一类SIRE对甲型H1N1流感传播模型的稳定性
一类时滞SIR传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析
第27卷第3期2010年9月经济数学M AT HEM A T ICS IN ECON OM I CSV ol.27,No.3Sep.2010一类时滞SIR传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析*赵仕杰1,袁朝晖2(11桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004;21湖南大学数学与计量学院,湖南长沙410082)摘要研究了一类具有时滞及非线性发生率的SIR传染病模型.首先利用特征值理论分析了地方病平衡点的稳定性,并以时滞为分岔参数,给出了Hopf分岔存在的条件.然后,应用规范型和中心流形定理给出了关于Hopf分岔周期解的稳定性及分岔方向的计算公式.最后,用Matlab软件进行了数值模拟.关键词时滞;稳定性;非线性发生率;H opf分岔中图分类号O175.14文献标识码:A1引言近年来,传染病动力学得到了广大学者的广泛关注,大量针对各种传染病的模型(如:[1 -3])相继提出,并获得了一些很好的结果.但大多数模型对发生率的选取往往限制在简单物质作用率即双线性函数或标准发生率函数上,如文献[4-6]研究了具有双线性发生率的传染病数学模型的持久性、平衡点的稳定性等动力学行为.然而在对某些传染病而言,双线性与标准发生率的假设往往不足描绘现实背景,因此,很多学者考虑了一般的非线性发生率,如文献[7,8]在选取特殊的非线性发生率的基础上研究了平衡点的稳定性、H opf分岔现象等动力学行为.文献[9]研究了具有非线性发生率B SI q的SER传染病模型.文献[10]使用了非线性饱和函数发生率.本文将考虑下列SIR传染病模型d S(t) d t =r(1-S(t)K)S(t)-B S(t)I(t-S)1+A S(t),d I(t) d t =B S(t)I(t-S)1+A S(t)-L I(t)-C I(t),d R(t) d t =C I(t)-L R(t),(1)其中S(t),I(t)及I(t)分别表示易感染类、感染类和恢复类在t时刻的个体数目,r为内禀自然增长率,K为环境对群体的最大容纳量,B为传染率,L为自然死亡率,A为心理作用系数即易感者知道染病者染病后,就会采取相应的措施从而影响发生率变化,C为移出率系数,S表示*收稿日期:2009-11-24基金项目:广西自然科学基金资助项目(2010GXNS FC013012)作者简介:赵仕杰(1982)),男,河北承德人,硕士生E-mail:第3期赵仕杰等:一类时滞SIR 传染病模型的稳定性与H o pf 分岔分析疾病的潜伏期,假设系统中所有的参数为非负数.系统(1)的前两个方程不依赖于第三个方程,因此可以仅考虑由方程组(1)的前两个方程所构成的系统d S(t)d t =r (1-S(t)K )S(t)-B S (t)I (t-S )1+A S (t),d I (t)d t =B S (t)I (t -S )1+A S (t)-L I (t)-C I (t).(2)系统(2)的初始条件定义为:S (H )=U 1(H ),I (H )=U 2(H ),U i (H )\0,H I [-S ,0],U i (0)\0(i =1,2).2 稳定性与Hopf 分岔定义基本再生数R 0=B K (1+A K )((L +r ).假设R 0>1,则系统(2)有唯一的平衡点E *=(S *,I *),其中S *=C +L B -A (C +L ),I *=r(1+A S *)S *(1-S *K )B.系统(2)在平衡点E *=(S *,I *)附近对应线性近似系统为d S(t)d t =(r -2rS *K -r (K -S *)K (1+A S *))S(t)-(C +L )I (t -S ),d I (t)d t =(r(K -S *)K (1+A S *))S(t)-(C +L )I(t)+(C +L )I (t -S ).(3)则系统(3)对应的特征方程为K 2+m 1K +m 0+(n 1K +n 0)e -K S =0,(4)其中m 1=r(K -S *)K (1+A S *)+2rS *K +C +L -r,m 0=(C +L )(r(K -S *)K (1+A S *)+2rS *K -r ),n 1=-C -L ,n 0=-(C +L )(2rS *K-r ).定理1 假设R 0>1成立,且有不等式2A s *+1-K A >0,(5)则当S =0时,系统(2)的地方平衡点E *是局部渐近稳定的.证明 当S =0时,特征方程(4)变为K 2+(m 1+n 1)K +m 0+n 0=0.(6)由于m 1+n 1=r(K -S *)K (1+A S *)+2rS *K -r =rS *(2A S *+1-K A )K (1+A S *)1从而由不等式(5)可知m 1+n 1>0.另一方面,由R 0>1可知S *<K ,从而m 0+n 0=r (C +L )(K -S *)K (1+A S *)>0.所以由Routh -H urw its 准则可知方程(6)的所有的根都具有负实部,也就是说,当S =0时,正)17)经济数学第27卷平衡点E*是局部渐近稳定的.定理2假设R0>1成立,且有不等式(5)及K+(2A K-3)S*-4A S*>0,(7)成立,则存在一个定值S0>0,当S I[0,S0)时,E*是局部渐近稳定的,当S>S0时,E*是不稳定的,即S=S0为系统(2)的分岔值.证明由定理1知:当S=S0时,E*是渐近稳定的,下面说明存在S0>0,当S I[0,S0)时,E*是渐近稳定的,当S=S0时特征方程(4)具有纯虚根K=i X,其中i表示虚数单位,X> 0.把K=i X代入方程(4)分离实部和虚部得m1X=n0sin X S-n1X cos X S,X2-m0=n0cos X S+n1X sin X S.(8)将式(8)的两边分别平方相加得X4+(m21-2m0-n21)X2+m20-n20=0.(9)经过简单计算可得m21-2m0-n21=(r(K-S *)K(1+A S*)+2rS*K-r)2.由式(7)得m0-n0=(C+L)(r(K-S*)K(1+A S*)+4rS*K-2r)=-r(C+L)K+(2A K-3)S*-4A S*2K(1+A S*)<01因而结合m0+n0>0可知m20-n20<0,所以方程(9)存在唯一的正解X0,即特征方程(4)有一对形如?i X0的纯虚根.由式(8)可得S n=1X0arccosn0(X20-m0)-m1n1X20n20+n21X20+2n PX0(n=0,1,2,).由定理1可知当S=0时,E*是稳定的.因此,由Butler的引理[12]知:当S<S0时,E*仍然是渐近稳定的.若能证明下列横切条件d(Re K)d S S=S>0,则在S>S0附近,特征方程(4)至少存在一个具有正实部的特征根.事实上,通过对方程(4)关于S求导可得(2K+m1+n1e-K S-S(n1K+n0)e-K S)d Kd S=K(n1K+n0)e-K S,解得d K d S -1=2K+m1+n1e-K S-S(n1K+n0)e-K SK(n1K+n0)e-K S=2K+m1K(n1K+n0)e-K S+n1K(n1K+n0)-SK =K2-m0-K2(K2+m1K+m0)+-n0K2(n1K+n0)-SK.因此sig n d(Re K)d S S=Sk =sig n Red Kd S-1K=i X)18 )第3期赵仕杰等:一类时滞SIR 传染病模型的稳定性与H o pf 分岔分析=sig n Re [K 2-m 0-K 2(K 2+m 1K +m 0)]+Re [-n 0K 2(n 1K +n 0)]K =i X 0=sig n (X 20+m 0)(X 20-m 0)X 20[(m 0-X 20)2+(m 1X 0)2]+n 20X 20(n 20+n 21X 20).由于式(9)可变形为(m 0-X 20)2+(m 1X 0)2=n 20+n 21X 20,所以sig n d(Re K )d S S =S k=sig n (X 20+m 0)(X 20-m 0)X 20[(m 0-X 20)2+(m 1X 0)2]+n 20X 20(n 20+n 21X 20)=sig n X 40+n 20-m 20X 20(n 20+n 21X 20).这样,由前面已证明的不等式m 20-n 20<0可知d (Re K (S ))d S S =S 0>0.因此,系统(2)在S =S 0出现H o pf 分岔.3 Hopf 分岔方向与分岔周期解的计算公式下面用规范型方法及中心流形定理给出系统(2)H opf 的分岔方向,分岔周期解的稳定性及周期解的计算公式.令t =s S ,u 1=S -S *,u 2=I -I *,u -i (t)=u i (S t),S =S 0+T ,D1=11+A S*,为了方便起见,去掉0-0,则系统(2)可以写成为:u #(t)=L T (u t )+f (T ,u t ),(10)其中u(t)=(u 1(t),u 2(t))TI R 2,u t (H )=u(t+H ),H I [0,1],并且L v :C =C[0,1]y R 2和f :R 2@C y R 2分别表示为L T (u t )=(S 0+T )r -2rS *K -r (K -S *)D 1K 0r(K -S *)D 1K-C -LU 1(0)U 2(0)+(S 0+T )0-C -L 0C +L U 1(-1)U 2(-1),(11)且f (T ,u t )=(S 0+T )f 11f 221(12)式中,f 11=-r KU 21(0)+B A I *D 31U 21(0)-B D 21U 1(0)U 2(-1)+B A D 31U 21(0)U 2(-1)-B A 2I *D 41U 31(0)+,,f 22=-B A I *D 31U 21(0)+B D 21U 1(0)U 2(-1)-B A D 31U 21(0)U 2(-1)+B A 2I *D 41U 31(0)+,.由Riesz 表示定理可知,对于H I [0,1],存在一个有界变差函数G (H ,T ),使得:L T <=Q 0-1d G (H ,T )<(H ),<IC.(13)实际上,可以选择:G (H ,T )=(S 0+T )r -2rS*K-r(K -S *)D 1Kr (K -S *)D1K-C -LD (H ))19)经 济 数 学第27卷-(S 0+T )0-C -L0C +LD (H +1)1(14)其中D 表示狄拉克D 函数.对于U I C([0,1],R 2),定义:A(T )U =d U (H )d H,H I [-1,0),Q-1d G (s,T )U (s),H =0.且R(T )U =0,H I [-1,0),f (T ,U ),H =0.由于d u t (H )d H =d u(t +H )d H =d u(t+H )d t =d u t (H )d t,从而d u t d H =d u td t,系统(10)可化为u #(t)=A (T )u t +R(T )u t .(15)对于W I C *=C([0,1],(R 2)*),伴随算子A *(0)定义为A *(0)W (s)=-d W(s)d s,s I (0,1],Q-1d G T (t,0)W (-t),s =0.和双线性内积3W ,U 4=W -(0)U (0)-Q 0-1Q H N =0W -(N -H )d G (H )U (N )d N .(16)其中,G (H )=G (H ,0).下面记A =A(0),A *=A *(0),由第2节的讨论知道,?i X 0S 0是A 的特征值,从而也是A*的特征值.首先需要计算A 和A*分别关于特征值i X 0S 0和-i X 0S 0的特征向量.设q(H )=(1,q 1)Te i X 0S 0H是A 关于特征值i X 0S 0的特征向量,则Aq (H )=i X 0S 0q(H ).由A 的定义以及式(11)、式(13)和式(14)有S 0r -2rS *K-r (K -S *)D 1K 0r(K -S *)D 1K-C -L q (0)+S 00-C -L 0C +L q (-1)=i X 0S 0q(0).解得q 1=r(K -S *)D 1K [(C +L )(1-e -i X 0S0)+i X 0].另一方面,设q *(s)= D (1,q *1)e i X 0S 0s 是A *关于特征值-i X 0S 0的特征向量,则易得q *1=(C +L )e i X 0S0(C +L )e i X 0S 0-(C +L )+i X 01其中 D =11+ q *1+S 0q 1(C +L )(-1+ q *1)e -i X 0S 0,且满足3q *,q 4=1及3q *, q 4=1.下面计算在T =0处决定中心流形的局部坐标.设T =0时式(10)的解,定义:z (t)=3q *,u t 4,W (t,H )=u t -2Re z (t)q(H ),(17)及W (t,H )=W (z (t),z -(t),H )1)20)第3期赵仕杰等:一类时滞SIR 传染病模型的稳定性与H o pf 分岔分析其中W(z , z ,H )=W 20(H )z 22+W 11(H )z z +W 02(H ) z 22+W 30(H )z 36+,,(18)这里z 和 z 表示q *和 q *方向上中心流形C 0的局部坐标.对于式(15)的解u t I C 0,Ûz (t)=i X 0S 0z + q *(0)f (0,W (z , z )+2Re zq (H ))C i X 0S 0z + q *f 0(z , z )=i X 0S 0z +g(z , z )1其中g(z , z )= q *f 0(z , z )=g 20z 22+g 11z z +g 02 z 22+g 21z 2 z 2+,.(19)考虑到f (T ,u t )的定义g(z , z )= D S 0(1, q *)f 011f 022,其中f 011=-r Ku 21t (0)+BA I *D 31u 21t (0)-BD 21u 1t (0)u 2t (-1)+BA D 31u 21t (0)u 2t (-1)-BA 2I *D 41u 31t (0)+,,f 022=-BA I *D 31u 21t (0)+BD 21u 1t (0)u 2t (-1)-BA D 31u 21t (0)u 2t (-1)+BA 2I *D 41u 31t (0)+,.与式(19)比较系数,得到:g 20=2 D S 0-r K +( q *1-1)(-B A I *D 31+B D 21q 1e -i X 0S0),g 11=2 D S 0-r K+( q *1-1)(-B A I *D 31+B D 21Re {q 1e -i X 0S0}),g 02=2 D S 0-r K+( q *1-1)(-B A I *D 31+B D 21 q 1e i X 0S 0),g 21=2 D S 0{-r K(W (1)20(0)+2W (1)11(0))+( q *1-1)[-B A I *D 31(W (1)20(0))+2W (1)11(0)+B A 21( q 12e i X 0S 0W (1)20(0)+12W (2)20(-1)+W (1)11(0)q 1e -i X 0S 0+W (2)11(-1))-B A D 31(q -1ei X 0S+2q 1e-i X 0S)+3B A 2I *D 41].下来计算W 20(H )和W 11(H ).把式(15)和式(17)代入ÛW =Ûu t -Ûz q - z #q 得ÛW =AW -2Re { q *(0)f 0q(H )},H I [-1,0)AW -2Re { q *(0)f 0q(H )}+f 0,H =0=$A W +H (z ,z -,H )1(20)其中H (z , z ,H )=H 20(H )z 22+H 11(H )z z +H 02(H ) z 22+,1(21)这样由式(20)可得(A -2i X 0S 0)W 20=H 20(H ),AW 11=-H 11(H ).(22)与式(21)比较系数得:H 20(H )=-g 20q(H )- g 02 q (H ),H 11(H )=-g 11q(H )- g 11 q (H ).(23)由式(22)和(23)以及A 的定义有ÛW 20(H )=2i X 0S 0W 20(H )+g 20q(H )+ g 02 q (H ).因为q(H )=(1,q 1)T ei X 0S 0H,故W 20(H )=i g 20X 0S 0q(0)e i X 0S 0+i g 023X 0S 0q (H )e -i X 0S 0+E 1e 2i X 0S 0,(24)其中)21)经 济 数 学第27卷E 1=22i X 0-r +2rS *K +r(K -S *)D1K(C +L )e-2i X 0S-r(K -S *)D 1K2i X 0+(C +L )(1-e -2i X 0S)-1-r K +B A I *D 31-B D 21q 1e -i X 0S 0-B A I *D 31+B D 21q 1e-i X 0S.类似地W 11(H )=-i g 11X 0S 0q(0)e i X 0S 0+i g 11X 0S 0q (H )e -i X 0S0+E 2,(25)其中E 2=2-r +2rS *K +r(K -S *)D 1K(C +L )-r(K -S *)D 1KC +L-1-r K +B A I *D 31-B D 21Re {q 1e -i X 0S}-B A I *D 31+B D 21Re {q 1e -i X 0S0}.这样就可以计算g 21,同时也可以计算下列各值:c 1(0)=i 2X 0S 0(g 11g 20-2g 112-g 0223)+g 212,T 2=Re {c 1(0)}Re {K '(S 0)},B 2=2Re {c 1(0)},T 2=Im {c 1(0)}+F 2Im {K '(S 0)}X 0S 0.定理3 ( )T 2决定了H opf 分岔的方向:若T 2>0(<0),则系统(2)产生超临界(次临界)H o pf 分岔.( )B2决定了H opf 分岔稳定性:若B 2>0(<0),则周期解是不稳定的(稳定).( )T 2决定了分岔周期解的周期:若T 2>0(<0),则分岔周期解的周期是随S 的增加而增加(减少)的.4 数值模拟基于第2节正平衡点稳定性与H opf 分岔的分析和第3节分岔的方向与分岔周期解的讨论.做如下数值:令r =0.2,C =L =A =0.1,B =0.2,K =8.可求得正平衡点E *=(1.1111,0.9568),X =0.1696,S 0=0.3682,由定理1可得正平衡点E *是局部渐近稳定的.由第3节的计算公式算得:T2=0.2156,B 2=-0.0054.这样,由定理3可知:当S =0.3682时,系统(2)在平衡点处产生一个超临界的稳定H opf 分岔周期解.对应的数值仿真可见图1和图2.图1 S =0.28<S 0时系统(2)的相图 图2 S =0.38>S 0时系统(2)的相图)22)第3期赵仕杰等:一类时滞SIR 传染病模型的稳定性与H o pf 分岔分析参考文献[1] COOKE K.Stability analysis for a vector dis ease model[J].Rocky M ountain J ou rnal of M athem atics ,1979,9(1):31-42.[2] BERE TT A E ,T AKEUCH I Y.Glob al stability of an S IR epidem ic m odel with time delays [J].J ou rnal of M athem at-ical Biology,1995,33(3):250-260.[3] LI G,WANG W ,JIN Z.Glob al stability of an SE IR epidemic model w ith cons tant immigration[J].C haos Solitons andFractals ,2006,30:1012-1019.[4] SONG M ,M A W ,T AKEUCH I Y.Perman ence of a delayed SIR epidemic m odel w ith den sity dep endent birth rate[J].Journal of Computation al and Applied M athem atics ,2007,201(2):389-394.[5] ZH ANG F,LI Z,ZH ANG F.Glob al stability of an S IR epidemic model w ith constant in fectious period[J].AppliedM athematics and C om putation,2008,199:285-291.[6] LI J,M A Z.Glob 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system s[J].Bulletin of M ath ematical Biology,1983,45(6):991-1004.Stability and Hopf Bifurcationof a Delayed SIR Epidemic ModelZH AO Sh-i jie 1,YUAN Zhao -hui 2(11Dep ar tment of M athematics,Guilin Univer sity of Electr onic Science and Technology College,Guilin,Guangxi 541004,China;21College of M athematics and Econometrics ,H unan University ,Changsha,H unan 410082,China)Abstract A delayed SIR epidem ic model w ith nonlinear incidence was st udied.Firstly,the stability ofthe endemic equilibrium w as inv estig at ed by using the t heo ry of char act eristic value.Cho osing the delay as a bifurcatio n par amet er,w e obtained t he conditio ns ensur ing the ex istence of H opf bifur cation.T hen,based o n cent er manifold and no rmal fo rm theor y,the for mulas fo r deter mining the dir ect ion of Ho pf bifurcation as well as the stabilit y of bifurcating per io dic solutions wer e obtained.F ina lly,so me numer ical simulatio ns w ere car -ried out by M at lab.Keywords delays;stability ;nonlinear incidence;H opf bifur cation)23)。
一类病毒自发变异时滞SIR传染病模型稳定性分析
一类病毒自发变异时滞SIR传染病模型稳定性分析作者：李冬梅付玉立高添奇李晨辰来源：《哈尔滨理工大学学报》2020年第02期摘要：考慮了病毒自发变异对传染病流行的影响，建立了具有自发病毒变异的时滞SIR传染病模型，给出无病平衡点，单株地方病平衡点和地方病平衡点的存在性、局部稳定充分条件。
通过构造Liapunov函数，证明了无病平衡点、单株地方病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定性。
借助数值模拟的方法，分析了病毒自发变异对疾病传播的影响。
关键词：病毒自发变异;平衡点;稳定性DOI：10.15938/j.jhust.2020.02.022中图分类号：0175.1文献标志码：A 文章编号：1007-2683（2020）02-0166-070引言传染病动力学模型在了解疾病的传播规律和预测疾病流行趋势中发挥着极其特殊的作用。
针对病原体为病毒类型的传染病，可借助病毒动力学传染病模型的定量分析来了解疾病的变化趋势，制定疾病防控策略已取得诸多的结果。
但是，病毒在其传播过程中受到多因素的影响，可能会发生自身变异现象，从而改变原有的传播规律和治愈率，病毒变异感染者会再次传播疾病可能会导致疾病流行。
无变异病毒动力学模型的研究结果无法了解更多的病毒变异后疾病流行趋势，如乙肝病毒、狂犬病毒。
通过研究带有病毒变异后的传染病模型，将有助于了解疾病感染者数量的最终演变趋势，可为制定防控措施提供一定理论依据。
有关病毒变异传染病传播问题的研究结果不多。
文考虑病毒感染者和病毒变异感染者两类人群均具有传染性，经过治愈后不具有免疫性，建立了如下分段传播的无免疫一类的传染病S赐模型，研究了两类人群存在平衡状态及其稳定性。
文考虑病毒变异感染者是由病毒感染者经过一定时间时滞转移而来的，建立了如下无免疫的一类具有时滞的病毒变异的5/s模型，研究了模型的无病平衡点和地方病的稳定性。
本文考虑了病毒侵人感染者体内经过治疗，部分感染者治愈而获得免疫。
还有部分感染者会在一段时间内发生病毒变异，成为新的一类感染者，这类人群可以采取新的治疗措施，治愈后也获得免疫。
一类SIR传染病模型的全局稳定性分析
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６． １ 因此本文 研究 系统（） ３在下 面 的可行 区域 里 （ 吸引域 ） ：
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收 稿 日期 ：０ １ ｏ — ｌ ２ １－ ３ ２
作者 简 介 ： 春娟 （９２ ）女 ， 朱 １ ８一 。 江苏 南 通 人 ， 韶关 学 院数 学 与信 息 科学 学 院 助教 ， 硕士 ， 主要 从 事 生物 数 学 方面 的 研究
第 ８期
朱春娟 ： 一类 ＳＲ传 染病 模 型的全 局稳定 性分 析 Ｉ
・ ５・ １
１ 平 衡 点 的存 在
Ｓ一 － （ ｄ １ ｍ Ｓ ） ３总 ， ６ ， ｏ ） ＮＲ ＆ ￣ Ｒ ＞ ｍ ｏ Ｓ 定理 １ ＋ Ｒ ｆＳ （ ｂ（ ）ｏ 则 系统（） 存在无 病平衡 点 ０ ￣ｌ ｄ ， 。１时 ， 系
入 者和 因病死 亡率 ， 传染率 取 ３Ｎ ＳＩ（）Ｏ卢 （ ） ，ＪＪ Ｎ］＞ ０ （ ）Ｉ３ ＞ ， ｖｓ０ ［（『 ． Ｎ ， ８７ 、 ） －
本 文 研究 以下 的传 染病 模 型 ：
ｉ ）（ ，ｓ ｂ１ｍ（ Ｒ ｐ） ＳＺⅣＳ， Ｏ １ ， ０ （ ）＋ ＋１ ｄ－（）， ｓ ＝ 一 ＋ － Ｓ 一 ｛（：（） ＋ｂ－ 十＋） ，￡ ＮＳ ｑＩ（ Ｊ ） Ｉ ｄ 『 ，
具有饱和发生率的SIRS传染病模型的稳定性_崔倩倩
ＳＩＲＳ 型 传 染 病 模 型 如 下 ：
烄ｄＳｄｔ（ｔ）＝ａＡ－１β＋ＳαＩＩ＋δＲ－ｄＳ， 烅ｄＳｄｔ（ｔ）＝ｂＡ＋１β＋ＳαＩＩ－（μ＋γ＋ｄ）Ｉ， 烆ｄＳｄｔ（ｔ）＝ｃＡ＋γＩ－（δ＋ｄ）Ｒ，
（２）
式（２）中：１β＋ＳαＩＩ为染病者的饱和发生率，ｄ 为自然死
亡率系数，μ 为因病 死 亡 率 系 数，γ 为 恢 复 率 系 数，δ 为失去免疫率系数，且 这 里 假 设 参 数 ｄ、μ、δ、Ａ、β、γ 都 是 正 整 数 ，分 别 具 有 一 定 的 生 态 意 义 。
地方病平衡点Ｅ＊ （Ｓ＊ ，Ｉ＊ ，Ｒ＊ ）在βＡ／［ｄ（１＋αＩ＊ ）（μ＋ γ＋ｄ）］≤１条件下是全局渐近稳定的。
定理２得证。
４ 结语
１）本 文 研 究 了 一 类 各 类 都 具 有 常 数 输 入 且 具 有 饱和发生率 的 ＳＩＲＳ 传 染 病 模 型，由 于 各 类 都 具 有 常数输入，因此模型（２）总 存 在 地 方 病 平 衡 点，不 存 在 无 病 平 衡 点 ，即 当 感 染 者 具 有 人 口 输 入 时 ，此 类 疾 病在本地区一直 存 在，成 为 流 行 病，无 法 消 除，且 当
衡 点 ，只 存 在 相 应 于 疾 病 流 行 的 地 方 病 平 衡 点 ，可 记
为 Ｅ＊ （Ｓ＊ ，Ｉ＊ ，Ｒ＊ ）。
定理１：模型 （２）不 存 在 无 病 平 衡 点，总 存 在 地
方病平衡点 Ｅ＊ （Ｓ＊ ，Ｉ＊ ，Ｒ＊ ），其中
Ｓ＊
＝
（１＋ａＩ＊
）（（μ＋γ＋ｄ）Ｉ＊ βＩ＊
－ｂＡ），
Ｒ＊ ＝ｃＡδ＋＋γｄＩ＊ ，且Ｉ＊ 是方程［－δ（μ＋ｄ）－
证明：由于地方病平衡点 Ｅ＊ （Ｓ＊ ，Ｉ＊ ，Ｒ＊ ）满 足 方 程 （４），则 模 型 （２）等 价 于 下 面 模 型
SIR动力学模型的稳定性研究
SIR动力学模型的稳定性研究作者：申笑然薛亚奎来源：《科学与财富》2015年第25期摘要：本文研究了一类具有微分易感群的SIR 传染病模型（易感者，感病者，移出者），并对其多个并行感染状态做了分析。
根据其危险行为的发病率，易感个体被分为n个组别；而据其感染性问题，感染个体被分为m个组别。
通过对该模型的定性分析，获得了一个基本再生数R0，而后又证明了当R0≤1时，无病平衡点是全局渐近稳定的；当且仅当R0>1时，存在地方平衡点，且是唯一的。
文章最后给出了两组数值实例并证明了结论的准确性。
关键词：微分易感群；多个并行感染状态；基本再生数；全局稳定性1. 引言传染性疾病一直以来就是危害人类的大敌。
早在1927年，Kermack 和 McKendrick 就提出了著名的SIR模型。
随后，数学模型便作为一种重要且强大的工具广泛应用于传染性疾病的出现与重现的动态分析中。
根据传染性疾病所处的异同渐近感染阶段（如 SIR，SEIR），许多模型通常把实验群体分成不同组别。
对于传染性疾病，其存在于主体内部的一种病毒的危险行为是不同的，或者说是对于感染个体的活动水平也是不同的。
同样的，对于感染个体的干预或者说易感个体对感染个体的满足程度因也是不同的。
因此，为了更好的研究传染病动力学，这两种个体应该被分成不同组别。
在本文中易感个体根据疾病的敏感性，感染个体根据多个并行感染阶段被分为不同组别。
而疾病传播分别发生在不同的易感病毒间和不同的感染病毒间。
所以，我们假定，不同易感组别中的一个易感个体进入一个已感染组别的方式是相同的。
接下来本文对该模型和其再生数做了相关描述；下一章还对传染病动力学做了详尽阐述；第四章给出了许多数值实例；第五章是对本文的简短总结和讨论。
2. SIR模型和基本再生数常微分方程的传输模型：（1）由于变量Rj不出现在第一个的两个方程中，我们可以工作在减少系统如下：（2）很容易看出，（2）有一个无病平衡点，在应用新一代法和再生数的概念[ 10，11 ]，我们定义因此，与新矩阵KL由下式给出KL的主要特征值是等于再现数R0，其由下式给出3. 模型的动力学分析在模型的分析，对最大不变集的一个简短的讨论如（2）所示的。
一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇
一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题1一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题随着全球各地出现新型传染病的不断增多，防控传染病的研究成为了热点问题。
传染病模型是目前研究传染病防控的重要手段之一。
其中，SIR模型被广泛应用于传染病的研究中。
本文将从SIR模型的稳定性出发，进行一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题的探讨。
首先，我们介绍一类传染病模型的基本形式。
该模型包括三个部分：易感人群（S）、感染人群（I）和恢复人群（R）。
我们假设人口总数为N，初始时刻t=0时，有s0个易感人群、i0个感染人群和r0个恢复人群。
在接下来的时间内，易感人群可能感染，成为感染人群；感染人群可能恢复，成为恢复人群。
因此，易感人群的人数变化率为-dSI/dt，感染人群的变化率为dSI/dt-dIR/dt，恢复人群的变化率为dIR/dt。
其中，d表示变化速率，I=I(t)、R=R(t)、S=S(t)。
我们可以得到以下方程：dS/dt=-βSI/NdI/dt= βSI/N-γIdR/dt= γI其中，β表示感染人群对易感人群传播病毒的速率；γ表示感染人群从感染状态到康复状态的速率。
当病毒传染率和治愈率确定后，模型的稳定性成为了一个重要的问题。
对于该模型的稳定性分析，我们引入李雅普诺夫函数法，采用线性稳定性分析，得到以下结果：当易感人群初始密度大于R0时，该模型为不稳定模型，传染病会持续地传播；当易感人群初始密度小于R0时，该模型为稳定模型，传染病将最终消失。
其中，R0=βN/γ表示病毒的基本再生数，即每个感染者能将该病毒传染给多少个易感者。
在了解该模型的稳定性后，我们进一步探讨如何最优地控制传染病的传播。
最优控制是指通过合理的控制策略来使系统达到最优状态的问题。
本问题中，最优控制即使得病毒传播最小的控制策略。
我们将控制方案分为两种：一是加强个人防护措施，减少感染率β；二是提高诊治能力，加快病人康复速度γ。
一类SIR传染病动力系统的稳定性的开题报告
一类SIR传染病动力系统的稳定性的开题报告一、课题背景传染病是一种在人群中传播的疾病，通常由病原体引起，如细菌，病毒和真菌（患者本人或动物携带者）。
传染病在全球范围内对人类健康和经济稳定性造成了威胁。
针对传染病的动力学研究对于制定预防和控制政策具有重要意义。
SIR模型是用于研究传染病动力学的经典模型。
SIR模型源自对流感等病毒传染的流行病学分析，被广泛应用于研究肺结核、麻疹、EB病毒等传染病的传播规律。
在SIR模型中，人群被分为易感者、感染者和康复者三个类别。
这个模型涉及到人口数量的变化，包括人口自然增长、人口死亡和疾病传播。
理解SIR模型的稳定性对于研究传染病的预防和控制至关重要。
传染病的爆发可以危及人群健康及其道德基础设施，因此寻找如何将传染病保持在受控范围内的方法是非常重要的。
二、研究目的本研究旨在探索SIR传染病动力系统的稳定性。
首先构建SIR传染病动力学模型，并利用数学方法描述其稳定性。
基于最新的数据集，研究并比较不同种类的传染病的稳定性，分析传染病防控因素对稳定性的影响。
同时，探讨如何通过控制最大传染率和人群生育率等控制传染病的流行。
三、研究方法本研究采用文献综述和数学建模的方法研究SIR传染病动力系统的稳定性。
文献综述将涉及SIR模型的基本原理和应用场景，以及SIR模型的稳定性理论。
数学建模方面，将以数学模型为基础，通过数学分析和数值分析探索SIR传染病动力系统的稳定性，并讨论其应用。
四、研究意义本研究对于预防和控制传染病具有积极的意义。
首先，本研究可以提供有关传染病的基本信息，帮助政府制定针对传染病的预防和控制政策。
其次，研究SIR传染病动力系统的稳定性可以为卫生工作者提供更加可靠的预测传染病的发展趋势的方法。
最后，研究SIR传染病动力系统的稳定性还可以帮助促进传染病流行控制领域在理论和实践方面的进步。
五、论文结构本研究将分为五个部分。
第一部分将回顾SIR模型的基本原理和应用场景。
一类具有脉冲接种的SIQRS传染病模型稳定性分析
一类具有脉冲接种的SIQRS传染病模型稳定性分析作者：王树忠李冬梅来源：《哈尔滨理工大学学报》2017年第02期摘要：考虑了对易感者周期性接种疫苗和对染病者采取隔离控制疾病措施，建立了一类SIQRS传染病模型，利用脉冲方程理论，给出了无病周期解稳定性及疾病一致持久性的充分条件。
关键词：脉冲接种；无病周期解；稳定性；一致持久性DOI：1015938/jjhust201702014中图分类号： O175.3文献标志码： A文章编号： 1007-2683（2017）02-0072-06Abstract：This paper considers the periodic pulse vaccination of susceptible and the isolation control of the infective， a SEIQR epidemic model is established The sufficient condition for stability of diseasefree periodic solution and permanence of disease are obtained by pulse equation theoryKeywords：pulse vaccination， the diseasefree periodic，stability，permanence1预备知识脉冲微分方程能够描述具有周期性运动在某一点瞬间变化问题，如定期投放杀虫剂，周期性用药治疗疾病，季节性接种疫苗都是一种脉冲现象。
用具有脉冲接种的传染病模型来研究疫苗控制疾病蔓延的问题，能够获得较为真实的疾病发展规律，这对制定疾病防治策略提供了理论依据 [1-4]。
Alberto Donofrio 等人只考虑了接种对人群的影响，研究了脉冲预防接种SIR，SEIR传染病模型，证明了无病周期解的稳定性及模型的持久性，发现了接种对疾病控制的重要作用[5-7]。
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病毒是否发生的阈值； 解析了 SIＲE 对甲型 H1N1 流感传播模型无病平衡点和地方平衡点的稳定性．
关键词： 传染病； 阈值； 平衡点； 稳定性
中图分类号： O175． 26
文献标志码： A
文章编号： 1007 － 0834（ 2019） 01 － 0032 － 05
0 引言
从目前医学界来看，社会上比较公认的直接影响传染病传播的因素，大致有以下几种情况： ①患病者的
－
μI
－
βI
，
（ 4）
S（ 0） = S0 ，I（ 0） = I0
S≥0，I≥0，S + I≤N}是（ 4） 的正向不变域，即当 t = 0 时，从 D 内任意一点出发的
感染者近乎相等的一个平衡状态； 从而，σ = 1 是一个很重要的量，是区分疾病是否流行的一个重要指标，我
们称其为阈值．
2． 2 无病平衡点的稳定性
在（ 2） 式中，前两个方程不含 Ｒ，仅考虑系统
易得知区域 D = {（ S，I）
dS dt
=
－ λSI
+ μ － μS
dI dt
=
λSI
由引言中假设 S（ t） ，I（ t） ，Ｒ（ t） 分别表示 t 时刻这 3 类人员占人口总数 N 的比例，可得到 S + I + Ｒ = 1，
解出 S
=1
－I
－Ｒ
代入（
2）
中
的第二个方程式中有
dI dt
= λ（
1
－I
－ Ｒ）
I
－ μI
－
βI，化
解得
dI dt
=
λI（
1
－
I
－Ｒ
－
μ
+ λ
β）
，令
σ
Ｒ 类人口数 NＲ （ t） 所满足的方程［1］为
dNS dt
=
－ λNSI
+ μN
－ μNS
dN dt
I
=
λNSI
－
μNI
－
βNI
，
（ 1）
dNＲ dt
=
βNI
－
μNＲ
NS （ 0） = NS0 ，NI （ 0） = NI0 ，NＲ （ 0） = NＲ0
收稿日期： 2018 － 07 － 17 基金项目： 河南省高等学校重点科研项目（ 18B790004） 作者简介： 周俊林（ 1972—） 男，山西五寨人，忻州师范学院五寨分院数学系讲师．
Vol． 28 No． 1 Mar． 2019
一类 SIＲE 对甲型 H1N1 流感传播模型的稳定性
周俊林
（ 忻州师范学院五寨分院 数学系，山西 五寨 036200）
摘要： 收集了我国甲型 H1N1 流感病毒实验室确认病例数量的数据，对 SIＲ 模型进行拓展，借助微分方程解析
传染病 SIＲ 模型建立 SIＲE 模型，对甲型 H1N1 流感病毒的传播规律进行研究和预测，得出m I（ t） t→ + ∞
=
1
－
1 σ
＜ 1，这一结论与实际相符，即当每个病人在患
病期间平均传染的人数小于 1 时，随着时间的增加，患者会逐渐减少，最终导致疾病消失； 当每个病人在患病
期间平均传染的人数大于 1 时，随着时间的增加，患者会逐渐增加，但不会无限地增加，而是趋于恢复者和被
患病周期为 1 / β（ t） ； 而考虑死亡，一个患者的平均患病周期为 1 / （ μ（ t） + β（ t） ） ． ⑨S0 ，I0 ，Ｒ0 分别表示 t = 0 时易感类人群 S、患者类人群 I、恢复类人群 Ｒ 所占人口总数．
1 问题的提出
近年来，甲型 H1N1 流感病毒正成为人们关注的焦点，通过相关网站收集数据，在传染病 SIＲ 模型的基
第1 期
周俊林： 一类 SIＲE 对甲型 H1N1 流感传播模型的稳定性
33
由（ 1） 消去常数 N 得 SIＲ 模型
dS dt
=
－ λSI
+μ
－ μS
dI dt
=
λSI
－
μI
－
βI
．
（ 2）
dＲ dt
=
βI
－
μＲ
S（ 0） = S0 ，I（ 0） = I0 ，Ｒ（ 0） = Ｒ0
础上进行拓展，建立一个 SIＲE 模型，对甲型 H1N1 流感传播模型的稳定性进行预测．
2 SIＲ 模型
2． 1 SIＲ 模型的建立
在传染病 SIＲ 模型中，把总人口分为 3 类： S 类、I 类和 Ｒ 类，患者病愈后可以产生永久性免疫力而变为
Ｒ 类，不再成为 S 类． 据 SIＲ 模型中各类人员的相互关系，可得 t 时刻 S 类人口数 NS（ t） 、I 类人口数 NI （ t） 和
数量； ②易感者的数量； ③患病者在人群中的分布情况； ④病毒的传染力； ⑤病毒的传播形式； ⑥个体对病毒
的免疫力． 在建立传染病模型时，将人口分为 3 类： 第 1 类易感者，记作 S 类； 第 2 类患病者，记作 I 类； 第 3
类恢复者，记作 Ｒ 类．
本文基于以下几个假设： ①总人口数为常数，记作 N，并定义 S（ t） ，I（ t） ，Ｒ（ t） 分别表示 t 时刻这 3 类人
健康者总人口数的比例，所谓有效接触是指病人接触健康人并使其成为病毒潜伏者． ⑥潜伏期日发病率为
α（ t） ，即每个潜伏期病人平均每天发病的人数占处于潜伏期的病人总数的比例． ⑦患者的恢复率为β（ t） ，即
退出传染系统的人数占当天病人总数的比例，且与患者的数量成正比． ⑧如果不考虑死亡，一个患者的平均
=
μ
λ +
β，则
dI dt
=
λI（
1
－I
－Ｒ
－
1） σ
．
（ 3）
又由前面假设，λ
为单位时间内一个患者与其他成员的接触率，μ
1 +
β为考虑死亡时一个患者的平均患病
周期，故
σ
=
μ
λ +
β表示所有人都是易感者时，一个患者在其患病期间平均传染的人数，也称为再生数．
由（
3）
易得： 当 σ ＜ 1 时，lim I（ t） t→ + ∞
第 28 卷 第 1 期 2019 年 3 月
河南教育学院学报（ 自然科学版） Journal of Henan Institute of Education （ Natural Science Edition）
doi： 10． 3969 / j． issn． 1007 － 0834． 2019． 01． 008
员占人口总数 N 的比例，且 S（ t） ，I（ t） ，Ｒ（ t） 是连续可微的． ②假设在一定时期内人口出生率与死亡率相
同，记作 μ（ t） ，则人的平均寿命为 1 / μ（ t） ． ③在人群中 3 类成员均匀分布，传播方式为接触性传播． ④新生
婴儿全为易感类成员． ⑤一个患者与其他成员的日接触率为 λ（ t） ，即每个病人平均每天有效接触的人数占