5.7 逆命题和逆定理(2)

O x
A（x,y） x,y）
C（—x,-y） x,-
例、说出真命题“（在直角坐标系中）点（x，y）， 说出真命题“ 在直角坐标系中） （-x，-y）关于原点对称”的逆命题，并判断逆命题的 关于原点对称”的逆命题， 真假 分析： 分析：前提条件是 在直角坐标系中 ； 条件是： 两个点的坐标是（ 条件是： 两个点的坐标是（x，y）与（-x，-y） ；
A
∴△ABC是Rt△，且∠C=Rt∠ ABC是Rt△
c
b
B C a
试一试
请说出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 请说出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 的逆命题，这个命题是真命题吗？请证明你的判断， 的逆命题，这个命题是真命题吗？请证明你的判断， 如果三角形一条边上的中线等于这一边的一 逆命题： 逆命题： 半，那么这个三角形是直角三角形 是真命题 已知：如图，ＣＤ ，ＣＤ是 ＡＢＣ的中线 的中线，ＣＤ＝ 已知：如图，ＣＤ是⊿ＡＢＣ的中线，ＣＤ＝ 2 ＡＢ 求证： ＡＢＣ是 求证：⊿ＡＢＣ是Ｒt⊿ 证明： ＣＤ是 ＡＢＣ的中线 的中线，ＣＤ＝ 证明：∵ＣＤ是⊿ＡＢＣ的中线，ＣＤ＝ 2 ＡＢ C 1 2 3 ＣＤ=AD=BD= ∴ＣＤ=AD=BD= AB
想一想：平面直角坐标系中一点关于x 想一想：平面直角坐标系中一点关于x、y轴对称的点 的坐标有什么特点？ 的坐标有什么特点？
合作学习
3、作点A(x,y) 关于原点O的对称点，并写出它的坐标 作点A(x,y) 关于原点O的对称点，
y
想一想： 想一想：平面直角坐标系 中一点关于原点对称的点 的坐标有什么特点？ 的坐标有什么特点？
BC＝ ∵a2+b2=c2 又∵ BC＝a＝
B`C`， AC＝ B`C`， AC＝b＝ A`C`,
∴ c`2=c2 c`＝ ∴ c`＝ c,
∴△ ABC≌ △A`B`C, 构造法
∵c`＞ ∵c`＞0，c＞0, ∴∠C=∠C`=Rt∠,
∴△ABC是直角三角形 ABC是直角三角形
勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 那么这个三角形是直角三角形 几何语言： 几何语言：∵a2+b2=c2，
已知：如图， 已知：如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ABC中 BC＝ AC＝ AB＝ / 且a 2＋b 2＝c 2。
A A
求证： ABC是直角三角形 求证： △ABC是直角三角形 b
证明：如图作Rt△ 证明：如图作Rt△A`B`C` Rt
C a
c b B C/
c/
B/
a
∠，B`C`=a,A`C`=b,记A`B`为c`,则 使∠C`＝Rt ∠，B`C`=a,A`C`=b,记A`B`为c`,则a2＋b2＝c`2. C`＝
ＢＤ⊥ 轴，Ｃ，Ｄ分别为垂足 证明：连接ＡＯ，ＢＯ，作ＡＣ⊥x轴，作ＢＤ⊥y轴，Ｃ，Ｄ分别为垂足 证明：连接ＡＯ，ＢＯ， ＡＣ⊥ 轴 ∵ OC= x , OD= -X , AC= y , BD= -y
∴OC=OD,AC=BD ＢＯＤ≌⊿ ∵∠ＢＤＯ＝ ＡＣＯ＝９０ ＢＤＯ＝∠ ９０° ∴⊿ＢＯＤ≌⊿ＡＯＣ 又∵∠ＢＤＯ＝∠ＡＣＯ＝９０° ∴⊿ＢＯＤ≌⊿ＡＯＣ ＡＯ＝ＢＯ， ∴ＡＯ＝ＢＯ，∠１＝∠２ Ａ(x,y) ∵∠ＤＯＡ＋ 又∵∠ＤＯＡ＋ ∠２＝１８０° １８０° ∴ ∠ＤＯＡ＋ ∠２＝１８０° ∴A，O，B三点在同一直线上
Y
Ｄ -X ２ １ o XＣ
-Y
与点B ∴点A与点B关于原点对称
Ｂ(-x,-y) x,-
逆命题是“在直角坐标系中， 逆命题是“在直角坐标系中，关于原点对称的两个点 的坐标是（ 的坐标是（x，y）与（-x，-y）” 已知：在直角坐标系中， Ａ，Ｂ关于原点对称 已知：在直角坐标系中，点Ａ，Ｂ关于原点对称 点Ａ坐标是（x,y). 坐标是（ 求证： 求证：点Ｂ的坐标是(-x,-y). 的坐标是( x,证明：∵点A与点B关于原点对称 证明： 与点B ∴A，O，B三点在同一直线上
2 1
1
∴∠1=∠2, ∠3=∠4 ∴∠2+∠3=∠4 +∠1=
1
4 D B
1 2
A
×180°=90° 180°=90°
ＡＢＣ是 ∴∠ＡＢＣ是 ∴∠ＡＢＣ是Ｒt∠ ∴⊿ＡＢＣ是Ｒt⊿ ＡＢＣ
练一练
1、已知△ABC的三条边满足a=b+1，ab=12，c=5，△ABC 已知△ABC的三条边满足a=b+1，ab=12，c=5， 的三条边满足a=b+1 是直角三角形吗？请证明你的判断。 是直角三角形吗？请证明你的判断。 2、说出命题“如图，在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,则三个 说出命题“如图， Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,则三个 半圆的面积S 半圆的面积S1，S2，S3满足S1+S2=S3”的逆命题,判断原命 满足S 的逆命题, 题、逆命题的真假,并给出证明。 逆命题的真假,并给出证明。
y
结论是： 这两点关于原点对称 结论是：
；
A（x,y） x,y）
解：逆命题是
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，关于原 点对称的两个点的坐标 是（x，y）与（-x，-y） ， ） ， ）
C（—x,-y） x,D
O
B
x
以下先证明原命题： 要证明点A与点B关于原点对称， 以下先证明原命题： 要证明点A与点B关于原点对称， 已知：在直角坐标系中， 只要证明A Ａ，Ｂ的坐标分别是 x,y),(-x,的坐标分别是（ 已知：在直角坐标系中，点只要证明A，O，B三点在同一直 Ａ，Ｂ的坐标分别是（x,y),(-x,-y). 线上，且OA=OB 线上， 求证： Ａ，Ｂ关于原点对称 求证：点Ａ，Ｂ关于原点对称
2、一个命题的逆命题是真命题还是假命题 3、逆定理的定义 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么 定理的逆命题能被证明是真命题 就叫它是原定理的逆定理 这两个定理叫互逆定理。 就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。 逆定理， 互逆定理
从上节课我们知道，任何一个命题一定有逆命题， 从上节课我们知道，任何一个命题一定有逆命题，但不 是任何一个定理一定有逆定理的。 是任何一个定理一定有逆定理的。判断一个定理是否有逆定 理则需要对该定理的逆命题进行证明。 理则需要对该定理的逆命题进行证明。那么你能说出勾股定 理的逆命题吗？你能否证明其逆命题的真假？ 理的逆命题吗？你能否证明其逆命题的真假？
∴ＡＯ＝ＢＯ，∠１＝∠２ ＡＯ＝ＢＯ， 又∵∠ＢＤＯ＝∠ＡＣＯ＝９０° ∵∠ＢＤＯ＝∠ＡＣＯ＝９０° ＢＤＯ＝ ９０ ∴⊿ＢＯＤ≌⊿ＡＯＣ ∴⊿ＢＯＤ≌⊿ＡＯＣ ＢＯＤ≌⊿ Ｂ Ｄ
２
Ａ(x,y)
１o Ｃ
∴OC=OD,AC=BD
∴点Ｂ的坐标是(-x,-y). 的坐标是( x,-
课内练习： 课内练习：
课内练习： 课内练习：
本节课你有何收获？ 本节课你有何收获？
勾股定理： 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方。 于斜边的平方。 命理： 逆命理：如果三角形两边的平方和等于第三边 的平方， 的平方，那么这个三角形是直角三角形。 其逆命题是真命题，故它是勾股定理的逆定理。 其逆命题是真命题，故它是勾股定理的逆定理。
证明勾股定理的逆命题
已知： 已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2 ABC中 BC=a，AC=b，AB=c， 求证： ABC是直角三角形 求证：△ABC是直角三角形
C
S2 S1 S3
A
B
合作学习
A(x,关于x 轴的对称点， 1、作点 A(x,-y) 关于x 轴的对称点，并写出它的坐标 A(x,关于y轴的对称点，并写出它的坐标. 2、作点 A(x,-y) 关于y轴的对称点，并写出它的坐标.
y
x,y） A（x,y）
O x,C（—x,-y） x,— （x,—y）
x
c
A
A'
c' b b'
a
a'
B
C
C'
B'
分析：如果我们能构造出一个直角三角形，然 分析：如果我们能构造出一个直角三角形， 后证明⊿ＡＢＣ和所构造的直角三角形全等， 后证明⊿ＡＢＣ和所构造的直角三角形全等， 和所构造的直角三角形全等 便证得⊿ＡＢＣ是直角三角形． 便证得⊿ＡＢＣ是直角三角形． 是直角三角形
1、互逆命题的定义
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论， 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做 而第一个命题的结论是第二个命题的条件， 互逆命题。 互逆命题。 我们把其中的一个叫做原命题（ ），另一个 我们把其中的一个叫做原命题（original statement），另一个 原命题 叫做它的逆命题（ statement）。 叫做它的逆命题（converse statement）。