极限与导数复习
高中数学知识点总结三角函数的导数与极限
高中数学知识点总结三角函数的导数与极限高中数学知识点总结：三角函数的导数与极限一、三角函数的极限在高中数学中，我们经常遇到三角函数的极限问题。
三角函数的极限计算是求取无穷小量与无穷大量之间的关系，下面就来总结一些三角函数的极限。
1. 正弦函数的极限lim (x→0) sin(x) / x = 1这个极限可以通过泰勒级数展开或用几何图形说明来证明。
因为sin(x)的图像在x=0处有一条切线，斜率为1，所以极限值为1。
2. 余弦函数的极限lim (x→0) (cos(x) - 1) / x = 0余弦函数的图像在x=0处有一条切线，斜率为0，所以极限值为0。
3. 正切函数的极限lim (x→0) tan(x) / x = 1正切函数在x=0时，正切线斜率为1，因此极限值为1。
4. 余切函数的极限lim (x→0) csc(x) = ∞余切函数在x=0时趋于无穷大。
5. sec(x)与cot(x)的极限lim (x→0) sec(x) = 1lim (x→0) cot(x) = ∞在x=0处，sec(x)为1，cot(x)为无穷大。
二、三角函数的导数导数是函数在某一点上的变化率，下面我们来总结一下常见三角函数的导数。
1. 正弦函数的导数d/dx sin(x) = cos(x)2. 余弦函数的导数d/dx cos(x) = -sin(x)3. 正切函数的导数d/dx tan(x) = sec^2(x)4. 余切函数的导数d/dx cot(x) = -csc^2(x)5. 正割函数的导数d/dx sec(x) = sec(x) * tan(x)6. 余割函数的导数d/dx csc(x) = -csc(x) * cot(x)三、三角函数的导数与极限的应用三角函数的导数与极限在物理、工程、计算机科学等领域有广泛的应用。
下面举几个例子说明其应用。
1. 物理学中的振动问题物理学中很多振动问题涉及到角度的变化，而角度变化与三角函数有密切关系，通过计算三角函数的导数和极限，可以得到振动过程中的速度和加速度等相关信息。
导数与函数的极限关系归纳
导数与函数的极限关系归纳在微积分领域中，导数与函数的极限是两个核心概念。
它们之间有着密切的关系，相互之间可以通过数学定理和公式进行转化和推导。
本文将对导数与函数的极限关系进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、导数的定义与函数的极限导数是描述函数变化率的工具，它代表了函数在某一点的瞬时变化速率。
函数的极限则是描述函数在无穷接近某一点时的值趋势。
导数和函数的极限之间的关系可以通过导数的定义和极限的计算来确定。
二、导数与函数极限的关联定理1. 函数在某一点可导，则在该点必定存在极限。
这是因为导数的存在要求函数在该点的斜率存在，而斜率的存在又要求函数在该点必须是连续的，即函数在该点存在极限。
2. 函数在某一点不可导，则在该点的极限未必存在。
这是因为函数不可导说明在该点的斜率不存在，而不存在的斜率会导致函数在该点的极限未必存在。
三、导数和函数极限的计算方法1. 利用导数计算函数在某一点的极限。
当函数在某一点可导时，可以通过导数公式来计算函数在该点的极限。
2. 利用极限计算函数的导数。
当函数在某一点存在极限时，可以利用求极限的方法来计算函数在该点的导数。
这两种方法的应用范围不同，但都是导数与函数极限关系的重要表现形式。
四、导数和函数极限的性质1. 函数在连续的区间上可导，则在该区间上函数的极限存在。
这是因为可导性要求函数在该区间上连续，而连续函数的极限存在。
2. 函数在某一点可导，则在该点的左极限和右极限存在且相等。
这些性质反映了导数与函数极限之间的密切关系，同时也为我们研究函数的性质提供了有效的工具。
五、导数与函数极限的应用导数和函数极限是微积分理论的基础，也是应用于实际问题解决中的重要工具。
它们可以用来求解函数的最值、优化问题、判断函数的增减性等等。
在自然科学、工程技术和经济管理等领域中都有广泛的应用。
综上所述，导数与函数的极限是微积分中的重要概念，它们之间存在着密切的关系。
导数和极限的计算方法、关联定理、性质和应用，都为我们探索和应用微积分提供了有力的工具和理论基础。
中学数学竞赛讲义——极限与导数
13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使
2．极限的四则运算：如果 f(x)=a, g(x)=b，那么 [f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)•g(x)]=ab,
3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且 f(x)存在，并且 f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
[解] ，因为x>0,a>0，所以 x2+(2a-4)x+a2>0； x2+(2a-4)x+a+<0.
（1）当a>1时，对所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即 (x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；（2）当a=1时，对x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即 ，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+∞)内递增；（3）当0<a<1时，令 ，即x2+(2a-4)x+a2>0，解得x<2-a- 或x>2-a+ ，因此，f(x)在(0,2-a- )内单调递增，在(2-a+ ,+∞)内也单调递增，而当2-a- <x<2-a+ 时，x2+(2a-4)x+a2<0，即 ，所以f(x)在(2-a- ,2-a+ )内单调递减。
高中数学-极限与导数
1、数列的极限：设有数列12,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与常数a ，如果n 无限增大时，n x 无限接近于a ，则称常数a 是数列的{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞=或 ()n x a n →→∞.例如：1n a n=，则lim 0n n a →∞=；90.99n n a =⋅⋅⋅个，则lim 1n n a →∞=.2、数列的收敛与发散：若一个数列有极限，则称该数列是收敛的；否则称该数列是发散的. 定理：单调有界的数列必有极限. 例如：1n a n =收敛；()11n n a n=-⋅收敛；()1nn a =-发散；n a n =发散.3、函数的极限：设有函数()f x 和常数0,x A ，如果当x 无限接近于0x 时，()f x 无限接近于A ，则称常数A 是函数()f x 当0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→. 注：（1）可以用+∞或-∞代替0x ，表示x 无限增大或无限减小时()f x 的极限， （2）函数的极限不一定都存在，例如()11x Qf x x Q ∈⎧=⎨-∉⎩.4、极限的运算：若()()00lim ,lim xx x x f x A g x B →→==，则 （1）()()()0lim xx f x g x A B →±=±； （2）()()0lim x x f x g x A B →⋅=⋅； （3）()()()0lim 0x xf x AB g x B→=≠. 推论：①()0lim x x cf x cA →=; ②()()0lim nn x xf x A →=.5、夹逼定理（1）数列中的夹逼定理：设*,n n n a b c n N ≤≤∈，且lim lim n n n n a c a →∞→∞==，那么lim n n b a →∞=. （2）函数中的夹逼定理：设函数,f g 与h 在点0x 的近旁（不包含0x ）满足不等式()()()f x h x g x ≤≤如果()()00lim lim x x x x f x g x A →→==，则()0lim x x h x A →=.6、两个重要极限 （1）0sin lim1x xx→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【例1】（1）证明：数列{}n x ：22221111123n x n =+++⋅⋅⋅+是收敛的. （2）证明：数列{}n x ：1111123n x n=+++⋅⋅⋅+是发散的.（1）22022lim 232n n n n n →++++；（2）2222lim 232n n n n n →∞++++；（3）n ；（4）lim n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅；（5）()()1321lim 242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.（1）3031lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（2）322lim 2121x x x x x →+∞⎛⎫- ⎪-+⎝⎭；（3）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（4）1lim 12xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.一.定义1.函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，01,x x 是其定义域内不同的两点，记()()101000,x x x y y y f x x f x =-=-=+-，则当0x ≠时，商()()00f x x f x yxx+-=称作函数()y f x =在区间[]00,x x x +或[]00,x x x +的平均变化率.2.设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变()()00y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率()()00f x x f x yx x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率. 记作()()000lim x f x x f x l x ∆→+∆-=∆或当0x ∆→时，()()00f x x f x l x+∆-→∆.3.函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在点0x 处的导数，并记作()0f x '．这时又称()f x 在点0x 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.如果()f x 在开区间(),a b 内每一点x 都是可导的，则称()f x 在区间(),a b 可导．这样，对开区间(),a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(),a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数． 注：①x 可正可负.②不是所有函数在每一点都有导数，例如：()f x x =，()11x Qf x x Q∈⎧=⎨-∉⎩.【例4】用定义求下列函数的导函数：（1）()f x c =（c 为常数）；（2）()f x kx b =+（,k b 为常数）；（3）()sin f x x =；（4）()cos f x x =；（5）()ln f x x =.【例5】若函数()f x 在R 上可导，且()'21f =，则()()222lim2h f h f h h→+--=__________.【例6】己知()f x 在0x 处可导，则()()220003limh f x h f x h h→+--=____________．二.导数的运算法则1.()'''f g f g +=+.例如：()2sin '2cos x x x x +=+.2.()'''f g f g fg ⋅=+.例如：()()()22222'''213x x x x x x x x x x ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=.3.2'''f f g fg g g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.例如：2sin cos sin 'x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【例7】求下列函数的导函数：（1）cos ln y x x =+；（2）sin y x x =；（3）1y x x=+；（4）tan y x =；（5）21xy x =+；（6）sin ln y x x x =⋅⋅.4.若函数()u g x =与函数()y f u =均可导，则复合函数()()y f g x =可导，且xu x y y u '''=⋅，或记成dy dy dudx du dx=⋅．【例8】求下列函数的导函数：（1）()()221f x x =+；（2）()2sin f x x =；（3）()()2ln 23f x x x =++；（4）()()sin f x a bx c =+；（5）()()22cos 253f x x x =++；（6）()()2sin sin f x x =.【例9】已知函数()()()()12100f x x x x =--⋅⋅⋅-，则()'1f =__________.【例10】证明：若f 是一个恒取正值的可导函数，则()()()()'ln 'f x f x f x =.【例11】求下列函数的导函数：（1）()af x x =，()0x >；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()()g x y f x =，()f x 在它的定义域上恒有()0f x >；（4）()()cos sin xf x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（5）()xx f x x =，()0x >5.设()y f x =在包含0x 的区间I 上连续且严格单调，如果它在0x 处可导，且()0'0f x ≠，那么它的反函数()1x f y -=在()00y f x =处可导，且()()()11''fy f x -=.【例12】求下列函数的导函数：（1）()af x x =；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()arcsin f x x =；（4）()arctan f x x =；6.高阶导数设函数f 在区间I 上可导，那么()()'f x x I ∈在I 上定义了一个函数'f ，称之为f 的导函数.如果'f 在区间I 上可导，那么'f 的导函数()''f ，记为''f 称为f 的二阶导函数.一般的，对任何正整数n N +∈，可以定义f 的导函数()n f .（Leibniz ）设函数f 与g 在区间I 上都有n 阶导数，那么乘积fg 在区间I 上也有n 阶导数，并且()()()()0nn n k kk n k fg C f g -==∑，这里()()00,f f g g ==.【例13】求下列函数的n 阶导函数：（1）()xf x e λ=；（2）()2cos f x x x =（3）()n xf x x e =；【习题1】求下列函数的极限 （1）22251lim 1n n n n →∞+++；（2）220251lim 1n n n n →+++；（3）1123lim 23n n n nn ++→∞++；（4）211lim 31x x x x→---+；（5）201cos lim x xx →-.【习题2】求下列函数的导数（1）5432()5432f x x x x x x =++++；（2）31()f x x =；（3）()ln f x x x =；（4）()3()2f x x =+；（5）1()f x x=；（6）()3()sin 2f x x =+；（7）()ax bf x cx d+=+；（8）()tan ln x f x a bx c dx =+；（9）sin ()xx xf x e =；（10）()f x【习题3】 求()()cos n x e x 和()()sin n x e x .【习题4】若()f x 是定义在R 上的偶函数，且()'0f 存在，则()'0f =___________.【习题5】设()02f x '=，则()()000limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【习题6】设函数()12sin sin2sin n f x a x a x a nx =++⋅⋅⋅+，其中12,,,,n a a a R n N +⋅⋅⋅∈∈. 已知对一切x R ∈，有()sin f x x ≤，证明：1221n a a na ++⋅⋅⋅+≤.。
大一高数重点
导数与极限（一）极限 1. 概念（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（δε-定义）Ax f ax =→)(l i m ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 。
（2）单侧极限左极限： =-)0(a f Ax f a x =-→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<x a 0时，有ε<-|)(|A x f 。
右极限： =+)0(a f Ax f ax =+→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<a x 0时，有ε<-|)(|A x f 。
（3）自变量趋向于无穷大的函数极限定义1：0,0>∃>∀X ε，当X x >，成立()ε<-A x f ，则称常数A 为函数()x f 在x 趋于无穷时的极限，记为()Ax f x =∞→lim 。
A y =为曲线()x f y =的水平渐近线。
定义2：00>∃>∀X ，ε，当X x >时，成立()ε<-A x f ，则有()A x f x =+∞→lim 。
定义3：00>∃>∀X ，ε，当X x -<时，成立()ε<-A x f ，则有()Ax f x =-∞→lim 。
运算法则：1) 1) 若()A x f =lim ，()∞=x g lim ，则()()[]∞=+x g x f lim 。
2) 2) 若()()∞≠=但可为,0lim A x f ，()∞=x g lim ，则()()∞=∙x g x f lim 。
3) 3) 若()∞=x f lim ，则()01lim=x f 。
注：上述记号lim 是指同一变化过程。
（4）无穷小的定义0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<|)(|x f ，则称函数)(x f 在a x →时的无穷小（量），即 0)(lim =→x f a x 。
高数考前必看知识点
高数考前必看知识点
高数是大学中一门重要的基础课程，涉及到极限、导数、积分、微分方程等多个知识点。
以下是高数考前必看的一些知识点：
1. 函数与极限：函数的定义、性质和分类，极限的概念、性质和计算方法，无穷小量和无穷大量的概念和性质。
2. 导数与微分：导数的概念、几何意义和计算方法，微分的概念和计算方法，导数的应用（如求曲线的切线方程、速度、加速度等）。
3. 积分：积分的概念、性质和计算方法，不定积分和定积分的概念和计算方法，换元积分法和分部积分法，积分的应用（如求平面图形的面积、体积等）。
4. 微分方程：微分方程的概念和分类，一阶微分方程的求解方法（如分离变量法、常数变易法等），二阶线性微分方程的求解方法。
5. 向量与空间解析几何：向量的概念、运算和坐标表示，平面向量的线性相关性和向量组的极大无关组，空间直角坐标系和向量的坐标表示，平面和空间曲线的方程。
6. 多元函数微分学：多元函数的概念、极限和连续性，偏导数和全微分的概念和计算方法，多元函数的极值和条件极值。
7. 重积分：二重积分和三重积分的概念和计算方法，重积分的应用（如求曲面的面积、体积等）。
8. 曲线积分和曲面积分：第一类曲线积分和第一类曲面积分的概念和计算方法，第二类曲线积分和第二类曲面积分的概念和计算方法，格林公式和高斯公式。
以上是高数考前必看的一些知识点，当然，高数的知识点还有很多，需要根据自己的学习情况进行有针对性的复习。
同时，要注重做题，通过做题来加深对知识点的理解和掌握。
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点导数与极限是高考数学中的重要内容，对于理工科考生来说尤其重要。
掌握导数与极限运算的关键点能够帮助考生提高解题效率，下面将介绍几个关键点。
一、理解导数的定义导数是描述函数在某一点的变化率的指标。
在掌握导数运算的关键点之前，我们需要先理解导数的定义。
导数的定义是函数的极限，即函数在某一点的导数等于该点处函数的极限。
这个定义非常重要，理解了这个定义之后才能更好地应用导数进行运算。
二、掌握导数基本运算法则在高考数学中，常见的导数基本运算法则有常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
掌握这些法则是解题的基础，可以帮助考生更快速地求导数。
以乘积法则为例，乘积的导数等于一项的导数乘以另一项，再加上另一项的导数乘以一项，即(d(uv)/dx = u'v + uv')。
熟练掌握这些法则能够帮助考生迅速解题。
三、学会运用导数的性质导数具有一些特殊的性质，掌握这些性质可以简化计算过程。
比如，导数的和的导数等于各项导数的和，导数的差的导数等于各项导数的差，导数的幂的导数等于指数乘以底数的导数等等。
掌握这些性质可以在解题过程中灵活运用，提高解题效率。
四、了解常见的导数公式在高考数学中，有一些常见的函数的导数公式是需要掌握的，比如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
熟悉这些公式能够帮助考生更快地求出函数的导数。
需要注意的是，在使用这些公式时，要注意各种函数的复合运算，灵活运用链式法则。
五、熟练掌握极限运算的技巧极限是导数的基础，因此对极限运算的技巧的掌握也是非常重要的。
在高考数学中，常见的极限运算技巧有利用夹逼定理、利用等价无穷小、利用洛必达法则等。
熟练掌握这些技巧可以帮助考生更快地求解极限问题，尤其是在计算极限时遇到不确定型的问题。
综上所述，掌握高考数学中的导数与极限运算技巧的关键点主要包括理解导数的定义、掌握导数基本运算法则、学会运用导数的性质、了解常见的导数公式以及熟练掌握极限运算的技巧。
导数与函数的极限值问题归纳
导数与函数的极限值问题归纳在数学领域，导数和函数的极限值是两个非常重要的概念。
导数用于描述函数在某一点的变化率，而函数的极限值则是研究函数在整个定义域上的极值问题。
本文将对导数和函数的极限值问题进行归纳总结，并探讨它们之间的联系和应用。
一、导数的定义与性质1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，通常用斜率来表示。
设函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在点x=a处的导数可以用下列极限表示：f'(a) = lim┬(x→a)〖(f(x)-f(a))/(x-a) 〗2. 导数的性质a) 可导函数一定连续，但连续函数不一定可导；b) 若函数f(x)在点x=a可导，则f(x)在点x=a连续；c) 若函数f(x)在点x=a，b可导，则它在(a,b)内必可导。
3. 常见导数求法a) 基本初等函数的导数（如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）；b) 导数的四则运算法则（加减乘除）；c) 复合函数的导数（链式法则）；d) 特殊函数的导数（反函数的导数、隐函数的导数等）。
二、函数的极限值问题1. 极值的定义函数在其定义域内的某一点上取得最大值或最小值时，称该点为函数的极值点，对应的函数值称为极值。
2. 极值的判定条件a) 必要条件：若f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=0 或f'(a)不存在；b) 充分条件：f'(a)=0 或f'(a)不存在时，并不能确定该点为极值点，还需通过二阶导数或借助临界点来判定。
3. 极大值和极小值的判定极值分为极大值和极小值，判定方法如下：a) 极大值：若f'(a)=0 且 f''(a)<0，则点x=a为极大值点；b) 极小值：若f'(a)=0 且 f''(a)>0，则点x=a为极小值点；4. 闭区间上的极值问题在闭区间[a, b]上求极值问题，可以通过以下步骤进行：a) 求出函数在开区间(a, b)内的临界点；b) 求出函数在闭区间[a, b]的端点处的函数值；c) 将临界点和端点处的函数值进行比较，确定极值的取值。
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7. 无穷递缩等比数列的各 项和为 a1 lim S n n 1- q
返回Biblioteka 点·疑点·考点y f x x f x 1. f x lim lim x 0 x x 0 x
2. C 0C为常数 m x mx m -1 m Q sinx cosx cosx sinx x e ex
极限与导数
要点·疑点·考点
1. lim f x a的充要条件是 lim f x lim f x a
x x0 x x0 x x0
2. 如果 lim f x a， lim f x b，那么
x x0 x x0
x x0
5. lim C C
n
1 lim 0 n n lim q n 0 q 1
n
6. f x 在x0 处连续必须满足 ② lim f x 存在
x x0 x x0
①函数f x 在点x x0 处有定义 ③ lim f x f x0
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简单方法就是下跪，磕头。别说是磕头了，就连下跪慕容凌娢也极其不情愿，又累又疼，还有损人格。不过想这种难以预测的 局面，慕容凌娢还是跪下来。猥琐大叔悻悻地看了慕容凌娢一眼，就让她那个样子跪着。反手从歌伎中招来了一名女子。这名 女子叫柳茗，慕容凌娢认得。她也算得上是醉影楼的头牌歌姬了，不仅人长得好看，会唱歌，还能弹一手好听到琵琶曲。有不 少客人来了，都想点她呢。慕容凌娢虽然没听过她弹琴唱曲，但也对她抱有几分敬重。毕竟像她这种出淤泥而不然的清高女子， 在这里并不多见……(古风一言)悲箫悔，望秋水，彻凉烛火人马颓。第031章 二百多年后的歌曲猥琐大叔悻悻地看了慕容凌娢 一眼，就让她那个样子跪着。反手从歌姬中招来了一名女子。这名女子叫柳茗，慕容凌娢认得。她也算得上是醉影楼的头牌歌 姬了，不仅人长得好看，会唱歌，还能弹一手好听到琵琶曲。有不少客人来了，都想点她呢。慕容凌娢虽然没听过她弹琴唱曲， 但也对她抱有几分敬重。毕竟像她这种出淤泥而不然的清高女子，在这里并不多见。“柳茗啊，给爷弹一首新曲。如果弹得好 呢，爷重重有赏，如果弹的不好……那就跟刚刚出去的小贱人一样下场！”听了这话，柳茗的身体猛然一震，很害怕的样子。 这猥琐大叔到底对刚才那个女子做了什么伤天害理的事啊，只是说说，就能把她吓成那样！慕容凌娢想到这里，心中也生出了 想要赶快逃离这里的想法。“《阳春白雪》可好？”柳茗柔和的声音中夹杂着一丝胆怯。“听过听过，再换一首！”“《汉宫 秋月》大人一下如何？”慕容凌娢看出柳茗的手在微微发颤。“你没听吗？爷要的是新曲，那些早就听腻了。”猥琐大叔指着 柳茗，脸不知是由于喝了酒还是因为太激动，变得通红。十分可怕。“我……”柳茗本想再报曲名，却被吓得什么也不敢说了。 能喝得起珍藏美酒，唤得来如此多的歌伎，而且是在醉影楼里，此人非富即贵，名曲想必是全都有所耳闻。若是不知名的小曲， 恐怕还看不入眼。现在看来，能讨他欢心的只有一种曲子了——穿越时空的歌曲。机不可失，失不再来。想到这慕容凌娢真起 身来走到那人面前，平生第一次磕了一个头。哎呦喂～疼死了！磕得太用力了……“大人还请息怒，柳茗姐姐这几日身体不适。 还望大人海涵……”慕容凌娢强忍着头疼说道，“若大人想听稀奇的曲子，白绫这里到有几首，不知大人……”“就你？”猥 琐大叔瞥了一眼慕容凌娢，“白绫是吧？少在那说废话，会什么就弹什么。利索点！”“是！慕容凌娢这回只是轻轻磕了个头 意思一下，从柳茗手中接过琵琶后便开始弹奏。 这首曲子节奏欢快，但不乏古风乐曲的韵律，琴声宛如一些活泼轻盈的精灵， 跳跃而出。整个屋子里，就连
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要点·疑点·考点
1. y=f(x)在(a,b)上可导， 若f′(x)＞0，则f(x)为增函数，
若f′(x)＜0，则f(x)为减函数
2. 可导函数f(x)在极值点处的导数为0. 3. f(x)在[a,b]上的最值求法： ①求出f(x)在(a,b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是 最大值，最小的一个是最小值.
a a
x
x
ln a
1 lnx x 1 log a x log a e x
3. u υ u υ uυ uυ uυ u uυ uυ 2 υ υ
4. yx y u ux
n n
lim a n bn a b
n
lim a n bn a b
n
an a lim b 0 n b b n
4. lim Cf x C lim f x C为常数
x x0 x x0 n lim f x lim f x x x0 x x0 n
lim f x g x a b
lim f x g x a b
x x0
f x a lim b 0 . 这些法则对于 x 时的情况 x x0 g x b 仍然成立.
2. 如果 lim a n a， lim bn b，那么
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说明： 实际问题中，当已经明确所求极值为最大
或最小值时，只要由y′=0解得的极值点只有
一个，那么就有理由认为，这一极值点就是 最值点。 当然，如果是在一个闭区间上讨论的话， 还应关注端点取值大小. 返回
误解分析
求闭区间 [a,b] 上的最值，除了要比较 (a,b)内的所有极 值外，还要比较f(x)在[a,b]的端点值f(a)，f(b). 如果忽 视了f(a),f(b)，那么可能得到的答案是错误的 . 比如下 面的这个函数 f(x)。最小值为f(c)，它是极小值之一， 但f(a)为最大值，它是区间的端点函数值