互逆命题与互逆定理
互逆命题与互逆定理
高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列 车。
相信自己行，你就行！
作业:课后练习
命题的逆命题．但是原命题正
确，它的逆命题未必正确．例
如真命题“对顶角相等”的逆
倍 速
命题为“相等的角是对顶角”，
课 时 学
此命题就是假命题．
练
如果一个定理的逆命题也是定理， 那么这两个定理叫做互逆定理。其中一 个定理叫做另一个定理的逆定理。
如：两直线平行，同位角相等. 同位角相等，两直线平行.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题 注意2：不是所有的定理都有逆定理
3、全等三角形的对应角相等.
倍 条件：两个三角形是全等三角形.
速 课
结论：它们的对应角相等.
时 学
逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
练
那么这两个三角形全等.
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.
条件：一个点到一个角的两边距离相等.
结论：它在这个角的平分线上.
逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
倍 速 课 时 学 练
做一做:下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个定理都有逆定理。 × （2）每个命题都有逆命题。√ （3）假命题没有逆命题。 × （4）真命题的逆命题是真命题。×
说出下列命题的逆命题： ⑴既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。 圆既是中心对称，又是轴对称的图形。 ⑵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
a＝b a2＝b2
a2＝b2
真
a＝b
假
互逆命题
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵ 有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？
互逆命题与互逆定理
• 1、了解逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题，知道 原命题成立，它的逆命题不一定成立。（重难点）
如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余. 等边三角形的每个角都等于60° 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 题设： 。 结论： 。 逆命题： 。.
A D
F
B E 图 1
C
• • • • • • •
3.（2011.浙江）如图2，点D，E分别在AC，AB上． (1) 已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC； (2) 分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE” 记为②， “AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论 构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2． 命题1是命题2的 命题，命题2是 命题． （选择“真”或“假”填入空格）．
是全等三角形； 它是一个假命题，故不能成为原定理
1.如图1，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD上两点，连 接 AE、BF.请你从下面四个反映图中边角关系的式子(1)AB=BC; (2)BE=CF;(3)AE=BF;(4)∠AEB=∠BFC中选两个作为已知条件， 选一个作为结论，组成一个真命题，并证明这个命题.
三角形的一条中线平分三角形的面积 对顶角相等
探究点二：逆定理与互逆定理
问题1.定理与命题有什么关系？ 【答案】定理是命题，而命题不一定是定理； 问题2.定理一定存在逆定理吗？
【答案】定理与逆定理一定是真命题；定理是一个命题，然而它的逆 所以定理不一定存在逆定理； 问题3.什么是互逆定理？
Hale Waihona Puke 【答案】如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆 定理叫做另一个定理的逆定理．
要求： ⑴口头展示，声音洪亮、清楚；书面展示要分层次、 要点化，书写要认真、 规范． ⑵非展示同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓 展．不浪费一分钟，小组长做好安排和检查．
互逆命题与互逆定理-华东师大版八年级数学上册教案
互逆命题与互逆定理-华东师大版八年级数学上册教案一、引入在初中数学中，我们学习了很多命题，比如“若a=b，那么a2=b2”，又比如“对于任意的正整数a，a^2>a”等等。
其中，有一种特殊的命题，叫做“逆命题”。
逆命题指的是，对于一个给定的命题P，将其假设的条件和结论交换位置，并取反形式而得到的命题，比如“若a=b，那么a2=b2”的逆命题是“若a2=b2，那么a=b 或a=-b”。
那么，如果一个命题的逆命题也成立，我们就称这两个命题互为“逆命题”，其中比较重要的是“互为逆命题的命题是等价命题”。
但是，在实际情况下，有一些命题和它的逆命题虽然都是真命题，但它们并不等价。
此时我们就需要引入“互逆定理”，来判断它们的关系。
二、教学内容1. 规律感知首先，让学生自己尝试找出一些互逆命题。
比如，“若x>5，那么x2>25”和“若x2>25，那么x>5或x<-5”就是互逆命题。
在找到互逆命题后，让学生自己分析它们之间的关系。
2. 探索任务接下来，设计一个小组探究任务，让学生自己去探索什么样的条件下能得到互逆命题，以及互逆命题之间的关系。
具体实施时，可以分配几个小组，要求每个小组找出两个互逆命题，并将它们的条件和结论进行比较。
然后，让学生自己汇总每组的成果，分析条件的相同点和不同点，以及结论的相同点和不同点。
最后，让学生自己总结出什么样的条件可以得到互逆命题，以及互逆命题之间的关系。
3. 展示交流在小组任务完成后，组织学生进行展示和交流。
让学生自己介绍自己小组的成果，以及自己对互逆命题和互逆定理的理解。
同时，其他学生可以对其进行提问和补充，以加深理解。
4. 拓展延伸为了让学生更加深入理解互逆命题和互逆定理，可以提供一些案例让学生进行分析。
比如，“若a2+b2=0，那么a=b=0”和“若a=b=0，那么a2+b2=0”就是互逆命题。
通过这些案例的分析，可以帮助学生更好地掌握互逆命题和互逆定理的应用。
第13章 13.5 13.5. 1 互逆命题与互逆定理
证明：过点E作EM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于
点N，∵BD、CE分别是△ ABC的中线，∴S△ BEC＝S△ BDC，
∴
1 2
BC·EM＝
1 2
BC·DN，∴EM＝DN，在Rt△ EMC和
Rt△ DNB中，CE＝BD，EM＝DN，
∴Rt△ EMC≌Rt△ DNB，∴∠ECM＝∠DBC，在△ EBC
6.在△ ABC 中，∠A 的相邻外角是 110°，要使△ ABC 是等腰三角形，则∠B＝ 55°或 70°或 40° ．
7. 命题“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题 是 两边上的中线相等的三角形是等腰三角形 ，这个命 题是 真 命题．(填“真”或“假”)
【解析】逆命题：两边上的中线相等的三角形是等 腰三角形．已知：如图，在△ ABC中，BD、CE分别是 边AC和AB上的中线，且CE＝BD，求证：△ ABC是等腰 三角形．
知识点 互逆定理 4. 下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来． (1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等； (2)内错角相等，两直线平行； (3)等边三角形的三个内角都等于60°.
解：(1)逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角 是直角，它是一个假命题，故(1)没有逆定理．
(2)逆命题是：两直线平行，内错角相等，它是一个 真命题，故(2)的逆命题就是它的逆定理．
如图，△ ABC 是等边三角形． (1)若 AD＝BE＝CF，求证：△ DEF 是等边三角形； (2)请问(1)的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不 成立，请用反例说明．
解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， AB＝AC＝BC， 又∵AD＝BE＝CF， ∴AB－AD＝BC－BE＝AC－CF， 即 BD＝CE＝AF. ∴△ADF≌△BED≌△CFE.
华东师大版八年级上册数学课件13.5逆命题与逆定理1.互逆命题与互逆定理
A )
B．等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形的两个底角相等 D．三边对应相等的两个三角形全等
3．命题“如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除” 5整除，那么这个数也一定能被10整除 的 逆 命 题 是如果一个数能被 _____________________________________________ ，
＝90°，∴△ABC是直角三角形．
易错点：考虑问题不全面导致对命题的判断出错
11．已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2>na2，则m>n； ③不相等的角不是对顶角；④两直线平行 ，内错角相等．其中原
命题与逆命题均为真命题的个数是(
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
)
B
12．判断下列命题，其中逆命题正确的有(
10 ． 请写出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题．这个
逆命题正确吗？若正确， 请你画出图形， 写出“已知”“求证”， 再进行“证明”；若不正确，请举反例说明．
解：两个锐角互余的三角形是直角三角形．这个逆命题正确．
已知：如图，△ABC中，∠A＋∠B＝90°.求证：△ABC是直角三 角形．
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C
14．已知下列命题： 1 1 ①若 a>0，b>0，则 a＋b>0；②若 a≠b，则 a ≠b ；③若aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb，
2 2
则 a＝b；④任何有理数都有倒数． 其中原命题与逆命题均为真命题的有( A．0 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
A
)
15．写出下列命题的逆命题，并指出它们的真假性．
(1)如果x＝4，那么x2＝16；
《互逆命题与互逆定理》word“同课异构”获奖教案优质教学设计
数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。
数学学科核心素养的培养，要通过学科教学和综合实践活动课程来具体实施。
第一，数学学科教学活动是数学学科素养培养的主要途径。
数学核心素养的六个方面在小学、初中、高中、本专科、研究生教育等五个阶段的内涵、学科价值和教育价值、表现等方面的要求各不相同，要仔细推敲，准确把握，切实贯穿到学科教学活动中去。
第二，研究性学习综合实践活动课程是数学学科素养培养的重要途径。
本课正在基于此，在教学设计与环节的应用上，设计都非常适合学生初学。
这一点在分层教学中也有体现。
13.5.1.互逆命题与互逆定理课时：第一课时课型：新授课编写：毕春友审核：徐轻梅学习目标1.理解互逆命题与互逆定理2.正确应用互逆命题与互逆定理自学指导说出下列命题的题设和结论：1、两直线平行,内错角相等；2、内错角相等,两直线平行；3、全等三角形的对应角相等；4、对应角相等的三角形全等；5、平行四边形的对边互相平行；6、对边互相平行的四边形是平行四边形；观察上面三组命题,你发现了什么?概括：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题的是第二个命题的，那么这两个命题叫做。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的。
展示交流在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明。
（1）、（2）、（3）、归纳：如果一个定理的逆命题也是，那么这两个定理叫做。
其中的一个定理叫做另一个定理的。
疑点点拨注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题注意2：所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理达标测试1、指出下列命题的题设和结论，写出它们的逆命题，并判断真假。
（1）、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.（（2）、等边三角形的每个角都等于60°（3）、同旁内角互补，两直线平行.2、写出下列命题的逆命题．并判断原命题逆命题的真假。
互逆命题与互逆定理
互逆命题与互逆定理
在逻辑推理和数学证明中，互逆命题和互逆定理是两个重要的
概念。
它们在推理过程中起着至关重要的作用，帮助我们理清思绪，找到正确的答案。
首先，让我们来了解一下什么是互逆命题。
互逆命题是指两个
命题，它们的否定分别是对方。
换句话说，如果一个命题为真，则
另一个命题必为假，反之亦然。
例如，命题A，“今天是晴天”，
其互逆命题为命题B，“今天不是晴天”。
这两个命题互为对立命题，其真假情况完全相反。
接下来，我们来看一下互逆定理。
互逆定理是指在数学或逻辑
推理中，如果一个定理成立，那么它的互逆定理也必然成立。
互逆
定理通常用于证明或推导过程中，帮助我们简化问题，找到解决方案。
例如，在数学中，如果一个定理表明“如果A成立，则B成立”，那么它的互逆定理表明“如果B不成立，则A不成立”。
互逆命题和互逆定理在逻辑推理和数学证明中都具有重要的意义。
它们帮助我们理清思路，找到正确的答案，同时也提醒我们在
推理过程中要注意对立命题和定理的关系。
通过理解和运用互逆命
题和互逆定理，我们可以更好地进行逻辑推理和数学证明，提高解决问题的能力和效率。
总之，互逆命题和互逆定理是逻辑推理和数学证明中不可或缺的概念，它们帮助我们理清思路，简化问题，找到正确的答案。
通过深入理解和灵活运用这两个概念，我们可以更好地进行推理和证明，提高解决问题的能力，为学习和研究打下坚实的基础。
八年级数学上册全等三角形 . 逆命题与逆定理互逆命题与互逆定理_0000
命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论为：
条件为两直线平行； 结论为内错角相等． 因此它的逆命题为 内错角相等，两直线平行.
第五页，共十六页。
典例精析
例1 指出下列命题的条件(tiáojiàn)和结论，并说出它们的逆命题. (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个(liǎnɡ ɡè)锐角互 余.
例如10能被5整除，但它的个位数是0. （2）如果两个角都是直角，那么(nà me)这两个角相等.
逆命题：如果(rúguǒ)两个角相等，那么这两个角是直角.
例如60°= 60°，但这两个角不是直角.
第十页，共十六页。
归纳
如果一个定理的逆命题也是定理，那么(nà me)这两个 定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的 逆定理.
No 相等.。（1）如果(rúguǒ)一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除.。逆命题：如果
(rúguǒ)一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.。例如60°= 60°，但这两个角不是 直角.。逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题。概念
Image
12/13/2021
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的条件.
概念 一个定理的逆命题也是定理，
互逆定理
这两个(liǎnɡ ɡè)定理叫做互逆定理
第十四页，共十六页。
第十五页，共十六页。
内容(nèiróng)总结
13.5 逆命题与逆定理。例1 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.。（4）到 一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.。结论：它到这条线段的两个端点的距离
观察上面三组命题,你发现(fāxiàn)了什么?
第四页，共十六页。
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编号
036 2015年秋期 八年级数学导学案
互逆命题与互逆定理 1课时
主备教师:王新园 组审：陈娟 张耀坤 班级________ 姓名_________
学习目标
11.理解互逆命题与互逆定理 2.正确应用互逆命题与互逆定理
学习重点、难点：区分互逆命题与互逆定理
学习过程：
一、知识回顾：
1、 命题的概念：
几何作图，祈使句号、疑问句都不命题。
2、命题都有两部分：
3、命题分为 和 两 种．
4、判断下列命题真假并说出下列命题的题设和结论： （1）平行四边形的对边互相平行
（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
（3）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 二、新知导入：
说出下列命题的题设和结论：
1、两直线平行,内错角相等；
2、内错角相等,两直线平行；
,你发现了什么?
是第二个命题，而第一个命题的 是第二个命题的 ，那么这两个命题叫
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 。
第一个命题 题设（条件） 结论
第二个命题 题设（条件） 结论
将原命题的条件与结论互换
. 60° .
如果一个定理的逆命题也是 ，那么这两个定理叫做 。
其中的一个定理叫做另一个定理的 。
.
练习．写出下列命题的逆命题．并判断原命题逆命题的真假。
(1)如果a+b ＞0，那么a ＞0，b ＞0．
(2)如果a ＞0，那么a 2
＞0．
(3)等角的补角相等．
（4）、若|a|＝|b|，则a ＝b ； （5）、若a ＝b ，则3
3
a b
=；
（6）、若x ＝a ，则2
()0x
a b x ab -++=；
这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念。
②能写出一个命题的逆命题。
③在证明假命题时会用举反例说明。
课后检测
1．已知等腰△ABC 的底边BC=8cm ，且|AC-BC|=2cm ，则腰AC 的长为（ ）
A ．10cm 或6cm
B ．10cm
C ．6cm
D ．8cm 或6cm
2．下 列 这 些 真 命 题 中，其 逆 命 题 也 真 的 是 ( ) A ．全 等 三 角 形 的 对 应 角 相 等 B ．两 个 图 形 关 于 轴 对 称，则 这 两 个 图 形 是 全 等 形 C ．等 边 三 角 形 是 锐 角 三 角 形 3．如上图中所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,
直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别 交AB 、AC 于点E 、F ．给出以下四个结论：①AE=CF ； ②△EPF 是等腰直角三角形； ③S 四边形AEPF =
2
1
S △ABC ；④EF=AP.当∠EPF 在△ABC 内 绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），上述结论始终正确的有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．如右图右所示，△ABC 中，AB=AC ，要使AD=AE ，
需要添加的一个条件是 .
5．若等腰三角形的一个底角是30°，则这个等腰三角形的顶角是
.
6．如右图，AM 是△ABC 的角平分线，N 为BM 的中点，
NE ∥AM ，交AB 于D ，交CA 的延长线于E ，下列结论正确的是（ ）
A ．BM=MC
B ．AE=BD
C ．AM=DE
D ．DN=BN
学习反思
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。