解读“互逆命题与互逆定理”
互逆命题与互逆定理++知识考点梳理(课件)2024-2025学年华东师大版数学八年级上册
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重 解题通法 把一个定理的条件与结论互换就得到了它的
难 题
逆命题，只有证明定理的逆命题为真命题且是定理，才能
型 突
说明两个命题是互逆定理.
破
互逆 定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个 定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一 个定理的逆定理
判断 方法
判断两个命题是互逆定理要满足：①原命题是 定理；②定理的逆命题为真，即逆定理存在
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考 归纳总结
点 清
（1）互逆定理都是真命题；（2）一个定理一定有一个
单 解
逆命题，但不一定有逆定理，只有当一个定理的逆命题是真
读 命题时，该定理才有逆定理；（3）一对互逆定理是一对互
逆命题，但一对互逆命题不一定是一对互逆定理.
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考
对点典例剖析
点 典例1 写出下列命题的逆命题，并指出其逆命题的真假
清
单 性.
解
读 （1）两个平角相等；
例 定理：直角三角形的两个锐角互余．
型 突
（1）写出这个定理的逆命题；
破 （2）判断这两个命题是不是互逆定理.
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重 ［解析］写出逆命题，根据直角三角形的定义判断逆命
难 题
题是否成立.
型
突 破
［答案］ （1）两个锐角互余的三角形是直角三角形；
（2）逆命题为真且是定理，故这两个命题是互逆定理.
13.5.1 互逆命题与互逆定理
● 考点清单解读 ● 重难题型突破
13.5.1互逆定理
点 1. 互逆命题
13.5.1互逆命题与互逆定理 教案 2022-2023学年华东师大版数学八年级上册
13.5.1 互逆命题与互逆定理教案2022-2023学年华东师大版数学八年级上册1. 教学目标•理解互逆命题的概念•掌握判断互逆命题的方法•学会运用互逆定理解决问题2. 教学重难点•掌握繁琐推理过程的简化方法•理解互逆命题和互逆定理3. 教学准备•教材《数学八年级上册》•教学投影仪•课堂练习题4. 教学过程4.1 引入•导入互逆命题的概念：在数学中，当一个命题的真假与另一个命题的真假完全相反时，我们称这两个命题为互逆命题。
•引导学生举例：例如，命题A：“今天是晴天”，命题B：“今天不是晴天”。
这两个命题互为逆命题。
4.2 回顾逆命题•复习逆命题的概念：逆命题是将原命题的否定词逆转得到的命题。
•提示学生如何得到逆命题的方法：将原命题的否定词逆转，即将原命题中的“是”变为“不是”，“不是”变为“是”。
4.3 互逆命题的判断•提醒学生回顾逆命题的相关知识，然后介绍判断互逆命题的方法：–方法1：通过思考两个命题的意义是否完全相反来判断是否为互逆命题。
–方法2：通过判断两个命题的实质连接词是否相同来判断是否为互逆命题。
•通过几个例子的讨论，帮助学生掌握判断互逆命题的方法。
4.4 互逆定理•介绍互逆定理的概念：互逆定理是指，两个互逆命题中，有一个命题为真，则另一个命题为假。
•提供例子，通过解析例子来说明互逆定理的原理。
•强调互逆定理的重要性，以及在数学证明中的应用。
4.5 练习与讨论•以课堂练习题为基础，组织学生进行练习和讨论。
•收集学生的答案和思路，引导他们合理表达解题过程。
4.6 总结与拓展•结合教学内容，对互逆命题和互逆定理进行总结，并强调学生掌握的关键点。
•提供拓展讨论，引导学生思考互逆命题的更多应用场景。
5. 课后作业•布置课后作业：完成教材上的相关练习题，并思考实际应用中的互逆命题。
6. 总结本节课主要介绍了互逆命题与互逆定理的概念，帮助学生掌握判断互逆命题的方法，并引导他们运用互逆定理解决问题。
华师大版八年级数学上册《互逆命题与互逆定理》课件
13.5.1 互逆命题与互逆定理
新知梳理
► 知识点一 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的_条_ 件__是第二个命题
的_结_ 论__，而第一个命题的_ 结论___是第二个命题的_条_ 件__， 那么这两个命题叫做互_ 逆_命__题．如果把其中一个命题叫做原命 题，那么另一个命题就叫做它的逆__命_ 题_．
13.5.1 互逆命题与互逆定理
活动2 教材导学
1．互逆命题
命题“等边对等角”是_真_ __命题，把它改写为“如果……，
那么……”的形式，结果是如果一__个三角形的两边相__等，那么
___这两边所对的角相等 _．它的条件是_一_个三角形的两边_相_，等
结论是_这两边所对的角相等___；把这个命题的结论作条件，同
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月4日星期一2022/4/42022/4/42022/4/4 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/42022/4/42022/4/44/4/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/42022/4/4April 4, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
[归纳总结] 写一个命题的逆命题的步骤：(1)分清原命题的 条件和结论；(2)调换原命题的条件和结论；(3)运用正确的数学 语言和通顺的语句表达出来．
注意：(1)要特别注意写一个命题的逆命题的步骤中的第三 步，如“等腰三角形两底角相等”，它的逆命题为“两内角相等 的三角形是等腰三角形”，而不是“两底角相等的三角形是等腰 三角形”．
第13章 13.5 13.5. 1 互逆命题与互逆定理
证明：过点E作EM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于
点N，∵BD、CE分别是△ ABC的中线，∴S△ BEC＝S△ BDC，
∴
1 2
BC·EM＝
1 2
BC·DN，∴EM＝DN，在Rt△ EMC和
Rt△ DNB中，CE＝BD，EM＝DN，
∴Rt△ EMC≌Rt△ DNB，∴∠ECM＝∠DBC，在△ EBC
6.在△ ABC 中，∠A 的相邻外角是 110°，要使△ ABC 是等腰三角形，则∠B＝ 55°或 70°或 40° ．
7. 命题“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题 是 两边上的中线相等的三角形是等腰三角形 ，这个命 题是 真 命题．(填“真”或“假”)
【解析】逆命题：两边上的中线相等的三角形是等 腰三角形．已知：如图，在△ ABC中，BD、CE分别是 边AC和AB上的中线，且CE＝BD，求证：△ ABC是等腰 三角形．
知识点 互逆定理 4. 下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来． (1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等； (2)内错角相等，两直线平行； (3)等边三角形的三个内角都等于60°.
解：(1)逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角 是直角，它是一个假命题，故(1)没有逆定理．
(2)逆命题是：两直线平行，内错角相等，它是一个 真命题，故(2)的逆命题就是它的逆定理．
如图，△ ABC 是等边三角形． (1)若 AD＝BE＝CF，求证：△ DEF 是等边三角形； (2)请问(1)的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不 成立，请用反例说明．
解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， AB＝AC＝BC， 又∵AD＝BE＝CF， ∴AB－AD＝BC－BE＝AC－CF， 即 BD＝CE＝AF. ∴△ADF≌△BED≌△CFE.
互逆命题与互逆定理
互逆命题与互逆定理
在逻辑推理和数学证明中，互逆命题和互逆定理是两个重要的
概念。
它们在推理过程中起着至关重要的作用，帮助我们理清思绪，找到正确的答案。
首先，让我们来了解一下什么是互逆命题。
互逆命题是指两个
命题，它们的否定分别是对方。
换句话说，如果一个命题为真，则
另一个命题必为假，反之亦然。
例如，命题A，“今天是晴天”，
其互逆命题为命题B，“今天不是晴天”。
这两个命题互为对立命题，其真假情况完全相反。
接下来，我们来看一下互逆定理。
互逆定理是指在数学或逻辑
推理中，如果一个定理成立，那么它的互逆定理也必然成立。
互逆
定理通常用于证明或推导过程中，帮助我们简化问题，找到解决方案。
例如，在数学中，如果一个定理表明“如果A成立，则B成立”，那么它的互逆定理表明“如果B不成立，则A不成立”。
互逆命题和互逆定理在逻辑推理和数学证明中都具有重要的意义。
它们帮助我们理清思路，找到正确的答案，同时也提醒我们在
推理过程中要注意对立命题和定理的关系。
通过理解和运用互逆命
题和互逆定理，我们可以更好地进行逻辑推理和数学证明，提高解决问题的能力和效率。
总之，互逆命题和互逆定理是逻辑推理和数学证明中不可或缺的概念，它们帮助我们理清思路，简化问题，找到正确的答案。
通过深入理解和灵活运用这两个概念，我们可以更好地进行推理和证明，提高解决问题的能力，为学习和研究打下坚实的基础。
13.5.1.互逆命题与互逆定理课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册
(3)内错角相等. 【自主解答】(3)内错角相等的逆命题是相等的角是内错角,逆命题是假命题,原 命题是假命题; (4)若两个角相加等于180°,则这两个角互为邻补角. 【自主解答】(4)若两个角相加等于180°,则这两个角互为邻补角的逆命题是若 两个角互为邻补角,则两个角相加等于180°,逆命题是真命题,原命题是假命题.
本课结束
【技法点拨】 互逆命题、互逆定理的区别与联系
命题 定理
是否有逆命题/逆定理
一定有逆命题
不一定有逆定理(定理的逆 命题是真命题且该逆命题 作为定理使用)
原命题 逆命题 原定理
逆定理
真假判断 真或假 真或假 真命题
真命题
素养 当堂测评
1.(4分·推理能力)下列命题的逆命题是假命题的是( D ) A.直角三角形的两个锐角互余 B.两直线平行,内错角相等 C.三边对应相等的三角形是全等三角形 D.若x=y,则x2=y2 2.(4分·推理能力)下列三个定理中,存在逆定理的有______个. ( C ) ①有两个角相等的三角形是等腰三角形;②全等三角形的周长相等;③同位角相 等,两直线平行.
【举一反三】 1.(2024·怀化期中)下列说法错误的是( B ) A.任何命题都有逆命题 B.任何定理都有逆定理 C.命题的逆命题不一定是真命题 D.定理的逆定理一定是真命题
2.下列定理中,哪些有逆定理?如果有逆定理,写出它的逆定理. (1)全等三角形的对应边、对应角分别相等. 【解析】(1)逆命题是:边、角分别对应相等的两个三角形全等,是真命题, 故原定理有逆定理:边、角分别对应相等的两个三角形全等. (2)三角形的两边之和大于第三边. 【解析】(2)逆命题为:如果三条线段中,任意两条线段长度之和大于第三条线段 的长度,那么这三条线段能围成三角形,是真命题, 故原定理有逆定理:如果三条线段中,任意两条线段长度之和大于第三条线段的 长度,那么这三条线段能围成三角形.
13.5.1互逆命题与互逆定理
13.5.1.互逆命题与互逆定理学习目标：1.理解互逆命题与互逆定理2.正确应用互逆命题与互逆定理重点与难点：区分互逆命题与互逆定理一、知识回顾：1、命题的概念：2、命题都有两部分：3、命题分为和两种．（1）、平行四边形的对边互相平行（2）、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（3）、等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边二、新知导入：说出下列命题的题设和结论：1、两直线平行,内错角相等；2、内错角相等,两直线平行；3、全等三角形的对应角相等；4、对应角相等的三角形全等；5、平行四边形的对边互相平行；6、对边互相平行的四边形是平行四边形；观察上面三组命题,你发现了什么?概括：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题的是第二个命题的，那么这两个命题叫做。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的。
例1：指出下列命题的题设和结论，写出它们的逆命题，并判断真假。
（1）、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.（（2）、等边三角形的每个角都等于60°（3）、同旁内角互补，两直线平行. 讨论交流：在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明。
（1）、（2）、（3）、归纳：如果一个定理的逆命题也是，那么这两个定理叫做。
其中的一个定理叫做另一个定理的。
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题2：所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理练习．写出下列命题的逆命题．并判断原命题逆命题的真假。
(1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0．(2)如果a＞0，那么a2＞0．(3)等角的补角相等．（4）、若|a|＝|b|，则a＝b；（5）、若a＝b，则33a b=；（6）、若x＝a，则2()0x a b x ab-++=；这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念。
②能写出一个命题的逆命题。
③在证明假命题时会用举反例说明逆命题与逆定理 测试题一、基础题1．在两个直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？如果不一定全等，请举出一个反例．2．写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假． （1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°；（2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等．3．已知：如图，在五边形ABCDE 中，∠B=∠E=90°，BC=ED ，∠ACD=∠ADC ．求证：AB=AE ．二、学科内综合题4．已知等腰△ABC 的底边BC=8cm ，且|AC-BC|=2cm ，则腰AC 的长为（ ） A ．10cm 或6cm B ．10cm C ．6cm D ．8cm 或6cm 5．下 列 这 些 真 命 题 中，其 逆 命 题 也 真 的 是 ( ) A ．全 等 三 角 形 的 对 应 角 相 等 B ．两 个 图 形 关 于 轴 对 称，则 这 两 个 图 形 是 全 等 形 C ．等 边 三 角 形 是 锐 角 三 角 形 D ．直 角 三 角 形 中，如 果 一个 锐 角 等 于 30°，那 么 它 所 对 的 直 角边 等 于斜 边 的 一半 6．如上图中所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°, 直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别 交AB 、AC 于点E 、F ．给出以下四个结论：①AE=CF ； ②△EPF 是等腰直角三角形； ③S四边形AEPF=21S △ABC ；④EF=AP.当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），上述结论始终正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7．如右图右所示，△ABC 中，AB=AC ，要使AD=AE ，需要添加的一个条件是 .8．若等腰三角形的一个底角是30°，则这个等腰三角形的顶角是 .9．如右图，AM 是△ABC 的角平分线，N 为BM 的中点，NE ∥AM ，交AB 于D ，交CA 的延长线于E ，下列结论正确的是（ ） A ．BM=MC B ．AE=BD C ．AM=DE D ．DN=BN 10．（3分）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ） A ．30° B ．75° C ．30°或60° D ．75°或15° 三、应用题11.如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=EB ，求∠A 的度数．四.探究题12.如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件： ①∠EBO=DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ；④OB=OC.（1）从这4个条件中选出2个条件，能判定△ABC 是等腰三角形的方法用 种. （2）选择（1）中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形.。
华东师大版 八年级上册 13.5.1 互逆命题与互逆定理(共33张PPT)
（1）逆命题：如果这个整数能被5整 除，那么这个整数的个位数字是5；举例： 10、20、30等.
练习
2.举例说明下列命题的逆命题是假命题：
（1）如果一个整数的个位数字是5，那么 这个整数能被5整除；
（2）如果两个角都是直角，那么这两个 角相等.
（2）逆命题：如果这两个角相等，那 么这两个是直角；举例：30°与30°、 45°与45°等.
（2）逆命题：有理数必为自然数. 原命题为真命题，逆命题为假命题.
例题 （三）应用实例
写出下列命题的逆命题，并判断原、 逆命题的真假.
（3）若 a = b ，则a = b； （4）若a = b，则a3 = b3； （5）若x = a，则x2 （- a b）x ab = 0.
（3）逆命题：若a=b，则|a|=|b|. 原命题为假命题，逆命题为真命题.
B.如果直角三角形两直角边的长分别为a和b， 那么∠A=90°
C.若三角形三边长的比为1∶2∶3，则这个三角 形是直角三角形
D.如果直角三角形的两直角边的长分别为a和b，
斜边为c，那么斜边上的高h的长ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ab c
作业 2.备选习题：
（3）命题“若a>b，则a²>b²”的逆命题
是
.
（4）写出命题“三角形两边之和大于第三
（1）全等三角形的对应角相等； （2）自然数必为有理数；
（3）若 a = b ，则a = b； （4）若a = b，则a3 = b3； （5）若x = a，则x2 （- a b）x ab = 0.
例题 （三）应用实例
写出下列命题的逆命题，并判断原、 逆命题的真假.
（1）全等三角形的对应角相等； （2）自然数必为有理数； （1）逆命题：对应角相等的三角形是全 等三角形. 原命题为真命题，逆命题为假命题.
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解读“互逆命题与互逆定理”
一、弄清互逆命题的概念
观察下面两个命题：（1）同位角相等，两直线平行；（2）两直线平行，同位角相等.不难看出，第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第二个命题的结论又是第一个命题的题设，我们把这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
由互逆命题的定义可知，凡是命题，都可以写出它的逆命题，也就是说每个命题都有逆命题.同时我们也发现一个真命题的逆命题不一定是真命题.如原命题“对顶角相等”是真命题，它的逆命题“相等的角是对顶角”却是假命题.
同样，原命题是假命题，它的逆命题不一定是假命题.如“对应角相等的三角形是全等三角形”是假命题，它的逆命题“全等三角形的对应角相等”却是真命题.
互逆命题是说明两个命题之间的关系，两个命题的题设和结论可以互换，它们之中可以确定其中任何一个为原命题，但是一旦确定，另一个就是它的逆命题了.
二、弄搞清互逆定理的概念
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.如“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”等，都是互逆定理.
所有定理不一定都有逆定理，因为一个真命题的逆命题不一定也是真命题，如“对顶角相等”这个定理就没有逆定理.
三、准确叙述一个命题的逆命题
（1）对于一些简单的命题可直接交换它们的题设和结论，如“两直线平行，同位角相等”，直接交换它们的题设和结论就得到这个命题的逆命题.
（2）为了准确叙述，可把命题改写成“如果……，那么……”的形式，然后再把原命题的题设和结论互换，如“面积相等的两个三角形全等”，把它改写成“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”，然后再写出它的逆命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”.特别注意，在交换一个命题的题设和结论时，语言表述要准确，防止用词不当而造成错误.
例如：“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题写成“互余的两个锐角是直角三角形的两个锐角”就不恰当，而应写成“两个锐角互余的三角形是直角三角形”.
又如：“如果两个有理数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题写成“如果它们的绝对值相等，那么这两个有理数相等”也不准确，应把“它们”改成“两个有理数”.
总之，在写一个命题的逆命题时，一定要理解其含义，防止出现类似上面的错误.。