概率论与数理统计 张天德版 第2章 课件 例题
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概率论与数理统计 张天德版 第2章 课件 例题
f (x)
o
a
连续型随机变量的一个重要特点:
连续型r.v取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
P X a 0 .
这是因为
0 P X a P a x X a F a F a x 当 x 0 时 , 得到 P X a 0 .
f ( x ) dx P ( X a ) 1
而 {X=a} 并非不可能事件, { X R {a }} 并非必然事件 可见， 由P(A)=0, 不能推出 A
由P(B)=1, 不能推出 B=
例 1 设 随 机 变 量X 的 密 度 函 数 为
0 x1 x f x 2 x 1 x 2 0 其它
2 x
f t dt f t dt f t dt f t dt
0 1 2
0
1
tdt 2 t dt 1
0 1
1
2
可得随机变量 X 的分布函数
0 x0 x2 0 x 1 F x 2 2 x 2 x 1 1 x 2 2 1 2 x
P (1500 X 1700 ) P (1500 X 2000 )
1700
1500
1000 dx 2 x
2000
1500
1000 dx 2 x
4 51
1 24 0.4706 . 6 51
(3) 3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相 互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概 率. 一个电子管使用1500小时后只有两个结果：A（坏掉， 表示一个电子管的寿命小于1500小时）和其对立事件 设在使用的最初1500小时三个电子管中 c , 损坏的个数为 Y ~ b 3, P ~ B 3, 1 f ( x) x 2 3
o
a
连续型随机变量的一个重要特点:
连续型r.v取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
P X a 0 .
这是因为
0 P X a P a x X a F a F a x 当 x 0 时 , 得到 P X a 0 .
f ( x ) dx P ( X a ) 1
而 {X=a} 并非不可能事件, { X R {a }} 并非必然事件 可见， 由P(A)=0, 不能推出 A
由P(B)=1, 不能推出 B=
例 1 设 随 机 变 量X 的 密 度 函 数 为
0 x1 x f x 2 x 1 x 2 0 其它
2 x
f t dt f t dt f t dt f t dt
0 1 2
0
1
tdt 2 t dt 1
0 1
1
2
可得随机变量 X 的分布函数
0 x0 x2 0 x 1 F x 2 2 x 2 x 1 1 x 2 2 1 2 x
P (1500 X 1700 ) P (1500 X 2000 )
1700
1500
1000 dx 2 x
2000
1500
1000 dx 2 x
4 51
1 24 0.4706 . 6 51
(3) 3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相 互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概 率. 一个电子管使用1500小时后只有两个结果：A（坏掉， 表示一个电子管的寿命小于1500小时）和其对立事件 设在使用的最初1500小时三个电子管中 c , 损坏的个数为 Y ~ b 3, P ~ B 3, 1 f ( x) x 2 3
概率论与数理统计 张天德版 第2章 课件 例题
当0 < y < 1 时
2x 2 , 0 x f X ( x) 0, 其他
FY ( y ) FX (arcsin y ) FX (0) FX ( ) FX ( arcsin y )
1 2 arcsin y 2( arcsin y ) fY ( y ) 2 2 2 1 y 2 2 1 y
其中 x = h(y) 是 y =g(x) 的反函数，(，)是
y =g(x), a < x < b 的值域。
I 2 , I n
上逐段严格单调，其反函数分别为
h1 y , h 2 y , hn ( y )
1 ( y b) 1 FX a
1 ( y b) 1 1 FX f Y ( y ) f X ( y b) a a a X 1 ( y b) 当a < 0 时， FY ( y ) P a
例8 设 X 的概率密度为
2x , 0 x 2 f X ( x) 0, 其他 求Y sin X 的概率密度
解 由图可知, Y 的取 值范围为(0,1) 故当 y 0 或 y 1 时 f Y (y) = 0
y sin x (0 x ) y•
y ]
y
0, y0 FY ( y ) FX ( y ) FX ( y ), y 0
故
fY (y )
0,
1 2
y0
X
f y
( y ) f X ( y ) ,
y0
fY (y )
0,
1 e 1/ 2 2 y
第二章2《概率论与数理统计教程》PPT课件
4 -5
联合概率函数的性质
1) p(xi , yj ) 0,
2) p(xi , yj )1;
ij
3) P(X,Y)D p(xi , yj ); (xi ,yj )D
若二维随机r.v.的联合概率函数 p(xi , yj )知道，则 联合概率分布函数为
F(xy, )p(i,xyj) xix yjy
4 -6
y
注：若将二维随机变量（X，Y） 看作是平面上的随机点的坐标，
（x，y）
则分布函数在点（x，y）处的函 数值，就是随机点（X，Y）落在 如图所示的以点（x，y）为顶点 而位于该点左下方的无穷矩形区 域4内- 3的概率
O
x
联合分布函数的性质
1) 0F(x,y)1
2）F（x，y）分别是变量x，y的单调不减函数； 3）对任意x，y，有
例1. 将一枚均匀的硬币抛掷4次, X表示正面向上的 次数, Y表示反面朝上次数, 求(X,Y)的联合概率分布.
例2. 设随机变量Y~U（0，1），令
0, |Y|1 0, |Y|2 X1 1, |Y|1,X2 1, |Y|2
求（X1，X2）的联合概率分布。 例3. 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
XY 0 1
-1 0.05 0.1
0
0.1 0.2
4-7 1
a 0.2
2
求:(1)常数a的取值;
0.1
(2)P(X≥0,Y≤1);
0.1
0.05 (3) P(X≤1,Y≤1)
二维连续随机变量的联合概率密度
定义:
P (xX x x ,y Y y y)
f(x ,y)lim
y x 0 0
x y
若此极限存在，则称此极限为二维连续随 机变量（X，Y）的联合概率密度。
联合概率函数的性质
1) p(xi , yj ) 0,
2) p(xi , yj )1;
ij
3) P(X,Y)D p(xi , yj ); (xi ,yj )D
若二维随机r.v.的联合概率函数 p(xi , yj )知道，则 联合概率分布函数为
F(xy, )p(i,xyj) xix yjy
4 -6
y
注：若将二维随机变量（X，Y） 看作是平面上的随机点的坐标，
（x，y）
则分布函数在点（x，y）处的函 数值，就是随机点（X，Y）落在 如图所示的以点（x，y）为顶点 而位于该点左下方的无穷矩形区 域4内- 3的概率
O
x
联合分布函数的性质
1) 0F(x,y)1
2）F（x，y）分别是变量x，y的单调不减函数； 3）对任意x，y，有
例1. 将一枚均匀的硬币抛掷4次, X表示正面向上的 次数, Y表示反面朝上次数, 求(X,Y)的联合概率分布.
例2. 设随机变量Y~U（0，1），令
0, |Y|1 0, |Y|2 X1 1, |Y|1,X2 1, |Y|2
求（X1，X2）的联合概率分布。 例3. 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
XY 0 1
-1 0.05 0.1
0
0.1 0.2
4-7 1
a 0.2
2
求:(1)常数a的取值;
0.1
(2)P(X≥0,Y≤1);
0.1
0.05 (3) P(X≤1,Y≤1)
二维连续随机变量的联合概率密度
定义:
P (xX x x ,y Y y y)
f(x ,y)lim
y x 0 0
x y
若此极限存在，则称此极限为二维连续随 机变量（X，Y）的联合概率密度。
概率论与数理统计第2章ppt课件
1 3x
0
1
2
3X
处的离跳散跃型高随度机恰变为量P{的X=分x布i}.函数为跳跃函数，在xi
§4. 连续型随机变量的概率密度
1. 定义：对于随机变量X的分布函F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F(x)xf(t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称密度函数。
精选课件
21
例4. 3个人抓阄数。
解：X的概率分布: P{X=1}=1/3
P{X=2}=2/3×1/2=1/3
P{X=3}=2/3×1/2×1/1=1/3
X的分布函数:
Y
0 x <1
1
1/3 1 x <2
2/ 3
F(x)=
2/3 2 x <3 1/ 3
则：P{X=k} Cnk pnkqnnk 其中：qn=1－pn
(令＝μV; pn=μ△V＝μV/n= /n)：
考虑当 n ＋时
P{X=k} =nl imCnkpnkqnnk
limn! ()k(1)nk
nl n i m k1 k !!n(nn (n n k1)) !n (n n kn 1)k((11 n))kn
k
k!
k=0、1、2、3、……
n
Poissn定理：n为正整数，pn=/n， >0。 则对任一非负整数k有：
nl im Cnkpnkqnnk
k
k!
其中：＝ npn.
例3. 某人打靶命中率为0.001, 重复射击 5000次，求至少命中2次的概率。
解：设X为至命中次数。
P(X2) =1－P(X<2) =1－P(X=0)－P(X=1)
概率论与数理统计--第二章PPT课件
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
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第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页
概论论与数理统计 第2章_PPT课件
1 2
分别表示两事件
发生的概率.
一般地,对任意实数集 I ,随机变量 X 在 I 上取值常写成 {X I} ,
它表示事件 {e | X (e) I} ,此时有
P{X I} P{e | X (e) I} .
§2.2 离散型随机变量及其分布
定 义 2.3 设 离 散 型 随 机 变 量 X 所 有 可 能 取 值 为 xi (i 1, 2, ) ,则称 X 取 xi 的概率
X ~ P() . 显然有下式成立：
(1) P{X k} 0 ( k 0,1, 2, );
(2) P{X k 0
k}
e
k 0
k
k!
e k
k0 k !
e
e
1.
定理 2.1(泊松定理)对二项分布 b(n, p) ,设 np , 0 ,
则
lim
n
Ckn
pk
(1
p)nk
k e (k
系.设一个随机试验只有两个结果 A 和 A ,且 P(A) p ,
现将试验独立进行 n 次,记 X 为 n 次试验中 A 出现的次
数,则 X ~ b(n, p) ,记 Xi 为第 i 次试验中 A 出现的次数,
1, 第i次试验中A 出现即Xi Nhomakorabea0,
第i次试验中A
不出现
,i
1, 2,
, n ,则 Xi ~ b(1, p) ,
对应数.这样随机试验的结果就是随机变化的变量,把随机试
验的结果数量化,便于应用数学知识研究随机现象,使对随机
现象的研究更深入和简单.
▪
例2.1 抛掷一枚硬币两次,观察出现正面(记为 H )
和反面 (记为T )的情况.
概率论与数理统计课件第二章
P( X 1) 1 P( X 0) 1 C 0.1 0.9
0 n 0 n 0
1 0.9 0.9
n
n 22.
例4. 某车间有5台车床,由于种种原因(由
于装、卸工作等),时常需要停车.设各 台车床的停车或开车是相互独立的. 若车床在任一时刻处于停车状态的 概率是1/3,求车间中恰有一台车床处 于停车状态的概率。 解：X:处于停车状态的车床数 X~B(5,1/3)
当0 x 1时，F ( x) P( X x) P( X 0) 0.3
当1 x 2时，F ( x) P( X x) P( X 0) P( X 1) 0.9
当x 2时，F ( x) P( X 0) P( X 1) P( X 2) 1
k nk CM CN M P( X k ) , n CN
k 0,1,..., l ,
其中n≤N,M<N,l=min{n,M},n,N,M均为正 整数,则称X服从参数为N,M,n的超几何分 布，记作X~H(N,M,n).
例8. 某班有学生20名，其中有5名女生， 今从班上任选4名学生去参观展览， 求被选到的女同学人数X的分布律。 X~H(20,5,4)
Ω X R X(w)
w
随机变量的分类
离散型随机变量
有限个或可列个 可能值
随 机 多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间.
许多随机事件都可以通过形如{X≤x}的 事件来表示:
1 { X x} X x k k 1
(5) F ( x)是连续函数, 若f ( x)在x0连续, 有 F ( x0 ) f ( x0 ) .
例1. 设连续型随机变量X的概率密度为
《概率论与数理统计》课件 概率学与数理统计 第二章
作为某一个离散型随机变量的分布律。
为了直观地表达分布律,我们还可以作类似图2-1的分布律图。
图2-1
图2-1中 xi 处垂直于 x 轴的线段高度为 pi，它表示 X 取 xi 的概 率值。
例2.1 一盒中装有编号为1，2，3，4，5的五个球,现从中任意取三 个球，求所抽出三个球的中间号码 X 的概率分布。
Pa X b PX b PX a Fb 0 Fa
Pa X b PX a Pa<X b
Fa Fa 0 Fb Fa
Fb Fa 0
随机变量的分类:
1. 离散型随机变量：随机变量只取数轴上的有限个或可列个点。 2. 连续型随机变量：随机变量的可能取值充满数轴上的一个或 若干区间。 3. 奇异型随机变量：既不是离散型随机变量，也不是连续型随 机变量。在理论上很有价值，而实际问题中很少有应用。
解 以 p 表示每盏灯禁止汽车通过的概率，显然 X 的可能取值
为0，1，2，3，4，易知 X 的分布律为
表2-3
或写成
P X k 1 pk p，k 0，1，2，3 P X 4 1 p4
将 p 0.4， p 0.6 代入上式，所得结果如表2-4所示。
表2-4
二、常用离散型随机变量的分布
1
PX 2 1 PX 2 1 PX k k 0
1 0.9995000 50.9994999
≈1 50 e5 5e5 0! 1!
查表可得 P X 2 1 0.00674 0.03369 0.95957
例2.6 某人进行射击，设每次射击的命中率为，独立射击400次， 试求至少击中两次的概率。
记作 X 0 -1 分布。写成分布律表形式见表2-5。
表2-5
对于一个随机试验，若它的样本空间只包含两个元素，
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X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2
例1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字， X 表示取出的5个数字中的最大值. 试求X 的 分布列
解: X 的取值为5，6，7，8，9，10. 并且
P
X k
C4 k 1
C150
k 5， 6， ， 10
即 X 的分布列为
X 5 6 7 8 9 10
X0
1
2
3
4
5
P1 3 1 4 3 4
16 16 16 16 16 16
则
P X 2 P X 0 P X 1 P X 2
1 31 16 16 16
5 16
例3（续）
P X 3 P X 4 P X 5
34 16 16
7 16
P 0.5 X 3 P X 1 P X 2
X
a1 a2 an
pk
1 1 1 nn n
其中 (ai a j ), (i j) ,则称 X 服从等可能分布.
实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有 X 1 2 3 4 5 6
pk
1 1 11 6 6 66
11 66
3. 几何分布
若随机变量 X 的分布律为
X 12 k pk p qp q k1 p
一、离散型随机变量的分布律 定义1
若随机变量 X 所有可能的取值为有限个或可 列无穷多个，则称X为离散型随机变量。否则称 为非离散型随机变量。
注： 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要 知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个 值的概率.
例
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量
X可能取的值是0,1,2
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
2.等可能分布
如果随机变量 X 的分布律为
第二章 随机变量及其分布
§1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布律 §3 随机变量的分布函数 §4 连续型随机变量及其概率密度 §5 随机变量函数的分布
§1 随机变量 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一 个数）. 例 抛掷骰子,观察出现的点数.
e S {1, 2,3, 4,5, 6} 样本点本身就是数量 X (e) e
31 16 16
4 16
例4 设随机变量 X 的分布律为
PX
n
c
1 4
n
试求常数c
n 1， 2，
解: 由分布列的性质，得
1 P
n1
X n
c
n1
1 4
n
该级数为等比级数，故有
1
1
n1
PX
n
c
n1
1 4
n
c
1
4
1
所以 c 3
4
三、常见离散型随机变量的概率分布
则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，…．
Y 100
表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；
50 Y 100
表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一 随机事件． 注意 Y 的取值是可列无穷个！
例 4 观察灯泡的寿命（单位：小时）， 样本空间: S={t | t ≥ 0}
P1
5 15 35 70 126
252 252 252 252 252 252
例2 将 1枚硬币掷 3次，X 表示出现的正面
次数与反面次数之差. 试求X 的分布列
解: X 的取值为-3，-1，1，3
则 X 的分布列为
X
-3 -1
1
3
P
1 8
3 8
3 布列为
……
{X=12}={(6,6)}。…………………P{X=12}=1/3 6
随机变量X的取各个可能值的概率列于下表：
X2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/3
6
例3
上午 8:00～12:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数．
例 袋中有 3只黑球，2只白球，从中任意取出 3只
球，观察取出的3只球中的黑球的个数。我们将
3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作
4，5号，则该试验的样本空间为 分析
样本空间
1， 2， 3 1， 2， 4 1， 2， 5
S
=
1， 2，
3， 3，
4 4
1， 3， 5 2， 3， 5
1，
4，
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
计算 P{X =k },k = 1,2, …，
设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
于是 P{X=1}=P(A1)=p,
P{X 2}P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 ) (1 p)p
P{X 3}P( A1 A2 A3) (1 p)2p
1.两点分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
X
X (e)
0,
1
当e 当e
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X0 1
1
1
pk 2
2
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
则称之为离散型随机变量X的概率函数或概率分布或 分布列（律）。
亦可用下面的概率分布表来表示
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
或 X ~ x1 x2 xk p1 p2 pk
分布律的性质
pk 0, k 1,2,
非负性
pk 1
k 1
归一性
S {X 取遍所有可能值} {X xk}
在什么样情况下定义何种随机变量要根据实际要解 决什么问题而定。
各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系— — 即 相互独立
离散型
r.v. 分类 非离散型
其中一种重要的类型为
连续性 r.v.
引入 r.v.
重要意义
◇ 任何随机现象可
被 r.v.描述
◇ 借助微积分方法 将讨论进行到底
§2 离散型随机变量及其分布律
I 伯努利(Bernoulli)试验模型
设随机试验满足： 1°在相同条件下进行n次重复试验； 2 °每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p. 3°各次试验是相互独立的， 则称这种试验为伯努利概型或n重伯努利试验
取值情况来刻划随机事件。
例如 e：X e = 2=X = 2
表示取出2个黑球这一事件；
X 2
表示至少取出2个黑球这一事件，等等。
由此看到，随机试验的结果可以用数量来示， 因此引入随机变量的概念
定义
设随机试验的样本空间 S = { e } ， X = X (e)是定义在样本空间S上的实值 单值函数，称
概率特性 X 以一定的概率取值
{e, X (e) x},
事件及 事件概率
随机变量及其 取值规律
例1 一批产品中任意抽取20件作质量检验，作为 检验结果的合格品的件数用X表示，则X是随机变 量。X的一切可能取值为
0，1，2，…，20
{X=0}表示事件“抽检的20件产品中没有合格品”； {X=1}表示事件“抽检的20件产品中恰有1件合格 品”； …… {X=k}表示事件“抽检的20件产品中恰有k件合格 品”。
设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
P{ X k } P ( A1 A2 Ak1 Ak ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak1 ) P ( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
所以 X 服从几何分布.
k1,2,
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
A {点数小于3} {e, X (e) 3},
e.
X (e)
S
R
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就 是说，把试验结果数值化.
则称随机变量X服从超几何分布 ，记作 X ~ H (n, N , M )
从§1.4例3可知，设一批产品共N件，其 中有M件次品，从这批产品中“一次抽取n件样品” 或“不放回地依次抽取n件样品”，则样品中的次品 数：
X= 0,1…, l, l =min(M, n)
X ~ H (n, N , M )
5.二项分布
几何分布背景：
随机试验的可能结果只有2种，A与 A
试验进行到首次A发生为止的次数X，{X=k}即
k次试验，前k-1次失败，第k次成功。
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
4 超几何分布
设随机变量X的概率函数为
P(X
m)
C
m M
C
nm NM
C
n N
例1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字， X 表示取出的5个数字中的最大值. 试求X 的 分布列
解: X 的取值为5，6，7，8，9，10. 并且
P
X k
C4 k 1
C150
k 5， 6， ， 10
即 X 的分布列为
X 5 6 7 8 9 10
X0
1
2
3
4
5
P1 3 1 4 3 4
16 16 16 16 16 16
则
P X 2 P X 0 P X 1 P X 2
1 31 16 16 16
5 16
例3（续）
P X 3 P X 4 P X 5
34 16 16
7 16
P 0.5 X 3 P X 1 P X 2
X
a1 a2 an
pk
1 1 1 nn n
其中 (ai a j ), (i j) ,则称 X 服从等可能分布.
实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有 X 1 2 3 4 5 6
pk
1 1 11 6 6 66
11 66
3. 几何分布
若随机变量 X 的分布律为
X 12 k pk p qp q k1 p
一、离散型随机变量的分布律 定义1
若随机变量 X 所有可能的取值为有限个或可 列无穷多个，则称X为离散型随机变量。否则称 为非离散型随机变量。
注： 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要 知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个 值的概率.
例
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量
X可能取的值是0,1,2
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
2.等可能分布
如果随机变量 X 的分布律为
第二章 随机变量及其分布
§1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布律 §3 随机变量的分布函数 §4 连续型随机变量及其概率密度 §5 随机变量函数的分布
§1 随机变量 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一 个数）. 例 抛掷骰子,观察出现的点数.
e S {1, 2,3, 4,5, 6} 样本点本身就是数量 X (e) e
31 16 16
4 16
例4 设随机变量 X 的分布律为
PX
n
c
1 4
n
试求常数c
n 1， 2，
解: 由分布列的性质，得
1 P
n1
X n
c
n1
1 4
n
该级数为等比级数，故有
1
1
n1
PX
n
c
n1
1 4
n
c
1
4
1
所以 c 3
4
三、常见离散型随机变量的概率分布
则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，…．
Y 100
表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；
50 Y 100
表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一 随机事件． 注意 Y 的取值是可列无穷个！
例 4 观察灯泡的寿命（单位：小时）， 样本空间: S={t | t ≥ 0}
P1
5 15 35 70 126
252 252 252 252 252 252
例2 将 1枚硬币掷 3次，X 表示出现的正面
次数与反面次数之差. 试求X 的分布列
解: X 的取值为-3，-1，1，3
则 X 的分布列为
X
-3 -1
1
3
P
1 8
3 8
3 布列为
……
{X=12}={(6,6)}。…………………P{X=12}=1/3 6
随机变量X的取各个可能值的概率列于下表：
X2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/3
6
例3
上午 8:00～12:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数．
例 袋中有 3只黑球，2只白球，从中任意取出 3只
球，观察取出的3只球中的黑球的个数。我们将
3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作
4，5号，则该试验的样本空间为 分析
样本空间
1， 2， 3 1， 2， 4 1， 2， 5
S
=
1， 2，
3， 3，
4 4
1， 3， 5 2， 3， 5
1，
4，
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
计算 P{X =k },k = 1,2, …，
设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
于是 P{X=1}=P(A1)=p,
P{X 2}P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 ) (1 p)p
P{X 3}P( A1 A2 A3) (1 p)2p
1.两点分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
X
X (e)
0,
1
当e 当e
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X0 1
1
1
pk 2
2
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
则称之为离散型随机变量X的概率函数或概率分布或 分布列（律）。
亦可用下面的概率分布表来表示
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
或 X ~ x1 x2 xk p1 p2 pk
分布律的性质
pk 0, k 1,2,
非负性
pk 1
k 1
归一性
S {X 取遍所有可能值} {X xk}
在什么样情况下定义何种随机变量要根据实际要解 决什么问题而定。
各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系— — 即 相互独立
离散型
r.v. 分类 非离散型
其中一种重要的类型为
连续性 r.v.
引入 r.v.
重要意义
◇ 任何随机现象可
被 r.v.描述
◇ 借助微积分方法 将讨论进行到底
§2 离散型随机变量及其分布律
I 伯努利(Bernoulli)试验模型
设随机试验满足： 1°在相同条件下进行n次重复试验； 2 °每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p. 3°各次试验是相互独立的， 则称这种试验为伯努利概型或n重伯努利试验
取值情况来刻划随机事件。
例如 e：X e = 2=X = 2
表示取出2个黑球这一事件；
X 2
表示至少取出2个黑球这一事件，等等。
由此看到，随机试验的结果可以用数量来示， 因此引入随机变量的概念
定义
设随机试验的样本空间 S = { e } ， X = X (e)是定义在样本空间S上的实值 单值函数，称
概率特性 X 以一定的概率取值
{e, X (e) x},
事件及 事件概率
随机变量及其 取值规律
例1 一批产品中任意抽取20件作质量检验，作为 检验结果的合格品的件数用X表示，则X是随机变 量。X的一切可能取值为
0，1，2，…，20
{X=0}表示事件“抽检的20件产品中没有合格品”； {X=1}表示事件“抽检的20件产品中恰有1件合格 品”； …… {X=k}表示事件“抽检的20件产品中恰有k件合格 品”。
设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
P{ X k } P ( A1 A2 Ak1 Ak ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak1 ) P ( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
所以 X 服从几何分布.
k1,2,
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
A {点数小于3} {e, X (e) 3},
e.
X (e)
S
R
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就 是说，把试验结果数值化.
则称随机变量X服从超几何分布 ，记作 X ~ H (n, N , M )
从§1.4例3可知，设一批产品共N件，其 中有M件次品，从这批产品中“一次抽取n件样品” 或“不放回地依次抽取n件样品”，则样品中的次品 数：
X= 0,1…, l, l =min(M, n)
X ~ H (n, N , M )
5.二项分布
几何分布背景：
随机试验的可能结果只有2种，A与 A
试验进行到首次A发生为止的次数X，{X=k}即
k次试验，前k-1次失败，第k次成功。
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
4 超几何分布
设随机变量X的概率函数为
P(X
m)
C
m M
C
nm NM
C
n N