08叠加定理和替代定理
叠加定理和替代定理
叠加定理和替代定理1.加深对叠加定理和替代定理的理解2.验证叠加定理只适用于线性电路，而替代定理则对线性电路和非线性电路均适用1.叠加定理：多个独立电源共同作用的线性电路中，在任意一个支路中所产生的电压和电流响应，等于各个电源分别单独作用时在该支路所产生的电压或电流响应的代数和。
注：电压源不工作时，短路处理，用一根理想导线代替电流源不工作时，断路处理，从电路中拿掉——叠加定理只适用于线性电路，对非线性电路不适用2.替代定理：若电路中某支路电路压uU,U或电流已知，则次电路可用电压的电压源iS或i,i的电流源代替，替代前后，电路中各支路电压、电流不变。
S ——替代定理则对线性电路和非线性电路均适用1.验证叠加定理II21a++IU,8VU,5VS1S2--RR,100,R,200,112b图4-1 叠加定理按图4-1接线，稳压二极管接入电路时的极性如图4-1所示，它处于反向工作状态，其稳定电压约5.5～6.5V。
测量电压源单独作用及共同作用时的各支路电流II、、和电压I12U。
将测量数据记录在表格一中。
ab（V） U（mA）（mA） II（mA）表一、叠加定理 Iab12电压源工作状态 U,8V,U,0V S1S2U,0V,U,5V S1S2U,8V,U,5V S1S22.验证替代定理计算在电压源共同作用时稳压二极管的电阻值（R,UI），并在电阻箱上取此值，替ab代稳压二极管接入电路，电路如图4-2所示。
测量电压源单独作用及共同作用时的各支路电流I、I、和电压U。
将测量数据记录在表格二中。
I12abII21a++IU,8VU,5VS1S2--RR,100,R,200,112b图4-2 替代定理表二、替代定理电压源工作状态 U（V） II（mA）（mA）（mA） Iab12U,8V,U,0V S1S2U,0V,U,5V S1S2U,8V,U,5V S1S2序号仪表设备名称选用挂箱型号数量备注1 2 直流稳压源 GDS-02或GDS-032 GDS-06D 1 100Ω、200Ω3 GDS-06D 稳压二极管4 1 可调电阻箱5 1 直流电压表6 1 直流电流表7 3 电流表插座8 1 电流表插头9 2 双刀双投开关1.稳压二极管的极性2.电压源不做用时短路3.可调电阻箱上的电阻必须事先调好1.列出测量数据表格2.依据实测数据验证叠加定理，并验证叠加定理不适用于非线性电阻3.验证替代定理并说明其适用情况4.分析产生误差的主要原因。
第3章：电路分析的几个定理
二端口短路电流
二端口独立 电源置零后 的等效电阻
例2
求电压U。
解 本题用诺顿定理求 比较方便。因a、b 处的短路电流比开 路电压容易求。
(1) 求短路电流Isc
I sc
6 3 + 24V – 6 3
6 6 a + 1A I Req U sc – b
24 1 24 3 3A 6 // 6 3 2 3 // 6 6 3 6
(2) 求等效电阻Req (3) 诺顿等效电路:
Req 6 // 3 6 // 3 // 6 6 4
Isc
U ( 3 1) 4 16V
a ＋ 1A U 4 b －
戴维南定理的应用
(1) 开路电压Uoc 的计算 戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算 Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计 算。 （2）等效电阻的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源 短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。 常用下列方法计算：
3. 2 替代定理
对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、 电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独 立电压源，或者用一个电流等于 ik 的 独立电流源，或 用一 R=uk/ik 的电阻来替代，替代后电路中全部电压和 电流均保持原有值(解答唯一)。
ik
支 路 k
+ uk –
+ –
应用结点法得： 解 应求电流I，先化简电路。
1 1 1 10 2 ( )u1 6 2 2 5 2 2
u1 6 / 1.2 5V
I1 (5 2) / 2 1.5 A
《电路基础》第8讲 齐次定理、叠加定理、替代定理
I1(2) )
( R2
R3
R4 )( I2(1)
I
(2 2
)
)
US
R4 IS
+
R4IS
─
R4
6
(R1+ R2) I1
+ R2 I2 =US
R2 I1 +(R2 + R3 + R4) I2 = US R4 IS
(2.5 - 4)
(R1 R2 )( I1(1) I1(2) )
R2 (I2(1) I2(2) ) US
第8讲 齐次定理、叠加定理和替代定理
1、齐次定理（homogeneity property)
齐次定理描述了线性电路的齐次性或比例性。 其内容为： 对于具有唯一解的线性电路，当只有一个激励源 F（独立 电压源或独立电流源）作用时，其响应Y（电路任一处的电压或 电流）与激励F成正比。即
如果 Us
R Uo
(2) 叠加定理仅适用于线性电路（包括线性时变电路）， 而不适用于非线性电路。
(3) 叠加定理只适用于计算电流和电压，而不能用于计算 功率， 因为功率不是电流或电压的一次函数。证明如下：
i i' i'' u u' u''
p ui (u' u'' )(i' i'' ) u'i' u''i''
+ +
+ -1A
以-1A电流源置换N2，得：12
u2
0.5i
u
u2 6(i 1) 12 12V
-
1A
5Ω
-
19
叠加定理和替代定理
叠加定理和替代定理1、叠加定理叠加定理是线性电路的一个重要定理。
不论是进行电路分析还是推导电路中其它电路定理，它都起着十分重要的作用。
叠加定理内容为：在线性电路中，任一电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路处产生的电压或电流的叠加。
叠加定理是线性电路具有的重要性质，利用叠加定理进行电路分析时，必须注意如下几个方面的问题。
1）各个电源分别单独作用是指独立电源，而不包括受控源，在用叠加定理分析电路时，独立电源分别单独作用时，受控源一直在每个分解电路中存在；2）独立电流源不作用，在电流源处相当于开路；独立电压源不作用，在电压源处相当于短路。
3）线性电路中电流和电压一次性函数可以叠加，但由于功率不是电压或电流的一次性函数，所以功率不能采用叠加定理。
4）叠加定理使用时，各分电路中的电压和电流的参考方向可以取为与原电路中的相同。
取叠加时，应注意各分量前的“+”、“–”符号。
2、齐性定理<?xml:namespace prefix = o />齐性定理：如果线性电路的所有激励同时增加或缩小实常数k倍，则电路中的所有响应也同样增加或缩小实常数k倍。
如电阻元件R，外加电压u与流过它的电流i满足欧姆定理，u=Ri，如果电阻外加电压u增大k倍，则流过它的电流同样增大k倍，即ku=Rki。
齐性定理特别适应于分析梯形电路。
分析梯形电路一般从电路离电源最远处开始，这种分析方法叫倒退法。
3、替代定理替代定理具有广泛的应用，其内容如下：给定一个线性电路，其中第k条支路的支路电压和支路电流为已知，那么此支路就可用一个电压等于的电压源，或一个电流等于的电流源替代，替代后电路中全部电压和电流将保持原值。
替代定理的证明主要利用电路的KVL和KCL以及元件本身的约束关系。
本书中替代定理主要用来证明下节介绍的戴维宁定理和诺顿定理。
4、含源网络、开路电压和等效电阻1）含源网络：含独立电源，线性电阻和受控源的一端口。
名词解释叠加定理
名词解释叠加定理
叠加定理（Superposition Theorem）是指在向量或矢量分析中，当多个向量或矢量叠加时，其总和等于各个向量或矢量分别加起来的和。
这个定理可以被应用于许多领域，例如物理学、工程学、计算机科学等。
在物理学中，叠加定理常常被用于解决矢量场问题，例如电场、磁场等。
在这些场中，多个矢量叠加后会产生一个总场，这个总场等于各个矢量单独作用时的和。
在工程学中，叠加定理可以被应用于结构分析、振动分析、流体动力学等领域。
例如，在结构分析中，多个力的叠加可以产生一个总力，这个总力等于各个力分别作用时的和。
在计算机科学中，叠加定理可以被应用于图像处理、信号处理等领域。
例如，在图像处理中，多个像素点的叠加可以产生一个总像素值，这个总像素值等于各个像素点分别作用时的和。
总之，叠加定理是一种基本的数学工具，可以被广泛应用于许多领域。
通过这个定理，我们可以更方便地解决一些复杂的问题，例如多个矢量或力的叠加、多个像素点的叠加等。
叠加定理
电路分析基础
叠加定理与替代定理
一、叠加定理 在线性电路中，任一处的电压（电流） 响应，恒等 于各个独立电源单独作用时在该处产生响应的叠加。
电路分析基础
例：如图电路，用叠加原理计算电流I。 解：
4 I
10A
4 4
I Is
4
4
I
10A
4
6
2
6
2
6
2
8V
8V
8V电压源作用 10A电流源作用
I 1A
I 10 4 5A 44
I I I 4A
电路分析基础
例：如图示电路，已知Us1=Us2=5V时,U=0V; Us1=8V,Us2=6V时,U=4 V;求Us1=3V,Us2=4V时U的值.
解：设Us1和Us2单独作用时，在R上产生的电压响应
分别为U1 和U2，则有U1=K1Us1，U2=K2Us2；K1、K2为比例
常数。由叠加定理可得
R
U=K1Us1+K2Us2
U
根据已知条件，则有
无
无
Us1
0 K1 5 K2 5
源
源
Us2
4 K1 8 K2 6
联立求解以上两式，得K1=2,K2=-2,由此,当 Us1=3V, Us2=4V时,可得
R1
R2
I
(U s R1
Is
)
R1 R1 R2
R1
Us R1 R2
R1 R1 R2
《替代定理》课件
路的设计和分析过程，提高电路的性能
和效率。
3
信号处理和通信技术
4
替代定理可以用来分析、设计和优化各 种信号处理和通信系统，提高系统的性
能和可靠性。
计算机程序优化
通过编写等价但更优化的代码，可以提 高程序的运行效率和响应速度。
形式化验证
替代定理是形式化验证中的基础方法之 一，可以帮助验证器证明一些关键性质 的正确性。
《替代定理》PPT课件
替代定理是数学和电子工程学科中的一项重要理论。本课程将介绍替代定理 的历史背景、定义及作用、分类和特点等内容，并探索替代定理在不同是一种数学推理方法， 即通过一个命题的等价关系来求 证另一个命题的真假性。在逻辑 代数和电子工程学科中被广泛使 用。
在传感器网络和嵌入式控制系统 中，替代定理可以用于优化网络 协议、分析系统稳定性和可靠性 等问题。
在机器人和自动化系统中，替代 定理可以用于优化控制算法、分 析动力学和运动学、提高运动控 制精度等问题。
基于替代定理的优化算法
1 基于策略的算法
通过启发式搜索和策略选 择，设计一系列替代定理 变换策略，从而高效地获 得可行解。
替代定理的发展趋势
替代定理将向更深入、更高效、更智能化的方向发展，帮助我们更好地理解和利用复杂的自 然和社会现象。
不足
替代定理有时会和其他优化策略产生局部最优解， 难以达到全局最优解；替代定理的应用需要一定的 数学基础和专业知识。
替代定理与其他优化方法的比较
1
贪心算法
贪心算法通过贪心选择这样的局部最优解，误以为获得了最优解，但并不能保证 一定获得全局最优解。
2
动态规划
动态规划综合考虑不同状态的优化策略，通过状态转移和最优子结构等规律，求 解最优化问题，但需要考虑更多状态和指标。
08 诺顿、特勒根和互易定理
ˆ 同理可证：i Tu 0, u Ti 0, i Tu 0 ˆ ˆ
电路
南京理工大学自动化学院
4.4 特勒根定理
例: 已知图中N0为线性电阻无源网络，由图a中测得us1=20V，
ˆ i1=10A, i2=2A, 当图b中 i1=4A时，试用特勒根定理求 us2 ˆ
T T T u i 0 (i u 0) u i 0 (i u 0)
T
即拟功率守恒：
电路
uk ik 0 或
k 1
b
uk ik 0
b k 1
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4.4 特勒根定理
特勒根定理
定理 2 证明：
u i ( A un ) i u A i u ( A i ) 0
同理可证：T u 0 i
电路
南京理工大学自动化学院
4.4 特勒根定理
ˆ 定理二、有网络N和网络 N ，若它们具有相同的 关联矩阵，并设支路电压向量与支路电流向量 分别为： uT u1 , u2 , , ub i T i1 , i2 , , ib T T u u1 , u2 , , ub i i1 , i2 , , ib 且各支路电压电流为关联参考方向，则：
这个电路结构所服从的KCL和KVL方程时，一个元件电路
就可以抽象成一个线图
电路
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4.4 特勒根定理
图论基础 1、图(Graph)：用线段代替电路中的支路，并 保留原电路中的节点，如此所构成的点线图， 称为原电路对应的图，用G表示。
R6
①.
②
.
+ Us1 _
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8 4 I 12 A 7 A 44 44
12A作用 8V作用
例4 求电流I1
解 用替代：
3
6
5 1 6 + 3V
－
2
4
2
＋
I1
4A
I1 4 + ＋ 6V 7V – － 4A
用叠加定理得：
7V
－
7 7V作用时： I A 6
' 1
'' 1
2 8 4 A 4A作用时： I 24 6
I1
I1
5
10 10 2
2
解 应求电流I，先化简电路。 应用结点法得：
10 2 1 1 1 u1 6 2 2 2 2 5
6 u1 5V 1.2
52 I1 1.5 A 2
I 1.5 0.5 1A 2 R 2Ω 1
例6 已知: uab=0, 求电阻R
二、定理的证明
应用结点法： G1 is1 i2
1 G2 i3 + us2 –
(1) n1 (2) n1
G3 + us3 –
(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
G2uS 2 G3uS 3 iS 1 un1 G2 G3 G2 G3 G2 G3
或表示为：
un1 a1iS1 a2us 2 a3uS 3 u u
受控源始终保留
i（1） 2 ＋ 10V －
1
＋ 2i(1) － －
＋ u（1）
2
＋
10 2i 2 1
1
i (2)
1 ＋ 5A ＋ u(2) 2i (2) － －
10V电源作用： i (1) 5A电源作用：
i (1) 2A
(1) (1)
u 1 i 2i 3i 6V
u
(3) n1
支路电流为：
i2 (un1 uS 2 )G2 G3G2 G3G2uS 3 G2iS1 ( )uS 2 G2 G3 2 G2 G3 G2 G3
(1) (2) (3) b1iS 1 b2uS 2 b3uS 3 i2 i2 i2
1 G1
三、几点说明
1、叠加定理只适用于线性电路。
2、一个电源作用，其余电源为零 电压源为零 — 短路。 电流源为零 — 开路。 G1 i2 G2 i3 + us2 – G3 + us3 –
is1
=
G1 i is1
(1) 2
G2
i3(1)
G3
三个电源共同作用
is1单独作用
+
G1 i
(2) 2
i3(2) G 3
由上分析可知： 可用短路（电压为零的电压源模型）替代电压为零的支路； 可用开路（电流为零的电流源模型）替代电流为零的支路。 这样变换该支路的连接方式，对网络其它部分的工作状态无影响。
若某条支路的电流不为零或两个节点之间的电压不为零时，该 支路能否也可用某种方式进行替代，而不影响网络其它部分的工作 状态？ 一、替代定理：在一个含有若干独立电源的任意线性或非线性 网络中，若已知某一支路的电压和电流分别为uk和ik，且该支路与 网络的其它支路无耦合关系，则该支路可以用下列的任意种元件去 置换，即 电压为uk的独立电压源; 电流为ik的独立电流源; 阻值为Rk=uk/ik的电阻元件。 这时，对整个网络的各电压、电流不发生影响。
''
U U ' U '' 0.8 0.6 I X 0.2I X
U 0.2 I X RX 0.2 IX IX
例2：试求图示电路在I=2A时，20V电压源发出的功率。
解：
用2A电流源替代上图电路中的电阻Rx和单口网络N2，得到下图所示电路。 网孔方程 求得
4I1 2 2 20
解： 画出分电路图
＋
4 2
两个简单电路
2A电流源作用，电桥平衡： I (1) 0 70V电压源作用： I I (1) I (2) 15A
P 70 15 1050W
I
(2)
70 70 15A 14 7
应用叠加定理使计算简化
例2 计算电压u
6 － u (1) (6 // 3 1) 3 9V 6V ＋ 其余电源作用： i (2) (6 12) /(6 3) 2A 解 画出分电路图 3A电流源作用： 3
解题步骤： 1、根据原电路图，分别画出每一电源单独作用时的分 电路图。 2、分别计算每一分电路中各支路的电流。 3、求各分电路中对应支路电流的代数和，即得原来电 路中各支路的电流。
例1 求电压源的电流及功率
2A 4 2 10 70V + － I 5 2A 4
=
I (1)
10 5
2 10 70V + － I (2） 5
is1 i2 G2 i3 G3
+ us2 –
+ us3 –
G3G2 G2G3 G3iS1 i3 (un1 uS 3 )G3 ( )uS 2 ( )uS 3 i3(1) i3(2) i3(3) G2 G3 G2 G3 3 G2 G3
结论
结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电 源单独作用时，产生的响应之叠加。
例4 封装好的电路如图，已知下列实验数据： us 1V，is 1A，i 2 A 研究激 励和响 us 1V，is 2 A，i 1A
求：us 3V，is 5 A i ? ，
应关系 的实验 方法k2uS
代入实验数据： ＋
uS
解
a 60 25
30 R
1A
b
0.5A
uab 0 iab icd 0
4 ＋ 42V －
用开路替代，得：
20 10 40
ubd 20 0.5 10V
短路替代
uac 10V uR 20 1 10 30V
42 30 iR 1 2A 4 uR 30 R 15Ω iR 2
I R I1 1 2 A
ub 8V I1 1A 8 8
I1
uR uc ub 20 8 12V
12 R 6Ω 2
例4 用多大电阻替代2V电压源而不影响电路的工作
4 3A ＋ 2 4V － + 2V
I －
0.5A
2 ＋ 10V －
1+
2V
－
+
0.5
1 I 8 –
0.5
U''
+
0.5
I 1
0.5
1 0.5
– U' + 0.5 0.5
'
1 I 8
0.5 U'' + 0.5
–
1.5 1 U I 0.5 I 0.5 0.1I 0.8I X 2.5 2.5
1.5 1 U I 1 0.075I 0.6 I X 2.5 8
I1 4 A
20V电压源发出的功率
P 20 4 80W
例3（书中为例4－21） 图4-33(a)电路中g=2S。试求电流I。
图4－33
解：先用分压公式求受控源控制变量U
6 U 8V 6V 26
用电流为gU=12A的电流源替代受控电流源，得到图(b) 电路，该电路不含受控电源，可以用叠加定理求得电流为
+ us2 – us2单独作用
+
G1 i
(3) 2
i3(3) G 3
+
us3 –
us3单独作用
3、功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源 的二次函数)。 4、u, i叠加时要注意各分量的参考方向。 5、含受控源(线性)电路亦可用叠加，但受控源应始 终保留。
四、叠加定理的应用 4. 叠加定理的应用
源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用， 取决于使分析计算简便。 1 ＋ 5A 计算电压u、电流i。 i ＋2 例3 ＋ u 10V 2i － 解 画出分电路图 － －
i（1） 2 ＋ 10V － 1 ＋ u（1） ＋ ＋ (1) － 2i － 2 i (2) 1 ＋ 5A ＋ u(2) 2i (2) － －
课前提问：
求图示电路AB端的等效电阻RAB。 解法1：
RAB 3// 6 1 // 6 2
解法2：
Y 形电阻 形相邻电阻的乘积 形电阻之和
6 36 6 RAB 3 // 2 13 13 13
第四章
§4-1 叠加定理
c
d
小 结 一、叠加定理 叠加定理：对于线性电路，任何一条支路的电流，都 可以看成是由电路中各个电源（电压源或电流源）分别作 用时，在此支路中所产生的电流的代数和。 叠加法只适用于线性电路，不适用于功率计算。 解题步骤： 1、根据原电路图，分别画出每一电源单独作用时的分 电路图。 2、分别计算每一分电路中各支路的电流。 3、求各分电路中对应支路电流的代数和，即得原来电 路中各支路的电流。 二、齐性原理 线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的 倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的 倍数。
' 1 '' 1
7 8 15 I1 I I 2.5A 6 6 6
c
例5 已知:uab=0, 求电阻R
解: 用替代：
a
Ι b
uab 3I 3 0 I 1A
用结点法：
结点a
c
1 20 1 1 1 ua 4 2 4