随机过程汪荣鑫第二章答案
随机过程课后习题答案
随机过程课后习题答案随机过程课后习题答案随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演变规律。
在学习随机过程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。
下面是一些随机过程课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] =e^(-2|h|)，求该过程的自相关函数。
解：首先，自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示，即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。
由于该过程是平稳过程，所以E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数，可以将其记为μ。
因此，Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。
根据题目中给出的自协方差函数，我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。
将μ^2移到等式左边，得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
所以，该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|)，求该过程的均值和方差。
解：由于该过程是平稳过程，所以均值和方差是常数，可以将均值记为μ，方差记为σ^2。
根据平稳过程的性质，自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] =E[X(0)X(h)]。
根据题目中给出的自相关函数，我们有R(h) = e^(-3|h|)。
将t取为0，得到R(h) = E[X(0)X(h)] = μ^2。
所以，该过程的均值为μ。
根据平稳过程的性质，方差可以表示为Var[X(t)] = R(0) - μ^2。
将t取为0，得到Var[X(t)] = R(0) - μ^2 = e^(-3*0) - μ^2 = 1 - μ^2。
西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案
第一章习题解答随机过程习题解答1. 设随机变量X 服从几何分布，即：P(X =k) = pq,k =0,1,2,山。
求X 的特征函数, EX 及 DX 其中0 ：：： p <1,q 亠p 是已知参数。
E(e jtx ) 八 e jtk pqk -0QO二 p 'k - 0二 p' (qek =0jtk又 T E(X)二kpqk =0D(X) (其中 则 0 S(t)dt 二jt )k1 - qe jtk= p' kqk ±0= E(X 2)-[E(X)]-qp 2CO CO '、' nx n 八(n 1)xn -0 n ~0S(x)八(n 1)x nn =0cd八x n )n -0o Ozk =0.(n 1)t n dt□0zn =0S (x)-JS(t)dtn =0同理&k 2k =0dx 0(1 - x)21 (1 - x)2 1 - x (1 - X)2QOQOkx k 八(k 1)x k -2二 kx k - ' xk =0k -0k =0od令 S(x)八(k 1)2x kk =0.S(t)dt 二' (k - 1)2t k dt 二' (k - 1)x k 1k =0k =0k =12、(1)求参数为(p,b)的丨分布的特征函数，其概率密度函数为pb p J ±xx e , x 0P(x)=】(p)b 0, p 0I 0,xW0(「( p)「e —x x p ・dx)(2) • E(X)」f x'(0)=吕jb2、 1 f - p(p 1)E(X ) 2 f x (0)厂JbPD(X)二 E(X)二 E(X)二茯b(4)若人［「0力)i=1,2 贝Sf x 仔2(。
5呱(帖(1-¥)曲b(2) 其期望和方差;(3)证明对具有相同的参数的b 的丨分布，关于参数p 具有可加性。
（完整版）随机过程习题答案
（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。
解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程第一、二章测验题答案(2010)
随机过程测试题一答案每题10分1. 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。
其一是紧固三只螺栓，其二是焊接两处焊点。
以X 表示由机器人紧固的螺栓不良的数目，以Y 表示由机器人焊接的焊点不良的数目。
据积累资料知),(Y X 具有分布律： Y X 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 20.0100.0050.0040.001(1)求EX ;(2)求]|[j Y X E =，2,1,0=j ;(3)验证 ∑====2}{]|[j j Y P j Y X E EX .解: (1) X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.9100.0450.0320.013148.0=EX .(2) Y 的分布律为 Y 0 1 2 P0.9000.0800.0200=Y 时，X 的条件分布律为X|0=Y 0 123P0.840/0.90.030/0.90.020/0.90.010/0.991]0|[==Y X E ;1=Y 时，X 的条件分布律为X|1=Y 0 123P0.060/0.080.010/0.080.008/0.080.002/0.084.0]1|[==Y X E ;2=Y 时，X 的条件分布律为X|2=Y0 1 2 3P 0.010/0.02 0.005/0.02 0.004/0.02 0.001/0.028.0]2|[==Y X E .(3) EX j Y P j Y X E j ==⨯+⨯+⨯===∑=148.002.08.008.04.09.091}{]|[2.2．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.,00,),(其他，y x e y x f y(1)求EX;(2)对任意0>y ,求]|[y Y X E =;(3)验证⎰+∞==0)(]|[dy y f y Y X E EX Y .解: (1)当0>x 时, X 的概率密度为x xy xX e dy e dy y x f x f -+∞-+∞===⎰⎰),()(.1)(0===⎰⎰+∞-+∞dx xe dx x xf EX x X .(2) 对任意0>y , Y 的概率密度为y yy yY ye dx e dx y x f y f --===⎰⎰0),()(.⎪⎩⎪⎨⎧<<==.,0,0,1)(),()|(|其他y x y y f y x f y x f Y Y X21)|(]|[0|ydx y xdx y x f x y Y X E yY X ====⎰⎰+∞ (3)EX dy ye y dy y f y Y X E y Y ==Γ=⋅==⎰⎰+∞-+∞1)3(212)(]|[03．写出六种常见分布（退化、二项、泊松、均匀、指数、正态）的特征函数．分布 记号 概率密度或分布律)x (f特征函数)t (ψ退化 {c} 1}{==c X Pict e0-1 b(1,p) .1,0,}{1===-x q p x X P x x q pe it +二项b(n,p) 独立同分布于b(1,p)的n 个r.v.的和..,,1,0,}{1n x q p C x X P x x x n ===-n it q pe )(+泊松 )(P λ.,2,1,0,!}{ ===-x e x x X P xλλ)1(-it e eλ均匀U(a,b))(1)(),(x I ab x f b a -=t a b i e e iatibt )(--标准正态 N(0,1)2221)(x e x f -=π22t e-正态),(N 2σμ222)(21)(σμσπ--=x e x f2)(2t t i eσμ-指数 )(E λ)()(),0(x I e x f x +∞-=λλit-λλ4．关于独立随机变量序列}{n X ，下列哪些命题是正确的． (1)若 ,2,1,||=+∞<k X E k ，则∏∏===nk k nk k EX X E 11；(2) 若 ,2,1,2=+∞<k EX k ，则∑∑===nk k n k n VarX X Var 11)(；(3) 设)(t f k 为k X 的特征函数，)(t f n S 为∑==nk k n X S 1的特征函数，则∏==nk k S t f t f n 1)()(．(4) 设)(t k φ为k X 的矩母函数，)(t n S φ为∑==nk k n X S 1的矩母函数，则∑==nk k S t t n1)()(φφ．解：（4）错，应为 ∏==nk k S t t 1)()(φφ．5．设ηξ,是相互独立，且都为均值0，方差1的随机变量，令t t X ηξ+=)(，求随机过程}0),({≥t t X 的均值函数和相关函数. 解：;0)()()]([)(=+==ηξμtE E t X E t X;1)()()()]([)(222t D t D t D t X D t x +=+=+==ηξηξσ.1)()()()()()]()([),(22ts E E s t tsE E s X t X E s t R x +=+++==ηξηξ6．X (t )=Y cos(t )+Z sin(t ), t >0，Y , Z 相互独立，且 EY =EZ =0，DY =DZ =σ2. 讨论随机过程{X (t ), t >0}的平稳性.解： 0sin cos )]([)(=+==tEZ tEY t X E t X μ；)]()([),(s X t X E s t R X =).cos(sin sin cos cos )()cos sin sin (cos sin sin cos cos 22222s t EZ s t EY s t YZ E s t s t EZ s t EY s t -=⋅+⋅=++⋅+⋅=σ因)(t X μ为常数，),(s t R X 仅与s t -=τ有关，故)}({t X 是宽平稳过程.7．在电报信号)(t X 的传输过程中，信号由不同的电流符号A A -,给出，而电流的发送又有一个任意的持续时间，电流符号的转换是随机的. 设)(t X 在],0(t 时间内的变号次数)(t N 是参数为λ的泊松过程，且可以表示为)()1)(0()(t N X t X -=，又设)0(X 与}0),({≥t t N 独立，且5.0})0({})0({=-===A X P A X P ，求}0),({≥t t X 的均值函数.解：=)]([t X E 0.8．考虑电子管中的电子发射问题，设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的泊松分布. 每个电子携带的能量构成一个随机变量序列 ,,21X X 已知}{k X 与N 独立，}{k X 之间互不相关并且具有相同的均值和方差2,σμ==k k DX EX . 单位时间内阳极接收到的能量为∑==Nk kXS 1. 求S 的均值.解：∑∑+∞=====1}{]|[n Nk kn N P n N XE ES∑∑+∞====01}{][n nk k n N P X E ∑+∞===01}{n n N P nEX∑+∞===01}{n n N nP EX λμ=⋅=1EX EN .9．随机过程}0),({≥t t W 称为参数为2σ的维纳过程, 如果 (1) 0)0(=W ；(2),0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ；(3) ,0v u t s <<<≤∀ 增量)()(s W t W -与)()(u W v W -相互独立．(1)求}0),({≥t t W 的均值函数)]([t W E 和相关函数)]()([s W t W E . (2)}0),({≥t t W 是否为宽平稳过程？证明：(1),0≥∀t ),0(~)(2t N t W σ, 故0)]([)(==t W E t W μ；又,0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ, 且增量)()(s W t W -与)(s W 相互独立，故)]()([)]())()([()]()([),(s W s W E s W s W t W E s W t W E s t R W +-==s s W D s W E s W t W E 2)]([)]([)]()([σ=+-=从而),min(),(2s t s t R W σ=.(2)由于),(s t R W 与出发时刻),min(s t 有关，因而}0),({≥t t W 不是宽平稳过程.10． 下面四个随机过程中哪些不是宽平稳过程(A) 随机相位正弦波过程：}0),cos()({≥Φ+=t t t X λ，其中),(~ππ-ΦU ，λ是常数. (B) 白噪声序列: },1,0,{ =n X n 是一列两两互不相关（即m n X EX m n ≠=,0）的随机变量序列，且满足2,0σ==n n DX EX . (C) 移动平均序列：},2,1,0,{11 ±±==∑=-+n a X ki in i n ε，其中},2,1,0,{ ±±=n n ε为白噪声序列，k a a a ,,,21 为任意实数.(D) 强度为λ的泊松过程}0),({≥t t N ，其中)(t N 表示到时刻t 为止事件A 发生的次数. 解: D .。
随机过程答案2
⎪2. （1） 求参数为(p , b )的Γ 分布的特征函数，其概率密度为⎧ b p p (x ) = ⎪ x p -1e -bx , x > 0 b > 0, p 是正整数（2）求其期望和方差。
⎨Γ( p ) ⎪⎩0 x ≤ 0（3）证明对具有相同参数b 的Γ 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1） 首先，我们知道Γ 函数有下面的性质：Γ(p ) = (p -1)!根据特征函数的定义，有f X (t ) = E [e jtX]= ⎰∞ejtxp (x )dx = ⎰e jtxb p Γ(p ) x p -1e -bx dx= ⎰0bpΓ( p ) -∞ 0x p -1e -(b - jt )x dx =b p 1p -1 -(b - jt )x ∞ b p p - 1 ∞ p -2 -(b - jt )x Γ(p ) - (b - jt ) x e0 + Γ( p ) (b - jt ) ⎰0 x e dx = b p p - 1 ⎰∞ x p -2 e -(b - jt )x dx Γ(p ) (b - jt ) 0 ==b p ( p - 1)! ∞ 0 -(b - jt )x Γ(p ) (b - jt )p -1 ⎰0 x e dx= b p ( p - 1)! = ⎛ b ⎫ Γ(p ) (b - jt )p b - jt ⎪ ⎝ ⎭所以⎛ b ⎫ pf X (t ) = ⎪b - jt ⎝ ⎭（2）根据期望的定义，有∞∞ p]⎰ b ⎰ ∞( )∞b pp -1 -bxb p∞p -bxm X = E [X ] = ⎰-∞ xp x dx = ⎰0 x Γ(p ) x e dx = Γ( p ) ⎰0 x e dx = b p 1 p -bx ∞ b p p ∞p -1 -bxΓ( p ) - b x e 0 + Γ(p ) b ⎰0 xe dx = p ⎰∞ bp -1 -bx = p ⎰∞ ( ) = p b 0 Γ( p ) x 类似的，有e dx p x dx b -∞ bE [X 2= ∞x 2-∞ p (x )dx = ⎰0 2b px Γ(p ) x p -1e -bx dx = p Γ(p ) ⎰0x p +1e -bx dx b p 1 p +1 -bx ∞ b p ( p + 1) ∞ p -bx= Γ( p ) - b x e 0 + Γ(p ) b ⎰0 x e dx= b p Γ( p ) =(p + 1) b 0 x p e -bx dx= (p + 1)p ∞ b pp -1 -bx= ( p + 1)p ∞ ( )b 2⎰0=(p + 1)p b 2Γ(p ) xe dxb 2⎰-∞p x dx所以， X 的方差为D X =E [X 2]- m 2= ( p + 1)p b 2⎛ p ⎫2⎪ b= p b 2⎝ ⎭ （3）p ∞∞ ∞ X -M M M M ∑ ∑ i =1 k =1 i =1 k =1i =1 k =1i =1 k =15. 试证函数 ( ) =e jt (1 - e jnt ) 为一特征函数，并求它所对应的随机变f tn (1 - e jt )量的分布。
随机过程课后题答案
《随机信号分析》复习备考题第一章概率论简介第二章随机信号概论参考答案：（1）)(t X 的一个样本函数的草图（2）时间连续，状态离散，离散型随机过程。
（3）一维概率密度函数：nT t T n A x A x t x p X <<-++-=)1(),(21)(21),(δδ二维概率密度函数：[][]⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-++-++-<<-+++--=nTt T n t nT t T n A x A x A x A x nT t t T n A x A x A x A x t t x x p X 22122112121212121)1(,)1(,)()()()(41,,)1(),()(21)()(21),;,(或δδδδδδδδ参考答案：[][]625.3341683241181)()()(111=⨯+⨯+⨯+⨯==∑t x P t x t X E[][]625.2141283441581)()()(222=⨯+⨯+⨯+⨯==∑t x P t x t X E[]()875.7)13(41)62(83)42(41)51(81,)()(212121=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==∑x x P x x t X t X E )1()3(41)2()6(83)4()2(41)5()1(81),;,(212121212121--+--+--+--=x x x x x x x x t t x x p X δδδδδδδδ参考答案：Φ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=Φ其它,020,21)(πϕπϕp均值：[][]021)cos()cos()()(2000=Φ⋅Φ+=Φ+==⎰d t a t a E t X E t m X ππωω 方差：01(t)cos(t)cos(t)X a b ωω=+ 自相关函数：[][12120102011202110102011202(,)()()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()][cos()cos()][cos()X R t t E X t X t E a t a t a t b t a t b t E a t a t E a t b t E a t b ωωωωωωωωωωω==+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ=+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ++Φ⋅[[][][]1010*******01020102111201022201211cos(cos()cos()][cos()cos()cos()cos(2)cos()cos(2)22cos ()cos (22E a t a t E b t b t a b E t t t t E t t t t a b t t t t ωωωωωωωωωωωωωωω≈+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ=-+++Φ+-+++Φ=-+-22201)cos ()cos ()22a b ωτωτ=++第三章平稳随机过程参考答案：0)sin(cos )cos(21)(21)(000lim lim lim=Φ=Φ+==∞→-∞→-∞→⎰⎰T T A dt t A T dt t x T t x T TT T T T T ωωω)cos(2)cos()cos(21)()(020002limτωτωωωτA dt t t A T t x t x T T T =Φ++Φ+=+⎰-∞→由于A 和Φ为统计独立的随机变量，于是有[][][][]021)cos()cos()(2000=ΦΦ+⋅=Φ+⋅=⎰ππωωd t A E t E A E t X E[][][][][][])cos(21)22cos()cos(21)cos()cos()()(),(020*******τωτωωτωτωωωττA E t E A E t t E A E t X t X E t t R X =Φ+++⋅=Φ++Φ+⋅=+=+由图3.5可看出，不同样本函数的A 不同，则相应的时间平均自相关函数)()(τ+t x t x 也不同，),()()(ττ+=+t t R t x t x X 不能以概率1成立，因此该随机过程不具有各态历经性。
随机过程课后习题答案
标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50历年试题（页码对应备用教材）2007一、习题0.7（1）二、习题1.4三、例2.5.1—P80四、例2.1.2—P47五、习题2.2六、例3.2.2—P992008一、习题0.5二、习题1.4三、定理2.5.1—P76四、定理2.5.6—P80五、1、例2.5.1—P802、例2.2.2—P53六、例3.2.3—P992009（回忆版）一、习题1.12二、例2.2.3—P53三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1三、例2.1.4四、例2.2.2五、习题2.6六、习题3.3引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式()222E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：()()()()222222222220440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦例1.4.2 解法详解已知随机过程(){},X t t T ∈的均值为零，相关函数为()121212,,,,0a t t t t et t T a --Γ=∈>为常数。
求其积分过程()(){},t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。
解：()0Y m t =不妨设12t t >()()()()()()1212222112121122122100,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττΓ===Γ⎰⎰⎰⎰()()()()()222121122221222112222212221212121212000220022002200222211||111111||211ττττττττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at ed d ed de d e d a ae d e d a a t t e e a a a a t e e e a a⎤⎦同理当21t t >时()()2112112221,1a t t at at Y t t t e e e a a----⎡⎤Γ=++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导：(){}()()()()()()()()()()()1lim !lim 1!!!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：→∞-→∞-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦N k N N kkN N k kN N kN kq t qtN N k N kk k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t e e N N N q t q t N k N ()()()()()!lim 1!-→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦N k k k k kN k N q t N qt qt N k (){}()()()()!1lim 1!!!N kkN kqt P X t k N q t q t N k k qt ek -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦=例2.1.2 解法详解设(){},X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且()()2212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){},Y t t -∞<<+∞为平稳过程。
随机过程答案
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(k Z F X E Z k =并求是常数）。