号语言刻画函数的平均变化率;
2.知道函数的平均变化率的几何意义,会求函
数的平均变化率;
3.知道导数概念的实际背景,知道瞬时变化率
就是导数;
4.会通过函数图象直观地理解导数的几何意
义.
重点难点
重点:导数的概念
s(3+t)-s(3)
=Δt+5,于是物体在
t
s(3+Δt)-s(3)=(Δt)2+5Δt,故

高中数学新课标选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件

ΔΔyx不存在，则函数 y＝f(x)在 x＝x0 处不可导．
(2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度，即 v＝
lim
Δt→0
Δt0＋ΔΔtt－st0.
(3)f′(x0)＝ xl→imx0 fxx－－fx0x0与定义中的 f′(x0)意义本质相同．
• 题型一求平均变化率 • 【例1】求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0
(3)在公式ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
2．对瞬时速度的理解 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)在平均变化率ΔΔst中，Δt 趋近于 0 是指时间间隔 Δt 越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为 0. (3)Δt，Δs 在变化中都趋近于 0，其比值ΔΔst趋近于一个确定的常数，这时此常数才称为 t0 时刻的瞬时速度．
第一章导数及其应用
1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
• 【课标要求】 • 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化
率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．
• 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． • 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数
．
• 【核心扫描】 • 1．求函数的平均变化率．(重点) • 2．求瞬时速度．(重点) • 3．利用导数的定义求函数在某点处的导数．(
名师点睛 1．关于平均变化率的理解
关于函数的平均变化率，应注意以下几点： (1)Δx 是自变量 x2 相对于 x1 处的改变量，且 x2 是 x1 附近的任意一点，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可以为正，也可以为负． (2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)；若 Δx＝x1－x2，则 Δy＝f(x1)－f(x2)．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

由本例得到什么结论?
一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率就等于k.
例4、已知函数
f ( x) 3 x 1
分别计算 f (x ) 在下列区间上的平均变化率：
（1）[-1，2]；答案：3 （2）[-1，1]；答案：3 答案：3 （3）[-1，-0.9]；
思考：
从例4中你能发现一次函数y=Kx+b在区间［a,b］上的平均变化率有什么特点？
线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率 (4)分别计算气温在区间【1，32】【32，34】的平均变化率
现在回答问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）
问题情境4
吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗?
30
20 10 A (1, 3.5)
2 0
（注： 3月18 日为第一天）
2
10
20
30
34
t(d)
T (℃) 30
C (34, 33.4)
20 10
B (32, 18.6)
A (1, 3.5)
2 0 2
10
20
30
34
t(d)
问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？
1、平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上
[ x1，x 2 ]的平均变化率为
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗略的刻画
变式：已知函数 f ( x) x 2 ，分别计算 (x ) 在下列区间上的平均变 f 化率：（1）[1，3]；
4 （2）[1，2]； 3 （3）[1，1.1] 2.1
（4）[1，1.001]
2.001
y
1
3
x
思考：
从例4变式中你能发现 2在区间二次函数y=x ［a,b］上的平均变化率有什么特点？
2 1
可以看出，随着气球体积变大，它的平均膨胀率变小．
思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气球的平均膨胀率是多少呢? 你还能举出其它的与平均变化率有关的例子吗？
问题情境5
在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，
乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
1、平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上
[ x1 , x2 ]的平均变化率为
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程
度是平均变化率“视觉化”．
例1、某婴儿从出生到第月该婴儿体重的平均变化率
解:可知:V(r)= πr3 即：r(V)=
3
3V 4
当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了 r(1)－r(0)= 0.62
r (1) r (0) 气球平均膨胀率： 0.62 1 0
问题情境4
当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了 r(２)－r(１)= 0.１６
气球平均膨胀率：r ( 2) r (1) 0.16
W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 3 6 9
解 : 前3个月体重平均变化率为: 6.5 3.5 1(kg / 月); 30 第6个月到第个月体重平均变化率为: 12 11 8.6 0.4(kg / 月) 12 6
12 T(月)
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积 V (t ) 5 e0.1t （单位： 3 ），计算第一个10s内V的平 cm 均变化率。解 : 在时时[0,10]内的平均
变化率为: 5 e
0.110
5 e 10 0
0.10
1.839 5 0.3161 cm3 / s ) ( 10
思考:在第二个10s内呢?
例3、已知函数 f ( x) 2 x 1, g ( x) 2 x, 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5] 上 f (x)及 g (x) 的平均变化率。
平均速度的数学意义是什么 ?
问题情境3
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温
3.5℃
18.6℃
33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：
T (℃)
C (34, 33.4)
B (32, 18.6)
在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。
T (℃)
C (34, 33.4)
30
20 10 A (1, 3.5) 2 0 2
B (32, 18.6)
10 yc yb 20 30 34 t(d) (3)我们用比值 xc xb 近似地量化B、C这一段曲
T (℃) 30 20 10 A (1, 3.5) 2 0 2
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
t(d) （1 ）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。
10
20
30
34
（2）由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意 yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？
3.1.1平均变化率
情境1：汽车加速性能的测定
保时捷911
vs
法拉利360
品牌型号
保时捷911
法拉利360
图片
加速时间（s） 0-100km/h
4.1
4.5
速度变化越快，汽车的加速性就越好。
用什么数学表达式来描述汽车的速度变化的快慢?
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52m/s。