安徽省皖江名校联盟2019届高三开年摸底大联考数学(理)试题含答案

第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1. 已知集合 A={x∈R|x2-3x≥0}，B={-2，2}，则（ RA）∩B= A. B. {-2} C. {2} D. {-2，2}
1
2. 已知复数 z 满足（z+4i）·（1-i）=3+2i（i 为虚数单位），则 z 的共轭复数所对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设向量 a=（m，0），b=（1，1），且|b|2=|a|2-|a-b|2，则 m= A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下 山，则他等待时间不多于 5 分钟的概率为
P 5 1 概率 30 6 .故选 B.
5.【解析】由题知： a2 a3 a4 14, a2 a4 2a3 2 ，故 a3 4, a2 a4 10 ，
1 q2 ∴q

5 2 ，即 2q2
5q 2
0 ，∴ q

2或q

1 2
.
6.【解析】 2018 年 9 12 月该市邮政快递业务量完成件数约为
（I）求曲线 C1，C2 的极坐标方程；
（II）在（I）的条件下，若射线 θ= （p≥0）与曲线 C1，C2 分别交于 A，B 两点（除极点外），且 有定点 M（4，0），求△MAB 的面积。
23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f（x）=ln（|x-a|+|x+ |）。
22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
（α 为参 90º 得到线段 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2。以坐标原点 O 为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系。
A类
B类
C类
男生
x
5
3
女生
y
3
3
（I）求出表中 x，y 的值；
（II）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有 90%的把握认为“参加课外阅读与 否”与性别有关；
男生
女生
总计
不参加课外阅读
参加课外阅读
总计
（III）从抽出的女生中再随机抽取 3 人进一步了解情况，记 X 为抽取的这 3 名女生中 A 类人数和 C 类人数差的绝对值，求 X 的数学期望。
已知点 A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆 C： ι：x= 的距离顺次成等差数列。
上两个不同的点，A，M（4， ），B 到直线
8
（I）求 x1+x2 的值； （II）线段 AB 的中垂线 m 交 x 轴于 N 点，求直线 MN 的方程。
20. （本小题满分 12 分）
某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的 1200 名男生和 800 名女生中按分层抽样的 方法抽取 20 名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查。现在按课外阅读时间的情况将学生分 成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过 3 小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过 3 小时）。调查结果如下表：
皖江名校联盟 2019 届高三开年摸底大联考 数学（理科）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 2 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项：
1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。 2. 答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3. 答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。 作图题可用铅笔在答题卡规定位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题 号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
9
附：K2=
P（K2≥k0）
0.10
k0
2.706
21. （本小题满分 12 分）
0.05 3.841
0.01 6.635
已知函数 f（x）=x（ex-a）-alnx，a∈R。
（I）当 a=e 时，求 f（x）的单调区间；
（II）若 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围。
请考生从第 22、23 题中任选一题做答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂 黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评 分。
4
8. 已知（ax+b）7 的展开式中 x5 项的系数与 x6 的系数分别为 189 与-21，则（ax+b）5 展开式所有项 系数之和为 A. 64 B. -64 C. 32 D. -32 9. 某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为 1，则该几何体的体积为 A. 8π B. C. D. 12π
2
32
3.
10.【解析】由
e

c a

2
，得
c

2a,
b

3a ，故线段 MN 所在直线的方程为 y
3(x a) ，又
点 P 在线段 MN 上，可设 P(m, 3m 3a) ，其中 m [a, 0] ，
由于 F1(c, 0), F2 (c, 0) ，即 F1(2a, 0), F2 (2a, 0) ，
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12. 正三棱锥 P-ABC 中，已知点 E 在 PA 上，PA，PB，PC 两两垂直，PA=4，PE=3EA，正三棱锥 PABC 的外接球为球 O，过 E 点作球 O 的截面 α，则 α 截球 O 所得截面面积的最小值为
6
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
13. 若实数 x，y 满足条件
，则 z=3x-y 的最大值为________。
14.
设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1=1，an+1+Sn·Sn+1=0，则数列{Sn·Sn+1}的前 10 项和为
________。
15.
过抛物线 C：x2=4y 的焦点 F 的直线 ι 交 C 于 A，B，点 A 处的切线与 x，y 轴分别交于点
如图，在平面四边形 ABCD 中，
∠BAD=90º，∠D=60º，CD=1，AD=3。
7
（I）求 sin∠CAD； （II）若 AC=BC，求 BD。 18. （本小题满分 12 分） 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为梯形，AB//CD，BC⊥AB，AB=2 ，BC= ，CD=PC= 。
（I）点 E 在线段 PB 上，满足 CE//平面 PAD，求 的值。 （II）已知 AC 与 BD 的交点为 M，若 PM=1，且平面 PAC⊥平面 ABCD，求二面角 P-BC-M 平面角的 余弦值。 19. （本小题满分 12 分）
2.【解析】∵ 1 i
2 2 ，∴ 2 2 ．
b 2 a b 2 a 2 b a b b a b 0
3.【解析】由题意知：
，
，即
，
∵
b

1,1 ，
a

b

m
1,
1 ，∴
m

2
4.【解析】此人在 25 分到 30 分或 55 分到 60 分之间的 5 分钟内到达，等待时间不多于 5 分钟，∴
3
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二 枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至 尽虚减一，即得。”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数 n 是 8 的整数倍时，均可 采用此方法求解。如图是解决这类问题的程序框图，若输入 n=24，则输出的结果为 A. 47 B. 48 C. 39 D. 40


得 PF1 (2a m, 3m 3a), PF2 (2a m, 3m 3a) ，
所以 PF1 PF2

4m2
6ma a2

4(m
3 4
a)2
13 4
a2 ．由于 m [a, 0] ，可知当 m


3 4
A.
B.
C.
D. 5. 已知公比为 q 的等比数列{an}中，前 4 项的和为 a1+14，且 a2，a3+1，a4 成等差数列，则公比 q= A. 1
2
B. C. 1 或-1 D. 2 或 [:] 6. 2018 年 9～12 月某市邮政快递业务量完成件数较 2017 年 9～12 月同比增长 25%，下图为该市 2017 年 9～12 月邮政快递业务量柱形图及 2018 年 9～12 月邮政快递业务量结构扇形图，根据统计 图，给出下列结论： ①2018 年 9～12 月，该市邮政快递业务量完成件数约 1500 万件； ②2018 年 9～12 月，该市邮政快递同城业务量完成件数与 2017 年 9～12 月相比有所减少； ③2018 年 9～12 月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过 75%，其中正确结论的个数 为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
a
时，
PF1 PF2
M，N，若△MON 的面积为 ，则|AF|=________。