命题、定理与证明(华师版)
《定理与证明》word教案 (公开课获奖)2022华师大版
定理与证明教学目标1.知识与技能：了解命题、基本事实、定理的含义；理解证明的必要性.2.过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识.3.情感、态度与价值观：初步感受基本事实化方法对数学发展和人类文明的价值.重点与难点1.重点：知道什么是基本事实，什么是定理2.难点：理解证明的必要性.教学过程一、复习引入教师讲解：前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了.这节课，我们将探究怎样证明一个命题是真命题.二、探究新知（一）基本事实教师讲解：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实.我们已经知道下列命题是真命题：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；全等三角形的对应边、对应角相等.在本书中我们将这些真命题均作为基本事实.（二）定理教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的.从而说明证明的重要性.1、教师讲解：请大家看下面的例子：当n=1时，（n2-5n+5)2=1;当n=2时，（n2-5n+5)2=1；当n=3时，（n2-5n+5)2=1.我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5)2=25.2、教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞ b 时，a2＞ b2.这个命题是真命题吗？［答案：不正确，因为3＞ -5，但3 2 ＜（-5）2］教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质.但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性.也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.教师讲解：数学中有些命题可以从基本事实出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.(三）例题与证明三、随堂练习课本练习第1、2题.四、课时总结1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做基本事实.2、用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理.五、布置作业课本习题13.1第3题；补充题.有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
八年级数学上册 13.1 命题、定理与证明 如何寻找命题的条件和结论素材 (新版)华东师大版
如何寻找命题的条件和结论学习了“命题”以后，细心的同学会发现，课本中给出的很多命题都省略了“如果…，那么…”，因此使它的条件和结论不明显，对于这类命题，要经过分析，写成“如果…，那么…”的形式，才能准确地把握其条件和结论．下面就如何把命题改写成“如果…，那么…”谈点看法，供同学们参考．任何命题的结构都具有固定的形式，我们遇到的问题都是由题设和结论两部分组成。
题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．因此，命题常用“如果…… ，那么……”或“若…… ，则……”的形式表达，具有这种形式的命题中，“如果”或“若”引出的部分是条件，“那么”或“则”引出的部分是结论。
如果一个命题不是这种形式，我们就要将他们改写为“如果…… ，那么……”或“若…… ，则……”的形式，在改写前下要分出题设和结论，必要时可以结合图形来区分。
下面举例来说明。
例请将下列命题写成“如果…… ，那么……”的形式，并写出条件和结论．（1）平行于同一条直线的两条直线平行．（2）互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直．分析：我们可以逆向思考，即（1）结论应为“平行”，那么什么平行呢？一般是两直线互相平行。
那么满足什么样的条件的两直线？可得条件是两条直线平行于同一条直线。
（2）结论应为“互相垂直”，那么什么互相垂直呢？一般是两条线（直线、射线或线段）互相垂直。
那么满足什么样的条件的两线互相垂直呢？可得条件是两条射线是互为邻补角的两个角的角平分线。
这样通过逐步逆向设问的方法可以帮助我们确定条件和结论，最后用完整的文字语言写出来即可。
解：（1）改写成“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．”条件是：两条直线平行于同一条直线；结论是：这两条直线平行．（2）改写成“如果两条射线是互为邻补角的两个角的角平分线，那么这两条射线互相垂直．”条件是：两条射线是互为邻补角的两个角的角平分线；结论是：这两条射线互相垂直点评：在改写命题时，不是机械地在原命题中添上“如果”和“那么…”，而要使改写后命题的实质不变，条件和结论明朗化，主要要求为（1）改写后的命题与改写前的命题的内容要一致；（2）改写后的命题的句子要完整、语句要通顺，必要时，要对原命题加一些修饰，并且补上原来省略的部分．比如改写命题“两点确定一条直线”，不能写成“如果两点，那么确定一条直线”，应该改写为“如果过两点作直线，那么能够作而且只能作一条直线．”练习：请将下列命题写成“如果…，那么…”的形式．（1）两直线相交只有一个交点．（2）角平分线上的点到角的两边距离相等．（3）平行四边形的对角线互相平分．（4）直角三角形两锐角互余．参考答案：（1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．（2）如果某点是角平分线上的点，那么这个点到角的两边距离相等．（3）如果一个四边形是平行四边形，那么它的对角线互相平分．（4）如果两个角是直角三角形的一组锐角，那么这两个角互余．。
华师大版2020-2021年八年级数学上册导学案：13.1 1 命题【含答案】
华师大版2020-2021年八年级数学上册导学案第13章全等三角形13.1 命题、定理与证明1 命题学习目标：1.了解命题的意义，并能对命题的真假做出判断；2.掌握题设和结论，能将命题改写为“如果……,那么……”的形式（重点）；3.能够判定一个命题的真假，并能进行说明（难点）.自主学习一、知识链接填一填：（1）两个角相加等于90度，则这两个角互；（2）平行于同一条直线的两条直线.二、新知预习试一试：用学过的知识，试判断下列句子是否正确：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（）(2)三角形的内角和是180°；（）(3)同位角相等．（）合作探究一、探究过程探究点1 命题问题1 观察上面的填一填的内容，你发现它们有什么特点？【要点归纳】像这样表示判断的语句叫做命题．例1 判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×”表示.（1）对顶角相等吗？（）（2）画一条线段AB=2cm．（）（3）两条直线平行，内错角相等.（）【针对训练】判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×”表示.（1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?（）（2）两条直线相交，有且只有一个交点．（）（3）角度相等的两个角是同一个角．（）（4）取线段AB的中点C．（）问题2 “试一试”中的句子都是命题吗？你认为命题的组成部分是什么？【要点归纳】在数学中，许多命题是由条件和结论两部分组成的．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果……，那么……”的形式．例2 把命题“等边三角形的三条边相等”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的条件和结论．问题3 所有的命题都是正确的吗？比如：有四条腿的动物是猫，这句话正确吗？【要点归纳】像这样表示判断的语句叫做命题．正确的命题称为_____命题，错误的命题称为_____命题．例3 判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“×”表示.（1）同旁内角互补．（）（2）一个角的补角大于这个角．（）（3）相等的两个角是对顶角．（）（4）两点可以确定一条直线．（）（5）两点之间线段最短．（）（6）同角的余角相等．（）【针对训练】命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角互为补角；④同位角相等.其中真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个探究点2：举反例问题4小明说：“a+b一定比a大”.小红马上说：“不对，1＋（-2）就没有1大.”看完上面的短对话，你认为小红是怎样说明小明不对的？【要点归纳】说明该命题不成立，只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了，这种方法称为“举反例”.例4 下列五个命题中，哪些是假命题？举反例说明．①相等的角是对顶角；②内错角相等；③垂线段最短；④一个三角形里一定有2个钝角；⑤同一平面内，互不重合的两条直线不平行就相交．二、课堂小结1.表示判断某一事件的语句叫做______．正确的命题称为___命题，错误的命题称为___命题；2.许多命题可以写成“如果……，那么……”的形式．其中，用“如果”开始的部分是_____，用“那么”开始的部分是_____．当堂检测1．下列语句中，是命题的为（）A．延长线段AB到C B．正数总大于负数C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗2．命题“如果ab＝0，那么a＝0”是命题（填“真”或“假”）.3．“垂直同一条直线的两条直线互相平行”这个命题的条件是．4．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）命题“对顶角相等”：如果，那么．（2）命题“平行于同一直线的两直线平行”：如果，那么__________ ．（3）命题“同角的补角相等”：如果，那么．5.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？（1)内错角相等；（2)画一条直线；（3)四边形是正方形；（4)你的作业做完了吗？（5)过点P画线段MN的垂线；（6)x＞2.6.举反例说明下列命题是假命题．(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；(2)若ab＝0，则a＋b＝0.参考答案自主学习一、知识链接填一填：（1）余（2）平行二、新知预习试一试：(1)正确(2)正确(3)错误合作探究一、探究过程探究点1例1 （1）×（2）×（3）√【针对训练】（1）×（2）√（3）√（4）×例2解：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等.该命题的条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形的三条边相等”．【要点归纳】真假例3 （1）×（2）×（3）×（4）√（5）√（6）√【针对训练】A探究点2：例4 解：①是假命题，如图①，它们都为30°的角，但不是对顶角；②是假命题，如图②，他们是内错角，但不相等；③是真命题；④是假命题，一个三角形三个角分别是50°，60°，70°，其中一个钝角都没有；⑤是真命题.二、课堂小结命题真假条件结论当堂检测1．B 2．假3．两条直线垂直于同一条直线4．（1）两个角是对顶角这两个角相等（2）两条直线平行于同一条直线这两条直线平行（3）两个角是同一个角的补角这两个角相等5.解：（1)是假命题．（2)不是命题．（3)是假命题．（4)不是命题．（5)不是命题．（6)不是命题．6.解：（1）如图，∠1和∠2不是对顶角，但是它们相等；（2）当a=0，b=2时，ab=0，但是a+b≠0.。
华东师大版数学八年级上册1命题、定理与证明(2课时20张)
练习：将下列命题改写成“如果…那么…”
的情势，然后指出这个命题的题设和结论。
（1）同角的补角相等。 （2）两直线平行，同位角相等。 （3）在同一平面内，同垂直于第三条
直线的两直线平行。
分析命题“不相等的两个角不可能是对顶角” 条件： 两个角不相等
结论： 这两个角不可能是对顶角
改写成“如果……，那么……”的情势： 如果两个角不相等， 那么这两个角不可能是对顶角。
华师版八年级上学期 第13章 《全等三角形》
1.1—1.2
命题、定理与证明
概念学习：
1、能清楚地规定某一名称或术语的意义 的句子叫做定义。
2、对某一件事情作出正确或不正确的 判断的句子叫做命题。
3、命题由条件和结论两部分组成。
4、命题可以写成“如果...那么...”的情势， 在如果后写条件，在那么后写结论。
5、命题是陈说句。
概念学习：
公理
综合法
真命题
命
定理 证 明
分析法
题
反证法
假命题
证 明
举反例
反例：具有命题条件，但不具有命题结论的例子。
概念学习：
推理方向是从已知到求证的思考方法 叫做综合法.
推理方向是从求证到已知的思考方法 叫做分析法.
先假设命题不成立，从这样的假设出发， 经过推理得出和已知条件矛盾，或者与 定义、公理、定理等矛盾，从而得出假 设不成立是错误的，即所求证命题正确， 这样的思考方法叫做反证法。
A
D
证法二：
1
如图，连接BC. B
2
C
∵在△ABC中, ∠BAC +∠ABC +∠ACB ＝180º
在△BDC中, ∠BDC+∠1+∠2＝180º
1.1命题PPT课件(华师大版)
总结
(1)命题改写的原则：不改变命题的原意；为了改写后的 语句通畅且保持原意，应适当地增加或删减词语或 调换词序；
(2)命题改写的方法：先搞清命题的条件(已知事项)部分 和结论部分；再将其改写为“如果……，那么……” 的情势：“如果”后面跟的是已知事项，“那么”后 面跟的是由已知事项推出的事项(即结论)
2 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例 ，正确的反例是( ) A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β>∠α B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β<∠α D．两个角互为邻补角
看一句话是不是命题，关键是看它是不是作出了明 确的判断，是不是一个完整的句子，在改写命题时，不 是机械地在原命题中添上“如果……”和“那 么……”， 而要使改写后命题的实质不变，条件和结论明朗化，主 要要求：(1)改写后的命题与改写前的命题的内容要一 致； (2)改写后的命题的句子要完整、语句要通顺，必要时， 要对原命题加一些修饰，并且补上本来省略的部分．
总结
命题是表示判断的语句，它包含有因果关系，一般 都是以陈说句的情势展现；其他如疑问句、感叹句、祈 使句以及表示画图的语句都不是命题．
例2 把命题“三个角都相等的三角形是等边三角 形”改写成“如果……，那么……”的情 势，并分别指出 该命题的条件与结论.
解：这个命题可以写成“如果一个三角形的三 个角 都相等，那么这个三角形是等边三角形该命题的 条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是 “这个三 角形是等边三角形.
知识点 3 举反例
判断命题的真假： 判断命题的真假时，真命题需说明理由；假命
题只需举一反例即可；举反例是说明一个命题是假 命题的常用方法，而所列举的反例一般应满足命题 的条件，不满足命题的结论．
八年级数学上册 13.1 命题、定理与证明达标检测(AB卷,含解析)(新版)华东师大版
13.1命题、定理与证明A卷基础达标题组一命题的判断及组成1.下列语句不是命题的是( )A.无限小数是无理数B.过点A作CD的垂线C.互为倒数的两数乘积等于1D.两条直线相交,只有一个交点【解析】选B.因为选项B是作图语句,没有作出任何判断.2.下列语句不是命题的是( )A.两点之间线段最短B.山峰必有最高点C.x与y的和等于0吗?D.对顶角不相等【解析】选C.A,B,D都符合命题的定义;C是问语不是命题.3.下列语句是命题的是( )A.延长线段AB到CB.用量角器画∠AOB=90°C.两点之间线段最短D.任何数的平方都不小于0吗?【解析】选C.“延长线段AB到C”和“用量角器画∠AOB=90°”都是描述性语言,它们都不是命题;“任何数的平方都不小于0吗?”是疑问句,它不是命题;“两点之间线段最短”是命题.4.命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是.【解析】“直角三角形两个锐角互余”的条件是一个直角三角形中的两个锐角,结论是这两个锐角互余.答案:一个直角三角形中的两个锐角5.下列句子中哪些是命题?(1)动物需要水.(2)猴子是动物的一种.(3)玫瑰花是动物.(4)美丽的天空.(5)负数都小于0.(6)你的作业做完了吗?(7)所有的质数都是奇数.(8)过直线l外一点作l的平行线.(9)如果a=b,a=c,那么b=c.【解析】(1)动物需要水,是命题.(2)猴子是动物的一种,是命题.(3)玫瑰花是动物,是命题.(4)美丽的天空,不是命题.(5)负数都小于0,是命题.(6)你的作业做完了吗?不是命题.(7)所有的质数都是奇数,是命题.(8)过直线l外一点作l的平行线,不是命题.(9)如果a=b,a=c,那么b=c,是命题.【知识归纳】表示祈使、感叹、疑问语气的句子,都不是命题.题组二真假命题的判断1.说明命题“如果a,b,c是△ABC的三边,那么长为a-1,b-1,c-1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是( )A.a=2,b=2,c=3B.a=2,b=2,c=2C.a=3,b=3,c=4D.a=3,b=4,c=5【解析】选A.当a=2,b=2,c=3时,a-1=1,b-1=1,c-1=2,此时:1+1=2,所以不能构成三角形.2.下列命题中,为真命题的是( )A.相等的角是对顶角B.同旁内角互补C.若|x|>|y|,则x>yD.若x=y,则x+1=y+1【解析】选 D.相等的角不一定是对顶角;同旁内角互补的条件是两直线平行;当x=-4,y=-3时,是选项C的一个反例;根据等式的性质可知选项D是一个真命题.【知识归纳】判断假命题最简捷的方法(1)与学过的正确知识相矛盾的结论.(2)能举出一个反例.3.请写出命题“两个不同的无理数的差一定不是整数”的反例的两个数是.(只要写出一种情况即可)【解析】命题:“两个不同的无理数的差一定不是整数”,反例的两个数可以是:-1,+1. 答案:-1,+1(答案不唯一)4.举反例说明下面命题是假命题.(1)互补的两个角一定是一个锐角,一个钝角.(2)两个负数的差一定是负数.(3)一正一负两个数的和为0.【解析】(1)两个直角互补,所以,互补的两个角一定是一个锐角,一个钝角是假命题.(2)-1-(-2)=1,所以,两个负数的差一定是负数是假命题.(3)-1+2=1,所以,一正一负两个数的和为0是假命题.题组三证明1.如图,因为∠AOC=∠BOD,所以∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,这个推理的依据是( )A.等量加等量和相等B.等量减等量差相等C.等量代换D.整体大于部分【解析】选A.因为∠AOC=∠BOD,∠AOB=∠AOB,所以∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB.等号左右两边分别加上了一个相等的量,其结果仍然相等.2.如图,下列条件中能判定直线l1∥l2的是( )A.∠1=∠2B.∠1=∠5C.∠1+∠3=180°D.∠3=∠5【解析】选C.根据∠1=∠2不能推出l1∥l2;∵∠5=∠3,∠1=∠5,∴∠1=∠3,即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2;∵∠1+∠3=180°,∴l1∥l2;根据∠3=∠5不能推出l1∥l2.3.小聪、小玲、小红三人参加“普法知识竞赛”,其中前5题是选择题,每题10分,每题有A,B两个选项,有且只有一个选项是正确的,三人的答案和得分如下表,试问:这5道题的正确答案(按1～5题的顺序排列)依次是.【解析】根据得分可得小聪和小玲都是只有一个题答错,小红有两个题答错.第5题,三人选项相同,若不是选A,则小聪和小玲的其他题目的答案一定相同,与已知矛盾,则第5题的答案是A;第3题、第4题小聪和小玲都不同,则一定在这两题上其中一人有错误,则第1,2题正确,即1的答案是B,2的答案是A;则小红的错题是1和2,则3和4正确,则3的答案是B,4的答案是B.所以,这5道题的正确答案(按1～5题的顺序排列)依次是BABBA.答案:BABBA4.小红、小强、小华三名同学中有一个把教室打扫得干干净净,事后,老师问他们三人是谁做的好事.小红说:“是小强做的”;小强说:“不是我做的”;小华说:“不是我做的”.如果他们三人中有两人说了假话,一人说了真话,那么老师能判定教室是谁打扫的吗?(要有分析)【解析】若小红说的是对的,那么小强、小华就是错的,那么小红与小华的话相矛盾;若小华说的是对的,那么小红、小强就是错的,那么三人之话也相矛盾;所以小强所说的是对的.分析得出是小华做的.所以教室是小华打扫的.【易错警示】推理应有依据,不能想当然!首先假设其中两人所说的是假话,进行分析,得出与已知的矛盾,进而得出符合要求的答案.5.将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.求证:CF∥AB.【证明】∵CF平分∠DCE,∴∠1=∠2=∠DCE,∵∠DCE=90°,∴∠1=45°.∵∠3=45°,∴∠1=∠3,∴CF∥AB.【鉴前毖后】对命题“同角的补角相等”.画图,并写出已知、求证.(不证明)(1)错因:______________________.(2)纠错:_________________________________________________ ___________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ ___________________________________________________________ 答案: (1)把同角当成了相等的角(2)如图已知:∠AOC和∠BOD是∠AOB的补角.求证:∠AOC=∠BOD.B卷能力达标(测试时间30分钟试题总分50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1..下列语句是命题的是( )A.延长线段ABB.你吃过午饭了吗?C.锐角都小于90°D.连结A,B两点【解析】选C.A是作图语言,不符合命题的定义;B是一个问句,不符合命题的定义;C符合命题的定义;D是作图语言,不符合命题的定义.【知识归纳】基本事实、定理、命题之间的联系(1)有些命题,是公认的真命题,不需要证明,这就是基本事实.(2)有些命题,经过证明确定是真命题,这就是定理.(3)所有的基本事实、定理都是命题中的真命题.2.下列选项中,可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的是( )A.∠A=30°,∠B=50°B.∠A=30°,∠B=70°C.∠A=30°,∠B=90°D.∠A=30°,∠B=110°【解析】选 A.当∠A=30°,∠B=50°,而∠A+∠B=80°,即这两个锐角的和为锐角,所以命题“两个锐角的和是钝角”是假命题.3.下列命题错误的是( )A.所有的实数都可用数轴上的点表示B.等角的补角相等C.无理数包括正无理数,0,负无理数D.两点之间,线段最短【解析】选C.0不是无理数,无理数包括正无理数和负无理数.二、填空题(每小题4分,共12分)4.命题“如果a+b>0,那么a>0,b>0”是命题(填“真”或“假”).【解析】当a=2,b=-1时,a+b>0成立,但a>0,b>0不成立.故命题“如果a+b>0,那么a>0,b>0”是假命题.答案:假5.请举反例说明“对于任意实数x,x2+5x+5的值总是正数”是假命题,你举的反例是x= .(写出一个x的值即可)【解析】当x=-2时,代数式的值为-1,不是正数.答案:-2(答案不唯一)6.把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 .【解析】条件为:两条直线平行于同一条直线,结论为:平行,故写成“如果……那么……”的形式是:如果两条直线平行于同一条直线,那么它们平行. 答案:如果两条直线平行于同一条直线,那么它们平行三、解答题(共26分)7.(8分)下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题?(1)若a,b互为相反数,则a+b=0.(2)两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补吗?(3)画线段AB=5cm.(4)若a3=b3,则a≠b.(5)解方程3x+5=11.(6)x=5不是方程3x2-2x-65=0的解.【解题指南】解答本题的关键解答本题需要准确判断每一个语句所表示的语气,一般情况下表示祈使、感叹、疑问的语句都不是命题.【解析】(1)(4)(6)是命题,而(2)(3)(5)不是命题.8.(8分)指出下列命题的条件和结论,并指出该命题是真命题,还是假命题.(1)一个锐角的补角大于这个角的余角.(2)不相等的两个角不是对顶角.(3)异号两数相加得零.【解析】(1)条件:一个角是锐角;结论:这个角的补角大于这个角的余角.真命题.(2)条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角.真命题.(3)条件:两个数异号;结论:这两个数相加得零.假命题,如-3和5是异号两数,但-3+5=2≠0. 【培优训练】9.(10分)命题:“两个连续奇数的平方差是8的倍数”是真命题还是假命题?如果认为是假命题,请说明理由;如果认为是真命题,请给出证明.【解析】“两个连续奇数的平方差是8的倍数”是真命题.理由:设两个连续奇数为2n+1,2n-1,它们的平方差是(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n,故两个连续奇数的平方差是8的倍数.。
华师大版八年级数学上册《命题、定理与证明2.定理与证明》优课件
You made my day!
我们，还在路上……
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14
13.1.2 定理与证明
2．学会证明 填空，把下列解题过程补充完整． 如图 13－1－4 所示，直线 A⊥直线 C，直线 B⊥直线 C， 判断∠1 和∠2 是否相等？并说明理由．
图 13－1－4
13.1.2 定理与证明
解：∠1 和∠2 相等．理由如下：∵A⊥C，B⊥C(已知)， ∴A∥B在(__同一平面内，垂直于同一条直线的两条直__线)，平行
13.1.2 定理与证明
解：因为 AE∥BC(已知)， 所以∠EAC＝∠C(__ 两直线平行，内错角相等 __)． 因为∠C＝30°(三角板角的度数)， 所以∠EAC＝30°(等量代换)． 因为∠DAE＝45°(三角板角的度数)， 所 以 ∠ DAF ＝ ∠DAE － ∠EAC ＝ 45 ° － 30 ° ＝ 15 ° ( 角 的 和 差)． 因为∠AFD＋∠ADE＋∠DAF＝180°(三__角形内角和定_理)， 所以∠AFD＝180°－∠ADE－∠DAF＝180°－90°－15° ＝75°(等式的性质)． 你认为所填写的两个依据都是些什么命题？它们的共同作用 是什么？ ◆知识链接——[新知梳理]知识点一
13.1 命题、定理与证明 课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册
本课结束
【举一反三】 1.(2024·来宾期中)下列命题中,是真命题的是( B ) A.相等的角是对顶角 B.垂线段最短 C.三角形的外角和等于180° D.三角形的外角大于它的内角 2.(2024·吴忠期末)命题“等角的余角相等”的题设是____两__个__角__是_等__角__的__余__角_____, 结论是___它__们__相__等_____.
2.下列说法正确的是( C ) A.命题是定理,定理是命题 B.命题不一定是定理,定理不一定是命题 C.真命题有可能是定理,假命题不可能是定理 D.定理可能是真命题,也可能是假命题
3. 如 图 , 有 如 下 四 个 论 断 : ① AC ∥ DE; ② DC ∥ EF; ③ CD 平 分 ∠ BCA; ④ EF 平 分 ∠BED,请你选择四个论断中的三个作为条件,余下的一个作为结论,构成一个正 确的数学命题并证明它.
5.(8分·推理能力、几何直观)如图,有下列三个条件:①DE∥BC;②∠1=∠2; ③∠B=∠C. (1)若从这三个条件中任选两个作为题设,另一个作为结论, 组成一个命题,一共能组成几个命题?请你都写出来; 【解析】(1)一共能组成三个命题: ①如果DE∥BC,∠1=∠2,那么∠B=∠C; ②如果DE∥BC,∠B=∠C,那么∠1=∠2; ③如果∠1=∠2,∠B=∠C,那么DE∥BC.
13.1 命题、定理与证明 1.命题 2.定理与证明
基础 主干落实 重点 典例研析 素养 当堂测评
课时学习目标 1.了解命题的概念,理解命题的结构,会区分命题的条件 和结论,会将命题改写成“如果……,那么……”的形式 2.掌握已学的5个基本事实,理解定理的概念 3.理解证明的概念,掌握推理证明的格式,并会证明简单 命题的真假
2.五个基本事实: (1)两点确定一条直线; (2)两点之间,__线__段__最__短__; (3)过一点__有__且__只__有__一__条__直__线__与已知直线垂直; (4)过直线外一点__有__且__只__有__一__条__直__线__与这条 直线平行; (5)两条直线被第三条直线所截,如果同位角 相等,那么这两条直线_平__行___.
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公理 ：
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出 来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据， 这样的真命题叫做公理.
定理 ：
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑 推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判 断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 。
证明：
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才 能作出判断，这个推理过程叫做证明
公理（正确性由实践总结）
真命题
命题
假命题
定理（正确性通过推理证实）
1、直线公理：经过两点有且只有一条直线。
2、线段公理：两点的所有连线中，线段最短。
3、平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与已 知直线平行。 4、平行线判定公理： 同位角相等，两直线平行。 5、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。
2013年10月14日
1、补角的性质： 2、余角的性质：
同角或等角的补角相等。
同角或等角的余角相等。
3、对顶角的性质： 对顶角相等。 4、垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②垂线段最短。 5、平行公理的推论： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这 2013年10月14日 两条直线也互相平行。
2、判断下列命题是真命题还是假命题，若是 假命题则举一个反例加以说明.
（1）一个钝角、一个锐角的和必为一个平角； 假命题，92°+ 30° ≠ 180° （2）两直线被第三条直线所截，同位角相等； 假命题，只有两条直线平行时才对 （3）两个锐角的和等于直角； 假命题， 30° + 50° ＝ 80° ≠ 90° （4）有三条边对应相等的两个三角形全等； 真命题
如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2 整除”。就是一个正确的命题
如命题：“如果两个角相等，那么它们是同位角” 就是一个错误的命题
正确的命题叫做真命题
错误的命题叫做假命题
判断一个命题是真命题 可以用逻辑推理的方法加以论证
判断一个命题是假命题 只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要 举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的 例子就可以了
6、平行线的判定定理： 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。
7、平行线的性质定理：
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
2013年10月14日
1、命题：判断一件事情的语句叫命题。 （1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。 （2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成 “如果„，那么„”的形式。 2、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他 命题真假的根据的命题，叫做公理。 3、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。也可作为继续推 理的依据。 4、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推 理的方法证明（公理和定理都是真命题）； 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不 成立就可以了，这种方法称为举反例。
2013年10月14日
举反例
例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反 例“某一锐角与某一钝角的和不是180°”即可．
1、指出下列命题中的真命题和假命题: (1)同位角相等,两直线平行;
(真 )
(2)多边形的内角和等于是180°; (假)
(3)如果两个三角形有两条边和一个角相等, 那么这两个三角形一定全等. (假)
把命题“在一个三角形中，等角对等边” 改写成：“如果…那么…” 的形式，并 分别指出命题的题设和结论。
解：这个命题可以改写成：“如果在一个 三角形中有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等.”这里的题设是“在一个三 角形中有两个角相等”,结论是“这两个角 所对的边也相等”.
有些命题如果条件成立，那么结论一定成立；而有 些命题条件成立，结论不一定成立
(√ )
像上面可以判断它是正确的或 是错误的句子叫做命题.
注意：
1、只要对一件事情做出了判断，不管它 是正确的，还是错误的，它都是命题 2、如果一个句子没有对一件事情做出任何 判断，那么它就不是命题。如：画直线AB
判断下列语句是不是命题？
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？（ × ） 2）两条直线相交，有且只有一个交点 （ ） √ 3）不相等的两个角不是对顶角 （ ） √ 4）一个平角的度数是180度 5）相等的两个角是对顶角 6）取线段AB的中点C 7）画两条相等的线段 （ ） （ ） （ ） （ ）
√ √ × ×
许多命题是由条件和结论两部分组成的。 条件是已知事项，结论是由已知事项推 出的事项。
条件
结论
命题一般写成“如果…...，那么…...”的形 式
条件
结论
如命题：猴子没有翅膀。改写为： 如果这个动物是猴子，那么它就没有翅膀 注意：
添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能 改变，使句子通顺
试判断下列句子是否正确．
(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
（2）两直线平行，同位角相等； （3）同旁内角相等，两直线平行；
(
√ )
(√ ) (× )
（4）平行四边形的对角线相等；
（5）直角都相等． （6）三角形的内角和等于180°.
(× )
(√ ) (√ )
（7）等腰三角形的两个底角相等 .